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代数幾何を勉強するためのスレッド

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0001１３２人目の素数さん
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2019/09/24(火) 09:21:18.89ID:HcRi2Coy
ゆっくり代数幾何を勉強するためのスレッド。
初めてスレッドを立てるので、至らない点あれば教えていただけると幸いです。
HartshorneとLei Fuの本を併用して読んでいます。みんなで疑問点を潰し合う、私の備忘録にする、そういう風に使おうと思います。
0101１３２人目の素数さん
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2019/10/25(金) 12:10:30.08ID:eO3vScX4
Lei FuのEtale Cohomology Theoryをかなりいい加減に読んでる
とりあえず、結構理解できたという実感があるので、DeligneのWeil Conjectureを読もうと思う
0102１３２人目の素数さん
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2019/10/25(金) 17:36:40.90ID:kRr2Rnnc
代数幾何学おぼえること多すぎ！

・超越拡大体
・可換代数
　・Noether環
　・局所化、Hom、テンソル
　・準素分解
　・整拡大、離散付値環
　・次数付き環、Hilbert多項式
　・完備化
　・Krull次元
　・Cohen-Macaulay環、Gorenstein環
・ホモロジー代数
　・導来関手
　・スペクトル系列
・スキーム論
　・加群の層、とくに連接層
　・固有射、射影射
　・Weil因子、Cartier因子、線形系
　・各種relativeな構成たち
・層係数コホモロジー
・複素多様体論
　・多変数函数論
　・ベクトル束
　・Kähler多様体
0103１３２人目の素数さん
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2019/10/25(金) 18:24:11.31ID:HePMVfIn
ハーツホーンはあかんよな
宮西が良い
0104１３２人目の素数さん
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2019/10/26(土) 16:35:37.74ID:wI/eySb4
グロタンディーク宇宙について分かりやすい新しい目の文献ありませんか
0105１３２人目の素数さん
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2019/10/26(土) 16:43:46.92ID:wI/eySb4
>>102
一通り理解してあとは必要に応じて使っていたら空気になる
「覚える」というのとはちょっと違うと思う
0106１３２人目の素数さん
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2019/10/26(土) 17:27:31.79ID:5nDljMJC
イタリア学派とか、こんな道具立てがなくても具体的なことやってたはずなんだよな
道具の勉強だけで1年以上かけるのはもったいないよね
0107１３２人目の素数さん
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2019/10/26(土) 17:34:48.63ID:rxxkfxlH
代数幾何を勉強するためのスレッドで代数幾何の必須知識を勉強するのはもったいないとは
0108１３２人目の素数さん
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2019/10/26(土) 23:48:00.35ID:T5PwOwKT
モチビィックガロア群と多重ゼータで数論幾何を超えた数学を作る、みたいな話は夢があるよね。古庄さん達がやってるみたい。さっぱり分からないから言葉尻の印象だけど…
0109１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 00:29:05.25ID:i1qRTTXz
こんなもん研究するには、SGA4とかDeligneのWeil Conjectureなんか、学部3年くらいまでに理解してなきゃ無理だと思えてくる
0110１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 00:42:58.48ID:t24ijRkp
>>108
絶対数学とはまた違うのか？
0111１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 00:57:19.19ID:1dtmlwiq
そういう抽象的なのは専門家にまかせて、
俺、楕円曲線とか保型形式とかもっと具体的なことやるよ
0112１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 04:15:34.63ID:OeogbY1H
>>106
そうそう
不勉強の言い訳にするのは論外だけどそこが本質だと思うよ

このスレの何人が多少は画期的な論文を書けるものやら
>>102とか道具に圧倒されて終わる典型で某教授が代数幾何は墓場と言ってたのを思い出す
数学人生が前提なら個人的には複素代数幾何（や複素幾何）の方がずっと実り多いと思うね
0113１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 12:46:55.09ID:K809CdWx
>>112
いや、スキーム論自体が数論的動機で生まれたのだから、
代数多様体自体を扱う【だけ】ならスキーム論なしでもあまり問題ないってだけ。
でも数論を代数幾何的に扱う時にはグロタンディーク数学が必要になる。
0114１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 13:00:47.63ID:K809CdWx
>>109
>こんなもん研究するには、SGA4とかDeligneのWeil Conjectureなんか、
>学部3年くらいまでに理解してなきゃ無理だと思えてくる

日本のように「少ないアカポス枠を無理やりゲットするため」には或いはそうかも知れないが、
研究自体には多分そんな事はないだろうし、
そもそも勉強と研究の境目を気にしてるようじゃダメだ
一生を準備だけで終わっても幸福と思えるくらいの人なら、なんとかなると思う

工学部なら学部生でも新しい結果を出したりするけど、
そういう他人からの評価を気にしないこと
勉強をしていて、「もう教科書にはあまり面白いレールがないな」と思ったら、
その時が自然に研究modeになる合図。
ずっと面白いレールがあり続けるのもそれはそれでいいかも知れない・・・。
0116１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 14:00:26.75ID:FexVUaDH
>>113
川又本に代数多様体の性質を調べるのにスキームの圏まで広げて初めて得られる結果があった気がする
0117１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 14:18:20.62ID:rfFLZVll
そりゃ一世代前の代数幾何を一生懸命習った人には苦かもしれないが、スキーム自体は別に難しいわけでも、著しく直感に反するわけでもないと思う
0118１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 15:03:05.26ID:t6dYTPS1
現在「日本国内の代数幾何の研究者」と言われている人を見ていると
必ずしも3〜4年生の時にハーツホーン読みましたという人だけではなく
いろんなバックグラウンド持ってる人が少なからずいる

よい研究テーマに出会うことと後から勉強する必要ができてた時に
自力で習得できる力があることが大切
0119１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 17:23:37.33ID:Nvwx0H2g
これは、別にスキームを勉強したくないから言ってるわけじゃなくて、俺自身もうまく答えられないから、聞きたいんだけど
スキームが決定的に必要になる状況、あるいはあった方が圧倒的に見通しが良い状況ってどんなのなの？
つまり、古典的な代数的集合と座標環、あるいは複素多様体や複素解析空間では扱えないとか、すごく複雑になってしまうもの
0120１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 17:43:21.31ID:TTd9uH3r
>>119
base changeとかするときは決定的に必要だろな。
R上の問題をQとか代数体上の話に還元したり、有限体上の話に持って行ったりとか。
その手の作業してる時に座標環が既約でなくなったり被約でなくなったりするともは通常の幾何学的な理解は完全に不可能になる。
0121１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 17:45:51.13ID:+isD06AK
ハーツホーンは絶対に良くないよな
0122１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 17:46:42.87ID:t6dYTPS1
>>119
複素代数幾何に限っても
・特異点解消
・Geometric Invariant Theory
どちらも初期にスキームの優秀さが発揮された例
0123１３２人目の素数さん
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2019/10/27(日) 18:28:27.10ID:JK4GbdsB
ブローアップなんてrelative Proj使えば一行で定義できちゃう
0125１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 10:45:23.49ID:lpdJB0KS
たとえば将棋が好きな奴が覚えることが多いのを苦にしないだろうし、代数幾何やってりゃ誰でも標準的に学ぶことを学ぶのが苦に感じるなら、あまり向いてないんじゃなかろうか
あまり基礎を疎かにするのもまずいが、Hartshorneの2章をしっかり理解してりゃ、必要な知識は調べつつ論文読めるだろうし、そうすりゃいいと思う
覚えることが多いと言っても、ほとんどは、具体的な例で考えれば直感的に分かることを厳密に定式化するための概念なわけなので、やっぱり、重要な具体例を抑えることが王道だと思う
0126１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 16:45:18.57ID:4DR7e9pL
> ほとんどは、具体的な例で考えれば直感的に分かることを厳密に定式化するための概念
ほんとその通り
0127１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 17:00:21.37ID:cIc7Lfyl
整数のスキーム
とか具体例の一番最初によく出てくるけど、直感で整数が正則関数だと分かったことはないのだが……
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/30(水) 18:23:14.99ID:4DR7e9pL
そうですか
0129１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 18:35:51.68ID:Ar5s9qO9
ポエムを投下すると盛り上がるのは低レベルだからやめなさい
0131１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 20:17:26.30ID:+UTl49wZ
>>130
Liuとか
0132１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 21:09:15.13ID:eM0JQigw
けっきょく物理屋さんに日本タイプの駄目純粋数学信仰が駆逐されるだけのような気がする。
将来的に。
0134１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 21:49:45.74ID:eM0JQigw
>>133
バカっぽい実験物理学純血主義もご一緒にジェノサイドされてそうだよね。
その頃には。
0136１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 22:58:57.32ID:eM0JQigw
ウィッカーマンの中にでも実際に詰め込まれたのかな？。
それとも麦わらストローで甘い汁チューチューしてるのバレたくないのかな？。
0140１３２人目の素数さん
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2019/10/30(水) 23:58:12.18ID:eM0JQigw
どんと焼きで寄生虫が断末魔あげてるようなのは松くい虫の鳴き声とは言い難いな。
0144１３２人目の素数さん
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2019/10/31(木) 15:12:51.33ID:8QFewoE1
今日の午前は、Fuの本でスペクトル系列を勉強した

この本では、一般的にAbel圏の関手F: C→C', G: C'→C''の導来関手に対して論じているが、
まあ、要は、f: X→Yと、Xの層Fに対して、順像関手f*: Sh(X)→Sh(Y)と、大域切断関手Γ(Y, ・): Sh(Y)→Γ(Y, O_Y)-Modを考えて、

E^{p,q}_{2} = H^p(Y, R^qf*)
⇒ H^(p+q)(X, F)

が得られるわけだ

証明をぜんぶ読むのはかったるいので、午後は具体例計算する
0145１３２人目の素数さん
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2019/10/31(木) 15:32:48.92ID:1O9Mu+G9
これ、Hartshorneの副読本としてはいいと思うけど、つまらんやろ……
0146１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/31(木) 17:43:16.77ID:QcGp9Hzq
ネットに落ちてたAbel-Jacobiの定理の証明を読んだ
データ関数ってすごい
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/31(木) 17:43:41.30ID:QcGp9Hzq
✕　データ関数
○　テータ関数
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/31(木) 18:01:06.20ID:QcGp9Hzq
あと、Diamond-Shurmanは面白いよ
おすすめ
0150１３２人目の素数さん
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2019/10/31(木) 19:44:08.58ID:K3HXTtjc
おまえらハーツホーン読んでるの？
バカじゃね？
0152１３２人目の素数さん
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2019/11/01(金) 11:08:14.30ID:LB3iFw5m
スペクトル系列の計算
Cech-DeRham複体と格闘してた
良い計算練習になった
ついでに、Poincareの補題とか、1の分割みたいな、可微分多様体の基礎も復習した

層の完全性の定義と、Poincareの補題から

0→R→Ω^1→Ω^2→……

が完全であることが従い、パラコンパクトな可微分多様体上のC^∞級関数が1の分割をもつことから、Ω^iがΓ(X, *)に関してacyclicであることが従う
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 12:07:01.91ID:LB3iFw5m
0→R→Ω^0→Ω^1→...

です
0155１３２人目の素数さん
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2019/11/01(金) 12:09:47.48ID:LB3iFw5m
大域切断関手に関する右導来関手の1次以上は消えること……あってるよね？
0156１３２人目の素数さん
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2019/11/01(金) 12:18:13.29ID:8f9N5Nuq
あれ？大域切断取る関手の導来関手がH^i(-)でコレがvanishするのは条件いるのでは？
0157１３２人目の素数さん
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2019/11/01(金) 12:25:53.01ID:Se9trAs/
もしかして
X^*のinjective resolutionが
0→X→I^0→I^1→‥
のときXを切り落とした
0→I^0→I^1→‥
が0番目を除いてacyclicになる話と混同してるんじゃないの？
コレが0番以外のとこexactとしてもΓ(x,-)は一般には完全関手じゃないからコレをI^*にヒットすると0番以外のとこに非自明なサイクル出てくるよ？
それを取り出したものが導来関手なんだから。
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 12:52:30.36ID:LB3iFw5m
ご指摘ありがとう
解決できそうな文献をみつけたので、ちょっと整理してまた来ます
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 18:26:06.98ID:LB3iFw5m
Ω^iは、acyclic

証明:
0→Ω^i→I^0→I^1→…をΩ^iの入射分解
F^i := Γ(X, I^i)とおく。
0→F^0 -d-> F^1 -d-> ……に対して、

H^i(X, Ω^i) = Ker(d: F^i→F^(i+1))/Im(d: F^(i-1)→F^i)

i≧1に対して、任意のs∈Ker(d: F^i→F^(i+1))は、あるs'∈F^(i-1)が存在して、s = ds'となっていることを示す。

Xの開被覆U={U_j}を、

1. Γ(U_j, I^(i-1))→Γ(U_j, I^i)→Γ(U_j, I^(i+1))が完全
2. 任意のx∈Xに対して、ある開近傍x∈V(x)があって、U_j∩V(x)≠∅となるjは有限個

となるようにとる。
(1)は、I^(i-1)→I^i→I^(i+1)の完全性から取れる
(2)は、Xがパラコンパクトなら取れる

(1)より、各U_j上では、ds'_j = s|U_jとなるs'_j∈Γ(U_j, I^(j-1))が取れる。
{u_j}を、supp(u_j)⊂U_jとなる1の分割とし、s'∈F^(i-1)を、

s' := Σ (u_j s'_j)

とおけば、ds' = s。□

適切な仮定のもとで正しいと思うけど、ホモロジー代数をちゃんと勉強してないので（まあ、代数幾何学もちゃんと勉強してないけど）、都合のいい仮定を暗に設けているかも知れない
自分でも、何が理解できてないかは知りたいので、ご指摘よろしくおねがいします
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 20:36:54.38ID:JRxEVyKT
Ω^iはacyclicなのはそうだけどそこにΓ(X,-)をヒットさせてΓ(X,Ω^i)にするとacyclic性が消えてしまう。
Ω^iをOx-加群の列と考えたとき

Ω^iがacyclic Ox-moduleの列
⇔全てのx∈Xに対してΩ^i_xがacyclic

が成立してる、すなわち層がexactかどうかは各店のストークがexactかどうかで決まるのでlocalな問題になってしまう。
が、大域切断をとったchainがexactには一般には成立しない。
例えばX=S^1であるとき
Ω^1は各点の近傍でdθで張られる局所自明層。
Ω^2=0だから全部cycleだけど全ての点の近傍で原始関数を持つ、すなわちOx加群の層のchainとしてはacyclic。
しかしその大域切断はやはりΓ(X,Ω^1)=<dθ>だけどS^1全体で定義された関数Fを用いてdF=dθとなるものはとれない。
つまりdθはexact cycleでないcycle。
よってH^1(X,Ω^*)≠0。

ところで以上の話はΩ^*自体をOx加群の鎖と見たときの話でいわゆるドラームの定理の話。
ところがもう一つΩそれ単独をOx加群と見たときExt^1(Ox,Ω)が死ぬときがあってそれはなんかの条件下で成り立つ。
その時はいわゆるΩ^1から作られるKoszul complexをinjective resolution のかわりにとってcohomologyを計算できる。
もう少し一般化して

Thm

Aがenough injectiveなabelian cat.,X,Yがobjectで
0→Y→J^0→J^1→‥‥がacyclic、Ext(X,J^i)=0 のときExt^*(X,Y)はH^*(A(X,J^*))に一致する。

というのがある。
もちろんJ^*がinjectiveのときは前提条件は満たされて主張は自明だけど、必ずしもinjectiveでなくともXに対してだけExtが死んでれば良いというお話。
このお話は何に使うかというと、一般にはinjectiveな層は超巨大な層になって具体的に計算するのはほとんど無理でなんとかならんかというときに、injective sheafではなく、
考えてる表現関手に対してだけExtが死んでればいいだけならもっと小さいのが採れる場合があり、今の場合ならΩがそれに当たる。
因みにその場合にはΩはOxに対してrelative injectiveであるという表現の方が普通のハズ。
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 21:19:14.89ID:aORL5FfL
Γ(X, Ω^*)からなる複体のコホモロジーが消える、という主張はしていないと思ふ……
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 21:24:10.47ID:jXouvI9y
いや、Ω^*がΓ(X,-)に対してacyclicという言い方をされるとおそらくそうとる人が多いと思うんだけど。
その言い方は何かに載ってたの？
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 21:44:09.07ID:aORL5FfL
Abel圏Cは十分多く入射的対象をもつとして、Cの対象Aが左完全な共変関手Fに関してacyclic
:⇔ R^i F(A) = 0 for all i ≧1

じゃないの？
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 21:52:51.43ID:jXouvI9y
まず普通対象単独をacyclicと呼ぶことはほとんどない。
cycleは境界がないくるっと回ってる輪っかのイメージ。
acyclicはcycleがないという言葉。(a はないを表す接頭語)
つまりacyclicというのはそもそもなんかの境界作用素の定義されたものに対して呼ぶ呼び名。
なので
Ω^*がΓ(X,-)に対してacyclic
といってしまうとkoszul cpx Ω^*にΓ(X,-)をヒットしてできるchainであるΓ(X,Ω^*)、すなわちドラーム複体がacyclic問いう意味にしかとれないと思う。
任意のiに対してΩ^iがExt^k(Ox,Ω^i)=0 k>0 という事を表現する時にそのような言い方は普通しないと思う。
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/01(金) 22:17:06.43ID:SRODXRdJ
そうですか
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/05(火) 10:20:44.51ID:OqRMAmhC
複素数体上以外の代数曲線のJacobian vatietyは、どのように構成するのでしょうか
複素数体の場合は、複素トーラスになるので、abel多様体になることが分かりますが
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/05(火) 19:10:37.43ID:mH5i/uFq
非特異代数曲線に対して、次数0の因子の同型類として定義される
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/06(水) 10:46:39.74ID:jacuuChk
そいつにどのようにスキームの構造が入るの
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/12(火) 00:16:46.31ID:/aeHGNMf
代数幾何って物理では注目されていたけど
代数幾何で電子のスピンを表現してみても
なんかいまいちって感じでとてもじゃないけどスピンを完全に表現してるとは言い難い出来栄え
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/13(水) 09:52:17.59ID:ijLD09d+
代数幾何学の物理への応用なんて、（日本の）数学者は大して重要と思ってないだろう
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/23(土) 02:57:43.09ID:gggDjlmj
なんで、代数的サイクルとエタールコホモロジー、はこのスレで話題にならないの？
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/24(日) 04:20:53.28ID:y1VnSm0s
>>175
全くもってそのとおりだと思う
参考書並べて満足してる奴ばっか
0177１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/11/24(日) 04:54:32.06ID:qvRhGo3d
>>176
アレは読める必要ないし
アレが読める人はアレを読む必要ない
素直にSGA4読むべき
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/10(火) 13:52:15.47ID:5qjqbkqh
小木曽啓示『代数曲線論』すら読めない
0180１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/10(火) 15:33:09.63ID:ot4vOSEi
そのくらいは頑張って読もう
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/10(火) 21:19:25.99ID:ot4vOSEi
そもそも人類が代数幾何を大して理解していない
恥じることはない
一歩一歩、着実に学べばよい
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/13(金) 06:20:20.96ID:/VOaFgO0
代数幾何学の対象は、有限の次数の多項式のみですかね。
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/13(金) 06:23:06.41ID:/VOaFgO0
神戸大数学科のＯＢという人が学部での授業で、代数幾何位相幾何などは、最優秀の学生デモよく理解できないとかだったが
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/13(金) 12:37:19.22ID:RceBAvWf
代数幾何は客観的に見てそりゃ難しいんだけど、そうは言っても、こう言ってる人って、「学校の勉強」の感覚が抜けてないんだと思うよ
「勉強ってのは、教科書があって、そこに書いてること覚えればいい」って意識のまま数学科入っちゃった人

数学が得意な人は、自分の関心のあること考えてたら自然と意味のある概念に行きついていた、という経験があるものだよ
微分積分をちゃんとやってたら、多様体や微分形式の概念は、学ばなくても既に知っていたというような

数学的に意味のある対象を考察することが数学なのだから、具体例は何かとか、同値な言い換えをするとどうなるのかとか、そういうこと考えてたら、自然とそうなるはずなんだよ
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/15(日) 10:00:48.98ID:FIdNSbjH
勉強の方法も理解の仕方も人それぞれなのだから、本人がそれでいいならそれでいいよ
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/15(日) 22:12:41.08ID:37jSvqgW
曲線と曲面・因子やベクトル束を複素数体上でわかっていたら
スキーム知らんでも研究はなんとかなる
その辺でずっと食ってる人も多い

小木曽の曲線とか今野の曲線束とか金銅のK3あたりが読めないレベルなら知らんが
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/26(木) 23:47:26.45ID:BVNge77m
ま、数学を理解する基本は具体例と証明だわな
でも、形式的に具体例考えても、あまり意味のないものはたくさんある（連続だがすべての点で微分不可能な関数とか）ので、
ある程度鈍感になって、さっさと応用を学ぶのも重要
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/27(金) 00:57:33.51ID:+8sB31HP
＞あまり意味のないものはたくさんある（連続だがすべての点で微分不可能な関数とか）

フラクタルとか知らん阿呆の妄言
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/27(金) 01:42:25.59ID:/6bi2RIB
別に自分が興味を持って調べる分にはいいけど、教える立場になったときに価値観を押し付けないようにね
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/27(金) 08:55:55.65ID:fne/58j3
図で理解したいのですが、オススメのサイトがあったら教えて下さい。
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/27(金) 19:10:31.21ID:FdWUIjqi
多変数複素函数論が面白そう
カルタン偉大
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/29(日) 07:11:24.32ID:if4EQKfu
>>192
確率解析なんかはそういう関数を研究対象にしてるんだが
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