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分からない問題はここに書いてね456

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0362１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 14:16:10.83ID:2TbS0DPZ
べき級数で表される関数が正則であること

を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。
0363１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 14:56:46.83ID:BxpI4hgl
>>359
f(x)=0も明らかに解だがf(x)≠x^t
0364１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 16:00:09.63ID:5/gTi6Eo
>>361
Cが輪になって繋がって2本ずつHがくっついてるとしたとき
nがものすごく多かったら自由度高くなってノットにできるよねたぶん
0366１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 16:33:18.30ID:R1QLTtDK
f(x)=|sign(x)| = sign(|x|) も明らかに解だが f(x)=lim[t→0] |x|^t
　　f(x) = 1　　(x≠0)
　　f(0) = 0
0367１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 19:23:46.13ID:IEsPGzp4
これ模範解答は極座標でパラメータ表示で解いてたんですが

どなたか腕自慢の方
zをz=a+biのパラメータで表示して計算、あるいはωでzを表示してzの範囲に代入して解けませんか？

その方針で時間掛けて撃沈して悔しいのですが無理筋なのでしょうか？
偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思えるのですが。求積ですし

https://i.imgur.com/lKvm9It.jpg
0368１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 19:40:43.96ID:5/gTi6Eo
>>367
>偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思える
思えん
0369１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 19:46:45.34ID:t7HDrkS3
かなり無理筋では
複素数見るとすぐ成分分けちゃう人多いけど、よくないと思う
0370１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 19:48:00.03ID:jPNqfDPl
>>367
|z|を固定してarg zだけ変化させると楕円の一部でr:1→2の時、少しずつ膨らんで行く様子を調べれば元の領域の境界の写り先がwの範囲の境界になる事を頑張って示せばいいんじゃない？
境界の写り先は双曲線と楕円と|z|=1の写り先はぺちゃんと潰れちゃうし。
0371１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 20:00:58.40ID:ODquhjjv
１−1/2＋1/3−1/4＋1/5−1/6＋…＝log2となりますが、

この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。

ㅤㅤㅤㅤㅤ

＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)−２(1/2＋1/4＋1/6＋…)


＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)−(1＋1/2＋1/3＋…)


＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…

となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？
0372１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 20:15:42.07ID:Rx/KlQ5n
絶対収束しない級数は足す順番を変えるとどんな値にも収束するようにできる

有名な定理です
0373１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 20:40:26.70ID:2TbS0DPZ
>>371

全然不思議じゃないです。

任意の実数に収束させることができます。
+∞, -∞ に発散させることもできます。
0374１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 20:40:58.97ID:2TbS0DPZ
以下のリーマンの定理が演習問題にあります。

f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …

と書いてみれば、

lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞

なので明らかであるようにも見えます。

この線で、リーマンの定理を証明できませんか？


ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。



リーマンの定理：

関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。
0375１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 21:00:29.30ID:R1QLTtDK
>>367
　　　　　　　　　　　第　　３　　問

　複素数zが 1≦|z|≦2 かつ -π/4 ≦ arg(z) ≦ π/4 を満たして動くとき、
複素数 w = z + 1/z の表わす点w が複素数平面上で動く領域の面積を求めよ。
0377１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 21:07:07.43ID:R1QLTtDK
arg(z) = θ, 1≦|z|≦2 のとき、zの像 w=u+iv は
　双曲線　v = ±(sinθ）√{(u/cosθ)^2 -4} のうち 2cosθ≦u≦(5/2)cosθ の部分。
θ=±π/4：　v = ±√(uu-2),
　S(双) =∫v du =∫[√2, 5/(2√2)] 2√(uu-2) du = 15/8 - 2log(2) = 0.48870563888

|z|=r, -π/4≦arg(z)≦π/4 のとき、zの像 w=u+iv は
　楕円 ｖ ＝ ±(r-1/r)√{1 - [u/(r+1/r)]^2} のうち (r+1/r)/√2 ≦u≦(r+1/r) の部分
r=1：　v = 0, √2 ≦ u ≦ 2　････ 潰れる。
r=2：　v = ±(3/2)√{1 - (2u/5)^2},
　S(楕) =∫v du =∫[5/(2√2),5/2] 3√{1-(2u/5)^2} du = (15/16)(π-2) = 1.07024311274
以上から
S = S(双) + S(楕) = (15/16)π - 2log(2) = 1.55894875162
0378１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 21:27:45.21ID:IEsPGzp4
極座標でのやり方はわかるので
直交座標でやり方教えてもらえませんか…
0379１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 21:39:12.55ID:Rx/KlQ5n
無理だと思いますよめんどくさくて
0381１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 21:43:04.85ID:5/gTi6Eo
>>378
ばかばかしい無理筋につきあえんってことでは
0384１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 22:13:00.61ID:fnPOGvIS
永田の可換体論 p.37 の定理1.7.7 の証明に
　Rの組成列 R=M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 をとると,
　各 M{i-1}/Mi は R/m (ある極大イデアルmにより) に R 加群として同型. ...
(前後文脈は https://i.imgur.com/EVc7Zvx.png にて)

とあるのですが、なぜこうなるのか分かりません。誰か解説お願いします。
流れ的に Jordan-Hölder-Schreierの定理 (一つ前の定理1.7.6 で証明しています)
の使うのかと思ったのですが、ちょっと分かりませんでした。
0385１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 22:42:57.85ID:jPNqfDPl
M[i+1] が M[i] の極大部分加群ならその商加群は単純加群、すなわち0と自分自身しか部分加群を持たない。
一方でNを単純加群、x∈Nを0でない元とするとxRはNの0でない部分加群だからN全体に一致。
この時p={r∈R | xr=0}とおく時NはR/pに同型でpは極大イデアル。
0386１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 23:18:34.30ID:fnPOGvIS
>>385 ありがとうございます理解できました。
準同型写像 f: R → N, f(a) := ax とすると
R/ker.f ≃ im.f = N ,　 p = ker.f は極大イデアル
0387１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 23:19:33.07ID:2TbS0DPZ
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

以下の演習問題があります。

「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」

これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。

以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。

z ∈ D とする。

f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …

とローラン展開できる。

g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α

で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。


あと、

「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」

と書いてありますが、明らかに、

「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」

としたほうがいいですよね？
0388１３２人目の素数さん
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2019/09/22(日) 23:34:45.15ID:5/gTi6Eo
>>383
三角関数使わずやって
0389１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 00:12:06.97ID:A7N0CIWQ
複素平面の領域D内の複素数zを、w=az+(b/z)により複素数wに移す。
w全体からなる領域をE(a,b)と書く。

いま、Dが以下のように定められている。
D={ z | 1≤|z|≤2, 0≤arg(z)≤θ }
ここにθは0<θ<2πの実定数である。

E(a,b)の面積がDの面積と等しくなるとき、実数a,bをθで表せ。
0390１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 00:24:37.92ID:A7N0CIWQ
複素平面上の円弧C：
|z|=1かつθ≤arg(z)≤(θ+π/4)
上の点P(z)を、
u=z^2-2z
により点Q(u)に移す。

PがC上を動くとき、Qが動いてできる図形をKとする。
Kの長さを最大にする実数θを求めよ。ただし0≤θ<2πとする。
0391１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 00:26:21.65ID:2PqEJji0
>>378
では極座標でのやり方を…

|w|=R, arg(w)=φ とおくと、領域の像 w=R･e^(iφ) は
　　　　　　　　　　(双曲線)　　　　　　　　　(楕円)
　1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} ≦ RR ≦ 2/cos(2φ),
ただし -φ｡ ≦ φ ≦ φ｡ = arctan(3/5),
S = ∫[-φ｡,φ｡] (1/2)RR dφ = ∫[0,φ｡] RR dφ　だから
S(双) = ∫[0,φ｡] 2/cos(2φ) dφ = [ log{(1+tanφ)/(1-tanφ)} ] = 2 log(2),
S(楕) = ∫[0,φ｡] 1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} dφ
　　= [ (15/4)arctan((5/3)tanφ) ] = (15/16)π,
S = S(楕) - S(双) = (15/16)π - 2 log(2) = 1.55894875162
0392１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 02:40:14.39ID:2PqEJji0
>>390
arg(z) = θ　とし、
|z|=1 かつ α≦θ≦α+π/4　としよう。
　z = e^(iθ),
　|dz| = dθ,
また
　u = zz -2z,
　du/dz = 2(z-1),
　|du| = 4 sin(θ/2) dθ
よって
(Kの長さ) =∫[α,α+π/4] |du|
　　=∫[α,α+π/4] 4 sin(θ/2) dθ
　　= 8{cos(α/2) - cos((α+π/4)/2)}
　　= 16 sin(π/16) sin((α+π/8)/2)　　(←和積公式)
　　≦ 16 sin(π/16)
　　= 3.121445152258
等号は α = 7π/8 のとき。

なお、uの軌跡Kは外サイクロイドの一部。
半径1の円Cが単位円に外接しながら滑らずに回るときのC上の１点の軌跡。
(周長:16, 面積:5π)
0394１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 03:47:15.58ID:p793zTBd
それは定理として証明されるべきものであるが、
普通の学校では当たり前のように（或いは、剰余を求めるやり方を教えるだけで）扱われている。

一般的には2次に限らず、体上の一変数多項式の除法として次数に関する帰納法で証明される。
0395１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 04:00:10.17ID:MpXoKD+u
>>394
わからないんですね

>>393
整式を整式で割るとはどのようなことをいうんでしたっけ？
0396１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 06:49:06.52ID:W7ZgngZu
>>394
どのように帰納法を用いて証明するのでしょうか？
0397１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 07:05:06.49ID:0DKwDLFQ
>>396
aｘ+b ÷ cx^2+dx+e = 0 ,,, ax+b
からかなあ
0399１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 09:53:14.60ID:yWAc5lh5
>>398
>>393の回答はわかりますが、帰納法を用いた解法はわかりません
0401１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 11:40:34.82ID:5zt0Ts7e
整式A,B,Q,Rに関して、
A=BQ+R
が成り立つとする。
このとき、Bの最高次の項がax^n、Rの最高次の項がbx^n
であるとすれば、
R’＝R- B(b/a)　とおくと、n次の項が消えて、R’はたかだか n -1次の整式になり、
A=BQ+R =B{Q+(b/a)}+R’ =BQ’+R’
となり、余りR’はn-1次以下の整式になる。

Rの次数がnより大きいときは、Rの最高次の項をcx^m (m>n)とおいて、
R’=R- B(c/a)x^(m-n)　とおけば、R’はRより次数が少なくとも1減って、
A=B(Q+(c/a)x^(m-n))+R’と書ける。
これを繰り返せば、最終的に余りの次数はn-1以下になる。

みたいな直感的に当たり前のことを、形式を整えてやればよいのでは？
0403１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 13:32:10.46ID:0DKwDLFQ
>>402
えー
あまりの定義があんまりじゃんそれじゃ
0404１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 13:50:29.14ID:WoCjHxgi
あまりの定義なんだと思ってます？
x^2=0*x+x^2だから、x^2をxで割った余りはx^2になるでしょうか
0406１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 14:37:40.12ID:MpXoKD+u
整式の割り算しか考えませんよね
0407１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 14:50:52.19ID:qVF76R2H
三角形ABCの頂点Aを底辺BCに平行に動かし、二等辺三角形にする．
この二等辺三角形の底角をB'とするときtanB'をtanBとtanCで表せ
0408１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 16:58:32.34ID:2PqEJji0
高さ (頂点Aと底辺BCの距離） をhとする。
　2h/tan(B') = h/tan(B) + h/tan(C)
0409１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 17:16:35.87ID:2PqEJji0
>>372
　正項だけからなる部分列と負項だけからなる部分列に分ける。
部分和S_nが目標値αより低いときは正項(未使用)を取り出してS_nに加え、
目標値αより高いときは負項(未使用)を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ n→∞　のとき目標値αとの差 < ε　となる。
0410１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 17:20:55.37ID:0DKwDLFQ
>>405
√3を√2で割ったあまりは？
0412１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 18:03:17.27ID:5zt0Ts7e
>>403
A,B,Q,Rを整式とするとき、A=BQ+RとおけるようなRのうち、
次数が最小のものをA/Bの余りとする、でいいんじゃね？
>>401に倣ってやれば、背理法で簡単にBの次数より小さく
なることが証明できる。
0413１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/23(月) 19:00:07.30ID:3W6wuIwm
留数について質問です。

f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定をしますが、

なぜ、

f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定はしないのでしょうか？
0414１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 19:33:37.24ID:zMUkBuAG
z=αについての留数を考えたいんですよね？
0415１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 20:39:55.89ID:3W6wuIwm
>>414

そうです。

f(z) が {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとき、ローラン展開できます。
したがって、 1/(z - α) の係数 A_{-1} も定まります。

この場合にも、留数を A_{-1} として定義しないのはなぜか？という質問です。
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/23(月) 20:49:27.41ID:MpXoKD+u
留数便利なのは特異点の場合だからじゃないですか？
0417１３２人目の素数さん
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2019/09/23(月) 20:57:16.53ID:TTGN/es1
x^2 +y^2−4x = 0について、(1) dy/dx (2) d(dy/dx)/dx を各々求めよ

という問題で(2)がわかりません
よろしくお願いします
0419１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/23(月) 22:00:13.33ID:Gv40h2lR
x^2+y^2-4x=0
をxで微分
2x +2y y' - 4 = 0
もう一回
2 + 2y' y' + 2y y'' = 0
をy', y''について解く。
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/23(月) 22:01:04.48ID:TTGN/es1
dy/dx=(2-x)/y
というのは分かったのですが
これをxで微分する方法がわかりません
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/23(月) 23:15:11.55ID:0DKwDLFQ
>>420
ｙはｘの関数
商の微分法
0423１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/23(月) 23:25:35.36ID:3gsZ810h
留数は特異点周りの展開じゃないと求めるのが難しいからねー
0424１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/24(火) 00:33:37.31ID:Fg+1gKm2
正則なら留数は0よ
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/24(火) 20:03:14.13ID:Vm/sReoV
ホモロジー群についての質問なんですがr:X→A;レトラクト、i:X→A:包含写像であるとき
これらから導かれるホモロジー群間の準同型写像r_*,i_*について
(r*i)_*が全単射であるからi_*が単射とわかり
H_q(X)=Im(i_*)+ker(r_*)(+:直和)と分解されるとあったのですが何故ですか？
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/24(火) 20:06:49.34ID:Fg+1gKm2
ｒかiが逆
ri=1
r*i*=1
直和
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/24(火) 20:32:28.58ID:qOGR6zKw
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

という等式を示す例題があります。

その例題では、

lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

を示しています。

本来示すべきは、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

ですよね。


lim_{R → ∞} 2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

lim_{R → ∞} ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = lim_{R → ∞} (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))

なので、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx

=

π / sqrt(2)ですけど。
0432１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/24(火) 21:52:59.20ID:azlteW2t
普段くだらないことばっかり検索してるんでしょうね
0434１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 11:11:13.06ID:06qxxQQG
因数分解の問題で困っています。
x^3-174x-308=0

因数分解すると(x-14)(x^2+14x+22)=0で実数解は14のみ、となるんですけど、
いい因数分解の導き方が思いつかないので、あれば是非教えてほしいです。
(現状は308の約数を総当たりしてたまたま(x-14)で割れたので因数分解できたという感じです)
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 11:40:31.69ID:c6fCLHL+
x(x^2-174)=2^2x7x11
整数解があるとすれば、308の約数でかつ偶数だが4の倍数ではない
ということはすぐにわかる。
整数解が正なら14以上20以下、負なら-13以上というのもちょっと
計算すればわかる。
この条件を満たす整数は-2か14しかないので、代入すれば14が解
だとわかる。
0436１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 11:48:45.65ID:2DynOJ9P
>>434
整数解があるなら偶数だからそれを2aとすると2a^3-87a-77=0
これに整数解があるとすると±7か±11
変形するとa(2a^2-87)=7*11
aが±7か±11だからa^2は49か121
2a^2-87が±7か±11になるのはaが±7のときでそのとき2a^2-87は11だからaは7
元の方程式の整数解は14
2a^3-87a-77=0にしたあとは計算速くない人でもしらみつぶしで十分かも知れない
±11がダメなのはきちんと計算しなくてもわかるので

計算速い人なら最初からしらみつぶしでいいような気もする
308の因数のうちほとんどはきちんと計算するまでもなく除外されるし
0437１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 15:37:52.34ID:c6fCLHL+
>>436
>変形するとa(2a^2-87)=7*11
>aが±7か±11だからa^2は49か121

変形したのはいいアイデアだと思う。けど、|a|の候補として
1と77があるのを忘れてないか？すぐ除外できるからいいけど。
0438イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/09/25(水) 15:38:24.86ID:II/2E/ez
>>434
308を素因数分解すると、
308=2^2×7×11
f(x)=x^3-174x-308とおくと、
f(2)＜0
f(7)＜0
f(11)＜0
困ったら微分、
f'(x)=3x^2-174=0
x^2-58=0
x=±√58
7＜√58＜8
f(14)=14･196-174･14-308
=14･22-308
=0
∴f(x)=(x-14)(x^2+14x+22)
f(x)=0のとき、
x=14,-7±3√3
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 16:16:57.87ID:2DynOJ9P
>>437
失礼した
2a^3-87a-77=0にしたときに真っ先に除外して±7と±11に絞り込んだので書き込みをするときにそこから先しか思い出さなかったｗ
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 18:24:09.64ID:akNlOjhH
xについての方程式
x^k+131x+377=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 18:24:22.67ID:HNtypll1
|x|>14 のとき
　xx - 174 >22,　|x(xx-174)| > 308　(不適)
0≦x≦13 のとき
　xx-174 <0、x(xx-174) ≦ 0 < 308　(不適)
-11≦x≦-2　のとき
　|x|(174-xx) > |x|(169-xx) = |x|(13-|x|)(13+|x|)
　≧ 22(13+|x|) ≧ 22･15 = 330 > 308　(不適)
よって整数解は　-14 〜 -12、-1、14　のどれか。
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/25(水) 23:37:51.57ID:iXHFXXRG
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。

a > 0 とする。

∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx

の値を求めよ。

定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、

g(z) := z^4 / (z + a*i)^4

の3次導関数を計算しなければなりません。

g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。

簡単に計算する方法はありますか？
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 06:00:35.35ID:C1ckjksZ
>>429
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
　= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
　= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,

1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
　+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,

1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
　+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
　= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arxtan(1-x√2)},
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 08:45:09.90ID:fyrdE+fx
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 10:52:40.05ID:GlcVFFf+
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。


∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、

∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))

を示せ。


この問題を自力で解けました。

結構すごいですか？


第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。

が、↓が閃きました。


f(z) := exp(z^2)

とおくと、

f(i*t) = exp(-t^2)

f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)


なかなか冴えていますか？


この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。

しかも、☆印つきの問題です。

「はじめに」には、

「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」

などと書かれています。

気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。
0451１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 16:33:05.96ID:GlcVFFf+
>>449

の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？
0452１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 16:36:20.39ID:LIXAVVap
>>451
n次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して(a_ij)=iである。Aの逆行列を求めよ。
0454１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 17:02:01.49ID:4CLAKCJ6
xについての方程式
x^k+2020x+3777=0
が整数解を持つように自然数kを定めることができる。このことを示せ。
0455１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:01:37.97ID:GlcVFFf+
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx

を計算せよ。

という問題を解きました。

怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：

∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz

cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2

です。

|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)

ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。

そこで、

∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz

を考えれば、

|exp(i * z)| = exp(-y)

ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。

このような推理の結果、正解を得ることができました。
0456１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:02:41.75ID:SDysta5y
ここは分かった問題はここに書いてねスレではありません
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:03:51.57ID:GlcVFFf+
あ、というか、 |exp(-y)| ≦ 1 for y ≧ 0 ですね。
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 18:29:03.05ID:C1ckjksZ
>>454
明らかに x<0,
{x^(k-1) + 2020}x + 3777 = 0
-x は 3777 = 3･1259 の約数だから 1, 3, 1259, 3777 のどれか。

x=-1 は (±1) -2020 +3777 >0　で不適。
x=-3, k≧8 のとき
　|(-3)^(k-1) + 2020 | ≧ 8581　で不適。
∴　1≦k≦7 に限るが････
x=-1259, x=-3777　も同様にチェックすればよい。
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/26(木) 19:50:47.52ID:DRyotKrW
ちょこっと計算して数が合ってると「玲瓏なる境地」に達しているとうぬぼれながら、解析接続すら理解できていないバカですからね。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
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