面白い問題おしえて～な 30問目

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/04(月) 20:26:59.10

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 10:32:28.89

>>180
A(1,1) = 1
A(i,i) = 2　　　(2≦i≦n)
A(i,i+1) = -1,
A(j+1,j) = -1,
A(i,j) = 0,　　(|i-j|≧2)

B(i,j) = n+1 - Max{i,j} = min{n+1-i, n+1-j}

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 19:52:45.53

>>168
とりあえず前半ができたかな？
適当に近似してC^∞で考える。
diam=2とする。
領域はa(-π/2)=a(π/2)=0である関数を用いて領域
-1+a(t)≦xcos(t)+ysin(t)≦1+a(t)
にあるとしてよい。
直線族xcos(t)+ysin(t)=1+a(t)の包絡線を計算すると
x=acos(t)-a'sin(t)、y=asin(t)+a'cos(t)
となりこの包絡線の長さは
∫(1+a+a'')dt
である。
同様に直線族xcos(t)+ysin(t)=-1+a(t)の包絡線の長さは
∫(1-a-a'')dt
となり、これら二曲線の長さの和は2πである。
よって元の曲線の長さも>>172により2π以下とわかる。
以上により周率の最大値はπである。□

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 20:47:40.48

>>180
・ブロック分割して直接計算（左下の漸化式）
・基本に戻って？掃き出し法
・>>181をチラ見した後（）なら、見当をつけて帰納法
自分で言うのもアレだが、どれもつまらない
Cartan行列もどきなので、何か上手い手があるのかもしれない

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 03:46:05.43

>>182
例えばa(t)=cos(t)とすれば
包絡線は(x-1)^2+y^2=1になってしまい、直径2の凸図形が全て入るとは限らないと思うのですが

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 04:00:55.92

>>184
すみません勘違いしました

つまり直径2の凸図形を任意に用意して、内部の点Oからx軸となす角度tの直線L(t)を引いて凸図形との二交点ABの距離は常に2以下なので|OA|≦1+a(t)、|OB|≦1-a(t)となるように関数a(t)が取れて、

さらに、その凸図形内の点(x,y)をL(t)に射影したときのOからの長さが常に1-a(t)、1+a(t)で抑えられるということですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 10:14:40.17

>>185
そうです。
周の長さがa(t)の取り方によらず常に2πになるみたいです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 11:47:25.68

>>186
なるほど素晴らしい解答ありがとうございます

ちなみに想定していた解法は以下の通りです

凸曲線C上の点pにおける接線lの平行線l’がC上の別の一点のみと交わるとき、lとl’の距離をW(t)とする.(Cの点pにおける幅)

曲線を{p(t)}_{t∈[0,2π]}として、p(t)における内向き法線ベクトルn(t)がn(t)=(cost,sint)となるようにパラメータ付ける. このとき、W(t)=-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)となる.

したがってLをCの長さ、vを単位接ベクトル、kを曲率とすれば、
∫_0^π W(t)dt
=∫_0^π {-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)}dt
=-∫_0^(2π) p(t)・n(t) dt
=-∫_0^L p(s)・n(s) k(s) ds (孤長パラメータに変換)
= -∫_0^L p(s)・v’(s) ds
= ∫_0^L p’(s)・v(s) ds
= ∫_0^L v(s)・v(s) ds
=L となる.

よって、max_{t∈[0,2π]} W(t)≦直径に注意すれば、

周率=長さ/直径≦ ∫_0^π W(t)dt/ max_{t∈[0,2π]} W(t)
≦π* max_{t∈[0,2π]} W(t)/max_{t∈[0,2π]} W(t)=π. ◽︎

ちなみにこのことから、等号が成立する必要十分条件は凸曲線が定幅曲線、ということになります

したがって>>168後半の問題は「直径固定の定幅曲線で囲まれる面積が最小のものを求めよ」という問題になります

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 08:53:34.12

>>187
後半ヒントおながいします。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/19(木) 19:41:33.61

前>>177
>>111なんで急にlog3が出てきたの？
1/xを積分したの？
積分したら負けって言ったのに。気にlog。
log3/3=0.159040418……
2log3/3=0.318080836……
グラフを描いたらなんかわかる可能性はあるけど。なにかを知ってて意図的に出したとしか思えない。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/19(木) 20:00:40.55

前>>189
>>112は公約どおり積分してないみたいだけど、
expのとこが怪しい。
気にlog出したりはしてないけど、気に3^(1/3)を出してる。
数学は答えを言い当てる理科や社会とは違うはず。
論理的なつながりで答えを導かないと説得力がない。
正解とは言えない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 20:04:19.44

cosh(t)=5/3を解いてるだけやん

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 21:15:55.83

>>188
すみませんがこれは前半ほどサクッとは解けません
というより名前の付いた定理です(ググれば出ます)
ポントリャーギンの最大値原理を使って示します

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/19(木) 23:14:12.74

前>>190
急に(きゅうに)を書きこむと、なぜか文字化けして、
× 気に(きに)になるけど、
○ 急に(きゅうに)です。

>>191点Bのx座標が5/3というのはわかります。
なにを解いてlog3が出てきたのかがわかりません。1/xを積分したのがlog|x|だというのは知ってます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 23:38:58.49

だから
cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2=5/3
sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2=4/3
を解く。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 02:06:23.61

0630
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 09:42:54.14

n個の実数 a_i (i=1,2,...n) から任意のx,y を選んでリストから消し、f(x,y)を付け加える操作を繰り返す
と最終的に一つの実数が残ります。最終的に残る値が選び方によらずに同一の値になるような
f(x,y)の必要十分条件を求めてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 11:01:39.26

(R,f)が可換半群になること

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/20(金) 19:37:40.65

前>>193
>>194cosやsinやeが出てくるとわかりにくいので、3つの領域の面積を足すか、等しいとおくか、そっちの方針で積分の仕方を教えてもらえませんか？
S=∫[x=1→p](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=p→q](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=q→5/3](x^2-1)^(1/2)dx
-(1/2)(p-1)√(p^2-1)
-(1/2)(q-p){√(p^2-1)+√(q^2-1)}
-(1/2)(5/3-q){√(q^2-1)+4/3}
積分関数は微分したもの(2x)で割るんじゃなく、微分したもの(2x)を掛けるんでしたか？　割るとすべての項が負になったので、これは違うなと。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 22:37:38.80

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 22:37:44.56

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 22:37:54.45

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 22:38:57.22

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 22:40:46.67

スマソ。
あまりの重さに連投になってしまった。orz

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/20(金) 23:48:59.03

前>>198え、あってんの!?
やったー!!　やっぱ積分したら負けなんですね。積分しないで解けるってことですね。せやて積分したら3項とも負になったでね。連投いいですよ。べた褒めみたいでとてもいいです。

で、どうやってp,qを出すかですが、どうしたらいいんですか？　eとかcosとかsinとかなしで。置換してもいいけどcosとかはやめて。ていうか積分なしで。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/21(土) 00:17:18.02

>>204
だから>>198のS=の右辺をp,qの2変数関数とみなして増減を調べる。
第1項～第3項の和はp,qに無関係な定数。
未知数二つなので式二つ必要。
まずqを定数とみなしてpのみの関数とみなして微分して0が必要でそれで一個。
次にpを定数とみなしてqのみの関数とみなして微分して0が必要で二個目。
正しく解けは解ける。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/21(土) 01:35:39.06

前>>204
>>205
S'(p)=0より、――①
S'(q)=0より、――②
①②より、p=　q=　
積分したら負け、微分したら勝ち。
なるほど。面白い。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/21(土) 11:18:59.36

nを自然数とする。ある多項式F(x)について、xの次数がnの倍数である項の係数の和をf(n)とする。ただし定数項はxの次数が0である。
(0) F(x)=(1+x)^7 のとき f(2), f(3)の値を求めよ。また
(1) 素数pについて、
f(p)=(1/p)*{Σ[k=1→p] F(cos(2kπ/p)+isin(2kπ/p))}
で表されることを示し、
(2) f(n)=(1/n)*{Σ[k=1→n] F(cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n))}
で表されることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/21(土) 12:28:49.85

>>207
各nについてf(n)を多項式環からの写像と見なせば線形写像であるから単項式について示せば十分。
以下ζ=e^(2πi/n)とする。
F(x)=x^tとする。
tがnの倍数でないとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)(1-ζ^n)/(1-ζ)=0=f(n)。
tがnの倍数のとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)n=1=f(n)。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/21(土) 17:32:43.94

>>208
すいません、高校数学の言葉に焼き直すとどうなりますか...？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 01:54:49.32

nを2以上の整数、kを0以上n以下の整数とする。部屋には男子と女子が何人かいて、どの男子と女子についても、互いに知り合いであるか知り合いでないかのどちらかである。
どの男子もちょうどn人の女子と知り合いであり、どの女子もちょうどn人の男子と知り合いである。
また、どの2人の男子においても、共通の知り合いである女子はちょうどk人である。このときどの2人の女子においても、共通の知り合いである男子はちょうどk人であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 02:05:33.16

>>196
f(x,y)=F^(-1)(F(x)+F(y)) (F^(-1)は逆関数、F(x)は任意の関数)
Σ(i=1,2,...n)F(a_i)　が入れ替えの操作で不変量となるから

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 08:04:12.57

日本シリーズは先に4勝したチームが優勝。
勝率はそれまでの通算勝率に従うとする。引き分けはないものとする。
勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。
シリーズ開始前の通算成績はA:2勝、B:4勝であった。
今シリーズでAが先勝（第一試合に勝利）した。
この時点でどちらが優勝するか賭けをする。
A,Bのどちらに賭ける方が有利か？"

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 09:01:25.24

＞勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/23(月) 10:13:24.32

前>>206
Bで。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 12:11:18.51

>>210
男の人数をp、女の人数をqとしてp行q列行列Aを
Aij=1 男iと女jが知り合いのとき
. 0 otherwise
で定める。
またAの転置行列をA~で表すとする。
条件より全行ベクトルの和は全成分がnの1行q列のベクトルであり、その成分の和はqnである。
同様に全列ベクトルの和は全成分がnのp行1列のベクトルであり、その成分の和はpnである。
これらが等しいからp=q。
p次単位行列をI、全成分が1のp次正方行列をBとすれば条件より
AB=BA=nB
AA~=(n-k)I+kB
である。
よってAはBと可換であり、したがって(n-k)I+kBとも可換である。
ここでBはrank1の行列でその固有値pは(k-n)/kと一致しないから(n-k)I+kBは可逆である。
よってAも可逆であり
A~=A^(-1)((n-k)I+B)
もAと可逆である。
以上によりA~A=(n-k)I+B
であり主張は示された。□

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 12:18:54.81

>>213
第二試合にAが勝つ確率は通算勝率の3/7
Aが勝ったら第三試合に勝つ確率は4/8
Aが負けたら第三試合に勝つ確率は3/8
になるという設定。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 12:45:22.48

>>212
同じになった
計算間違えているとするとなかなか奇跡的ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 13:02:50.72

>>217
私の計算でも0.5になった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 13:17:01.60

じゃあ合ってるのか
何かうまい考え方をすると簡単に五分五分だとわかることなんだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 13:19:05.26

100万回のシミュレーションでも0.5みたい。

> rm(list=ls())
> N_series <- function(A=1,B=0,w=4,a=2,b=4,k=1e6){
+ sim <- function(){
+ while(A < w & B < w){
+ p=(A+a)/(A+B+a+b)
+ g = rbinom(1,1,p)
+ if(g==1){
+ A=A+1
+ }else{
+ B=B+1
+ }
+ }
+ A > B
+ }
+ mean(replicate(k,sim())) # Pr[A wins]
+ }
> N_series()
[1] 0.500051

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 13:19:40.51

>>219
実はそれが知りたくて投稿してみた。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 13:30:37.77

nを2以上の自然数として(2n-1)戦でn勝した方が勝ちというシリーズで1戦目を負けた方のチームの勝率がn/(2n-1)になるとシリーズ優勝の確率は同率になるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 16:52:56.92

>>212

不透明な壺と透明な壺を用意し、どちらにも、ｎ個の白玉とｍ個の黒玉を入れておく。（ｎ、ｍは正整数）
「不透明な壺に手を入れ、よくかき混ぜて球を一つ取り出し、色を確認して戻し、
　同じ色の球を透明な壺から不透明な壺へ一つ移す。」
という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？

（恐らく）答え　ｎ，ｍの値に関係なく　１／２

という問題の具体例版　だと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 16:55:01.28

誤：という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？
正：という操作を繰り返し行い、　透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/23(月) 18:31:02.00

前>>214
>>212え、Bのほうが有利なんじゃないの？
先にAが勝っただけで通算だとBのほうが勝率いいじゃん。第2戦は4/7の確率でBが勝つよ。Bが勝った場合、第3戦は5/8の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第4戦は6/9=2/3の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第5戦は7/10すなわち7割の確率でBが勝って日本一。
そろともなにか？　負ける場合も考えると勝つ確率は変わると言うのか？　じゃあ考えたら負けだ。7割勝つ。信じるしかない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 18:49:59.56

>>225
>先にAが勝っただけ
という時点で運命が決まったんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 19:18:17.09

０．５を算出する前提

Aが優勝する以後の勝敗の順列（１を勝ちとする）は以下の２０通り。

> (dat3=dat[apply(dat,1,sum)==3,]) # Aあと３勝の仕方　末尾に連続する0は無視
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 0 0 0 1 1 1
[2,] 0 0 1 0 1 1
[3,] 0 0 1 1 0 1
[4,] 0 0 1 1 1 0
[5,] 0 1 0 0 1 1
[6,] 0 1 0 1 0 1
[7,] 0 1 0 1 1 0
[8,] 0 1 1 0 0 1
[9,] 0 1 1 0 1 0
[10,] 0 1 1 1 0 0
[11,] 1 0 0 0 1 1
[12,] 1 0 0 1 0 1
[13,] 1 0 0 1 1 0
[14,] 1 0 1 0 0 1
[15,] 1 0 1 0 1 0
[16,] 1 0 1 1 0 0
[17,] 1 1 0 0 0 1
[18,] 1 1 0 0 1 0
[19,] 1 1 0 1 0 0
[20,] 1 1 1 0 0 0

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 19:19:27.58

Aが優勝する以後の勝敗の順列＝Aが優勝するときの第二試合以後の勝敗の順列

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/23(月) 23:55:27.94

>>223
続き

白玉がｎ個出る前に、黒玉がｋ(k<m)個でる確率は
黒玉が連続してk個出て、白玉が連続してn個出る確率のC[n+k-1,k]倍なので、

C[n-1+k,k]*{m*(m+1)*...*(m+k-1)}*{n*(n+1)*...*(2n-1)}/{(n+m)*(n+m+1)*...*(2*n+m+k-1)}
=C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]

黒玉が0個からm-1個までの和を取れば、求める確率なので、

Σ[k=0,m-1]{C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]}

が求めるもの。
m,nに適当な数字を入れてWolfram先生に計算してもらったところ、
m,nに関係なく、　1/2　になるようです。予想は正しそうですが、証明はちょっと難しい。

【だん吉】 · 2019/12/24(火) 00:11:35.58

前>>225
>>226それはどうかな。
俺は俺が勝つために投げたし、みんな勝つために打ったり守ったり走ったりしたと思う。結果的に7割勝つとわかった。それ以上でもそれ以下でもない。
最初Aに負けて、どうなるかと思った。もうだめなんじゃないかとさえ思ったよ。
それで運命が決まったとは思わないけど、運命というものがあるのなら、あるいはそうかもね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 00:23:22.12

超幾何定理の香りが漂うような‥‥

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 02:18:50.81

>>230
優勝するにはAはあと３勝必要だがBはあと４勝必要と運命づけられちゃったと言えない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 03:01:07.37

ポリヤの壺っていう有名問題？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/24(火) 13:29:13.67

前>>230
>>232だから、運命なんてわかんないよ。勝ってるうちに強くなるかもしれないし、試合の前とあとではもう違うんだぜ。運命なんて変えてやるよ。みんなそう思ったと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 14:19:00.00

>>229
ｍ，ｎを１～１０からランダムに選んで１０万回のシミュレーションをしてみました。

Polya_Urn <- function(k=1e5){
mn=sample(1:10,2)
m=mn[1]
n=mn[2]
a=rep(0:1,c(m,n))
b0=b1=0
sim <- function(){
while(b0<m & b1<n){
b=sample(a,1)
a=c(a,b)
if(b==1){b1=b1+1}else{b0=b0+1}
}
b1==n
}
c(Prob=mean(replicate(k,sim())),m=m,n=n)
}

> Polya_Urn()
Prob m n
0.50125 8.00000 10.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50022 9.00000 5.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50065 3.00000 8.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49939 2.00000 4.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49657 1.00000 9.00000

ｍ，ｎに関わらず、０．５になるようです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 14:20:51.91

>>234
ターミネーターのセリフだな。
The future is not set. There is no fate but what we make for ourselves.

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 14:23:54.14

計算するまでもなく1/2になるとわかるような考え方がありそうに思えるのだが全然思いつかない

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 05:17:44.73

確率 n/(n+m)　で白玉を引いて壺の中の白玉が一つ増える、あるいは、
確率 m/(n+m)　で黒玉を引いて壺の中の黒玉が一つ増える、と言う操作（現象）を

確率1で、白成分が、n/(n+m)、黒成分が、m/(n+m)　で構成されているキメラ玉を壺に投入する操作と同等
と考えると、白玉が2n個(相当)になるのと、黒玉が2m個(相当)になるのは、同時なので、
どちらが勝つのかが 1/2 づつになるのは当然と　強弁できる　かな．．．？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 07:37:46.51

ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明

http://shiatsumat.hat　enab　og.com/entry/2014/12/08/183943　（空白は除去してください）

ってあるのだけど、私には理解できなかった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 07:39:57.44

>>239

urlがうまく貼れなかったので

ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明

で検索してください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 09:02:05.31

>>239-240
この問題はポリヤの壺の発展形。
残念ながらそのリンクの先の証明だけでは無理です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 20:37:42.24

>>225
優勝するにはAは現時点の勝率3/7であと３勝、Bは現時点の勝率4/7あと４勝しなくちゃいけない

どちらが有利か、という問題だと思う。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/26(木) 15:55:13.35

前>>234
>>242Bのほうが有利だね。たとえAが第1戦から3連勝したって最終戦に勝つ確率は6割。それに比べBは先にも言ったように7割。わずかだがBの監督が宙に舞う姿を想像するね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:02:51.71

例えば残り四試合で「Ａが勝ち」で勝負がつくときのパターンとそれに伴う計算式は次
○○●○　：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
○●○○　：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
●○○○　：(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)
各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、
これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。この点に注目して、解答を作ると、

残り三試合で「Ａが勝ち」で終了
○○○　　：(3/7)*(4/8)*(5/9)=5/42

残り四試合で「Ａが勝ち」で終了
[●○○]○　　：C[3,1]*(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)=1/7
(“[]”は[]内の並べ替えを意味する)

残り五試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●○○]○　　：C[4,2]*(4/7)*(5/8)*(3/9)*(4/10)*(5/11)=10/77

残り六試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●●○○]○　　：C[5,3]*(4/7)*(5/8)*(6/9)*(3/10)*(4/11)*(5/12)=25/231
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/26(木) 18:04:24.76

前>>243
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Aが勝って優勝する確率は(3/7)(4/8)(5/9)=5/42――①
第2戦Aが勝って第3戦A級が勝って第4戦Bが勝って第5戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)=1/21――②
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(5/11)=5/231――③
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Bが勝って第7戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(6/11)(6/12)=1/77――④
①+②+③+④=1/6+8/231=93/462=31/154
Aが優勝する確率は3100/154=1050/77＜(2割ない)
Bのほうが有利。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:17:11.99

>>243
>たとえAが第1戦から3連勝したって

Aはシリーズ開始後はあと３勝すればいいのだから
Aの勝ちを１負けを０で表示すると
Aが優勝するには第２試合以後は
> dat3[17:20,]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 0 0 0 1
[2,] 1 1 0 0 1 0
[3,] 1 1 0 1 0 0
[4,] 1 1 1 0 0 0
の４通り

Bはあと４勝しなくちゃいえないからAが第1戦から3連勝したら
２戦目以後は
1 1 0 0 0 0 （Aの勝ちが1)
でしか優勝できない。

前者は0.1991342
後者は0.01515152
となる。

計算式は
g <- function(x){ # Aの勝敗数列の起こる確率
(tva=cumsum(x)+3) # Aの通算の勝利数
win=c(3,tva)/(7:13) # 試合前の勝利確率
lose=1-win # 負ける確率
(y=rbind(win,lose)[,1:6]) #最終勝率は不要なので除く
p=rep(1,6)　# p : 通算勝率の入れ子
for(i in 1:6){
j=ifelse(x[i]==1,1,2) # 勝負によりwin/loseを選択する
p[i]=y[j,i]
if(tva[i]==6) break #　シリーズ前２勝＋シリーズ４勝で終了
}
cat(p,'\n') # 通算勝率の変遷
return(prod(p)) # その変遷が起こる確率
}
sum(apply(dat3,1,g)) # 可能な順列の確率を総和

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:33:04.52

>>244
>218ですが、計算ありがとうございました。
きりのいい数字になってびっくりしました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:38:23.54

>>244
>各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。

全く気づきませんでした、プログラムできればいいと愚考してましたので。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 18:45:38.70

>>244
正解だと思うのですが
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2
って偶然でしょうか？
>219の疑問は残ります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 19:11:06.56

>>245
いつも楽しいレスをありがとうございます

>244が正解だと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 19:24:21.76

A:現時点での勝率は3/7であと3勝が必要
B:現時点での勝率は4/7であと４勝が必要
勝率は通算成績で決まり現時点でA３勝B４勝である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 19:28:03.16

>>249

>>244の内容は　>>223の投稿時に作っていたものです。数字の羅列が主なので、結論としては同じ、>>223
のみの投稿にしました。しかし、その内容や考え方は、>>229で生かされています。
よかったら、過去の投稿も読み直してみてください。

偶然か？　との疑問がありましたが、一定の条件下で起こる必然現象でしょう。
これが「ポリアの壺問題」の帰結です。

あるいは、もっとシンプルに、次のような思考実験が考えやすいかもしれません。

直方体型の水槽がある。水槽には水が入れられており、水は「（垂直な平面による）仕切り」により
二つの区画に分けられている。この仕切りは、自由に動くようになっている。単に位置が可変というだけでは無く、
二つの区画に分けられている水の「高さ」が同じになるように、自動的に動くようになっている。

この水槽に水を入れ、外に置いておいた。昨夜、雨が降っていたので、水槽に入っている水の量が増えているはずだが、
仕切りの位置は、どうなっているだろうか？　
（仕切りの右側に雨粒が入るか、左側に入るかは、各区画の面積に比例、つまり、各区画に入っている水の量に比例する）

答え　ほとんど動いていないはず。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 22:38:05.18

そう？
どっちかにビチャってよっちゃってそうだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 22:39:20.70

https://i.imgur.com/JwmkoBt.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 23:26:25.52

30°

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 00:18:11.16

>>253

じゃ、こんなのはどう？

交換してもらった名刺が１０００枚ある。五十音順に並べることにした。
１００枚ほど並べ終わった時、何を思ったか、自分の名刺も加えてみた。
上から３０％位の位置に挿入された。
さて、１０００枚全てを並べ終わったとき、自分の名刺は、どの辺りにあるか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 00:39:47.46

>>254
どうするのかね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 00:48:43.03

>>256
それならいけるのかな？
しかし本問は最初の発生した偏りが系に正帰還して偏りを拡大させていくモデルだからなぁ。
例えば今回は(a,b)の状態から始めてa+b-1回目の時点では
Aが起こる回数がa回以上の確率
=Bが起こる確率がb回以上の確率
=1/2
という事が成り立つようだけど、この状態は本当にずっとたもたれるのかな？
例えばna+nb-1回やったとき相変わらず
Aが起こる回数がna回以上の確率
=Bが起こる確率がnb回以上の確率
=1/2
という関係はたもたれ続けるのかな？
yesのような、noのような‥‥

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 01:06:52.23

今(a,b,n)=(2,1,2)でやってみたらわずかにaが4回以上起こる確率の方がbが2回以上起こる確率を上回ってる気がする。
手計算だから間違ってるかもだけど。
やっぱり偏りは拡大していく気もする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 04:08:56.09

正弦定理から
sine(?) = sine(36°)/sine(72°)*sine(84°- ?)
これをコンピュータで解いて?=30

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 04:35:00.38

>>260
角度を計算するRのスクリプト
foo <- function(x=36,y=24){
sine <- function(x) sin(x/180*pi)
f <- function(z) sine(z) - sine(x)/sine((180-x)/2)* sine(180-y-(180-x)/2-z)
round(uniroot(f,c(0,180))$root,3)
}

> foo(36,24)
[1] 30

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 07:56:21.74

>>254
複素平面で考えた方が楽かな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 13:18:10.46

複素数平面でもベクトルでも三角比でも初等幾何で解く事にこだわらなければ似たり寄ったり。
でも初等幾何のテクニック勉強するのってどっかで見切りつけないとキリないんだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 03:32:40.72

https://i.imgur.com/5h7NnER.jpg

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 04:12:27.40

前>>245記憶にございません。俺の脳が勝手に携帯のボタンを押したんだ。意味わかんない。メネラウスとかのほうがいい。
￣￣]/＼______∩∩_
____/＼/ ,,､､(___))|
￣￣＼/ 彡-_-ﾐっ / |
￣￣|＼＿U,~⌒ヽ､| |
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__________________∥//
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イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 04:44:49.28

前>>265
>>254ありきたりな正弦定理はおもしろくないんでこのスレじゃNG。
いよいよメネラウスやっとくれ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 05:01:41.28

前>>266
84-？=24+？
2？=84-24
？=60/2=30
疑う余地はない。
その前の二等辺三角形をメネラウスでお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 08:39:20.04

>>266
俺はありきたりな偏角とプログラムを使うとこういうのが図示計算できて楽しめた。

https://i.imgur.com/RMvD2IF.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 08:44:27.76

>>263
パターンは絞れるんじゃない？
正三角形を作るとか

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 08:56:38.74

>>264
0.851606

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 09:04:29.72

>>269
それが数学を勉強していくのに不可避ならやるんだけど、少なくともこの手の問題は解答するためのアルゴリズムも見つかってるので数学の研究のメインに上がってる事もないし。
ソロバンみたいなもの。
勉強して無駄とは言わないが、あまり不必要に難しすぎるやつやってもしょうがない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 10:46:59.12

>>264
ω=exp(2π/3i)、log(x)を0以下の実数を除くところで定義するとして
Σω^n/n=-1/ωlog(1-ω)‥‥①
Σω^(2n)/n=-1/ω^2lig(1-ω^2)‥‥②
(ω①-②)÷(1-ω)=答え

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 12:59:15.34

前>>267
>>254題意の図を内角が左上A72°左下B96°右下C78°右上D84°となるよう4頂点を決め、ABの中点をE、ADの延長線とBCの延長線の交点をF、ACとBDの交点をGとし、BAの延長線とCDの延長線の交点をH、AE=BE=1、BG=xとすると、
ADは一辺ABの正五角形の対角線だから1+√5
AD=BD=BC=1+√5
Aを起点にメネラウスの定理より、(AG/GC)(CB/BF)(DDA)=1――①
Bを起点にメネラウスの定理より、(BG/GD)(DA/AF)(FD/DB)=1――②
F(12°)を起点にメネラウスの定理より、――③
H(6°)を起点にメネラウスの定理より、――④
①②③④より、x=2
△ABGはAB=GBの二等辺三角形で∠BAG=∠BGA
84°-？=？+24°
2？=84°-24°=60°
∴？=30°
②と③が同じになったから④が必要で、これでできるだろう。正弦定理でもいいよ。x=2が言えれば。けどチェバとメネラウスだけで解けたらおもしろい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/28(土) 13:46:27.37

前>>273
AB=GBさえわかれば答えは出る。メネラウスと考えるのが自然。AE=BE=1として、AD=BD=BC=1+√5
実際に比がわからなくても△ABGは二等辺三角形になるしかない。時間なければx=2しかない。チェバとメネラウスで二等辺三角形でいい。
∠BAG=∠BGA
84°-？=24°+？
2？=84°-24°
？=30°あってる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/31(火) 05:45:20.19

前>>274わかったからこっちにも書く。
>>254別解。
折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となる。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 07:46:34.16

東京で高さ10mの垂直な梯子に上ると、地上にいる人より何秒早く初日の出を見ることができるか。
【条件】
地球を半径6400kmの完全な球体とする。
ビルなどの建物はない。
東京を北緯35度とする。
自転軸は23.4度傾いている。
公転による影響は無視する。
観測者の身長は無視する。
１日を23時間56分4秒とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 11:39:22.11

>>276
地球半径をRとすると、高さhのところから地平線を見下ろす
角度θは、地心と観測者と地平線を結ぶ直角三角形を作れば
tanθ＝√(2hR-h^2)/R　
h/R<<1, θ<<1で近似すれば
θ≒√(2h/R)
ラジアンを秒角に直せば、
θ（秒角）≒2.06×10^5√ (2h/R)
h=10m,R=6.4×10^6mを代入して計算すると
θ≒364秒角
（ちなみに、地平線までの距離が√(2hR)≒3600√h メートル
　ってのは、豆知識）
あとは、しちめんどくさいので、だいたいで。
太陽の赤緯は無視して、緯度φでの、相当する日周運動の
回転角だけ求めると、
θ/cosφ ≒387秒角
地球の自転の角速度は360度/日=15度/時=15秒角/秒
で近似できるので、
387/15≒26秒だけ早く初日の出を拝める。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 11:41:59.06

>>277
あ、間違えた。φに23.4度を入れちゃってたわ。 35度で計算
しなおすと、
θ/cosφ≒444秒角なので、
444/15=30秒だけ早く初日の出を拝める。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/31(火) 14:41:15.29

前>>275
30秒で10mは登れると思うけど、木登りするよりは地上で30秒待って拝むかな。

狼男が何人いるかが気になる。だれか明確な答えを出してほしい。スレは20ぐらいで埋もれてる。

三日目終わって村人全員死んだらしい。毎夜12時に集まって狼男をつきとめようとしたみたいなんやが衆人監視のもとやと襲いよらへんらしい。
でも変身したらわかるはずやし、俺は村人の4人に1人が狼男や思うんやが、正解はなんなのか、だれかが出した3人という答えはなんなのか、解答する村人が俺以外死んだのかおらんなってしもて、今なぞのまま年が暮れようとしとります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 15:42:46.50

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