分からない問題はここに書いてね456

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/07(土) 23:29:08.42

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね455
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566136007/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/07(土) 23:31:40.27

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/07(土) 23:39:24.59

イチオツ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 16:36:41.65

xx+yy=1…①
xx-8x+yy+12=0…②
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…③　
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い

①−③で整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、

同様に②-③で、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、

となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです

とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 17:00:52.24

>>4
D=0とかE=0とかしてるところがおかしいです

x^2+y^2=1…①
2x+2y=2√2…②

この連立方程式考えてみましょう

グラフ書けばこれらは接していますね

①-②すると
(x-1)^2+(y-1)^2=3-2√2
あなたは勝手に右辺0にしてますよね

①と②両方満たすのがひとつしかないわけですよね
①-②と②両方満たすのは一つしかないと言えても、①-②満たすのが一つとは限りませんね

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 18:26:59.32

　xx + yy = 1 　　　　…　①
　(x-4)^2 + yy = 4　　…　②

①の接線で傾きがmのもの
　y = mx ±√(1+mm),
②の接線で傾きがmのもの
　y = m(x-4) ±2√(1+mm),
y切片が一致することから
　±√(1+mm) = -4m ±2√(1+mm),
これより
　m/√(1+mm) = -3/4, -1/4, 1/4, 3/4,
　m = -3/√7, -1/√15, 1/√15, 3/√7,

　y = ±(x+4)/√15,
　y = ±(3x-4)/√7,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 19:26:42.67

全校生徒ｘ人のうち２４％がバスを使って学校に通っています
バスを使わず通学している生徒は何人ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 19:38:21.04

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 22:02:29.73

平面状に非可算無限個のT字型の集合(大きさや縦横比や向きはそれぞれバラバラでもよい)を配置した時、重ならないように置く事は不可能である事を示せ
というのはどうやって解くのでしょうか

T字型の集合とはR^2の部分集合で
あるa,b>0を用いて
｛(x,0)| -a<x<a｝∪ ｛(0,y)| -b<y<0｝
という集合の回転と移動で得られるものであると定義されます

【大吉】 · 2019/09/09(月) 04:11:40.15

>>7
1-0.24=0.76
∴バスを使わずに通学する人は0.76x人

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 10:31:50.81

雑談スレもくだらねぇスレも長く立っていないんだな

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 10:54:04.06

くだらんスレ　　　2014/10/04(土) 21:22:05.10
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/

雑談スレ【54】　　2018/07/10(火)　03:17:19.95
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1531160239/

雑談スレ【５４】　2018/07/11(水) 03:18:01.83
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1531246681/

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 11:38:26.77

　　告　示
このスレが正統の「分かスレ４５６」です。
[前スレ.960]　にて　2019/09/07(土) 23:29:22.15　認知

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 15:20:33.07

質問です

A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
B=Σ(k=0→n) (nCk)^3

それぞれどうやれば求まりますか？
Aだけでもお願いします

なるべく高校程度の範囲でお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 17:19:58.45

数検の問題集を読んでいます。

1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ

という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

とおき、

cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

との積が 1 になるように漸化式を作ると、

1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 17:20:16.84

Σ a_n
Σ b_n

がともに絶対収束ならば、

コーシー積 Σ c_n

も絶対収束して

Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n

cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

は (-∞, +∞) で絶対収束する。

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。

↑の命題により、

x ∈ (-R, R) のとき、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …

は絶対収束して、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1

が成り立つ。

x = 0 を代入すると、

a_0 = 1

両辺を2回微分すると、

2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0

x = 0 を代入すると、

a_1 = 1/2

…

というように、 a_0, a_1, … を決定できる。

なので、そもそも、

1 / cos(x)

がテイラー展開できるのか？

ということに答えなければならないはずです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 22:16:35.73

>>14
>A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
A=ΣnCk・nC(n-k)=2nCn

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 23:15:25.31

>>14
>B=Σ(k=0→n) (nCk)^3
No good answer

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 00:41:12.71

>>17
すいません、よくわかりません…

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 00:44:19.43

>>14
B(n) = Σ(k=0→n) (nCk)^3
　　 = Σ(k=0→n) {(n+r)C(k+r)・(k+r)Cr}^3 / {(n+r)Cr}^3,　(r≧0)

B(n) = Franel number

〔漸化式〕　(J.Franel)
　(n+1)(n+1)･B(n+1) = {7n(n+1)+2}B(n) + 8nn･B(n-1),

〔生成函数〕　(P.D.Hanna)
Σ(n=0→∞) B(n)(x^n)/(n!)^3 = { Σ(k=0→∞) (x^k)/(k!)^3 }^2.

〔公式〕　(V.Strehl)
　B(n) = Σ(n/2≦k≦n) (nCk)^2･(2k)Cn,

http://oeis.org/A000172

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 01:00:43.92

コインを表n枚と裏n枚で合わせる組み合わせは何通りか考える

そのまま考えると
2nCn通りだろう

これを別の数え方で数えあげる

始めのn枚を並べた時に表が何枚あるかで場合分けして数えると

最初のn枚を並べたときk枚あるパターンはnCk通りで

この時残りのn枚は表のコインがn-k枚しか残っていないから
並べ方の組み合わせはnC(n-k)通り

合わせると最初のn枚に表がk枚あるような2n枚の並べ方の組み合わせは
nC(n-k) ・nC(n-k)

これを全部合わせると全パターンの並べ方の総数になるわけで、つまり2nCn
に等しいわけだ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 01:05:35.05

>>21
1行目は
合わせて2n枚並べる組み合わせ、だった

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 01:34:38.92

>>20 (補足)

B(n) = Σ(k=0→[n/2]) (n+k)!/{(k!)^3･(n-2k)!} ･ 2^(n-2k)

〔生成函数〕
y(x) = Σ(n=0→∞) B(n)･x^n = 1 + 2x + 10xx + 56x^3 + 346x^4 + 2252x^5 +
は2階線形微分方程式
　x(x+1)(8x-1)y " + (24xx+14x-1)y ' + 2(4x+1)y = 0,
の解。
　G.Coserea(2018)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 07:32:24.82

>>19
(1+t)^(m+n)=Σ(m+n)Ck・t^k
(1+t)^m(1+t)^n=ΣmCi・t^iΣnCj・t^j=ΣΣmCi・nCj・t^(i+j)=Σ(Σ[i+j=k]mCi・nCj)t^k
Σ[i+j=k]mCi・nCj=(m+n)Ck
…
Σ[h+i+j=k]lCh・mCi・nCj=(l+m+n)Ck
…
Σ[Σi_j=k]Πm_jCi_j=(Σm_j)Ck

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 10:37:34.83

>>20
>>21
>>22
>>24
ありがとうございます！
Bは難しそうなので諦めます
Aについてじっくり読んで考えてみます

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 12:50:01.18

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).

などと書いてあります。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 13:17:05.96

しない

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 13:25:00.34

>>27

証明をお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 13:41:12.62

Weylの稠密定理+α

**おいら** · 2019/09/10(火) 15:13:37.90

1/cos(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k･{E_(2k)/(2k)!}･x^(2k),

と展開される。　E_(2k) はオイラー数。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 20:30:52.41

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。

ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。

藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。

f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}

とする。

このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n

で、

f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0

が成り立つようなものが存在することを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 21:40:56.73

>>31
Robert Strichartzの
The Way of Analysis

とかにもある

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 22:37:54.04

>>32

ありがとうございます。

Closure Properties of Analytic Functionsというセクションにある定理ですね。

ぱっと見、分かりやすくていい本っぽいですね。

ところで、それほどメジャーな本ではないと思いますが、この本を読んだきっかけは何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 22:45:35.32

>>32

探せばいい本はたくさんあるようですね。

>>32

の本もパソコンにあったのですが、全く見たことがありませんでした。

**おいら** · 2019/09/10(火) 23:40:20.82

>>30 から

1 = cos(x) {1/cos(x)}
　= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)},
x^(2n) の係数から
　Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)･E_(2k) = 0,

〔漸化式〕
E_(2n) = - Σ(k=0→n-1)　(2n)C(2k)･E_(2k)
と E_0 =1 により整数。

〔漸近形〕
　E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k･(2/π)^(2k+1)　　(k→∞)

**おいら** · 2019/09/10(火) 23:57:47.86

>>35
1 = cos(x) {1/cos(x)}
　= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)}
　= Σ(n=0→∞) {Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)・E_(2k)}/(2n)!　x^(2n)
から
　Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)･E_(2k)　= δ_(n,0)

**おいら** · 2019/09/11(水) 10:14:47.61

>>36
E_0 = 1,　　　　　　　　(1.27323954)
E_2 = -1,　　　　　　　(-1.0320491)
E_4 = 5,　　　　　　　　(5.019285)
E_6 = -61,　　　　　　　(-61.02719)
E_8 = 1385,　　　　　　(1385.0697)
E_10 = -50521,　　　　　(-50521.284)
E_12 = 2702765,　　　　　(2702766.69)
E_14 = -199360981,　　　(-199360994.9)
E_16 = 19391512145,　　　(19391512295)
E_18 = -2404879675441,　(-2404879677510)
E_20 = 370371188237525,　(370371188272932)
……
(　)内は (-1)^(2k)･2(2k)!･(2/π)^(2k+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:19:16.41

[脇スレ.026]

(1)　(√2 + √3)^n は負でない整数 a_n, b_n, c_n, d_n を用いて
　a_n + (√2)b_n + (√3)c_n + (√6)d_n,
と表せることを示せ。

(2)　d_(2n-1) を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:22:29.77

>>38
(略解)
漸化式
　a_(n+1) = 2b_n + 3c_n,
　b_(n+1) = a_n + 3d_n,
　c_(n+1) = a_n + 2d_n,
　d_(n+1) = b_n + c_n,
と
　a_1=0,　b_1=1,　c_1=1,　d_1=0
から。
(2)
　a_(2n-1) = d_(2n-1) = 0,
　b_(2n) = c_(2n) = 0,
後者は
　(√2 + √3)^(2n) = (5+2√6)^n
　= Σ(k=0,n) C(n,k) (5^k)(2√6)^(n-k)
　= a_(2n) + (√6)d_(2n),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:28:38.43

[脇スレ.044]
Aは実数を成分とする2次正方行列で A≠E、A≠O とする。
このとき、Aによる一次変換αの不動点
　( x ) ≠ ( 0 ) を求めよ。
　( y )　　( 0 )

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:34:52.04

>>40
(略解)
A = (a b)
　　(c d)
A-E ≠ O,
|A-E| = (a-1)(d-1) - bc = |A| - (a+d) +1 = 0,
とするとき、不動点は
　( x ) ＝ ( b ),　(1-d)
　( y )　　(1-a),　( c )

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:49:24.44

[脇スレ.082]
実数を成分とする2次正方行列Aは、
　A = [a,b]
　　　[c,d]
　ad-bc = 1
　3以上のある自然数nに対して　A^n = E,
を満たす。Aを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 01:10:35.06

>>42
(略解)
　A = ±E
pはnの素因数として
　A = [ cos(2qπ/p),　±sin(2qπ/p) ]
　　　[ 干sin(2qπ/p),　cos(2qπ/p）]

>>41　不動軸と云うべきか....

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 01:29:09.76

>>43
それだけじゃ収まんめえよ

[4 -7]^3
[3 -5]

とか計算してみい

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 01:55:03.44

[脇スレ.083]
分からない問題
(1)　スターリングの公式の導出

　log(k) ≧ ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx,
　(1/2){log(k-1)+log(k)} ≦ ∫[k-1,k] log(x)dx,
を k=2,････,n について足すと
　log(n!) = Σ[k=2,n] log(k) ～ (n+1/2)log(n) -n +c,
　　0.89180 = (3/2)log(2e/3) < c < 1,
は出るが、
　c = (1/2)log(2π) = 0.91894
が出ませぬ....orz　　どうやるんだろ？？
　
*) log(n+1/2) = log(n) - log{1 - 1/(2n+1)} > log(n) + 1/(2n+1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 02:05:25.03

[脇スレ.083]
分からない問題
(2)　オイラー定数γを規則的な連分数で表示する。

代数的数どころか無理数かどうかも怪しい。
もう、ｻﾊﾟｰﾘですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 02:32:45.96

[脇スレ.083]
分からない問題
(3)　円周率πを計算するニュートンの公式の導出

(略解)
二項公式
　(1-xx)^n = Σ(k=0,n) (-1)^k C(n,k) x^(2k),
で n=-1/2 のとき、
　1/√(1-xx) = Σ(k=0,∞) (-1)^k C(-1/2,k) x^(2k),
xで積分して
　arcsin(x) = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} x^(2k+1),
x=1/2 のとき
　π/6 = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} (1/2)^(2k+1),

ここに、一般化二項係数
　C(-1/2,k) = (-1)^k {(2k-1)!!/(2^k・k!)},　　(k≧1)
　　　　　　　= 1　　　　　(k=0)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 02:54:43.43

>>46
　ｻﾊﾟｰﾘでもないか。

ネイピア数eにはある。
　e = 2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]

円周率πにもある。(正則ぢゃないけど)
　π = 3 + (1^2)/{6 + (3^2)/[6 + (5^2)/(6 +(7^2)/(6 + ････))]}

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:01:40.15

>>42

A = [cosθ+ p sinθ, -q(1+pp)sinθ]
　　　[(1/q)sinθ, cosθ- p sinθ]
p,q≠0：実数, θ=2πk/n, k：整数
らしい。。。
[脇スレ.090]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:31:46.20

>>49
n = 3 の場合で
p = 18q = ±3√3,
1+pp = 28,
k = ±1,
θ = ±2π/3,
cosθ = -1/2,
sinθ = 3q = 1/(4q) = 9/(2p),
とおけば >>44 を含む。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:42:56.23

いや、>>49も不十分。
ジョルダンセルのサイズが1で固有値がともに1の冪根でtrace、determinantが実数が条件だから固有値が+1,-1となるケース、つまりtr=0、det=-1のケースも入れないといかん。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:51:18.13

>>51
>det=-1のケース
ad-bc=1

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 04:02:21.87

>>52
お、ホント。
見逃した。失礼。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 12:15:04.50

>>49
固有値λ = e^(iθ) に対する固有ヴェクトルu
　( p+i )
　( 1/q )

固有値λ = e^(-iθ) に対する固有ヴェクトルu
　( p-i )
　( 1/q )

[脇スレ.090]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 12:26:59.54

>>35
〔漸近形〕
　E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k　２(2/π)^(2k+1)　　(k→∞)

>>37
　(　)内は (-1)^ｋ　2(2k)!･(2/π)^(2k+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 07:20:12.67

>>45
n! = Γ(n+1) = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx (置換: x=n+(√n)t)
　= ∫[-n^2,∞] (n+(√n)t)^n e^(-n-(√n)t) (√n)dt
　= n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt

n→∞ で (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) → e^(-t^2/2),
∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt → ∫[-∞,∞] e^(-t^2/2) dt = √(2π)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 15:15:04.46

被積分函数 x^n e^(-x) は x=n で極大 (n/e)^n となる
x=n のまわりにテーラー展開して
　x^n e^(-x) = (n/e)^n {1 - tt/2 + ttt/(3√n) + (n-2)t^4 /(8n) + (6-5n)t^5 /(30n√n) + ････ }
　　= (n/e)^n e^(-tt/2 + (t^3 /√n) -(t^4)/(4n) + (t^5)/(5n√n) - ････ )
　　～ (n/e)^n e^(-tt/2)　　　　････正規分布
これはｔ=±√2 の辺りでも極大値の 1/e であり、t<-√n ではひじょうに小さい。
∴積分の下限を -∞ としてもよい。
n! = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx
　～ (n/e)^n ∫[-√n, ∞] e^(-tt/2) (√n)dt
　～ n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-∞, ∞] e^(-tt/2) dt
　= n^(n+1/2) e^(-n) √(2π),
でござるな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 19:12:21.54

https://youtu.be/89d5f8WUf1Y

↑は、

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

の値を求めている動画です。

40万回以上も再生されている動画ですが、いい加減すぎやしないでしょうか？

こういう解答を何の疑いもなく受け入れてしまう人もいると思います。

質が悪いですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 19:50:54.73

〔問題102〕
f(x,t) = exp(-xx) cos(t),
g(x,t) = exp(-xx) sin(t),
F(x,t) = [[f, -g] [g, f]],
D = [[∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x]],　　…　微分演算子
X(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X^n をx,tで表わせ。

[脇スレ.102]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 20:08:49.38

T(t) = [cos(t), -sin(t)] [sin(t), cos(t)]],
とおくと
F(x,t) = exp(-xx) T(t),
F^(-1) = exp(xx) T(-t),
D T(t) = T(t) (∂x - 1),
より
X^n = {F^(-1) D F}^n
　= F^(-1) D^n F
　= F^(-1) (∂x - 1)^n exp(-xx) T(t)
　= exp(xx) (∂x - 1)^n exp(-xx) E,
さて、どうする？？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 20:25:59.47

(∂x - 1) ぢゃなくて (∂/∂x) - 1

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 20:51:09.08

>>58
字で書いて

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 21:31:20.43

>>58
なんか間違ってるのかこれ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:05:44.10

たぶん「極限が存在するかどうか示してないのにlogの連続性使って計算してる」とかそんな感じよくだらない部分だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:06:32.94

そんな感じよ→そんな感じの

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:06:48.59

>>63
リーマン和のようなものを作っていて、それが広義積分に収束するということを勝手に仮定しています。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:08:15.15

自分で考えた解答は以下です：

a_n := log((n!/n^n)^(1/n))

=

(1/n) * log(n!/n^n) = (1/n) * log(1/n * 2/n * … * n/n)

=

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))

とおく。

log(x) は単調増加関数だから、

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log((n-1)/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx ≦ (1/n) * (log(2/n) + … + log(n/n))

が成り立つ。

よって、

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(n/n) = ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ (1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))

が成り立つ。

まとめると、

∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ a_n ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:08:31.86

∫ log(x) dx = x * log(x) - x

であり、

lim_{ε → +0} ε * log(ε) = lim_{ε → +0} - log(1/ε) / (1/ε) = 0

であるから、

lim_{ε → +0} ∫_{ε}^{1} log(x) dx

=

lim_{ε → +0} [(1 * log(1) - 1) - (ε * log(ε) - ε)]

=

lim_{ε → +0} [- 1 - ε * log(ε) + ε]

=

-1

である。

したがって、

lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + lim_{n → ∞} (1/n) * log(1/n) ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

∴ -1 ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ -1

∴ lim_{n → ∞} a_n = -1

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:08:48.45

exp(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} exp(a_n)

=

exp(-1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:09:20.00

>>58

誤魔化しですが、誤魔化されたことに気づかない人も多いと思います。

そこが質が悪いですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:09:38.50

Michael Spivak著『Calculus 3rd Edition』をチェックしてみたら、

同じ問題がありました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:09:54.57

13

(a)

f を [1, ∞) で狭義単調増加関数とする。

f(1) + … + f(n-1) < ∫_{1}^{n} f(x) dx < f(2) + … + f(n)

を示せ。

(b)

f = log とし、

n^n / exp(n-1) < n! < (n + 1)^(n + 1) / exp(n)

を示せ。

したがって、

lim_{n → ∞} (n!)^(1/n) / n = 1 / e

が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:10:10.41

(a) 明らか。

(b)

log(1) + … + log(n - 1)

=

log((n - 1)!)

∫_{1}^{n} log(x) dx

=

n * log(n) - n + 1

log(2) + … + log(n)

=

log(n!)

よって、

log((n - 1)!) < n * log(n) - n + 1 < log(n!)

(n - 1)! < n^n / exp(n - 1) < n!

∴

n^n / exp(n - 1) < n! < (n + 1)^(n + 1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:10:26.23

Spivakさんの解答のほうが理解するのは簡単だと思いますが、思いつくのは大変かもしれませんね。

◆Q/LEoOxAUk · 2019/09/14(土) 22:25:05.86

単調収束定理使ってんじゃないの？
今電車の中でイヤホン持ってきてないから声聞こえないけど説明はなんて言ってんの？

◆Q/LEoOxAUk · 2019/09/14(土) 22:26:45.66

あ、単調収束定理じゃなくて一様可積分性による収束定理ね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:29:34.68

解くだけなら積分とか使わなくても
分解して

(n!/n^n)＝((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/n

と見れば
各項の((k-1)/k)^(k-1)という数列、これは定義式からeに収束する数列そのもの、の逆数なので
それらを掛け合わせた(n!/n^n)も(積の)チェザロ平均の法則から同じ値に収束する、とシンプルに求める事はできる

一応、数列a_kが収束するなら (a_1a_2・・・a_n)^(1/n)も同じ値に収束するという法則ね

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:36:02.49

ん？積の場合はチェザロ平均とは言わないか
単に幾何平均だな

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:09:42.28

>>77

a_k := (k/(k+1))^k とおく。

n!/n^n = a_1 * … * a_{n-1}

n!/n^n = (1/a_n) * (a_1 * … * a_n)

(n!/n^n)^(1/n)

=

(1/a_n)^(1/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

1 * lim_{n → ∞} a_n

=

lim_{n → ∞} a_n

=

lim_{n → ∞} (n/(n+1))^n

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^n

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / (1 - 1/(n+1))

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))

=

(1/e) / 1

=

1/e

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:21:22.43

(a_n) を正の実数のみからなる数列とし、正の実数 α に収束するとする。

log(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} log(a_n) = log(α)

である。

log((a_1 * … * a_n)^(1/n))

=

(1/n) * log(a_1 * … * a_n)

=

(log(a_1) + … + log(a_n)) / n

である。

lim_{n → ∞} log((a_1 * … * a_n)^(1/n))

=

lim_{n → ∞} (log(a_1) + … + log(a_n)) / n

=

lim_{n → ∞} log(a_n)

=

log(α)

である。

exp(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} exp(log((a_1 * … * a_n)^(1/n)))

=

exp(log(α))

=

α

である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:23:19.71

>>77

積分を使わないというだけで、この解法のほうが複雑で難しいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:33:33.55

>>78
対数取って
でしょ
チェザロ平均でいいと思う

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:54:46.43

>>81
いやさね、どれだけシンプルに答えが出るか
って事なんだ

(n!/n^n)が((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/nと分解されるのは行間とかなしで一目みれば明らかだろう

それぞれの項の((k-1)/k)^(k-1)がeの逆数なんてのも見れば明らかだろう

そして数列の調和平均、相乗平均、相加平均が元の数列と同じ値に収束するというのもそういう法則を知っていれば明らか

つまりこの問題の為に必要な計算は1行でいいという事だ

別に積分が悪いってわけじゃないけどね
誤差評価には役立つし

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 01:24:02.03

binary512以降のフォーマット

binary512はExponentが23bit
binary1024はExponentが27bit
binary2048はExponentが31bit
binary4096はExponentが35bit
binary8192はExponentが39bit
binary16384はExponentが43bit
binary32768はExponentが47bit
binary65536はExponentが51bit

である場合の問題点。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 02:24:01.12

>>60 >>61

(∂/∂x - 1)^n = {exp(x)(∂/∂x)exp(-x)}^n
　　　　　　　　　= exp(x) (∂/∂x)^n exp(-x),
より
exp(xx) (∂/∂x - 1)^n exp(-xx)
　= exp{x(x+1)} (∂/∂x)^n exp{-x(x+1)}
　= exp{(x+1/2)^2} (∂/∂x)^n exp{-(x+1/2)^2}
　= (-1)^n Ｈ_n(x+1/2),　　　(← ロドリーグの公式)

Ｈ_n(x) はn次のエルミート多項式。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 03:14:42.71

何か変だ。
X = F^(-1) (DF)　　　　　　　(←直後のＦにのみ作用)
　= exp(xx)T(-t) D T(t) exp(-xx)
　= exp(xx) (∂/∂ｘ -1) exp(-xx) E
　= (-2x-1) E,
より
X^n = (-2x-1)^n E.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 03:27:10.68

>>60 >>61 は次の問題の解

〔類題〕
F(x,t) = exp(-xx) [ [ cos(t), -sin(t) ] [ sin(t), cos(t) ] ],
D = [ [∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x] ],　　…　微分演算子
X_n(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D^n F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X_n をx,tで表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 22:05:30.66

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。

以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？

なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。

定理3

I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。

証明

f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。

f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。

これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 23:01:08.02

不定積分を求めよ。

（1）∫1/(3^x+1) dx

（2）∫log(log(x))/{x･log(x)} dx

（3）∫e^(2x)/√(e^x + 1) dx

[脇スレ.216]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 23:39:31.17

(1)
3^x + 1 = u　とおく。
log(3) 3^x dx = du
(与式1) = ∫{1 - (3^x)/(3^x + 1)} dx
　= x -∫(1/u)du /log(3) = x - log(3^x + 1) /log(3),

(2)
log(log(x)) = u　とおく。
1/{x･log(x)} dx = du,
(与式) = ∫ u･(du/dx) dx = (1/2)uu = (1/2){log(log(x))}^2,

(3)
e^x +1 = uu とおく。
　(e^x) dx = 2u du
　(与式) = ∫2(uu-1)du = (2/3)u^3 - 2u
　= (2/3)(uu-3)u = (2/3)(e^x - 2)√(e^x + 1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 00:17:12.86

脇スレってなんのこと？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 10:08:15.26

脇スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567920449/l20

>>13

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 11:36:35.77

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。

ところが、実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する

∫_{a}^{b} f(t) dt

の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、

∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt

によって定義しています。

統一性が全くありませんよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 11:41:35.06

思ったのですが、

実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 11:42:00.35

思ったのですが、

実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 13:39:53.07

マルチ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 15:23:44.84

>>93
>>94

Serge Langの本では、

∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt

などと定義しています。

これでは、

∫_{C} f(z) dz

の意味が分かりづらいですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 16:57:38.34

なんか複素関数論って基本的なアイディアは難しいとは思いませんが、厳密にやろうとすると、
途端に非常に難しくなりますね。

ジョルダンの定理とか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 17:04:37.29

グリーンの定理というのがあります。

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

というものです。

証明は、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

と

∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy

とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

が成り立つをことを証明します。

なぜ、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？

なんか冗長なような気がします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 17:07:22.92

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

をグリーンの定理とよび、

その系として、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

を書けばいいように思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 17:10:59.65

>>98

グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。