分からない問題はここに書いてね456

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 14:27:29.75

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね454
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562421561/

(使用済です: 478)

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566136007/

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 20:31:29.80

Prelude> [(x, (log $ abs $ 2020*x +3777)/(log $ abs $ x))|x<-[-3777..(-1)],mod 3777 (truncate x) == 0]
[(-3777.0,1.9239587674094412),(-1259.0,2.0660253126666084),(-3.0,7.039103536612637),(-1.0,Infinity)]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 00:24:14.68

一様連続とリプシッツ連続の違いを教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 11:36:52.90

見た通り

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 15:11:06.77

すみません、以下画像の問題ですが、なぜ答えが
k=1、k=－2ではなくk=－1、k=2になるのでしょうか。
また、3で割って～の部分なのですがなぜ3でわるのでしょうか…。ご教示ください。

https://i.imgur.com/qXGlAkw.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 15:56:49.83

>>465
(k+1)(k-2)=0 の解は k=-1,2 だから

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 17:06:26.08

>>465
前提として「ab=0ならばa=0またはb=0」ということを確認しておきます
3で割る部分は、3k^2-3k-6=0を3(k^2-k-2)=0と変形できるので3=0またはk^2-k-2=0ですが、3≠0なのでk^2-k-2=0です
k=-1,2の部分は、(k+1)(k-2)=0より k+1=0またはk-2=0、すなわちk=-1またはk=2となります

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 17:50:29.64

>>466
>>467

わかりました。ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 18:20:42.89

nを整数の定数とする。
自然数a,bに対し定義された2つの関数
f=f(a,b)=a/b
g=g(a,b)=(a+nb)/(a+b)
を考える。

（1）n=3のとき、任意の自然数a,bに対して、不等式
min(f,g)<√3<Max(f,g)…[A]
が成り立つことを示せ。

（2）任意の自然数a,bについて上記の不等式[A]を成り立たせるようなnは、n=3以外に存在するか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 18:34:05.23

√3が不動点になるのはn=3の時のみ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 20:03:52.28

gをfで表せば割とシンプルな計算

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:14:55.25

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

E を複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。

このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。

「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」

「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」

↑これは自明じゃないですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:15:18.66

a ∈ C とする。
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。

証明：

x_0 ∈ C とする。

f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|

∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 f は連続関数である。

a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。

よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。

x ∈ C とする。

dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}

と定義する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:15:37.23

C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。

証明：

x, x_0 を任意の複素数とする。

任意の y ∈ E に対して、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|

が成り立つ。

y_0 を

dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|

を成り立させる E の元とする。

↑の不等式から、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)

∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|

x と x_0 は任意だったから、

dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|

も成り立つ。

∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:15:54.31

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 22:31:56.96

面白そうな問題を拾ってきたんですけど解けなかったので力を借りに来ました

数字を1から順番に並べ、
(1/2)/{(3/4)/5}のように繁分数を作る。
ここでn個並べたときの最大値はいくつか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 01:15:49.90

>>468

>>465 の画像から、k=-1 または k=2 の他に解はない。
kの値を2個まで絞り込むことはできた。
あとは、これらが題意をみたす (解の一つが3である) ことを言う。
k=-1 のとき
　xx -4x +3 = (x-3)(x-1),
k=2 のとき
　xx -7x +12 = (x-3)(x-4),
これから、k=-1 または k=2 になる。
∴　kの値は -1 または 2 である。

解答はしょり杉ぢゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 02:43:47.51

>>477
夜中にアホ丸出し

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 02:58:48.46

>>477
★を満たすことが必要十分ぢゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 04:40:36.27

そうです。
「x=3 がこの二次方程式の解である必要十分条件は、xに3を入れたらゼロになること。」
が正解。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 04:41:25.42

S^1から単連結空間への連続写像はS^2からの連続写像に拡張できることの証明を教えてください。直感的には明らかなのですが...

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 04:42:11.86

>>481
S^2ではなくD^2です

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 04:53:06.63

例)
　x=3がこの二次方程式の解ならば
　　(k+1)(k-1)(k+2)(k-2) = 0

この場合、kの候補は {±1, ±2} の4つ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 05:21:42.43

>>469
>>471 より
　g = (f+n)/(f+1),
　g - √n = {(√n -1)/(f+1)}(√n - f),
∴　g - √n　と　√n - f　は同符号。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 05:23:11.83

>>483
アホは書き込むな

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 11:51:01.92

>>469
(2)において、不等式Aはmin(f,g)<√n<Max(f,g)でしょ。

f(a,b)=a/b:=xとおけば、xは正の有理数。
g(a,b)=(a+nb)/(a+b)の分母分子に1/bを乗じて
g(a,b)=(a/b+n)/(a/b+1)=(x+n)/(x+1)

ということで、f(x)=x,g(x)=(x+n)/(x+1)をxが正の有理数の
範囲で考えればいいだけ。

正の実数 x に対して、f(x)は単調増加,g(x)は単調減少なので、
f(x)=g(x)=cとなるcが存在すれば、 min(f,g)≦c≦max(f,g)は
明らか。
f(x)=g(x)⇔ x=(x+n)/(x+1)⇔x^2=n より、x=√nで、c=√n
となるcがたしかに存在するので（この点でf(x)とg(x)が交叉する）
min(f,g)≦√n≦max(f,g)

したがって、xを有理数に限定すれば、√nが無理数の時に限って、
min(f,g)<√n<max(f,g)が成立する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 13:23:24.17

>>481
単連結の定義を使え

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 15:06:54.62

>>481
S^3からにも拡張できるのか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 16:13:38.52

任意のS^n→XがD^n→Xに拡張される
⇔ π_n(X)=0
はほとんど定義じゃね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 18:29:10.73

平面上の閉領域D（面積S>0）が固定されている。
この平面上の直線Lを考え、DをLの周りに一回転させてできる立体の体積をV(L)とする。
Lを色々と動かすとV(L)も変化する。

以下は真ですか？
「Dの形状に関わらず、V(L)には必ず最小値が存在する」
「V(L)が最小値をとるとき、LはDの内部を通る」

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 18:33:26.10

パップスギュルダンの定理より真です

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 18:52:19.92

x[1]=1, x[n+1] = (1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))で表される数列xの極限が存在することを示し、求めよ。
√3/6っぽいなとは思うんですが過程が思いつきません。。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 18:54:25.60

lは2パラメータの曲線でlが連続の動く時Dも連続に動くのはすぐわかる
lが外部にあるときは接するまで平行移動させればその時の方が小さいのもすぐわかる

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 23:28:39.14

>>492
極限が存在するならば、lim[n→∞]x[n]=αとして、
α = (1/3)*(α+√(α^2+2))
が成立することから、極限の候補が得られる

あとはx[n]の有界単調性を示せばいい

が、√(3)/6ではない

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 01:09:11.48

>>476
多分できた
最大値は
1/(2/3/4/‥‥/n) = n!/4
∵)1～nのうち最低一つは分母に来なければならない。
しかし1を分母にもってくることはできない。
よってできる分数の分母の最小値は2。
一方で1/(2/3/4/‥‥/n)の分母にくるのは2のみ。
よってコレが最大。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/29(日) 03:50:03.89

前>>438
>>476
題意がつかみかねる。
自然数を1からnまで順に使って分数の積を作るみたいだけど、分子と分母は交互って意味かな？
1を分子から始める場合、
(1/2)/3=3/2=1.5
これが最大だと思う。
1を分母から始める場合、
2/1=2
これが最大。
∵nとn+1の比はn→∞のとき1に近づくから、早期決着する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 08:10:09.08

>>492
x=(1/3)(x+√(x^2+2))の解をαとし(αは正のみであることに注意)
y[n]=x[n]-αとおいて漸化式を書き換え(分子の有理化)し
y[n+1]=(1/3)y[n](1+(y[n]+2α)/(√((y[n]+α)^2+2)+2α)) …(A)
この式とy[1]>0からy[n]はすべて正
不等式√((y[n]+α)^2+2)+2α>y[n]+2αを(A)に代入し
0<y[n+1]<(2/3)y[n]
これを解くと
0<y[n+1]<y[1](2/3)^n
ゆえに
lim[n→∞]y[n]=0

>>494
問題文から推測すると収束値候補αより先に収束性を示してほしそうだが...
(αの計算なしで有界単調性⇒収束性を示すのは難しそう)
ひょっとして縮小写像の知識を問う問題?

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 12:58:06.50

>>488
条件がホモロジーだな

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 14:00:18.00

題意より
　y[1]+2α = x[1]+α = 1+α < (12/5)α,
よって
　√{2 + (y[n]+α)^2} = √{(2α)^2 + (y[n]+2α)y[n]}
　< 2α + (1/4α)(y[n]+2α)y[n]
　≦ 2α + (1/4α)(y[1]+2α)y[n]
　< 2α + (3/5)y[n],
よって
　y[n+1]/y[n] > (1/3){1 + (2α+y[n])/(4α+(3/5)y[n])}
　　　> (1/3){(3/2) + (7/10)y[n]/(4α+(3/5)y[n])}
　　　= (1/2) + (7/30)y[n]/(4α+(3/5)y[n])
　　　→　1/2.　　(n→∞)

nが大きいとき
　y[n] ≒ 0.38761057･(1/2)^n

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 14:34:21.25

お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 500get していいの？😜
　(分かスレ４５５-200)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 15:33:53.24

>>498
どういうことですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 20:54:03.63

5400
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 22:51:05.24

>>497
極限値の候補を
> √3/6っぽいなとは思うんですが過程が思いつきません。。
と間違えているのも解けない原因だろうと思って書いた
実際x=(1/3)(x+√(x^2+2))の解は、
x=√(2/3)=√(6)/3
のみだし

これが出れば後は
x[n+1]
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+3(√(2/3))
<1/3(x[n]+√(x[n]^2+3x[n]^2))
=x[n]

x[n+1]
=(1/3)*(x[n]+√(x[n]^2+2))
>(1/3)*(√(2/3)+√(2/3+2))
=√(2/3)
から
x[n]>√(2/3)⇒x[n]>x[n+1]>√(2/3)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 23:06:34.43

ラマヌジャンの有名な

√1+(√2+(√3+(√4+…

これの極限はどうやれば求まりますか

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 23:10:08.20

>>499
　√{2 + (y[n]+α)^2} = √{(2α)^2 + (y[n]+2α)y[n]}
　　> 2α + (1/2)y[n],
よって
　y[n+1]/y[n] < (1/3){1 + (2α+y[n])/(4α+(1/2)y[n])}
　　= (1/3){(3/2) + (3/4)y[n]/(4α+(1/2)y[n])}
　　= (1/2) + (1/4)y[n]/(4α+(1/2)y[n])
　　→　1/2.　　(n→∞)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 23:33:57.29

マラソンについて質問です。

マラソンをテレビで見ていると、明らかに駆け引きが存在することが分かります。

解説者も駆け引きについて説明したりします。

サッカーのような競技とは違い、普通に考えれば、他の選手のことなど一切考えずに、
ゴールするまでのタイムが最小になるようにするにはどういうペースで走ればいいかのみ
を考えて走るのが最適な戦術であるように思います。

ところが、実際には相手の走り方に影響を受けて、自分の走り方を決めているように見えます。

これについて何か合理的な説明は可能でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 23:36:50.79

心理学とかスポーツの話だと思うのでそちらの方で質問してみてください

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 01:03:56.68

zは複素数の変数、αは複素数の定数、rは実数の定数とする。
複素平面上において
|z-α|=r, 0≤arg(z-α)≤θ（0<θ≤π）
がなす図形を考える。
このzに対し、w=1/zにより複素数wを定め、zが動くときにwが平面上を動いてできる図形をCとする。

（問題）
図形Cの長さは有限か、無限かを述べよ。
必要があればα、r、θの値により分類して述べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 01:16:55.26

昔、四方六方八方～という歌詞の歌があって、

四方と八方は二次元平面での話で
四方は東西南北、八方はそれに中間45°の北東、北西、南西、南北が入ったもの、
それに対して、六方は一般的にそんな言葉はないけれど、
おそらく三次元での前後左右に上下を入れたものだと思われます

で、もしこの三次元の六方に八方と同じく45°の中間の方向を入れた場合、
全部で何方になりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 01:25:40.08

>>504
lim[n→∞]√(1+√(2+√(3+…√(n-1+√n)…))
ならNested Radical Constant:1.757932…に収束しますが、
このNested Radical Constantはよくわかっていないようです。

ラマヌジャンの有名なNested Radical
lim[n→∞]√(1+2√(1+3√(1+…(n-1)√(1+n√1)…))
ならば3に収束します。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/30(月) 08:04:46.14

前>>509
>>438
ルービックキューブを思い浮かべると、
センターキューブが6個
コーナーキューブが8個
エッジキューブは12個あるが足さず、センターキューブとコーナーキューブを足すと、
6+8=14
∴十四方

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/30(月) 08:17:10.02

前>>511訂正。
>>509
ルービックキューブを思い浮かべると、
センターキューブが6個
コーナーキューブが8個
エッジキューブが12個ある。
キューブの中心からセンターキューブの方向が6方向、これにあいだの45°の方向を足すと、すなわちエッジキューブの12方向を足すと、
6+12=18
∴十八方

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 09:55:16.17

>>503
それだと単調減少を示しただけで√2/3より大きい下界の存在を否定できていないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 10:22:39.85

0から9の数字をを一つずつ使ってできる10桁の整数および1から9の数字を一つずつ使ってできる9桁の整数を小さい順に並べた順列の一般項を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 11:15:24.52

>>492

x[1]=1
x[n + 1] = (1/3) * (x[n] + sqrt(x[n]^2 + 2))

(0)

x[n] > 0 for n = 1, 2, 3, …

は明らかである。

(1)

2/3 < x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …

が成り立つ。

証明：

n = 1 のとき、

2/3 < 1 = x[1]^2

n = k のとき、

2/3 < x[k]^2

と仮定する。

x[k + 1]^2

=

(1/9) * (x[k]^2 + 2 * x[k] * sqrt(x[k]^2 + 2) + x[k]^2 + 2)

>

(1/9) * (2/3 + 2 * sqrt(2/3) * sqrt(2/3 + 2) + 2/3 + 2)

=

(1/9) * (2/3 + 2 * sqrt(2/3) * sqrt(8/3) + 2/3 + 2)

=

(1/9) * (2/3 + 2 * 4/3 + 2/3 + 2)

=

(1/9) * 6

=

2/3

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 11:15:58.38

(2)

(0)、(1)より、

sqrt(2/3) < x[n] for n = 1, 2, 3, …

である。

(3)

4 * x[n]^2 > x[n]^2 + 2 for n = 1, 2, 3, …

が成り立つ。

証明：

2/3 < x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …

2 < 3 * x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …

x[n]^2 + 2 < 4 * x[n]^2 for n = 1, 2, 3, …

(4)

x[n] - x[n + 1]

=

x[n] - (1/3) * (x[n] + sqrt(x[n]^2 + 2))

=

(2/3) * x[n] - (1/3) * sqrt(x[n]^2 + 2)

=

(1/3) * (2 * x[n] - sqrt(x[n]^2 + 2))

=

(1/3) * (srt(4 * x[n]^2) - sqrt(x[n]^2 + 2))

> (3)より

0

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 11:16:15.00

(5)

(4)より、 (x[n]) は単調減少数列である。
(2)より、 (x[n]) は下に有界である。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/09/30(月) 11:23:04.41

前>>512
>>514
初項123456789
第2項123456798
第3項123456879
第4項123456897
第5項123456978
第6項123456987
第7項123457689
第8項123457698
第9項123457869
第10項123457896
第9!項987654321
第(9!+1)項1023456789
第10!項9876543210

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 11:23:57.61

>>513

単調減少で下に有界なので収束します。

収束値の候補は、数列の各項が正なので、 sqrt(6)/3 しかありません。

ですので、数列は、 sqrt(6)/3 に収束します。

ですので、 sqrt(6)/3 は最大下界です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 12:27:36.40

複素数zの反転について質問です。
a,b,c,dを実数の定数、z'をzの共役複素数として、az^2+bz+cz'^2+d=0が表す図形を考えます。
z≠0のとき、w=1/zでzをwに移すと、wは二次曲線（の一部）、直線（の一部）、または点、になりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 13:23:57.98

普通は4つの点だよなー

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 13:31:51.96

>>520
ならないんじゃない？
分母払う時に(zz')^2かける必要があるから、二次曲線の範囲に収まらなくなる希ガス

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 19:26:32.28

ここで聞く話なのかという気もしますが、よろしくお願いします。
62円と82円の切手が廃止になるので、63円と84円に交換するのですが
旧切手が21782円あるときに、新切手が自然数になる組み合わせはどうやったらわかりますか？

63x+84y=21782で、x,yがともに自然数である組み合わせ、ということです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 19:36:50.72

どうあがいても2円余るな。
これは返金されるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 19:46:20.46

いや、間違った。どうあがいても5円余る。
21777
= 84 x 2 + 63 x 343
= 84 x 5 + 63 x 339
= ‥
= 84 x (2 + 3k) + 63 x (343 - 4k) (0 ≦ k ≦ 85)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 19:47:38.65

>>524
for i in range(350):
if (21782 - (63 * i)) % 84 == 0:
print(i)
で、総当たりで見たところでも、答えがないので無理ぽいですね。
端数は、1円切手に変えられるので、それでもらうことにします…。
無理なのが間違いないということで、ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 23:16:22.42

>>513
> それだと単調減少を示しただけで√2/3より大きい下界の存在を否定できていないのでは？
>>503の後半で有界単調より極値の存在が示される
√(2/3)以外の極値が存在しないことは前半で示されており、より大きい下界の存在も否定される

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 23:32:50.72

極値じゃない極限値

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/01(火) 17:38:11.65

６つの四角形でできた六面体の体積を求めよ。
なお８つの端点の座標はわかっている。

これって平行六面体の体積の求め方と一緒なんですか？
行列式やベクトルの外積、内積を利用して解こうと思ったんですが、この方法って平行六面体にしか通用しないですよね、、

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 07:31:40.53

>>523
21世紀の解法

63x + 84y = 21(3x+4y) ≡ 0　(mod 21)
21782 = 21*1037 + 5 ≡ 5　(mod 21)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 07:56:36.62

>>529
原点Ｏと各面からなる４角錐の有向体積をたす。(6面)

４角錐O－(P1-P2-P3-P4) の有向体積は
　　　| x1-x4　y1-y4　z1-z4 |
(1/6)| x2　　 y2　　 z2　 |
　　　| x3　　 y3　　 z3　 |

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 09:17:57.12

>>531
表裏の指定の仕方もしくは点の使い方の順序の説明が

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 12:57:15.20

>>530
ダジャレはともかくとしてエレガントですな！

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 13:04:21.54

整数係数の方程式ax+by=cが整数解をもつのはcがa,bの最大公約数の倍数に
なっている場合に限る。

ttps://mathtrain.jp/axbyc

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 15:02:27.51

集合族 (A_λ | λ∈Λ) の直積 Π_{λ∈Λ} A_λ について、
すべての A_λ が同一の B であるとき、
Π_{λ∈Λ} A_λ = Map(Λ,B) になると思うのですが、正しいでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 15:03:39.13

正しい

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 15:14:39.18

>>536
ありがとうございます。
ということは、
さらに B が非空ならば Π_{λ∈Λ} A_λ も非空である、
という主張は選択公理なしで成り立つと思うのですが、合ってますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 15:22:25.56

合ってる

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 15:29:09.75

>>538
ですよね。
選択公理の気持ちが何となく分かってきた気がします。
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 16:56:18.21

xy平面の円x^2+y^2=1の周および内部の領域をDとする。
いま、x軸に平行な2019本の直線と、y軸に平行な2019本の直線で、Dを小片に分割する。
ただし、どの直線もDとちょうど2点で交わり、またどの2つの直線も相異なる。
分割された小片の面積が全て等しくなるようにできるか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 18:09:31.08

またポエムか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 19:13:56.92

>>531
この原点にあたる点は六面体の内部に存在しなければいけないわけではない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/02(水) 20:51:39.58

>>542
その場合は通常の体積でもOKでつ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 14:29:13.12

>>543
なるほど、六面体の内部に点が存在するとき、その点は任意で取ってよいですよね
重心はまた違う話ですか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 16:12:25.61

https://imgur.com/B4peVPp.jpg

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

問題：

領域 D 内に任意の円板 E をえらび、それを「割った卵」に見立てて、図の左側のように「黄身」と「白身」に塗り分ける。
このとき、 D 上の定数関数ではない正則関数 f(z) による E の像は、決して図の右側のようにならない。すなわち、「黄身」が「白身」よりも外側に飛び出すことはない。

その理由を説明せよ。

解答：

もしそのように「黄身」が飛び出したと仮定すると、適当な1次関数 g(z) = exp(i*θ) * z + B（回転と平行移動）を用いて、
g(f(z)) が「黄身」の部分で最大絶対値をとるようにできるが、 g(f(z)) は正則であり、「黄身」の部分に E の境界点はないので、定理5.11に矛盾。

g(z) = exp(i*θ) * z + B = exp(i*θ) * (z + exp(-i*θ) * B)

|g(f(z))| = |exp(i*θ) * (f(z) + exp(-i*θ) * B)| = |f(z) + exp(-i*θ) * B|

だから、証明に用いている g(z) は、よりシンプルな g(z) = z + B（平行移動）でOKですよね。

この問題の解答ですが、もっと大きな問題があります。

「黄身の像の部分で最大絶対値を取るように平行移動できるとは限らない」

という指摘がありました。

確かにそうだと思います。

そこで、質問ですが、実際に、「黄身は白身の外に出ない」というのは成り立ちますか？成り立ちませんか？

「黄身が白身の外に出る」の定義は何でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 18:51:29.87

方程式
Σ[k=0 to 4] (1/k!)x^k = 0
を解け。ただし0!=1である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 19:23:31.76

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

「
関数 f(z) が D 上で有理型もしくは D 上の有理型関数であるとは、

・ D 内の点の集合 P := {α_1, α_2, … } が存在して、 f(z) は D - P 上で正則、かつ

・各 α_k （k = 1, 2, …）はそれぞれ f(z) の極

であることをいう。
」

と書いてあります。その下の「注意！」として、

「
P 自体は無限個の点を含んでもよいが、 D 内には集積点をもたない（もし集積点があれば、それは ∂D に属する）。
」

と書いてあります。

D 内に P の集積点がない理由は、以下でOKですか？

・P は孤立点からなる集合だから、 P の元は、 P の集積点ではない。

・「D - P 上で正則」だから、当然、 D - P は開集合でなければならない。D - P が開集合であれば、明らかに、 D - P の元は P の集積点ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 21:11:36.22

>>547

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

有理型関数について質問です。

f(z) = sin(z) / z

は C - {0} で正則です。

ですが、 z = 0 は f(z) の極ではありません。

川平さんの本の定義では、 D 上の正則関数も有理型関数になります。

f(z) は、 f(0) := 1 と定義すれば、 C 上の正則関数になります。

f(z) は C 上の有理型関数ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 21:11:59.80

>>544
いいえ
凹んだ6面体があるのです
たとえば矢の根型を平行移動させるような
あるいは三角錐の底面を凹ませるような

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 21:13:32.93

>>549
>あるいは三角錐の底面を凹ませるような
こちらは四角形6つではないので今回は除外ですか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 21:43:55.81

そうでつね。
「有向」とは内向き/外向きの区別です。
凹凸は直接には関係しないのかも。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 21:48:26.38

>>551
原点が矢の根平行体のVの上の端辺りの内側にあると
裏返しの四角錐が出てきます

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 21:51:33.52

>>546
4! を掛けて
　8(1+x) + {3+(1+x)^2}^2 = 0,
これより
　x = -1 +r +i√(3+rr+2/r) = -0.270555769 ±2.5047759i
　x = -1 -r ±i√(3+rr-2/r) = -1.729444231 ±0.8889744i
ここに　r = √{2cos(40ﾟ) - 1} = 0.729444231

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 22:06:00.17

0 = 6Σ[k=0,3] (x^k)/k!
　= 6 +6x +3xx +x^3
　= 2 + 3(1+x) + (1+x)^3,
より
α = -1 +(√2 -1)^(1/3) - (√2 +1)^(1/3) = -1.596071638
β = -1 +(√2 -1)^(1/3)ω - (√2 +1)^(1/3)ω~ = -0.701964181 + 1.80733949445i
β~= -1 +(√2 -1)^(1/3)ω~ - (√2 +1)^(1/3)ω = -0.701964181 - 1.80733949445i
ω≠1 は1の3乗根。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 22:09:19.96

0 = 2Σ[k=0,2] (x^k)/k!
　=2 +2x +x^2 = 1 + (1+x)^2,
より
　x = -1±i,

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 22:29:04.24

0 = Σ[k=0,1] (x^k)/k! = 1 + x,
より
　x = -1,

nがじゅうぶん大きいとき
0 = Σ[k=0,n] (x^k)/k!　の根は　半径 ~ √n　の馬蹄状に並ぶかなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 22:53:01.78

1 個のさいころを 3 回続けて投げるとき，出る目の数を順に，a, b, c とする．a ≤ b であるとわかったとき，b ≤ c である確率を求めよ．
という問題ですが、条件付確率の問題だと思うのですが答えお願いします。
a≦b≦c　と捉えて問題を解いたら 7/27となりました　

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 23:11:27.96

>>557
#{(a,b,c)∈[1,6]^3|a≦b}=126
#{(a,b,c)∈[1,6]^3|a≦b≦c}=(1*6+2*5+3*4)*2=56
56/126=4/9

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 23:31:59.61

Pr(A)がa≦bで 7/12
Pr(A∧B)が　a≦b　∧　b≦c　(a≦b≦c)を満たすのが7/27
Pr(A∧B)/Pr(A)=7/27*12/7=4/9ということですね
回答ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/04(金) 19:03:43.30

>>553
　1 - 3(1+rr) + (1+rr)^3 = -1 + 3r^4 + r^6 = 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/05(土) 02:19:09.62

双曲線の一部　y=f(x)=1/x (x>0)　をCとする。
t≧0なる実定数tを考え、
a[0]=1,a[n+1]=(1+t)a[n]
により実数a[n]を定める。

さらに、4点
(a[k], 0), (a[k+1], 0), (a[k+1], f(a[k])), (a[k], f(a[k]))
を頂点とする長方形の面積をS[k]とする。

以下の問に答えよ。

（1）2以上の自然数Nに対し、以下のI[N]を求めよ。
I[N] =1 + ∫[1 to N] f(x) dx

（2）長方形の面積の和
Σ[k=0 to n] S[k]
をt,nで表せ。

（3）以下の極限を求めよ。必要であればtの値により分類せよ。
lim[n→∞] S[n-1]/I[n]