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分からない問題はここに書いてね456

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0262１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 07:44:17.92ID:0OnE95S2
>>261
死ね
0263１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 07:46:05.25ID:eBResV1E
nを5以上の奇数とする。
n次正行列のうち、そのn個の成分のうち少なくとも1つが虚数のうち、残る全てが0である実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。

（1）Sの要素から、n個の成分のうち唯一つが虚数であるものの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Aが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。

（2）（1）において、n個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
0264１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 08:07:40.92ID:IvEisnR0
60%の確率で勝てるゲームがあるとする。
負けると賭け金没収、勝つと賭け金は倍になって戻ってくる。
所持金1万円、1000円単位で一度にいくら賭けてもいい。
所持金が0になったら終わり、0になるまで何回でもゲームはできる。

最も効率よくお金を増やす戦略は？
0266BLACKX ◆SvoRwjQrNc
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2019/09/19(木) 08:29:37.33ID:MvMcPhmF
条件分岐しないから全部出そうがどうやろうが一緒なんだが。
一度に全て無くなるのをリスクと捉えるなら最小単位でやって時間稼ぐだけだし効率ってなんぞや。
0270１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 16:02:03.67ID:EJ6IY0Tj
>>264
効率が良い、とは目標金額に届くまでの手数が最も少なくなりそうな賭け方のこと？だとしたらリスクガン無視で全ツッパだけど
現実的には手数が多くなることを減点要素としないから、なるべく小さく張っていけば良いと思う
所持金がゼロになることの「罰」はどれくらいなのか、だよね
0272１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 16:10:21.09ID:M2LtLpwK
>>270
死.ね
0273１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 17:59:53.15ID:5qVjcEsE
等面四面体Sの各側面は、3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tである。
0<a≤b≤c<a+bかつa+b+c=1の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積を最大にするa,b,cを求めよ。
0274１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 18:47:38.47ID:NeKSPwPD
nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。

（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。

（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。

ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
0278１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 23:48:10.98ID:5qVjcEsE
以下を示せ。

・a[n] = √(3n^2 + 1) が整数となる自然数nは有限個しか存在しない。

・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(k,m)が存在して、|a[k] - m| < εとなるようにできる。
0282１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 01:58:31.24ID:ce/riRSP
mm - 3nn = 1　(いわゆるペル方程式)の自然数解(m,n)は無数にある。　>>279
(m,n) = (1,0)　(2,1)　(7,4)　(26,15)　(97,56)　････
・混合漸化式
　m_(i+1) = 2m_i + 3n_i,　　　n_(i+1) = m_i + 2n_i,
・漸化式
　m_(i+1) = 4m_i - m_(i-1),　　n_(i+1) = 4n_i - n_(i-1),
・特性値
　α = 2-√3,　β = 2+√3,
・ビネの公式
　m_i = (β^i ＋ α^i)/2,　　n_i = (β^i - α^i)/(2√3),

m_i　　http://oeis.org/A001075
n_i　　http://oeis.org/A001353
0283１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 05:41:41.87ID:ce/riRSP
mm - 3nn = 1,　a[n] > (√3)n より
　|a[n] - m| = 1/(a[n] + m) < 1/(2a[n]) < 1/{2(√3)n} < ε,
0284１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 06:35:06.74ID:MQqpBlsb
一筆書きで書く☆マークに2本の線を引いてできる三角形の数って最大何個ですか？
0285イナ ◆/7jUdUKiSM
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2019/09/20(金) 07:53:00.47ID:WUyp0FDI
前>>228
>>284星の外側に星の谷間を1角とした三角形が、1本の線で少なくとも5つ、二本なら10(とお)描くことができる。
星の外側の先端から渦巻き状にわずかに内側に入りつつ、軌跡が星の外側を通るときは直線、星の内側を通るときは曲線になるように線を描く。
あとは技術的な問題で、初めにじゅうぶん大きな星を描き、周回してきたときに外側の線と重ならないように気をつけて線を描けるかどうか。
理論上、無限個の三角形が描ける。
0286１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 09:15:39.48ID:GeCIDQ3l
すいません
「f(x)を三次式とする
f(f(x))=g(x)とする時
g(x)-xはf(x)-xで割れることを示せ」
という問題の解説がわかりません

剰余の定理について重解の時は情報が足りないので微分して示す、と聞いたのですが
なぜ重解のケースも一緒に処理できるのでしょうか？

https://i.imgur.com/U6ERRBn.jpg
0287１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 09:18:14.03ID:GeCIDQ3l
例えば重解がひとつあるとして、f(x)-x=(x-α)(x-α)(x-β)とおくと

g(α)=α g(β)=β　しか分からないので因数定理からいえるのはg(x)-xが(x-α)(x-β)で割れることだけではないかと思ったのですが
なぜg(x)-xが(x-α)^2で割れることも言えるのでしょうか
0289１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 09:30:21.11ID:RxPcyAIx
>>287
その解答はダメなんじゃないかな？
一応重解を持たない多項式の列fiでlim fi(x)→f(x)となるものを用意してgi(x)=fi(fi(x))とおけば、lim gi(x)-x = g(x)-x、全てのiでgi(x)-xがfi(x)-xで割り切れる事から行けるといえばいける。
でも今の議論を省略するのはダメだろし。
0290１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 09:50:58.60ID:GeCIDQ3l
>>289
ありがとうございます。
なるほどそれなら言えそうですね

これ一応河合塾が出してる「ハイレベル理系数学」という有名な参考書なので
何か説明しなくてもよい根拠があるのだろうという気がしてるのですが
わかる方いたらお願いします。
0291１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:18:59.86ID:lq2/XEro
f(x) を任意の n 次多項式とする。

h(x) := f(x) - x

とおく。


f(f(x)) - x = h(h(x) + x) + h(x) + x - x = h(h(x) + x) + h(x)

(f(f(x)) - x) / (f(x) - x) = (h(h(x) + x) + h(x)) / h(x)

である。

h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)

は、

とかける。

よって、

f(f(x)) - x は f(x) - x で割り切れる。
0292１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:22:09.40ID:lq2/XEro
>>291

なぜ、このような解答にしないのでしょうか？

因数定理など使う必要もありません。

簡単で分かりやすいですよね。
0293１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:28:45.12ID:lq2/XEro
>>290

もちろん、ダメです。

g(x) = x^2 - 3*x + 2 = (x - 1) * (x - 2)

f(x) = x^2 - 2*x + 1 = (x - 1)^2

f(1) = 0 ですが、 g(x) は (x - 1)^2 で割れません。
0294１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:33:55.79ID:lq2/XEro
>>290

つまり一般には通用しない論法を使っています。

しかし、これはひどいですね。

というか、このような間違った論法を使う高校生は結構いそうですよね。

一応、数学の講師ならば、そういう高校生をいままで見てきたはずです。

講師ならば、そのような高校生の誤りを正すという立場のはずです。

恥さらしですね。
0295１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:39:39.19ID:B82PTcnL
> h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
>
> は、
>
> とかける。
これ何？因数定理使っているんじゃないの？
改行が邪魔、見にくい
0296１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:41:53.60ID:TEfYizk8
どこに因数定理を使ってるんでしょうか？
0297１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:42:52.46ID:lq2/XEro
h(x) = a_n * x^n + … + a_1 * x + a0

h(h(x) + x)

=

a_n * (h(x) + x)^n + … + a_1 * (h(x) + x) + a0

=

(h(x) の 1 次以上の多項式) + a_n * x^n + … + a_1 * x + a0

=

(h(x) の 1 次以上の多項式) + h(x)
0298１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:45:23.00ID:lq2/XEro
予備校の講師の説明のほうが数学者の説明よりも分かりやすいと感じる人がいるというのが理解できません。

長岡さんとかなぜ人気があるのでしょうか？
0301１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 11:58:47.33ID:oMy5xGG7
このスレッドは知的障害者が私物化したスレです
このスレで質問するより知恵袋を使った方がマシなので知恵袋を使いましょう
0303１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 12:20:23.34ID:GeCIDQ3l
xの3次式fに対してf=0が3つの異なる解x=αβγをもつと仮定した場合、
因数定理から、より高次の多項式gがfで割り切れることが言える場合、

fが重複度1の重解αを持つ場合も、gは(x-α)^2で割り切れる、が一般に言えるのでしょうか？

それはなぜでしょうか？
極限を使う説明はなんとなく理解できますが高校範囲でいうとしたらどうなりますでしょうか
0304１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 12:34:46.62ID:0NR+8gV0
g(x)がf(x)で割り切れてf(x)が(x-α)^2で割り切れるならg(x)が(x-α)^2で割り切れるのは当然のように思えるが問題違ってきてないか？
0305１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 12:44:31.85ID:GeCIDQ3l
>>304
言いたいことはこうです。

三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と割れたとします(Rは余りで2次式以下)

この時gがf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、

Rは0でgはfで割れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)

α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
0306１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 12:45:34.93ID:GeCIDQ3l
すいません、割り算の「割る」と「割り切れる」をきちんと区別しない日本語で書いてしまいました。
式でわかるとは思われますので意図をくんでください
0307１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 12:45:57.53ID:RxPcyAIx
コレは？

f(f(x)) - x
=f(f(x)) - f(x) + f(x) - x
=(f(x)-a)(f(x)-b)(f(x)-c) + (f(x)-x)

第２項がf(x)-xで割り切れるのは自明。
第1項のカッコ内がそれぞれx-a、x-b、x-cで割り切れるので桶
0308１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 12:51:08.39ID:GeCIDQ3l
>>307
ありがとうございます。
そういう別解は2つほど載っていて、理解できております。(因数定理で解いたあとうまく行かないなぁと思ってそれで解きました)
0309１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 12:54:47.42ID:GeCIDQ3l
>>305
すいません、書き方が悪かったので改めます

三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と書けたとします(Rは余りで2次式以下)

この時gの各項の係数がα,β,γの対称式で定まり、
gはf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、

Rは0でgはfで割り切れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)

α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
0310１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 13:07:08.59ID:D2oIiJm1
>>308
純粋に>>287の解答に一言二言追加するだけで重解の場合にも通用するようにできるか？ならやっぱり>>289くらいしか思いつかないなぁ。一抜け。
0311１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 13:18:25.48ID:KyAOfC1j
1830
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0312１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 13:20:40.43ID:oMy5xGG7
このスレの質問及び回答は全て知的障害者が行います
健常者の方は知恵袋を使いましょう
0315１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 13:28:25.90ID:GeCIDQ3l
>>313
私はいつも出題してる人ではないのですが…
普通に勉強しててわからなかったので聞いています
0317１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 13:39:48.86ID:GeCIDQ3l
>>309
gをαβγxの式と見なしてαβxを固定してγを動かすとすると
gはx=γで0という条件から因数定理よりgは(γ-x)では割り切れますね

同様にgは(x-α)(x-β)(x-γ)で割れる
のはわかりました

ここから単純にγ=αとすれば良い？んですかね。なんかわかったような分からないような…

剰余定理で考えるのが悪かった感じでしょうか。
0319１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 14:11:36.53ID:2OMrgU4g
>>318
ん、gはαβγxの式でx=αβγに対してg=0が条件なので言えているのではないでしょうか？
0320１３２人目の素数さん
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2019/09/20(金) 14:18:25.93ID:1PFkqqEe
>>317
重解とはどのようなものだと定義するんですか？

上の方ではα=γのとき重解と呼ぶとあなたが言ったので、(x-α)^2で割れるのは明らかですよね

もし、α=γで重解を定義しないのであれば、あなたの疑問に意味が出るかもしれませんよね

重解とはなんでしょうか
0321１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 14:23:11.05ID:XpwunBub
g(x)＝f(f(x))という関係式は
関数の形によらず「fの任意の解」について証明に使われているような
関係式を導き出せるため実質的に重解の場合をフォロー出来ていてg(x)-xがf(x)-xで割り切れる事は慣れてれば分かるといえば分かる

ただし剰余の定理、としてはもちろん直接重解の場合には使えないので極限などでフォローする必要はある
0322１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 14:36:36.39ID:XpwunBub
近似でやるなら真面目にやるなら
F(x)＝f(x)-x＝(x-α)(x-α)(x-β)
とでもおいて
f(x)＝F(x)+xに注意して

F_n(x)＝(x-α-(β-α)/2n)(x-α)(x-β)
f_n(x)＝F_n(x)＋x
g_n(x)＝f_n(f_n(x) )
G_n(x)＝g_n(x)-x

とでも置けばF_n(x)は重解を持たないので
同じように
G_n(x)＝F_n(x) Q_n(x)

と表せる事がわかる
極限を飛ばすとある整式Qで
G(x)＝F(x)Q(x)


となる事がわかる
一応高校の範囲でできるとは思う
ただしチェックがすごく面倒
0323１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 14:40:21.63ID:GeCIDQ3l
>>320
すいませんが言わんとするところが理解できません。
疑問のもとは「参考書の>>286のロジックは正しいのか？」から来ています。
>>287で変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を>>317に書きました。

参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。

(おそらく)私は重解について異常な考えをもて遊んでいるわけではないと思います。
0324１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 14:42:15.46ID:GeCIDQ3l
>>320
すいません、>>323は書き損じました。変なとこに安価が入りました

「>>287で、変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を書きました」
「>>317に書いた考えで、参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。」

が正しいです
0325１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 15:03:20.89ID:ce/riRSP
演習問題に
　∫ 1/{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう積分を見たときに、それに応じてどういう置き換えを考えればいいか
を思いつかないといけないですよね。
0326１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 15:14:40.33ID:hsSbNxkM
>>323
f(x)-x=0の重解が g(x)-x=0の解であることは分かるが、g(x)-x=0の
重解でもあるとどうして言えるのかってことなのでは？
確かに自明とはいいがたいような、、、

ということで、
f(x)-x = 0 の重解をαとすると、f(x)-x=Q(x)(x-α)^2とおけるので、
f(x) =x+Q(x)(x-α)^2
よって、
g(x)=f(f(x))　
（ここで、一旦 f(x)をf で置き換えてからf(x)に戻すと簡単で）
=f(x)+Q(f(x))(f(x)-α)^2
=x+Q(x)(x-α)^2+Q(f(x))(f(x)-α)^2
よって、
g(x)-x= {Q(x)+Q(f(x)｝(x-α)^2
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
0327１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 15:22:34.28ID:hsSbNxkM
>>326
あ、すまん。f(x)-αをx-αと見間違えた。
忘れてくれｗ
0328１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 15:30:46.72ID:hsSbNxkM
>>326,327
あっ、簡単に修正できるわ。何度も自己レス、すまんｗ
最後の「よって」以降をこう書き換えてくれ。

ここで、
f(x)-α= Q(x)(x-α)^2+(x-α)=(x-α){Q(x)(x-α)+1}
より、
g(x)-x =(x-α)^2{Q(x)+Q(f(x))[Q(x)(x-α)+1]^2}
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
0329１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 15:40:29.88ID:hsSbNxkM
>>323
っちゅうことで、このやり方（>>326,328）で、f(x)が何次式であっても、
f(x)-x=0のN重解は、f(f(x))-x=0のN重解であることが一般に言えちゃうね。
もっとスマートな証明方法がありそうだけどｗ

思いついたまま書き込んだので、連投スマソｗ
0330１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 22:01:46.22ID:Q5KiSDj+
>>286
h(x,y)=f(y)-f(x)
h(x,x)=0
h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(f(x))-f(x)={f(x)-x}k(x,f(x))
g(x)-x=f(f(x))-x=f(f(x))-f(x)+f(x)-x={f(x)-x}{k(x,f(x))+1}
0331１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 22:21:36.08ID:Q5KiSDj+
>>330
>h(x,y)=f(y)-f(x)
>h(x,x)=0
>h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(x)=anx^n+…+a1x+a0
f(y)-f(x)=an(y^n-x^n)+…+a1(y-x)=(y-x)[an{y^(n-1)+…+x^(n-1)}+…+a1]
0332１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 22:26:40.24ID:lq2/XEro
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。

テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、

exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。

次に、

log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、

志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように

説明してます。

R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)

の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。

最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。

もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、

|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞

となってしまいます。

R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。

志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？
0333１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 23:51:47.29ID:hsSbNxkM
>>330,331
エレガントな解答だねぇ！
>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが、>>331で確かに
任意のyで f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y) が成立すると納得できるから、yを f(x)で
置き換えれば >>330の最終行にたどり着く。脱帽ですわ。
0334１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 00:54:31.79ID:IjxPpYcG
n=1,2,...に対し以下の性質を全て持つ数列{a[n]}は存在しないことを示せ。

・a[1]=2019

・a[i]が平方数にならないiはちょうど2019個存在する。

・a[n]は、ある自然数k,mを用いて、漸化式a[n+1]=k*a[n]+mにより定義される。
0335１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 08:13:18.61ID:dEbTGUzo
>>333
>>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが
y-x=1y-x
1: unit in R[x]
0336１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 08:28:14.11ID:qE49Gx3j
コーシー型の剰余項であれば直接いける
ラグランジュ剰余項では難しい
0337１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 09:14:50.60ID:hwVO0I+s
>>335
そうだね。xを任意の定数とみなして、h(y)=f(y)-f(x)
とおけば理解しやすいかも。
0338１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 10:35:15.60ID:BZPddrKH
多角形の内角の和の公式(n-2)πに対応するような多面体の公式ってあるのですか？
0341１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 15:31:08.42ID:Nou2F8U6
>>336
-1 < x < 0 < θ < 1 から
1+θx > 1-θ > 0　かつ　1+θx > 1+x > 0,
f(x) = log(1+x),
| f^(n)(θx) | = (n-1)! /(1+θx)^n < (n-1)! /[(1+x)(1-θ)^(n-1)],
∴　コーシー剰余は
| R_n | = {1/(n-1)!} |f^(n)(θx) (1-θ)^(n-1) x^n |
　　　< |x|^n /(1+x)　→　0　(n→∞)
でござったか。。。。
0342１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 18:35:15.29ID:IjxPpYcG
f(x)=sin(x)に対し、関数g(x)とh(x)を
g[1](x)=f(x), g[n+1](x)=f(g[n](x))
h[1](x)=f(x), h[n+1](x)=g[n](f(x))
と定める。
aを実数とするとき、以下の極限を求めよ。

lim[n to infty] g[n](a)/h[n](a)
0345１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 19:52:45.40ID:KmyPVGxc
この関数のxでの微分を教えていただけないでしょうか？

項が3つあって苦戦してます。できれば過程も書いていただけると助かります。

f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
0346１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 19:57:34.63ID:IjxPpYcG
>>345
ありがたく思え

f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n

g(x)＝(x^n)(1-2x)
h(x)＝(1-x)^n
とおき
f'=g'h+gh'を計算
0347１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 20:10:29.58ID:68nIIoFy
皆さんの力を借りたいのですが

1×10²-1×x²-1×(10-x)²=42

という2次方程式があってこれを解くと

x²-10x+21=0
(x-3)(x-7)
x=3,x=7

と解説集に書いてあるんですけど
何度解いても

-x²+10x-21

にしかなりません。
途中式も入れて解いていただけませんでしょうか？
0348１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/21(土) 20:26:33.11ID:hlT9IPEA
マイナスかけるとどうなりますか？
0349１３２人目の素数さん
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2019/09/21(土) 20:29:00.00ID:/ftrAkBb
>>345

f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n

3つの関数の積の微分は2関数の積の微分公式から導けて
(fgh)'=(fg)'h+fgh'=(f'g+fg')h+fgh'
=f'gh+fg'h+fgh'
=fgh*[(f'/f)+(g'/g)+(h'/h)]

よって

f'=f(x)*[(n/x)-(2/1-2x)-(n/1-x)]
0350イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/09/21(土) 20:57:56.74ID:B4gVoq8n
前>>228
>>347
1×10^2-1×x^2-1×(10-x)^2=42
10^2-x^2-(10-x)^2=42
100-x^2-(100-20x+x^2)=42
-x^2+20x-x^2=42
2x^2-20x+42=0
x^2-10x+21=0
(x-3)(x-7)=0
∴x=3,7
0351１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 01:33:50.20ID:R1QLTtDK
∫ f(x)dx = ∫{x(1-x)}^n (1-2x)dx
= ∫{x(1-x)}^n {x(1-x)}' dx
　= ∫ y^n dy
　= 1/(n+1) y^(n+1) + c,
0353１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 01:44:43.09ID:6SggPwQ6
あれははっきり言って相当難しいので3関数の積の微分ができない人が触らないほうがいいと思うけど。部分積分漸化式の単純計算ものでは多分一番難しいまである
0354１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 02:32:13.42ID:R1QLTtDK
区間[0,1] でn-1次以下のすべての多項式と直交する、n次の多項式は？

ルジャンドルの多項式
　P_n(x) = (-1)^n･(1/n!)･(d/dx)^n {x(1-x)}^n,

・参考書
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　　§36．Legendreの球函数　　p.119〜122
0356１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 13:24:40.03ID:2TbS0DPZ
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。


関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件

g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0

をみたすものとする。

このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。
0357１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 13:25:01.63ID:2TbS0DPZ
以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？


解答：

関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、

h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。

0 = h(α) = a_0

であり、

h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …

0 ≠ h'(α) = a_1

であるから、

α の近くで、

h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0

である。

h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]

である。

f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …

は

点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、

g(z) / f(z)

も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、

g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。
0358１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 13:25:17.81ID:2TbS0DPZ
g(z) / h(z)

=

(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]

=

b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …

は

g(z) / h(z)

のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。
0359１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 13:58:50.34ID:EoeHDgMX
任意の実数x,yに対して f(x)f(y)=f(xy)を満たす関数はf(x)=x^t のようなべき関数だけですか？
0360１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 14:14:45.70ID:2TbS0DPZ
あ、よく考えたら、

川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。

べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。
0361１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/22(日) 14:15:06.03ID:31uqPWEp
Cn H 2nの構造異性体の種類ってどうやって数え上げるんでしょうか。
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