不等式への招待第10章

**不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)** · 2018/12/18(火) 21:47:07.65

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/10(木) 04:13:48.85

>>29

||x||_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ････ + |x_n|^p)^{1/p}

p次平均ノルム
p≧1

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/10(木) 06:11:46.62

>>27
x ≒ x0 の周りにテイラー展開すれば
(x^2019 - x^31 + 3)^3 = 3k{1 + 4(x/x0 - 1) + 45791.82863314406(x/x0 -1)^2 + ････},
(x/x0)^12 + 1 + 1 = 3{1 + 4(x/x0 - 1) + 22(x/x0 - 1)^2 + ････},
(x/x0)^4 = {1 + 4(x/x0 - 1) + 6(x/x0 - 1)^2 + ････},

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/20(日) 05:29:41.07

>>13
左:
　0 < t < 1/2　⇒　1-t > t,
　1/2 < t < 1　⇒　t > 1-t,
　(中辺) > (a+b-1)∫[0,1/2] t^{a+b-2} dt + (a+b-1)∫[1/2,1] (1-t)^{a+b-2} dt
　= [ t^{a+b-1} ](0,1/2) + [ (1-t)^{a+b-1} ](1/2,1)
　= (1/2)^{a+b-1} + (1/2)^{a+b-1}
　= (1/2)^{a+b-2},

右:
ヤングの不等式より
　t^{a-1}･(1-t)^{b-1} ≦ [(a-1)t^{a+b-2} + (b-1)(1-t)^{a+b-2}]/(a+b-2),

　(中辺) ≦ [(a-1)t^{a+b-1} - (b-1)(1-t)^{a+b-1}](0,1) /(a+b-2)
　= [(a-1) + (b-1)] / (a+b-2)
　= 1,

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/22(火) 05:49:20.92

〔前スレ.950〕
a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 8[(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2]/(a+b+c)^2,

( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２ - 325, 336 )
( //suseum.jp/gq/question/3013 )

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/22(火) 06:04:00.30

>>33
bはaとcの中間にあるとしてよい。
　(a-b)(b-c) ≧ 0,
　(c-a)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)(b-c) + (b-c)^2,

s = a+b+c，u = abc とおく。
(左辺 - 右辺)･ssu
= [c(a-b)^2 + b(c-a)^2 + a(b-c)^2]ss - 8u[(a-b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2]
= (css -8u)(a-b)^2 + (bss -8u)(c-a)^2 + (ass -8u)(b-c)^2
= [(b+c)ss -16u](a-b)^2 + (bss -8u)･2(a-b)(b-c) + [(a+b)ss -16u](b-c)^2
≧ 4a[(a-b)(b-c)]^2 + 16b[(a-b)(b-c)]^2 + 4c[(a-b)(b-c)]^2
= 4(a+4b+c)[(a-b)(b-c)]^2
≧ 0,

　(b+c)ss - 16u -4a(b-c)^2 = (b+c)[ss - 4a(b+c)] = (b+c)(-a+b+c)^2 ≧ 0,
　bss - 8u -8b(a-b)(b-c) = b[ss -8b(a-b+c)] = b(a-3b+c)^2 ≧ 0,
　(a+b)ss - 16u -4c(a-b)^2 = (a+b)[ss - 4c(a+b)] = (a+b)(a+b-c)^2 ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/25(金) 08:47:28.94

a,b,c >0 のとき

(1)　(abb)^3 + (bcc)^3 + (caa)^3 + 3(abc)^3 ≧ abc{(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3} + (abc)^2･(a^3 +b^3 +c^3)
　　　バルカンMO-2015、P1

(2)　　a√(a+3b+c) + b√(a+b+3c) + c√(3a+b+c) ≦ √(a+b+c)･√{a(a+3b+c)+b(a+b+3c)+c(3a+b+c)},
　　　セルビアMO-2017、P1改

(3)　　(a-b-c)^2 /b + (b-c-a)^2 /c + (c-a-b)^2 /a ≧ (aa+bb)/(a+b) + (bb+cc)/(b+c) + (cc+aa)/(c+a),
　　　クロアチアMO-2018、A1改

ｶﾞｲｼｭﾂかも知れませんが････

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/04(月) 16:57:27.17

a,b,c>0に対して、1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ≧ (3√3)/{2√(aa+bb+cc)}.

( ﾟ∀ﾟ)ノごきげんよう

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 12:41:14.63

とりあえず改造････

a,b,c>0 に対して
　1/a + 1/b + 1/c ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) ≧ 9/(a+b+c) ≧ 9/√{3(aa+bb+cc)}.

( ﾟ∀ﾟ)ノ　ごぶさたでござる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/05(火) 20:23:14.73

>>37
なんと！元の不等式はヌルヌルでござったか…

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/11(月) 18:01:27.73

等式だけど
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 + 2(ac+bd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 + 2(ab+cd)^2.

これって何か背景あるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/12(火) 17:06:09.82

>>39
行列式を展開して作れるのかなと思ったが、どんな行列式から出てくるか思いつかん。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/16(土) 01:12:40.14

>>39
　(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 - 2(ab±cd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 - 2(ac±bd)^2.
= (aa+dd-1)^2 + (bb+cc-1)^2 - 2(ad±bc)^2,　　(複号同順)
同じことだけど････

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/16(土) 01:20:11.40

数セミ3月号 NOTE より

n個の正数 x_1,　x_2, …, x_n の相加平均を A_n、相乗平均を G_n とする。
それに正数 y を追加した (n+1)個組の相加平均を A_{n+1}、相乗平均を G_{n+1} とする。このとき
　n(A_n - G_n) ≦ (n+1)(A_{n+1} - G_{n+1}),

[前スレ.866, 872]
ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/18(月) 01:07:20.81

>>42
NOTEの不等式って、ヤコブスタールの不等式とどこが違うの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/18(月) 18:08:19.89

>>43
畏れながらお奉行様、手前には何のことやらさっぱり分からぬ始末にございまして、いやはや、いったいどこからそのような根も葉もない噂が流れましたことやら。

溜池通信
http://tameike.net/writing/shanghai27.htm

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/18(月) 23:35:18.28

>>44
いい加減にしろよ馬鹿が

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/20(水) 06:44:03.40

>>43
それを気にしていたら、このスレの住人は務まりませぬ。。。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/20(水) 07:16:40.17

記事のコメントには、ヤコブスタールの不等式そのものであるとか指摘はなかったけど、ZZZは知らなかったのか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/20(水) 23:05:39.15

学術誌レベルの新規性を要求されちゃカナワンよなぁ。
雑誌を全部サーチしてから出すなんて、どだい無理だし。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/21(木) 00:14:53.49

ヤコブスタールの不等式は、一般人には有名じゃないの？
コーラを飲めばゲップが出るくらい当たり前のことだと思っていたけど…

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/22(金) 02:26:44.49

読者（一般人）に有名でなければ再発見でもOK
ということで願いたい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/05(火) 01:25:25.02

〔問題3043〕
A, B, C は正の実数で次式を満たす。
　M = (A+B+C)/3 = 1/(nn+n+1),
　n = 1, 2, ････
このとき次式を示せ。
　{(1-A)/A^p}^p + {(1-B)/B^p}^p + {(1-C)/C^p}^p ≧ 3{(1-M)/M^p}^p,
ただし　p = 1/(n+1).
　by　K. Chikaya (2019/Feb)

http://suseum.jp/gq/question/3043

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/05(火) 18:54:10.14

難しいな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/08(金) 19:36:03.74

bot59の不自然な不等式は何なんですかね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/09(土) 06:26:00.80

〔bot-59〕
x,y,z>0 のとき次を示せ。
　4 + xx + xyy + xyzz ≧ 4xyz,
　カナダMO-2012 A.1

左から AM-GM するだけ....
　4 + xx + xyy + xyzz + xyzww ≧ 4xyzw,

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/09(土) 07:57:40.75

なるほど！
カラクリが分かると何でもないですね、ありがと。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/09(土) 23:16:13.39

a,b,c,d,e>0 に対して、
(abcd + bcde + cdea + deab + eabc)^4 ≧ 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/11(月) 00:59:41.06

>>56
　abcd + bcde + cdea + deab + eabc = 5(G^5)/H,
　a+b+c+d+e = 5A,
　abcde = G^5,
だから
　A^(n-1)･H ≧ G^n ≧ A･H^(n-1)　　…　Sierpinskiの不等式
の右側でござるか。

・文献3 (大関) 2-2 例題1 p.79-80

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/11(月) 10:40:22.46

>>56
1/a=A, 1/b=B, 1/c=C, 1/d=D, 1/e=E
とおく。　与式は
　(A+B+C+D+E)^4 ≧ 125(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC),
となる。　　左辺を展開すると、いろいろなパターンの4次項が現れる。
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
　(4,1)　(3,1,1)　(2,2)　(2,1,1)　(1,1,1,1)
の5パターンがある。
　(4,1)　A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4,
　(3,1)　4(A^3)(B+C+D+E) + …
　(2,2)　6(AABB+AACC+AADD+AAEE+BBCC+BBDD+BBEE+CCDD+CCEE+DDEE),
　(2,1,1)　12AA(BC+BD+BE+CD+CE+DE) + …
　(1,1,1,1)　24(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC) = 24v,

AM-GM より　(A^4 + B^4 + C^4 + D^4)/4 ≧ ABCD,
　(4,1) ≧ v,
同様にして（ﾁｮﾄ怪しい…)
　(3,1) ≧ 16v,
　(2,2) ≧ 12v,
　(2,1,1) ≧ 72v,
　(1,1,1,1) = 24v,
となるので、
　(左辺) = (A+B+C+D+E)^4 ≧ (1+16+12+72+24)v = 125v = (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/11(月) 10:43:09.35

>>58
　訂正ｽﾏｿ

5つから重複を許して4つを取り出す場合は
　(４)　(3,1)　(2,2)　(2,1,1)　(1,1,1,1)
の5パターンがある。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/12(火) 00:28:15.75

>>58
Muirhead から
　(4) ≧ (3,1) ≧ (2.2) ≧ (2,1,1) ≧ (1,1,1,1) = 24v,
ですね。
一般のnについても、同様に成立。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/13(水) 08:42:52.77

奥が深いですね。勉強になります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/13(水) 08:51:11.62

B.5009
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201902&t=mat&l=en
C.1511
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201812&t=mat&l=en
B.4980
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201810&t=mat&l=en
C.1493, B.4968の分数の取りうる値は？
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201809&t=mat&l=en

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 04:36:47.63

〔B.5009〕
　Given that xx+yy+zz=3, where x,y,z are positive numbers. Prove that
　　2^(1/x) + 2^(1/y) + 2^(1/z) ≧ 6,　　　　　　　　　　　(2019/Feb)

(略証)
コーシーで
　(xx+yy+zz)(1/x+1/y+1/z)^2 ≧ (1+1+1)^3 = 27,
あるいは AM-HM で
　1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z) ≧ √{27/(xx+yy+zz)} = 3,
AM-GM で
　(左辺) ≧ 3･2^{(1/x +1/y +1/z)/3} ≧ 3･2 = 6,
等号成立は x=y=z=1.

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 05:04:01.19

〔C.1511〕
B and C are interior points of a line segment AD such that AB=CD.
　Prove that PA+PD ≧ PB+PC for any point P on the plane.　　　(2018/Dec)

(略証)
・Pが直線AD上になく、B≠C の場合。
　ADの中点 = BCの中点をFとし、PFの延長線上に PF=FQ となる点Qをとる。
　問題図は点Fに関して対称である。
　⊿PAF ≡ ⊿QDF、　⊿PBF ≡ ⊿QCF
　PA = QD、　PB = QC
　ここで、⊿PDQ ⊃ ⊿PCQ　だから
　QD + PD ≧ QC + PC,
　∴　PA + PD ≧ PB + PC,
・B=C の場合は△不等式となる。
・Pが直線AD上の場合は明らか。A以遠またはD以遠のとき等号成立。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 05:10:51.33

〔B.4980〕
Let n>3 be a positive integer, and let a_1, a_2, ････, a_n be positive real numbers. Prove that
　1 < a_1/(a_n+a_1+a_2) + a_2/(a_1+a_2+a_3) + ････ + a_n/(a_{n-1}+a_n+a_1) < [n/2]
where the left-hand side of the inequality cannot be replaced by a larger number, and the right-hand side cannot be replaced by a smaller number.
( [x] denotes the greatest integer not greater than the number x.)　　　(2018/Oct)

(左側)
　(分母) < a_1+a_2+････+a_n　により成立。
　また　ε>0, 　a_i = ε^(i-1)　とすると、(中辺) < 1 +(n-1)ε,
　　ε→0　とすれば1に近づく。

(右側)
nが偶数のとき、隣合うペアについて
　a_i/(a_{i-1}+a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}) < a_i/(a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}) = 1,
だから成立。
nが奇数のときは、分母（a_{j-1}+a_j+a_{j+1}）が最小となるような j に対して
　a_{j-1}/(a_{j-2}+a_{j-1}+a_j) + a_j/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) + a_{j+1}/(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}) < (a_{j-1}+a_j+a_{j+1})/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) = 1,
残った偶数項を隣合うペアに分ける。　後略

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 05:30:26.45

〔C.1493〕
A triangle of unit area has sides a,b,c, such that a≧b≧c.
Show that b ≧ √2.　　　　　　　　　　　　　　　(2018/Sep)

(略解)
　2⊿ = bc･sin(A) ≦ bc ≦ bb,
　b ≧ √(2⊿),
等号成立は直角2等辺⊿

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 05:33:39.14

〔B.4968〕
Solve the following simultaneous equations on the set of positive real numbers:
　1/(1+a+ab+abc) + 1/(1+b+bc+bcd) + 1/(1+c+cd+cda) + 1/(1+d+da+dab) = 1,
　a+b+c+d = 4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2018/Sep)

(略解)
　abcd ≦ {(a+b+c+d)/4}^4 = 1,　　　　(← GM-AM)
　1/(1+b+bc+bcd) = a/(a+ab+abc+abcd) ≧ a/(a+ab+abc+1),
　1/(1+c+cd+cda) = ab/{ab+abc+abcd(1+a)} ≧ ab/(ab+abc+1+a),
　1/(1+d+da+dab) = abc/{abc+abcd(1+a+ab)} ≧ abc/(abc+1+a+ab),
　(左辺) ≧ 1,
　等号条件から　a=b=c=d=1.

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/15(金) 05:38:56.61

>>66

bを底辺としたときの高さ（辺bに下した垂線の長さ）m はc以下だから
　2⊿ = bm ≦ bc ≦ bb,

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/15(金) 06:08:30.13

>>67
ワクワクするね

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/15(金) 07:03:09.00

a,b,c>0 に対して、
3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc) ≧ Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2}.

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/25(月) 11:16:31.87

n番目の素数をp(n)とおくとき、n≧5に対して、
p(n+1)^3 < Π[k=1 to n] p(k).

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/28(木) 19:15:24.33

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/31(日) 20:44:10.54

>>71
nについての帰納法で････

・n=5 のとき
　(左辺) = p(6)^3 = 13^3 = 2197,
　(右辺) = p(1)p(2)p(3)p(4)p(5) = 2･3･5･7･11 = 2310,
により成立。

・n>5 のとき
　ベルトラン予想（チェビシェフの定理）より　p(n+2)/p(n+1) < 2,
∴　{p(n+2)/p(n+1)}^3 < 8 < p(n+1),
n について成立すれば n+1 のついても成立する。(終)

さくら、さくら、今　咲き誇る
http://www.youtube.com/watch?v=PB-IdtDRY1I

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/01(月) 04:26:16.64

>>72
crux/v44/n1/Problems_44_1

4304
Evaluate
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) + {cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3,

4306-改
Prove that
　　√(16n+24) > √n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) > √(16n+20),

4308.
Let a,b & c be positive real numbers. Prove that
　 27abc(aab+bbc+cca) ≦ (a+b+c)^2･(ab+bc+ca)^2,

4309.
Let a,b & c be real numbers such that a+b+c=3. Prove that
　　2(a^4 + b^4 + c^4) ≧ ab(ab+1) + bc(bc+1) + ca(ca+1).

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/01(月) 04:35:08.54

>>74

4304.
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) = √7,
{cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3 = 18/√7,
∴ 25/√7.

4306-改
右)
　√n + √(n+3) = √{(2n+3) + 2√(n(n+3))} ≧ √{(2n+3) + 2(n+1)} = √(4n+5),

　{√(n+1) - √n} - {√(n+3) - √(n+2)} = 1/{√(n+1) + √n} - 1/{√(n+3) + √(n+2)} > 0,

　√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≧ 2√(4n+5),

左)　GM-AM より
　√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≦ 4√(n+3/2) = √(16n+24),

4308.
　A = aab+bbc+cca,　B = abb+bcc+caa,　C = 3abc　とおくと与式は
　9CA ≦ (A+B+C)^2,
(u+v+w)^2 ≧ 3(uv+vw+wu) より
　B^2 ≧ 3abc(aab+bbc+cca) = CA,
　A+B+C ≧ A + √(CA) + C ≧ 3√(CA),

4309.
(解1)
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/9)(aa+bb+cc)(a+b+c)^2 = aa+bb+cc ≧ ab+bc+ca,
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2,
　辺々たす。
(解2)
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/27)(a+b+c)^4 = (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca,
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2,
　辺々たす。

http://cms.math.ca/crux/v45/n1/Solutions_45_1.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/01(月) 04:41:05.15

>>72
crux/v44/n2/Problems_44_2

4316.
Let f:[0,11] be an integrable and convex function. Prove that
∫[3,5] f(x)dx + ∫[6,8] f(x)dx ≦ ∫[0,2] f(x)dx +　∫[9,11] f(x)dx,

(略解)
下に凸だから
　f(3+t) ≦ {f(t) + f(t) + f(9+t)}/3,
　f(6+t) ≦ {f(t) + f(9+t) + f(9+t)}/3,
辺々たす。
　f(3+t) + f(6+t) ≦ f(t) + f(9+t),
0≦t≦2 で積分する。

4317.
Solve the following system of equations over reals:
a+b+c+d = 4,
abc + bcd+ cda + dab = 2,
abcd = -1/4,

(略解)
　ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3,　
となるから a～d は↓の実根。
0 = t^4 -4t^3 +(3√3)t^2 -2t -1/4 = {t-(1+√3)/2}^3 {t-(5-3√3)/2},
∴ a～d = (1+√3)/2 =　1.36602540378444 (3重根)
　　　　　　(5-3√3)/2 = -0.0980762113533

4320.
For positive real numbers a,b,c,d, prove that
(a+b)(a+b)(a+c)(b+c)(b+d)(c+d) ≧ (a+b+c+d)(abcd)^(5/4),

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/01(月) 05:03:32.28

矢島美容室「SAKURA - ハルヲウタワネバダ」
http://www.youtube.com/watch?v=Bq4wIVAYwoA

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/01(月) 21:13:27.29

整理して頂き、有難う御座いまする。

最近の数オリに不等式が少ないのは、ネタ切れなのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/03(水) 07:14:05.62

>>72
crux/v44/n3/Problems_44_3

4321.
Find the greatest positive real number k such that
　(aa + bb + cc + dd + ee)^2 ≧ k(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4)
for all real numbers a,b,c,d & e satisfying a+b+c+d+e=0.

　k = 20/13,　等号成立は {1,1,1,1,-4} のとき。　

4325.
Solve in real numbers the system of equations:
　x^4 -2y^3 -x^2 +2y = -1 +2√5,
　y^4 -2x^3 -y^2 +2x = -1 -2√5,

　x = (1+√5)/2 = φ = 1.61803399
　y = (1-√5)/2 = -1/φ = - 0.61803399
　(x, y) ≒ (1.8　1.5)　付近では接触しないようでござる。

4327.
Prove the following inequality for all x>0:
arctan(x) arctan(1/x) < π/{2(xx+1)}.

4330.
Let a & b be integers such that aa -20b +24 = 0.
Find the complete set of solutions of the following equation over integers:
　5xx + axy + byy = 11.

a = 2(5n+7), b = 5nn+14n+11
　(x, y) = (n, -1)　(-n, 1)　(3n+4, -3)　(-3n-4, 3)

a = 2(5n-7), b = 5nn-14n+11
　(x, y) = (n, -1)　(-n, 1)　(3n-4, -3)　(-3n+4, 3)

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/05(金) 17:34:49.40

>>70
s,t,u と schur で何とかなりそうな伊予柑…

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/07(日) 06:46:37.06

>>79

4327-改
Prove the following inequality for all x>0:
　arctan(x) arctan(1/x) < πx/{2(xx+1)},
(略解)
x⇔1/x としても不変だから、0<x≦1 としてよい。
　arctan(x) < x,
　arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
辺々掛ける。

〔補題〕
0<x≦1 のとき
　arctan(x) > πxx/{2(xx+1)},
　arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
(略証)
・0 < x < 2/π のとき
　arctan(x) = ∫[0,x] 1/(tt+1) dt > x/(xx+1) > πxx/{2(xx+1)},
　arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) < π/{2(xx+1)},

・(4-π)/π < x ≦ 1 のとき
　arctan(x) = (π/4) - ∫[x,1] 1/(tt+1)dt
　≧ (π/4) - (1-x)/(xx+1)
　= πxx/{2(xx+1)} + (1-x){πx - (4-π)}/{4(xx+1)}
　≧ πxx/{2(xx+1)},
　arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) ≦ π/{2(xx+1)},

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/07(日) 08:12:11.85

>>72
crux/v44/n4/Problems_44_4

4335.
Let a & b be fixed positive real numbers and let n≧2 be an integer.
Prove that for any non-negative real numbers x_i, (i=1,2,････,n) such that x1 + x2 + ････ + xn = 1, we have
　(a･x_1 + b)^(1/3) + (a･x_2 + b)^(1/3) + ････ + (a･x_n + b)^(1/3) ≧ (a+b)^(1/3) + (n-1)b^(1/3).

f(x) = (ax+b)^(1/3) は上に凸だから、Jensenで
　f(x) ≧ x･f(0) + (1-x)･f(1),

4336.
For non-negative integers m & n, evaluate in closed form
　　Σ[k=0,n] Σ[j=0,m] (j+k+1)C[j+k,j]

　1 + (mn+m+n)(m+n+3)!/{(m+2)! (n+2)!},

4340.
Let a,b,c & d be positive real numbers such that
　　a + b + c + d = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d.
Show that
　　a + b + c + d ≧ max{ 4√(abcd), 4/√(abcd) }.

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/07(日) 09:02:34.31

>>72
crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf

4346.
Find all x,y,z ∈ (0,∞) such that
　64(x+y+z)^2 = 27(xx+1)(yy+1)(zz+1),
　x+y+z = xyz.

　(x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)i
より
　(xx+1)(yy+1)(zz+1) = (xyz-x-y-z)^2 + (xy+yz+zx-1)^2,
与式より
　x+y+z = xyz = ±(3√3)/8･(xy+yz+zx-1)
　ξ^3 -s･ξ^2 +{1±(8/3√3)s}･ξ -s = 0　の3根。
　x = y = z = √3,

4348.
Let p∈[0,1].　Then for each n>1, prove that
　(1-p)^n + p^n ≧ (2pp-2p+1)^n + (2p-2pp)^n.

4349.
Let x,y & z be positive real numbers such that x+y+z = 3.
Find the minimum value of
　　(x^3)/{y√(x^3 +8)} + (y^3)/{z√(y^3 +8)} + (z^3)/{x√(z^3 +8)}.

4350.
Let f:[0,1]→R　be a decreasing, differentiable and concave function.
Prove that
　f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≦ 3f(0) + f(d-c+b-a),
for any real numbers a,b,c,d such that 0≦a≦b≦c≦d≦1.

単調減少だから
　f(a) ≦ f(0),
　f(b) ≦ f(b-a),
　f(c) ≦ f(0),
　f(d) ≦ f(d-c),
下に凸だから
　f(b-a) + f(d-c) ≦ f(0) + f(d-c+b-a),
辺々たす。

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/07(日) 11:19:48.06

>>72
crux/v44/n6/Problems_44_6

4353.
Evaluate
　lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1,∞) Σ[j=1,n] 1/{k C[j+k-1,j]}.

・k=1
　Σ[j=1,n] 1/C[j,j] = n
・k=2
　Σ[j=1,n] 1/{2 C[j+1,j] = Σ[j=1,n] 1/{2(j+1)} ～ (1/2)log(n),
・k>2
　1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/C[j+k-1,j] - 1/C[j+k,j+1]},
　Σ[j=1,n] 1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/k - 1/C[n+k,n+1]}.

4356.
Solve the following system over reals:
　a + b + c + d = 6,
　aa + bb + cc + dd = 12,
　abc + bcd + cda + dab = 8 + abcd.

これらより
　ab + ac + ad + bc + bd + cd = 12,
　abc + bcd + cda + dab = 8,
　abcd = 0,
　0 = t^4 -6t^3 +12t^2 -8t = t(t-2)^3,
　{a,b,c,d} = {0,2,2,2}

4359.
Let a,b & c be positive real numbers.
Prove that
　　3 ln(a^b + b^c + c^a) + a/c + b/a + c/b ≧ a+b+c + ln(27).

4360.
Let a,b,c be non-negative real numbers such that a+b+c = 1.
Find the minimum and the maximum values of the expression
　　(a+b)/(1+ab) + (b+c)/(1+bc) + (c+a)/(1+ca).
When do these extreme values occur ?

　min. = 9/5,　　{a,b,c} = {1/2,1/2,0} {1/3,1/3,1/3}
　max. = 2,　　{a,b,c} = {1,0,0}

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/07(日) 12:06:02.16

>>72
crux/v44/n6/Problems_44_7

4367.
Let a, b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1 and |a+b+c| ≦ 1.
Prove that
　　|(a+b)/(a-b)||(b+c)/(b-c)| + |(b+c)/(b-c)||(c+a)/(c-a)| + |(c+a)/(c-a)||(a+b)/(a-b)| = 1,

4370.
Solve the following system of equations:
　a + b + c + d = 4,
　aa + bb + cc + dd = 7,
　abc + bcd + cda + dab - abcd = 5/16.

これらより
　ab + ac + ad + bc + bd + cd = 9/2,
　abc + bcd + cda + dab = 1,
　abcd = 1/16,
　0 = t^4 -4t^3 +(9/2)t^2 -t +(1/16) = (tt-2t+1/4)^2,
　t = 1 ±(√3)/2,　　(重根)

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/08(月) 05:42:05.41

4368.
Calculate
　Σ[n=2,∞)　(2^n)[ζ(n) -1 -1/(2^n)]

（与式) = Σ[n=2,∞) Σ[k=3,∞) (2/k)^n
　= Σ[k=3,∞) (2/k)^2 /(1 - 2/k)
　= Σ[k=3,∞) 4/{k(k-2)}
　= Σ[k=3,∞) {2/(k-2) - 2/k}
　= 2/1 + 2/2
　= 3,

-----------------------------------

　crux/v44/n8/Problems_44_8

4377.
Let x≧y≧z >0 such that x+y+z + xy+yz+zx = 1 + xyz.
Find min x.

与式より
　xy+yz+zx -1 = xyz-x-y-z = A,
　(x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)ｉ = A(1+i),
　(x,y,z；A) = (7,3,3；50)　(8,5,2；65)　(13,4,2；85)

4378.
Find all k such that the following limit exists.
　　lim[n→∞)　{k・F_(n+1) - Σ[i=0,n] φ^i} = 0,
where F_n is the n-th Fibonacci number and φ is the golden ratio.

　F_n = {φ^n - (-1/φ)^n}/√5,　　(Binetの公式)
　k = (√5)φ,

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/08(月) 08:43:35.55

>>72
　crux/v44/n9/Problems_44_9

4383.
Evaluate the inegral
　∫[0,1] (ln x)・√{x/(1-x)} dx.

4388.
　For positive real numbers a,b & c, prove
　　8abc(aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ (27/64){(a+b)(b+c)(c+a)}^3.

4389.
Considerthe real numbers a,b,c & d.
Prove that
　a(c+d) - b(c-d) ≦ √{2(aa+bb)(cc+dd)}.

　{a(c+d) - b(c-d)}^2 + {a(c-d) + b(c+d)}^2 = 2(aa+bb)(cc+dd),
あるいは
　(a+bi)(c-di)(1+i) = {a(c+d) - b(c-d)} + {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
　(a-bi)(c+di)(1-i) = {a(c+d) - b(c-d)} - {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
辺々掛ける。

4390.
Let x,y & z be positive real numbers with x+y+z = m.
Find the minimum value of the expression
　　1/(1+xx) + 1/(1+yy) + 1/(1+zz).

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/09(火) 00:51:03.91

>>87
4383.

(略解)
　x = (sinθ)^2　とおくと
　dx = 2 sinθ cosθ dθ
　(与式) = 4∫[0,π/2] log(sinθ) (sinθ)^2 dθ
　= 2∫[0,π/2] log(sinθ) {1 - cos(2θ)} dθ
　= 2I - ∫[0,π/2] log(sinθ) 2cos(2θ) dθ
　= 2I - [ log(sinθ) sin(2θ) ](0,π/2) + ∫[0,π/2] {cos(2θ)+1} dθ
　= 2I + [ {-log(sinθ) + 1/2} sin(2θ) + θ ](0,π/2)
　= 2I + π/2
　= -π{log(2) - 1/2}　　　　　　　(*)

-----------------------------------------------
*) 次を使った。

[例3]
　∫[0,π/2]　log(sinθ) dθ = - (π/2)log(2).　　　　(Euler)

被積分函数は θ→0 のとき -∞ になるが、θ^a log(sinθ) = (θ^a)logθ + (θ^a)log(sinθ/θ) → 0 (a>0) だから、
積分は収束する。(定理36)
この積分を I とすれば θ を π-θ に，また π/2-θ に変換して
　　I = ∫[π/2, π] log(sinθ) dθ,　　I = ∫[0,π/2] log(cosθ) dθ.
故に
　　2I = ∫[0,π] log(sinθ) dθ.
ここで θ=2φ とすれば
　　I = ∫[0,π/2] log(2φ) dφ = ∫[0,π/2] log(2 sinφ cosφ) dφ
　　　= ∫[0,π/2] log(2) dφ + ∫[0,π/2] log(sinφ) dφ + ∫[0,π/2] log(cosφ) dφ,
　　　= (π/2)log(2) + I + I.
よって標記の結果を得る。

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)　p.113
　　第3章積分法、§34. 積分変数の変換、[例3]

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/10(水) 11:48:38.47

>>87
4390.
　0 < m < √2　のとき
　　1 + 1 + 1/(1+mm) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
　√2 < m < √3　のとき
　　1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
　√3 < m < √6　のとき
　　1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),
　√6 < m　のとき
　　3/(1+mm/9) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),

>>72
　crux/v44/n10/Problems_44_10

4398.
Prove that for n∈N, we have
　1/(2n-1) + ∫[0,1] {sin(x^n)}^2 dx ≧ (2/n){1-cos(1)}.

4399.
Let ABCDE be a pentagon.　Prove that
　|AB||EC||ED| + |BC|ED||EA| + |CD||EA||EB| ≧ |AD||EB||EC|.
When does equality hold ?

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/10(水) 12:33:36.53

>>.76
　crux/v44/n2/Problems_44_2
4317.
他にもまだあった。
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3 のとき
　a～d = (1+√3)/2 =　1.36602540378444 (3重根)
　　　　　(5-3√3)/2 = -0.09807621135332
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = -3√3 のとき
　a～d = (1-√3)/2 =　-0.36602540378444 (3重根)
　　　　　(5+3√3)/2 = 5.09807621135332

4320.
　(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) = (ac-bd)^2 ≧ 0,
より
　(左辺)^2 ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^3,

　(左辺) ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^(3/2)
　　≧ 8(a+b+c+d)^(3/2)･(abcd)^(9/8)
　　≧ 16(a+b+c+d)･(abcd)^(5/4),
右辺の係数16が抜けてました。ｽﾏｿ

http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/11(木) 01:59:40.35

>>90
〔補題〕
(1/16) (a+b+c+d)^4
　≧ (4/9) (ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2
　≧ { (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) + (a+c)(c+d)(d+b)(b+a) + (a+d)(d+b)(b+c)(c+a) } /3
　≧ (a+b+c+d) (abc+bcd+cda+dab)
　≧ 16 abcd,

(略証)
　s = a+b+c+d,　t = ab+ac+ad+bc+bd+cd,　u = abc+bcd+cda+dab,　v = abcd　とおく。

　3ss - 8t = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0,

　8tt - 6(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - 6(a+c)(c+d)(d+b)(b+a) - 6(a+d)(d+b)(b+c)(c+a)}
　= {(a-b)(c-d)}^2 + {(a-c)(b-d)}^2 + {(a-d)(b-c)}^2 ≧ 0,

　(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - su = (ac-bd)^2 ≧ 0,

　su - 16v = ab(c-d)^2 + ac(b-d)^2 + ad(b-c)^2 + bc(a-d)^2 + bd(a-c)^2 + cd(a-b)^2 ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/19(金) 07:57:02.99

>>87
訂正

4388.
For positive real numbers a,b & c, prove
　8abc (aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ {(a+b)(b+c)(c+a)}^3.

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/23(火) 01:29:57.35

>>79
crux/v44/n3/Problems_44_3

4325.
与式を辺々たす。
　0 = (x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1) + (y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1)
　= (xx-x-1)^2 + (yy-y-1)^2
よって
　xx -x -1 = 0　かつ　yy -y -1 = 0,

>>81
　やっぱり、そうだ。

http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/23(火) 17:56:42.13

>>76　(追加)

4319.
Let x_1,x_2,････,x_n ∈ (0,+∞), n≧2, α≧3/2,
such that (x_1)^α + (x_2)^α + ････ +(x_n)^α = n.
Prove the following inequality:
　　Π[i=1,n] {1 +x_i + x_i^(α+1)} ≦ 3^n.

(略証)
　x ≦ (α-1 +x^α)/α　より
　1 + x + x^(α+1) ≦ 1 + (1 +x^α)(α-1 +x^α)/α
　= 1 + (1+X)(α-1 +X)/α
　= 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/α)(X-1)^2
　≦ 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/8)(1+2/α)^2･(X-1)^2　　(← α≧3/2)
　= 3{1 +y +(3/8)yy}
　≦ 3 e^y,　　　　　　　　　　　(←補題)
ここに　X = x^α, y = (1/3)(1+2/α)(X-1),
題意により
　y_1 +y_2 + ････ +y_n = (1/3)(1+2/α)(X_1 +X_2+････+X_n -n) = 0,　
　(左辺) ≦ (3^n)e^(y_1+y_2+････+y_n) = 3^n.

〔補題〕
　y > -0.9323381774 のとき 1 +y +(3/8)yy < e^y.

　x>0, X>0, α≧3/2　のとき　y > -7/9 > -0.9323381774

さて、補題をどう示すか････

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/24(水) 00:49:44.98

>>85
4367.
O(0), A(a), B(b), C(c) とおく。
　題意より A,B,Cは単位円上にあり、⊿ABC は鋭角三角形。
　∠A = α,　∠B = β, ∠C = γ とおくと　tanα>0, tanβ>0, tanγ>0,
　(a+b)/(a-b) = -i/tan(∠AOB/2) = -i/tanγ,　etc.

　(左辺) = 1/(tanγ･tanα) + 1/(tanα･tanβ) + 1/(tanβ･tanγ)
　= (tanβ + tanγ + tanα)/(tanα･tanβ･tanγ)
　= 1,　　　　　(α+β+γ=π より)

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/24(水) 13:53:15.76

>>93

4325.
　xx-x-1 = 0,　yy-y-1 = 0
を元の式に入れて
2√5 = x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1 = (xx+x+1)(xx-x-1) -2(y+1)(yy-y-1) +2(x-y) = 2(x-y),
-2√5 = y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1 = (yy+y+1)(yy-y-1) -2(x+1)(xx-x-1) +2(y-x) = 2(y-x),

これから x,y が出る。

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/25(木) 15:23:38.86

>>94
　模範解答は････

4319.
X = x^α,
f(X) = log{1 + X^(1/α) + X^(1+1/α)}
とおくと
f "(X)･αα･X^(2-1/α)･exp{2f(X)} = -α(α+1)X^(2+1/α) -2αX^(1+1/α) -αX^(1/α) +(α+1)X -(α-1)
　< -2αX^(1+1/α) + (α+1)X - (α-1)
　< -α[2X^(α+1)]^(1/α) + (α+1)X - 1/2　　　(← α≧3/2)
　< 0,
より f(X) は X>0で上に凸。

∵　(α/(α+1))･2X^(1+1/α) + (α-1)/(α+1)
　> (α/(α+1))[2X^(α+1)]^(1/α) + (1/(α+1))･(1/2)　　(← α≧3/2)
　> X　　　　　　　　　　　　(← Jensen)

http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/01(水) 06:57:59.14

>>79

4321.
|a| ≧ |b|,|c|,|d|,|e| としてもよい。このとき
　5aa - S_2 = 5aa - (aa+bb+cc+dd+ee) ≧ 0,
　aa = (-b-c-d-e)^2 ≦ 4(bb+cc+dd+ee) = 4(S_2-aa),
　∴ 4S_2 -5aa ≧ 0,　　(等号は b=c=d=e のとき)
　2aa -S_2 = (-b-c-d-e)^2 -bb -cc -dd -ee = 2(bc+bd+be+cd+ce+de),
よって
S_4 = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4
　　= a^4 + (S_2 -aa)^2 -2(bbcc+bbdd+bbee+ccdd+ccee+ddee)
　 ≦ a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/3)(bc+bd+be+cd+ce+de)^2
　　= a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/12)(2aa -S_2)^2
　　= (13/20)(S_2)^2 - (1/15)(5aa -S_2)(4S_2 -5aa)
　 ≦ (13/20)(S_2)^2,

http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/09(木) 01:31:57.01

>>85
4367-改.
Let a,b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1.
Prove that
　((a+b)/(a-b))((b+c)/(b-c)) + ((b+c)/(b-c))((c+a)/(c-a)) + ((c+a)/(c-a))((a+b)/(a-b)) = -1.

>>95
(略証)
指数関数の加法公式より
　sin(α+β+γ) = Im{e^(i(α+β+γ))}
　= Im{e^(iα)･e^(iβ)･e^(iγ)}
　= Im{(cosα+i･sinα)(cosβ+i･sinβ)(cosγ+i･sinγ)}
　= cosα･sinβ･cosγ + cosα･cosβ･sinγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ
　= sinα･sinβ･sinγ{1/(tanγ･tanα) + 1/(tanα･tanβ) + 1/(tanβ･tanγ) - 1},

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/18(土) 13:58:35.67

〔補題〕
0<θ<π/2 のとき
　sinθ < H < θ < G < A < tanθ,

ここで　H = 3sinθ/(2+cosθ),　G = {(sinθ)^2･tanθ}^(1/3),　A = (2sinθ+tanθ)/3　である。
(略証)
　cos(x) < 3{1+2cos(x)}/{2+cos(x)}^2 < 1 < {2cos(x)^2 +1}/{3cos(x)^(4/3)} < {2cos(x) + 1/cos(x)^2}/3 < 1/cos(x)^2,
をxで積分する。(0→θ)
　H < θ を B.C.Carlson と呼び、θ < A を Snellius-Huygens と呼ぶ。

[第２章.196-199,679]
[第３章.565,591]
[第６章.610-613,634,641]
[第７章.156-157,929]
[第９章.762-763]

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/18(土) 14:27:46.32

θ = π/12 = π/3 - π/4 = π/4 - π/6　とおくと
加法公式により
sinθ = (√6 - √2)/4,
cosθ = (√6 + √2)/4,
tanθ = 2 - √3,
より
　12H = 36(√3 -1)/(1+4√2 +√3) = 3.14150999
　12G = 6(√3 -1)/(1+√3)^(1/3) = 3.141927918
　12A = 2(√6 -√2) + 4(2-√3) = 3.14234913
一方、
　√2 + √3 = 3.1462643699

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/18(土) 15:56:23.58

>>101
√2 + √3 = 12A + (2-√3)^2･(√3 -√2)･(√2 -1)^2 > 12A > 12G > π,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 12:44:34.35

〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。
　(不等式ぢゃねぇが、バーゼル問題に関連あり)

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 12:51:11.72

>>103
マクローリン展開
　Σ[k=1,∞] (1/k)x^(k-1) = -(1/x)log(1-x),
より
　Σ[k=1,∞] 1/(kk･2^k) = -∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx,
　Σ[k=1,∞] {1/kk - 1/(kk･2^k)} = -∫[1/2～1] (1/y)log(1-y) dy,
辺々引く。
　ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
　= -∫[1/2～1] log(1-y)/y dy + ∫[0～1/2] (1/x)log(x) dx,
　= -∫[0～1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx
　= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
　= (log 1/2)^2
　= (log 2)^2
　= 0.4804530139182

http://club.informatix.co.jp/?p=3326

・数列総合スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1290234907/203-205

・オイラーの贈物スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1417406099/244-247

・円周率について語り合おう【π】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/304-306

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 16:33:59.17

実数 x,y が x^2 + y^2 = 1 をみたすとき、f(x,y) = 15x^2 + 10xy - 9y^2 の最大値を求めよ。
何通りのやり方があるかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 19:02:51.22

解Ｉ．
f(x,y) = 16(xx+yy) - (-x+5y)^2 ≦ 16(xx+yy) = 16,

なお、最小値は
f(x,y) = (5x+y)^2 - 10(xx+yy) ≧ -10(xx+yy) = -10,

解ＩＩ．
軸を回して
　(5x+y)/√26 = u,
　(-x+5y)/√26 = v,
とおく。
　f(x,y) = {16(5x+y)^2 - 10(-x+5y)^2}/26 = 16uu - 10vv,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/20(月) 00:59:07.00

解III．
ラグランジュの未定乗数法
　F(x,y;λ) = f(x,y) - λ(xx+yy-1)
とおく。
　∂F/∂x = ∂f/∂x -2λx = 30x +10y -2λx = 0,
　∂F/∂y = ∂f/∂y -2λy = 10x -18y -2λy = 0,
これらが自明でない解（x,y)≠(0,0) をもつことから
　(30-2λ)(-18-2λ) = 10^2,
　λ = -10, 16

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/20(月) 01:02:30.53

条件式から、三角関数に置き換えるのしか思いつかぬ…

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/20(月) 16:03:36.60

( ﾟ∀ﾟ)つ https://www.toshin.com/concours/

不等式がらみ
2018-9、2018-10、2019-3

あと気になる問題
2018-1、2018-6、2018-7

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/20(月) 23:48:57.47

〔問題〕 2018-09
正の整数nに対し、|xx-yy| がn以下の奇数であるような整数x,yの組の個数をf(n), |xx-yy| がn以下の偶数であるような整数x,yの組の個数をg(n)で表わす。このとき
　| f(n) - g(n) - (4log2)n | < 12√n,
が成り立つことを示せ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180820.jpg

〔問題〕 2018-10
[0,1] で定義された連続な実数値関数ｆが（0,1）で連続な導関数ｆ' をもち、f(0)=0, f(1)=1 を満たすとき、
　∫[0,1] {ｆ(x)}^2 dx + ∫[0,1] {ｆ'(x)}^2 dx
のとり得る最小値を求めよ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180920.jpg

〔問題〕 2019-03
nを正の整数、sを1より大きい実数とする。
0以上の実数 a1,a2,････,an が a1+a2+････+an = s を満たすとき、
Σ[k=1,n] (ak)^(k+1) を最大、および最小にする a1,a2,････,an の組（a1,a2,････,an）がそれぞれ一つずつ存在することを示せ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20190220.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/21(火) 01:04:52.11

2018-10

f(x) を微小変化させる。
　f(x) → f(x) + ⊿(x)　　　ただし ⊿(0) = ⊿(1) = 0,
　f '(x) → f '(x) + ⊿ '(x)
与式の変化分は
　∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + ∫[0,1] 2f '(x) ⊿ '(x) dx
　= ∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + 2f '(1)⊿(1) - 2f '(0)⊿(0) - ∫[0,1] 2(d/dx)f '(x) ⊿(x) dx
　= ∫[0,1] 2{f(x) - (d/dx)f '(x)}⊿(x)dx,
任意の微小変化⊿に対して非減少だから
　f(x) - (d/dx)f '(x) = 0,　　　　　････　Euler-Lagrange 方程式
これを解くと
　f(x) = a･e^x - b･e^(-x),
f(0)=0, f(1)=1 より a,bを求める。
　f(x) = sinh(x)/sinh(1),
これを与式に入れて
　1/tanh(1) = (e+1/e)/(e-1/e) = 1.3130353

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/21(火) 21:17:26.14

例１
f(x) = tan(πx/4)　のとき
　f '(x) = π/{4･cos(πx/4)^2},
　積分値　π/3 - 1 + 4/π = 1.3204371

例２
f(x) = x^c (c>1/2)　のとき
　f '(x) = c x^(c-1)
　積分値 1/(2c+1) + cc/(2c-1) ≧ 1.32015717
　等号は c = 1.132557 (4c^4 -7cc +3c -1 = 0 の根) のとき

たしかに 1.3130353 より大きい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/21(火) 21:23:37.75

a,b,c,d >0 に対して、
(a^3+b^3)(a^3+c^3)(a^3+d^3)(b^3+c^3)(b^3+d^3)(c^3+d^3)
≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/22(水) 11:07:06.07

>>111
例３
f(x) = mx + (1-m)x^3　(0<m<1) のとき
　f '(x) = m + 3(1-m)xx,
　積分値　4(51-39m+23mm)/105 ≧ 151/115 = 1.313043478
　等号は m = 39/46 = 0.8478261 のとき。

　m = 1/sinh(1) = 0.8509181 のときは　1.31305185

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/23(木) 00:14:12.95

例４
f(x) = arcsin(sin(1)･x)　のとき　
　f '(x) = sin(1)/√{1 - sin(1)^2･xx},
　積分値　2/tan(1) -1 + sin(1)arctanh(sin(1)) = 1.31599

例５
f(x) = {e^(cx) - 1}/(e^c - 1),　(c>0)　のとき
　f '(x) = c･e^(cx)/(e^c - 1),
　積分値　{(c+2)cosh(c) + (cc-c-1)sinh(c) -2}/{2c[cosh(c)-1]} ≧ 1.31387
　等号は c = 0.46729 のとき。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/23(木) 01:25:06.19

>>113
(a^3+b^3)(c^3+d^3) = (AA+BB)(CC+DD)
　= {(AA+BB)/2}CC + BB{(CC+DD)/2} + AA{(CC+DD)/2} + {(AA+BB)/2}DD
　　　　　　　　　　　　≧ ABCC + BBCD + AACD + ABDD,
同様にして
(a^3+c^3)(b^3+d^3) ≧ ACBB + CCBD + ACDD + AABD,
(a^3+d^3)(b^3+c^3) ≧ AABC + DDBC + ADCC + ADBB,
辺々掛けてコーシーで
　(左辺) ≧ {(ABC)^(4/3) + (BCD)^(4/3) + (CDA)^(4/3) + (DAB)^(4/3)}^3
　= {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/25(土) 12:43:50.50

( ﾟ∀ﾟ)つ Crux (2019年度)前期から。

4408, 4410, (4403)
https://cms.math.ca/crux/v45/n1/CRUXv45n1.pdf
OC418, 4411, 4417, 4418
https://cms.math.ca/crux/v45/n2/CRUXv45n2.pdf
4428, 4429
https://cms.math.ca/crux/v45/n3/CRUXv45n3.pdf
4431, 4432, 4433
https://cms.math.ca/crux/v45/n4/CRUXv45n4.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/26(日) 08:56:15.60

crux/v45/n1/Problems_45_1

4403.
　Let m be an integer with m>1. Evaluate in closed form
　　Σ[k=1,n] (-1)^(k-1) C[n+1,k+1] k/(m+k)　= {1 - m!(n+1)!/(m+n)!} /(m-1),

4408.
　Let α∈(0,1]∪[2,∞) be a positive real number and let a,b & c be non-negative real numbers.
　Prove that
　　a^α + b^α + c^α + (a+b+c)^α ≧ (a+b)^α + (b+c)^α + (c+a)^α.

4410.
　Prove that
　∫[0,π/4] √sin(2x) dx < √2 - π/4 = 0.6288154

(解答例)
sin(2x) ≦ min{2x, 1} より
　(与式) < ∫[0,1/2] √(2x) dx + ∫[1/2,π/4] dx = π/4 - 1/6 = 0.6187315

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/26(日) 11:11:36.98

　//cms.math.ca/crux/v45/n2/Problems_45_2.pdf

OC418.
Three sequences (a_0,a_1,････,a_n), (b_0,b_1,････,b_n), (c_0,c_1,････,c_2n) of non-negative real numbers are given such that for all 0≦i,j≦n we have a_i･b_j≦{c_(i+j)}^2.
Prove that
　Σ[i=0,n] a_i・Σ[j=0,n] b_j ≦ (Σ[k=0,2n] c_k)^2

4417.
Let a,b & c be positive real numbers.
Further, let x,y & z be real numbers such that xy+yz+zx > 0.
Prove that
　(yy+zz)a + (zz+xx)b + (xx+yy)c ≧ 2(xy+yz+zx)(abc)^(1/3).

(解答例)　AM-GM で
　(yy+zz)(zz+xx)(xx+yy) = (Y+Z)(Z+X)(X+Y)
　= (X+Y+Z)(XY+YZ+ZX) - XYZ
　≧ (8/9)(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)
　≧ {(2/3)(xy+yz+zx)}^3.

4418.
Consider a convex cyclic quadrilateral with sides a,b,c,d & area S.
Prove that
　(a+b)^5 /(c+d) + (b+c)^5 /(d+a) + (c+d)^5 /(a+b) + (d+a)^5 /(b+c) ≧ 64SS.

(解答例)
　(ab+cd)/2 ≧ S,
　(bc+da)/2 ≧ S,
　(左辺) ≧ (a+b)^4 + (b+c)^4 + (c+d)^4 + (d+a)^2
　≧ (4ab)^2 + (4bc)^2 + (4cd)^2 + (4da)^2
　≧ 8(ab+cd)^2 + 8(bc+da)^2
　≧ 8(2S)^2 + 8(2S)^2
　= 64SS.

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/26(日) 15:48:57.31

　//cms.math.ca/crux/v45/n3/Problems_45_3.pdf

4429.
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
　√{(aa+bb+cc)/2(ab+bc+ca)} ≧ (a+b+c)/{√(a(b+c)) + √(b(c+a)) + √(c(a+b))}.

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/26(日) 16:13:40.74

　//cms.math.ca/crux/v45/n4/Problems_45_4.pdf

4431.
Let x,y≧0 and x+y=2. Prove that
　√(xx+8) + √(yy+8) + √(xy+8) ≧ 9.

(解答例)
　{√(xx+8) + √(yy+8)}^2 = (xx) + (yy+8) + 2√(xx+8)√(yy+8)
　= 14 + (x+y)^2 + 2(1-xy) + 2√{49 + 8(x+y)^2 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
　= 18 + 2(1-xy) + 2√{81 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
　≧ 18 + 2(1-xy) + 2{9 + (7/9)(1-xy)}
　= 36 + (32/9)(1-xy),
∴　√(xx+8) + √(yy+8) ≧ 6 + (2/9)(1-xy)
　(xy+8) = 9 - (1-xy) ≧ {3 - (2/9)(1-xy)}^2,
よって
　(左辺) ≧ {6 + (2/9)(1-xy)} + {3 - (2/9)(1-xy)} = 9,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/26(日) 19:12:28.07

〔類題〕
x, y≧0 かつ x+y = 2 のとき
　√(xx+8) + √(yy+8) + 2√(xy+8) ≦ 12,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/27(月) 00:02:09.94

>>114
例６
f(x) = mx + nx^3 + (1-m-n)x^5　(0<m, 0<n, m+n<1)　のとき
　f '(x) = m + 3nxx + 5(1-m-n)x^4,
　積分値　(4/3465)(1660mm +1164mn +263nn -2990m -1065n +2485) ≧ 15331/11676 = 1.31303528606
　等号は m = 3785/4448 = 0.850944245　　n = 630/4448 = 0.14163669　　1-m-n = 33/4448 = 0.007419065 のとき。

これは 1/tanh(1) = (ee+1)/(ee-1) = 1.31303528550 より大きい。

なお　m = 1/sinh(1) = 0.850918128　　n = 1/{6sinh(1)} = 0.14181969　　1-m-n = 0.0072621837 のとき　1.31303529111

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/27(月) 14:10:31.73

>>122
　√z は上に凸だから Jensen ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/28(火) 06:11:55.41

>>113
(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+d^3)(d^3+a^3) = (A+B)(B+C)(C+D)(D+A)
　= (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB) + (AC-BD)^2
　≧ (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB),　　　　　　　　　　　　>>90

(左辺) ≧ (A+B+C+D)^(3/2)･(ABC+BCD+CDA+DAB)^(3/2)
　≧ 4 (ABC + BCD + CDA + DAB)^2
　= 4 {(abc)^3 + (bcd)^3 + (cda)^3 + (dab)^3}^2
　≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/29(水) 14:50:44.53

>>118
4408.
α-1 ≦ 0 または α-1 ≧ 1 ゆえ
x^(α-1) は下に凸。
　a^(α-1) + (a+b+c)^(α-1) ≧ (a+b)^(α-1) + (c+a)^(α-1),
　a^α + a(a+b+c)^(α-1) ≧ a(a+b)^(α-1) + a(c+a)^(α-1),
循環的にたす。

α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,

α≦1 のとき
(左辺) - (右辺) = (-α)(1-α)(2-α)∫[a,∞] ∫[b,∞] ∫[c,∞] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,

α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/30(木) 00:23:28.75

>>92
4388.
u = abc,
p = aab +bbc +cca,
q = abb +bcc +caa,
とおくと
　p+q+2u = (a+b)(b+c)(c+a),
　q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿,
　4u ≦ p+u,　4u ≦ q+u,
また
　b(aa+2ca+bc) = p+2u -cca,
　c(bb+2ab+ca) = p+2u -aab,
　a(cc+2bc+ab) = p+2u -bbc,
より
　(左辺) = 8(p+2u -cca)(p+2u -aab)(p+2u -bbc)
　= 8{(p+2u)^3 -p(p+2u)^2 +(p+2u)qu -u^3}
　= 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + 3(p+u)u + (q+u)u}
　≦ 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + (p+u)(q+u)}
　≦ 16u(p+u)(p+q+2u)
　= 4(p+u)(q+u)(p+q+2u)
　= (p+q+2u)^3 - (p+q+2u)(p-q)^2
　= {(a+b)(b+c)(c+a)}^3 - (a+b)(b+c)(c+a)⊿⊿,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/30(木) 11:42:57.13

>>83
4348.
　q = 2p(1-p) とおくと
1/2 - q = 2(1/2 - p)^2 ≦ |1/2 - p|,
∴　1-q, q は 1-pとpの間にある。Jensen より
　(1-p)^n + p^n ≧ (1-q)^n + q^n,

4349.
　t/√(t+8) は単調増加だからチェビシェフにより
　(与式) ≧ xx/√(x^3 +8) + yy/√(y^3 +8) + zz/√(z^3 +8),

Max{x,y,z} = X ≧2 のとき
　X^4 - (X^3 +8) = (X-2)(X^3 +XX+2X+4) ≧ 0,
　(与式) > 1,
x,y,z ≦ 2.7945 のとき
　xx/√(x^3 +8) ≧ (11x-5)/18,　etc.
　(与式) ≧ {11(x+y+z)-15}/18 = 1,
　等号は x=y=z=1 のとき。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/01(土) 02:44:07.56

〔問題074〕
△ABCが鋭角三角形のとき
　{sin(A)+sin(B)+sin(C)} / {cos(A)+cos(B)+cos(C)}
の取りうる値の範囲を求めよ。

　大学への数学 2012年/Dec. 宿題
　[第６章.872-873]
　Inequalitybot [074]

不等式への招待 第10章

不等式への招待第10章