不等式への招待第10章

**不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)** · 2018/12/18(火) 21:47:07.65

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/30(土) 06:31:05.40

>>268
〔定理〕
x_1 >0, x_2 >0, ･･････, x_n >0 のとき
　(1/n)Σ[k=1,n] (x_1･x_2…x_k)^(1/k) ≦ {Π[k=1,n] (x_1+x_2+…+x_k)/k}^(1/n),
　等号成立は x_1 = x_2 = ････ = x_n.

[前スレ.037(1)～044, 051-053, 097] の辺り
K．Kedlaya： Amer．Math．Monthly, Vol．101, No．4, p．355-357 (1994/Apr)
　"Proof of a mixed Arithmetic-mean, Geometric-mean inequality"

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/01(日) 04:00:04.45

右辺を変形してコーシーに持ち込みたいが････

　G1 = a,　G2 = √(ab),　G3 =（abc)^(1/3), ････とおく。
n=2
　(a+a)(a+b) ≧ (G1+G2)^2,
n=3
　(a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c) ≧ (G1+G2+G3)^3,
n=4
　(a+a+a+a)(a+B1+B2+b)(a+B2+C+c)(a+b+c+d) ≧ (G1+G2+G3+G4)^4,
　　B_1 = (aab)^(1/3)
　　B_2 = (abb)^(1/3),
　　B_k = {a^(n-1-k)･b^k}^(1/(n-1))　
　　C = (bbc)^(1/3),
n=5
　(a+a+a+a+a)(a+B1+G2+B3+b)(a+G2+C'+C"+c)(a+B3+C"+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,
　 B_1 = (aaab)^(1/4),
　　B_2 = √(ab) = G2,
　　B_3 = (abbb)^(1/4),
　　C ' = (ab^4･c)^(1/6),
　　C " = √(bc),
　　D ' = (cccd)^(1/4),

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/01(日) 16:15:48.98

まづ AM-GM で右辺を
　(x1 + x2 + ････ + xk)/k ≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
として、コーシーを使うのでござる。
ここに
e(i;j,k) = (n-j)! (j-1)! (n-k)! (k-1)! /{(n-1)! (i-1)! (j-i)! (k-i)! (n+i-j-k)!}
　　　　　(i≦j≦n, i≦k≦n & j+k-i≦n)
　　　　= 0　　(otherwise)
チト面倒でござるが････

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/01(日) 20:39:28.33

　(x_1+x_2+････+x_k)/k ≧ (1/ｎ)Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
でござった。

対称性
　e(i;j,k) = e(i;k,j)
斉次性
　Σ[i=1,k] e(i;j,k) = 1,
総和則
　Σ[j=i,n] e(i;j,k) = n/k　　(1≦i≦k)
　　　　　　　　　　 = 0,　　 (k<i≦n)
　Σ[k=i,n] e(i;j,k) = n/j　　(1≦i≦j)
　　　　　　　　　　 = 0,　　 (j<i≦n)
から出るか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/02(月) 19:46:04.02

>>270
(略証)
AM-GM より
　Σ[i=1,k] e(i;j,k) x_i
　≧ {Σ[i=1,k] e^(i;j,k)}・{Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)}
　= Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) 　　　　(←i斉次性)
これを Σ[j=1,n] で加えると
　(x_1+x_2+････ +x_k)/k
　≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)　(←j総和則)
次に Π[k=1,n] で掛け合わせ、コーシーを使う。
n乗の中の第j項は
　Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=1,n] e(i;j,k)}
　= Π[i=1,j] (x_i)^(n/j)　　　　　(←k総和則)
　= G_j,　　　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/03(火) 08:05:57.48

最後は
　Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=i,n] e(i;j,k)}
　= Π[i=1,j] (x_i)^(１/j)　　　　　(←k総和則)
　= G_j,　　　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/03(火) 09:41:52.21

e(i;j,k) = C[j-1,i-1] C[k-1,i-1] (n-j)! (n-k)! / {C[n-1,i-1] (n-i)! (n+i-j-k)!},

のように組合せを使って表わすのが貞三流でござるか？　(山梨大)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/05(木) 01:06:46.33

>>269

〔例題４'〕
　x_1≧1, x_2≧1,　････, x_n ≧1　のとき
　A - G ≧ G/H - 1,
ここに
　A = (x_1+x_2+････+x_n)/n,
　G = (x1･x2････x_n)^(1/n),
　H = n/(1/x_1+1/x_2+ ･･･ +1/x_n),

(略証)
G = (x_1･x_2････x_n)^(1/n)　を固定して考える。
F(ｘ) = (左辺) - (右辺)
　　　= (x_1+x_2+････+x_n)/n - G － (1/n)(1/x_1+1/x_2+････+1/x_n)G + 1,
とおく。
(x_1, x_2, ････, x_n) = (G, G, ････, G) ならば F(ｘ) = 0.
そうでないとき
　x_i > G > x_j ≧ 1,
となるｉ≠j がある。 (x_i･x_j > G･1)
それらを
　ｘ_i’= G,　x_j’=x_i･x_j/G,
に変更すると
　x_i’+ x_j’- (x_i + x_j) = －(x_i -G)(G -x_j)/(n･G),
　1/x_i’+ 1/x_j’- (1/x_i + 1/x_j) = (x_i -G)(G -x_j)/(n･x_i･x_j),
よって
　F(ｘ’) － F(ｘ) = －{(x_i -G)(G -x_j)/(n･G)} {1 - G/(x_i･x_j)} < 0,
すなわち F(ｘ) は減少する。

上記の操作を行なうたびにGの個数が1つ増えるから、
n回以内に (G,G,････,G) となり、F=0 に至る。　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/05(木) 02:40:54.44

〔系〕
　x_1≦1, x_2≦1,　････, x_n≦1　のとき
　A - G ≦ G/H - 1,

(略証)
x_i = 1/x’_i とおくと、
　A = 1/H’　G = 1/G’　H = 1/A’

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/09(月) 04:36:54.15

>>270
　nについての帰納法による。
　A_k = (x_1+x_2+････+x_k)/k,
　G_k = (x_1･x_2････x_k)^(1/k),
とおく。

n=1 は明らか。
あるnについて成立つとする。
　(A_1･A_2････A_n)^(1/n) ≧ (G_1+G_2+････+G_n)/n
　　= (g_1+g_2+･････+g_{n+1})/(n+1),
ここに
g_k = [(k-1)G_{k-1} + (n+1-k)G_k]/n
　　≧ [G_{k-1}^(k-1)・(G_k)^(n+1-k)]^(1/n)　　(AM-GM)
　　= {(G_k)^(n+1) / x_k}^(1/n),
とおいた。また
　A_{n+1} = (x_1+x_2+････+x_{n+1})/(n+1),

ここでコーシーを使う。
　(g_k)^n・x_k ≧ (G_k)^(n+1),
より
　(A_1･A_2･････A_{n+1})^{1/(n+1)} ≧ (G_1+G_2+････+G_{n+1})/(n+1)
n+1 についても成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/15(日) 01:02:39.88

0<x<2n で f "(x) > 0 のとき、
　f(x) は下に凸で
　nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)

[分かスレ４５６．720-722]

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 14:19:03.72

凸不等式より
　{f(2k-2) + f(2k)}/2 > f(2k-1)　　　････ (1)
また　0<k<n に対して
　{(n-k)f(0) + k･f(2n)} /n > f(2k),
　{k・f(0) + (n-k)f(2n)} /n > f(2n-2k),
辺々たすと
　f(0) + f(2n) > f(2k) + f(2n-2k)　　　････ (2)
これらにより
　(左辺) - (右辺)
　> nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1){f(0)+f(2n)}/2 - (n+1)Σ[k=1,n-1] f(2k)
　= (n-1){f(0) + f(2n)}/2 - Σ[k=1,n-1] f(2k)
　= (1/2)Σ[k=1,n-1] {f(0) + f(2n) - f(2k) - f(2n-2k)}
　> 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 14:43:09.39

〔問題132〕
　A = (x_1+x_2+･････+x_n)/n,
　G = (x_1･x_2･････x_n)^(1/n),
　L = (A_1･A_2･････A_n)^(1/n)　　ただし A_k = (x_1+x_2+･････+x_k)/k,
とおく。
　(n+1)(G/A)^{1/(n+1)} ≦ n(L/A)^(1/n) + G/L ≦ n+1,

　IMO-2004 short list A.7
　Inequalitybot [132]　　☆12

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 14:58:04.88

(左)　GM-AM で
(右)も GM-AM で
　(L/A)^(1/n)
　= {1^((n+1)/2n)} Π[k=2,n] {A_(k-1)/A_k}^((k-1)/nn)
　≦ (n+1)/2n + (1/nn)Σ[k=1,n] (k-1)･A_(k-1)/A_k,
また
　G/L = (Π[k=1,n]　x_k/A_k)^(1/n) ≦ (1/n)Σ[k=1,n] x_k/A_k,
したがって
　(中辺) ≦ (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] {(k-1)A_(k-1) + x_k}/A_k
　　= (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] k
　　= (n+1)/2 + (n+1)/2
　　= n+1,

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 01:08:41.74

a,b,c>0, ab+bc+ca≧1,
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≧ (√3)/(abc).

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 13:28:01.97

ab+bc+ca = t　とする。

1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
　= (a+b+c)/(abc)
　≧ √(3t) /(abc),

∵　xx+yy+zz ≧ (1/3)(x+y+z)^2 ≧ xy+yz+zx,

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 19:04:36.47

>>284-285
出典を貼るのを忘れていた。

香港科技大学 Mathematical Excalibur Vol.22-4
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/47722/1/math-02a-a114.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 02:20:08.43

2015
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 20:33:34.64

ウホッ、懐かしい不等式
https://www.toshin.com/concours/

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 21:05:30.72

>>288
https://www.toshin.com/concours/
締切：2020年1月6日※締切日必着
https://i.imgur.com/YiUSwUh.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 03:42:26.63

問題
　任意の相異なる正の数 a,b に対し、不等式
　　√(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2　･･･… (*)
が成立することが知られている。
　この不等式を相異なる3つの正の数 a,b,c に関する不等式に拡張したものを一つ見つけて、それを証明せよ。ただし、ここでの拡張した不等式とは
　(abc)^(1/3) < F(a,b,c) < (a+b+c)/3
　　( F(a,b,c) は log(a), log(b), log(c) を含む a,b,c の対称式 )
であるとする。
　なお、F(a,b,c)について上記以外の仮定は定めないが、できる限り(*)から自明に得られるものでない方が望ましいものとする。
(ただし、(*)からの変形が不可というわけではない。今回はかなり自由に考えてほしい。)

　東進数学コンクール

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 09:31:01.33

(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(a+b+c+k-2)^2
k ≧ (1+sqrt(5))/2.

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 23:36:43.27

https://i.imgur.com/COCl2ly.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 02:29:47.93

>>292
f(x) を [0,1] 上で非負の単調減少関数とするとき、
∫[0,1] x f(x)^2 dx /∫[0,1] x f(x) dx ≦ ∫[0,1] f(x)^2 dx /∫[0,1] f(x) dx,
を示せ。

(略証)
題意より
　0 ≦ f(x),
　0 ≦ f(y),
　0 ≧ (x-y) {f(x)-f(y)},
よって
　0 ≧ ∬(x-y){f(x)-f(y)}f(x)f(y) dxdy
　　= ∬{xf(x)^2 f(y) + yf(y)^2 f(x) - xf(x)f(y)^2 - yf(y)f(x)^2} dxdy
　　= 2∫xf(x)^2 dx･∫f(y) dy - 2∫f(x)^2 dx･∫yf(y) dy

∴　∫xf(x)^2 dx /∫yf(y)dy ≦ ∫f(x)^2 dx /∫f(y)dy,

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 03:51:45.32

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　新年あけまして
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し、__X__,ノJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　おめでとうございます。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

正の数 a，b，c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,
>>22
>>26

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 13:16:53.96

exradii って傍接円の半径であってるかな？
共立の赤い辞書にも載ってないし、web検索でもhitしないけど…

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 02:47:36.83

>>294 が解けたら教えよう。

正の数a,b,c･･･は今年は不要だった...orz

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 15:24:16.70

去年の問題(>>22)も解けていないというのに、無理無駄無謀無茶無情！

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 15:46:35.83

今勉強中なのが、カントロビチクソの不等式

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/04(土) 21:55:59.92

>>183
Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何か別の名前はついてないのかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/04(土) 22:10:26.67

>>299
> Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する

何を連想するん？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/05(日) 16:43:59.29

正の数a, b, cに対して
(a^1010-a+4)(b^1010-b+4)(c^1010-c+4)>(a+b+c)^3
が成り立つことを示す.
Σa/3=Mとおく.

M≧1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>9Σa^1009
≧27M^1009
≧27M^3
=(RHS)

M<1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>3^3
>27M^3
=(RHS)

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/05(日) 17:02:53.16

>>181
Kantorovich
>>227 >>247
Muirhead
>>280
Karamata
細かいけど(0,2n)ではなく[0,2n]でf">0だと思う
>>300
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality
ttps://proofwiki.org/wiki/Reverse_Triangle_Inequality

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/05(日) 18:28:42.28

>>298
サノバビッチの不等式、糞ビッチの不等式、ぬるぽビッチの不等式…、いろいろあるなぁ… （錯乱）

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/06(月) 03:47:32.05

>>301
正解です!!

　(y^1010 +1) - (y^1009 + y)
　= (y^1009 -1)(y-1)
　≧ 0,
を使ったでござるか。さらに
　y^1009 + 3 ≧ y^1006 + y^3 +2 ≧ y^3 +2,
とすれば、コーシーで
　(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) ≧ (a+b+c)^3,

なお、最良係数は
　y^1010 -y +4 ≧ 1.008619375112(y^3 +2),
　等号は y = 0.994531163783 のとき

>>295
　傍接円(excircle) の半径(radii) ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/06(月) 19:06:36.22

>>301
(a+b+c)/3 = M　とおく。

(a^1009 +3)(b^1009 +3)(c^1009 +3)
　> 27{(a^1009 + b^1009 + c^1009)/3 + 1}
　≧ 27(M^1009 + 1)
　> 27max{M^1009, 1}
　≧ 27(max{M, 1})^3
　= max{3M, 3}^3
　= max{a+b+c, 3}^3.

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/07(火) 04:35:19.28

Rheinboldt's inequality (*´Д｀) ﾊｧﾊｧ…

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/14(火) 21:02:29.87

三角形の3辺に対して、
sqrt(aa+bb-4S) + sqrt(bb+cc-4S) ≧ sqrt(cc+aa-4S).

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/17(金) 00:16:00.50

>>307
Sは三角形の面積だと勝手に解釈しました. 出典知りたいです.

a≧c≧bの場合を証明すればよい.
まず補題, a^2+b^2+c^2-4S≧(a+c-b)^2 を示す.
これは -1≧1/sinB-1/sinA-1/sinC と同値.
Bを固定する. f(C)=1/sinB-1/sin(π-B-C)-1/sinC とする.
g(X)=-cosX/(sinX)^2 とする. (定義域は(0,π))
g'>0 だからgは単調増加なので f'(C)=-g(π-B-C)+g(C)≦0 だからfは単調減少.
よって f(C)≦f(B)=-1/sin(π-2B)≦-1 なので補題は示された.
題意の不等式は a^2+b^2+c^2-4S=1 の場合を証明すればよい.
(0,1]を定義域とする h(x)=-sqrt(1-x^2) を考える. hは凸関数.
(a+c-b,b) は (a,c) をマジョライズするからKaramataの不等式より
h(a+c-b)+h(b)≧h(a)+h(c) なので h(b)≧h(a)+h(c)
よって sqrt(1-aa)+sqrt(1-cc)≧sqrt(1-bb)
題意の不等式は示された.

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/17(金) 16:03:09.19

>>291
　k ≧ (1+√5)/2 = φ = 1.618034･･･より
　kk-k-1 = (k-φ)(k+φ-1) ≧ 0,
より
　(左辺) - (右辺) = (kk-k-1){(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2}
　+ k{(ab-1)^2 + (bc-1)^2 + (ca-1)^2} + (abc-1)^2
　+ 2(a-1)(b-1)(c-1),
う～む、場合分けでござるか････

k=2 の場合は
　a,b,c>0 のとき (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2.

　APMO-2004　A.5,
　文献[9] 佐藤(訳) 問題3.85, 朝倉 (2013)
　Inequalitybot [20]
　[前スレ. 070[2]、084]　　[第８章.456、469]

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/20(月) 13:00:34.19

>>309
k ≧ φ ならば, どの文字に注目しても
f(a,b,c,k) = (aa+k)(bb+k)(cc+k) - (k+1)(a+b+c+k-2)^2
は下に凸の二次関数, さらに(1,1,1,φ)で極小値0.

>>291 のステートメントが適当すぎる.

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/21(火) 00:47:02.56

〔問題〕
実数a,b,cが
　a < b < c,　a+b+c = 6,　ab+bc+ca = 9
を満たしている。
　0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
を証明せよ。
　高校数学問題bot (@7k_x)

- - - - - - - - - - - - - - -
3a(4-a) = (c-b)^2 >0,
3c(4-c) = (b-a)^2 >0,
(c-a)^2 -9 = (c-b)(b-a) >0,
3(3-b)(b-1) = (c-b)(b-a) >0,
らしい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/31(金) 12:39:42.63

2016年度春合宿の問題
https://i.imgur.com/vkhfrlu.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/31(金) 15:05:57.09

もう一つ
2017年度春合宿の問題

https://i.imgur.com/NQhkkhd.png
https://i.imgur.com/8eDQygH.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/01(土) 04:59:30.88

>>312
第７問
実数kは、任意の2以上の整数nと正の実数 a_0,a_1,････,a_n に対して
　1/(a_0+a_1) + 1/(a_0+a_1+a_2) + ････ + 1/(a_0+a_1+････+a_n) < k (1/a_0 + 1/a_1 + ････ +1/a_n)
を満たす。このようなkとしてあり得る最小の値を求めよ。

>>313
第８問
正の整数からなる数列a1,a2,････があり、任意の正の整数nについて
　a_n > (a_{n+1} + a_{n+2} + ････ + a_{2n}) / (n+2016)
を満たしている。このとき、ある正の実数Cが存在し、
任意の正の整数nについて a_n < C が成り立つことを示せ。

第１０問
3以上の正の整数nであり、次を満たすものをすべて求めよ。
|a_k| + |b_k| = 1　(k=1,2,････,n) を満たすような任意の2n個の実数 a_1,a_2,････,a_n, b_1,b_2,････,b_n に対して、
実数 x_1,x2,････,x_n を、次を満たすように選ぶことができる。
　|x_k| = 1　(k=1,2,････,n),
　|Σ[k=1,n] x_k･a_k | + |Σ[k=1,n] x_k･b_k | ≦ 1.

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/01(土) 07:31:35.29

第7問
　k = 1/3
　(a_0 = a_1 = 1, a_k = 2^(k-1), n→∞ のとき)

第10問
　ｖ_k = (a_k,b_k) は正方形 |X| + |Y| = 1 の辺上にある。
　Σ[k=1,n] (±ｖ_k) が正方形の内側に落ちる (ように各符号x_kを選ぶ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/01(土) 13:53:11.72

第8問だけど上に有界なら極限値は何になるのかも気になる

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/05(水) 07:10:07.69

>>312 >>315
第７問
　S_j = a_0 + a_1 + ････ + a_j,
とおくと HM-AM で
　4/S_j = 4/{S_(j-1) + a_j} ≦ 1/S_(j-1) + 1/a_j,
　4/S_j - 1/S_(j-1) ≦ 1/a_j,
j=1～n の和をとる。
　3Σ[j=1,n] 1/S_j + 1/S_n ≦ Σ[j=0,n] 1/a_j,
　Σ[j=1,n] 1/S_j < (1/3)Σ[j=0,n] 1/a_j,

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/09(日) 20:15:04.77

私的メモ、Hadamardの不等式

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 23:26:49.11

関数不等式が出ました

https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/11(火) 23:32:00.87

>>319
ウホッ！いい関数不等式

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/12(水) 07:39:21.58

　2020年日本数学オリンピック本選
　　　　　　(C)(公財) 数学オリンピック財団

　　　　　　問　　　題^1

2020年2月11日　試験時間4時間 5題

1. (n^2 +1)/(2m) と √{2^(n-1) + m + 4} がともに整数となるような正の整数の組 (m,n) をすべて求めよ。

　(m,n) = (1,3)　(61,11)　？

2. BC < AB, BC < AC なる三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり、BD=CE=BC を満たしている。
　直線BEと直線CDの交点をPとする。
　三角形ABEの外接円と三角形ACDの外接円の交点のうちAでない方をQとしたとき、直線PQと直線BCは垂直に交わることを示せ。
　ただし、XYで線分XYの長さを表わすものとする。

3. 正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数ｆであって、任意の正の整数m,nに対して
　　　m^2 + f(n)^2 + (m-f(n))^2 ≧ f(m)^2 + n^2,
　を満たすものをすべて求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/12(水) 08:06:10.32

4.　nを2以上の整数とする。
　円周上に相異なる3n個の点があり、これらを特別な点とよぶことにする。
　A君とB君が以下の操作をn回行なう。

　　まず、A君が線分で直接結ばれていない2つの特別な点を結んで線分で結ぶ。
　　次に、B君が駒の置かれていない特別な点を1つ選んで駒を置く。

　A君はB君の駒の置き方にかかわらず、n回の操作が終わったときに駒の置かれている特別な点と駒の置かれていない特別な点を結ぶ線分の数を (n-1)/6 以上にできることを示せ。

5. ある正の実数cに対して以下が成立するような、正の整数からなる数列 a_1, a_2, ････をすべて求めよ。

　　任意の正の整数m,nに対して gcd(a_m + n, a_n + m) > c (m+n) となる。

　ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数を gcd(x,y) で表わす。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/13(木) 08:18:39.16

〔問題〕
f(x) = Σ[k=0,n] c_k x^k　(c_k ≧0)　のとき、次は成り立つか？
(1)　{u f '(x)/f(x)} ' ≧ 0,
(2)　log{f(e^x)} は下に凸
(3)　f(x)f(y) ≧ f(√(xy))^2.

分かスレ４５８.054-063

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/16(日) 01:35:24.83

>>311
　f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -6x^2 +9x -abc
とおく。
　(4-abc) - f(x) = (4-x)(1-x)^2,
から x=1 で極大 f(1) = 4-abc = f(4),
　f(x) + abc =x(x-3)^2,
より x=3 で極小 f(3) = -abc = f(0),
または微分して増減表を書けばx=1で極大値 4-abc，x=3で極小値 -abc をとる。
題意により、f(x)=0 は 3実根a<b<cをもつから
　-abc < 0 < 4-abc
∴　0<a<1<b<3<c<4
(tenさん)

http://suseum.jp/gq/question/3132

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/19(水) 13:19:05.46

n>1 に対して
　ζ(n) = 1 + 1/(2^n) + 1/(3^n) + ････
とおく。このとき
　ζ(n) > e^{1/(2^n)} > 1 + 1/(2^n)
か？

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/20(木) 08:57:27.26

ζ(n) = Σ[k=1,∞] 1/(k^n)
　> Σ[j=0,∞] 1/(2^j)^n
　= Σ[j=0,∞] 1/N^j
　= 1/(1 - 1/N),
ここに、N=2^n とおいた。
1/N^j > 1/(j!･N^j) より
ζ(n) > 1/(1 - 1/N) > exp(1/N) > 1 + 1/N,

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/25(火) 17:15:37.69

2020年度東大理系第一問

https://i.imgur.com/WoxEvwb.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/27(木) 03:16:30.37

>>327
　　　第　１　問

a,b,c,p を実数とする。不等式
　　ax^2 + bx + c > 0
　　bx^2 + cx + a > 0
　　cx^2 + ax + b > 0
をすべて満たす実数xの集合と、x>p を満たす実数xの集合が一致しているとする。

(1)　a,b,c はすべて0以上であることを示せ。

(2)　a,b,c のうち少なくとも1個は0であることを示せ。

(3)　p=0 であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/27(木) 04:06:30.88

>>328
(1) 背理法による。
　a<0 と仮定すると f(x) = ax^2 +bx +c は上に凸な放物線。
　f(x)>0 を満たすxの範囲は (もし有っても) 有限の範囲内。
　これは題意の「x>p　⇒　3式すべてを満たす」に反する。
　b,cについても同様。

(2) 背理法による。
　a>0 と仮定すると f(x) = ax^2+bx+c は下に凸な放物線。
　|x| > 2|b/a| + √|2c/a|　⇒　f(x) >0 を満たす。
　-x がじゅうぶん大きいときにも f(x) >0 を満たす。
　a,b,c>0 と仮定すると、
　-x がじゅうぶん大きいときにも 3式すべてを満たす。
　これは題意の「3式すべてを満たす　⇒　x>p」に反する。
　∴ abc=0.

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/28(金) 16:07:45.47

>>328
(3)
a>0, b≧0, c=0 のとき
　(ax+b)x >0　････　x>0 または ax+b<0
　bxx+a > 0　････　すべての実数
　ax+b > 0　････　(x>0を含む)
　このすべてを満たす実数xは x>0.

a=b=c=0 のとき
　3式を満たす実数xはない。(不適)

以上により p=0.

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/28(金) 16:57:20.02

・分野・テーマ
　２次関数、集合と命題、極限

・設問内容
係数に対称性のある３つの２次以下の不等式をすべて満たす実数の集合の形から、不等式の係数についての条件や、不等式の解を決定する問題である。

・解答のポイント
結論は直感的には明らかであるが、それをきちんと証明するのは難しい。
(1)　グラフの概形をイメージすることが大きな手掛かりとなる。
　　十分大きなxについて考えると良い。
(2)　(1)と同様に極限を考えると良いが、ここが難所である。
(3)　前問が示せていなくても、取り組みたい。
　　係数すべてが0となることはなく、1つは0であるから、この条件の下で３つの不等式を解くことで解決する。

http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/k_mondaitokaitou/tokyo/1313355_5408.html
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1582861742/

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/09(月) 12:24:18.22

難易度10(満点)らしい

https://i.imgur.com/BoWlWmP.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/09(月) 23:24:26.98

〔問題332〕
0以上1以下の実数p,q,r,sにおいて、
　√(p^2 + r^2) + √{p^2 + (r-1)^2} + √{(1-q)^2 + s^2} + √{(1-q)^2+(1-s)^2} + √{(p-q)^2 + (r-s)^2}
の最小値を求めよ。

-------------------------------------------------------------

O(0,0)　A(0,1)　B(1,1)　C(1,0)　P(p,r)　Q(q,s)
とおくと与式は
　OP + AP + CQ + BQ + PQ

P は △OCQ のフェルマー点
Q は △ABP のフェルマー点

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/10(火) 09:32:03.67

∠AQB = 120ﾟより点Qは円周
　{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。

∴ P,Q は y=1/2 上に有る。r=s=1/2,
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2)　　Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)

与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
　≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
　= 4/√3 + (1 - 1/√3)
　= 1 + √3.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/10(火) 09:37:26.87

修正･･･
∠OPC = 120ﾟより　点Pは円周
　{x + 1/(2√3)}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠OPC の二等分線は (-1/√3, 1/2) を通る。

∠AQB = 120ﾟより点Qは円周
　{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。

上記のことから、点P, Q は直線 y=1/2 上に有る。
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2)　　Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)

与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
　≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
　= 4/√3 + (1 - 1/√3)
　= 1 + √3.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/10(火) 10:03:31.24

また間違えた････

∴ ∠OPC の二等分線は (-(√3)/2, 1/2) を通る。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+(√3)/2, 1/2) を通る。

イナに改名しようかな････

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/13(金) 15:08:40.97

今年の入試問題

https://i.imgur.com/gwo1n7C.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/13(金) 16:13:22.75

>>337
問１を判別式を使って答えようとすると、問２を先に解答しなくちゃならなく
あれっ？ってなって、それが問３のヒントになるのか
うまく作ってあるね

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/13(金) 19:09:48.28

2020年　大阪市立大
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　a,b,c, x,y,z を実数とする。次の問いに答えよ。
問1　a^2 - b^2 > 0 のとき、tについての2次方程式
　(at+x)^2 - (bt+y)^2 = 0
　は実数解をもつことを示せ。
問2　a^2 - b^2 > 0 のとき、
　(ax-by)^2 ≧ (a^2 -b^2)(x^2 -y^2)
　が成り立つことを示せ。
問3　a^2 - b^2 - c^2 > 0 のとき、
　(ax-by-cz)^2 ≧ (a^2 -b^2 -c^2)(x^2 -y^2 -z^2)
　が成り立つことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/13(金) 23:26:59.05

問１
　f(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2
　　= (aa-bb)tt + 2(ax-by)t + (xx-yy)
とおく。
aa-bb>0 だから下に凸な放物線。　　
|t| がじゅうぶん大きいとき f(t)>0,
一方、|a|>|b|≧0,　a≠0
　f(-x/a) = - {b(-x/a)+y}^2 ≦ 0,
中間値の定理より f(t)=0 は実数解をもつ。
　t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b)

問２
aa-bb > 0 のとき、
　(判別式) = (ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) ≧ 0,
(別解)　ラグランジュの恒等式から
　(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0

問３
　g(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2 - (ct+z)^2
　　= (aa-bb-cc)tt -2(ax-by-cz)t + (xx-yy-zz)
とおく。
aa-bb-cc > 0 だから下に凸な放物線。
|t| がじゅうぶん大きいとき g(t) >0,
|a|> |b|,|c| ≧0　より　a≠0,
　g(-x/a) = - {(-b/a)t +y}^2 - {(-c/a)t +z}^2 ≦ 0,
中間値の定理より g(t)=0 は実数解をもつ。
　(判別式) = (ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz) ≧ 0.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/14(土) 10:34:57.13

このスレの解答は････

問１
　(at+x)^2 - (bt+y)^2 = {(a+b)t + (x+y)}{(a-b)t + (x-y)} = 0,
ところで (a+b)(a-b) = aa-bb ≠ 0,
∴　t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b),

問２
　(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0　　　(*)
　この場合は aa-bb>0 は不要

問３
　xで平方完成する。
　(ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz)
　= {(bb+cc)xx -2ax(by+cz) + aa(yy+zz)} - (bz-cy)^2　　(*)
　= {[(bb+cc)x -a(by+cz)]^2 + (aa-bb-cc)(bz-cy)^2}/(bb+cc)
　≧ 0,
　等号成立は x/a = y/b = z/c のとき。
　b=c=0 のときは明らか。

*) ラグランジュの恒等式
　(yy+zz) = {(by+cz)^2 + (bz-by)^2}/(bb+cc)　を使った。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/16(月) 13:55:03.33

〔問題669〕
x>0, y>0 のとき
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,

(略証)
log は単調増加だから
　(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
　(x/y)^(x-y) ≧ 1,
　(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
　= (x^x - y^y)^2
　≧ 0,

[分かスレ４５８．669]

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/16(月) 16:52:52.52

〔補題〕
x>0, y>0 とする。
(1)　x^x - x^y - y^x + y^y ≧ 0,
(2)　x^(2x) - x^(2y) - y^(2x) + y^(2y) ≧ 0,
(3)　0<a≦e のとき、
　x^(ax) - x^(ay) - y^(ax) + y^(ay) ≧ 0,
等号成立は x=y のとき。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/16(月) 19:37:14.16

次のように関数f,gを定義する
f(x)=1/x+1/(x-2)+…+1/(x-2018)
g(x)=1/(x-1)+1/(x-3)+…+1/(x-2017)
このとき0<x<2018の範囲に存在する任意の実数xに対して、|f(x)-g(x)|>2が成立することを示せ

2018年度APMO第2問
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1662907p10561170

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/16(月) 19:42:11.53

>>344
xが整数でない実数という条件が抜けていた

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/16(月) 19:46:00.72

もうひとつ2012年度APMOから

https://i.imgur.com/ZR1GXZ3.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 05:32:50.08

>>346

〔問題５〕
nを2以上の整数とする。
実数 a_1, a_2, ････, a_n が (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n を満たすなら
　Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
が成り立つことを示せ。

Problem 5.
Let n be an integer greater than or equal to 2.
Prove that if the real numbers a_1, a_2, ････, a_n satisfy (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n, then
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
must hold.

APMO-2012
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/　→　2012
Inequalitybot [87]　☆10

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 06:34:23.26

>>347
HM-AM より
　2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
　　≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),
x=a_i, y=a_j とおく。
　Σ[x≠y] xy/(n-xy) ≦ Σ[x≠y] yy/(n-xx)
　= Σ[i=1,n] Σ[j≠i] (a_j)^2 /{n-(a_i)^2}
　= Σ[i=1,n] 1
　= n,
両辺に n(n-1) をたすと
　Σ[1≦i≠j≦n] n/(n－a_i･a_j) ≦ nn,
　Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 12:40:52.50

putnumから不等式問題を拾ってきた

https://i.imgur.com/12qyB8u.png

https://i.imgur.com/apEwMZf.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 15:21:04.67

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 15:43:05.43

(下)
a_1, a_2, ････は実数とする。
すべてのnについて
　∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
となる定数Aがあるとする。
すべてのnについて
　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
となる定数B >0 があることを示せ。

Let a_1, a_2, ････, be real numbers.
Suppose there is a constant A such that for all n,
　∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
Prove there is a constant B > 0 such that for all n,
　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 17:14:44.29

>>351
　∫[-∞,∞] 1/{1+(x-a)^2}･1/{1+(x-b)^2} dx = 2π/{4+(a-b)^2},

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 17:25:15.41

>>348
　2xy ≦ (1/2)(x+y)^2 ≦ xx+yy,　　(GM-AM)
より
　2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{2(n-xy)}
　≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
　≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),　　(←コーシー)
x=a_i, y=a_j とおき、1≦i<j≦n でたす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 18:07:30.59

>>351
>>352
ついでに･･･
∫ 1/{1+(x-a)^2}*1/{1+(x-b)^2} dx
　= {(1/(a-b))log((1+(x-b)^2)/(1+(x-a)^2)) + arctan(x-a) + arctan(x-b)}/{4+(a-b)^2},

ローレンツ形関数の畳み込み･･･

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 19:23:46.26

>>344
>>345
・2n-1<x<2n のとき
　f(x+2) - f(x) = 1/(x+2) + 1/(2018-x),
　g(x+2) - g(x) = 1/(x+1) + 1/(2017-x),
∴ g(x+2) - f(x+2) > g(x) - f(x) > ････
∴ 1<x<2 について示せば十分。
　g(x) - f(x)
　= - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x) + Σ[i=2,1008] {1/(2i-x) - 1/(2i+1-x)} + 1/(2018-x)
　> - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x)
　= 1/{(2-x)(x-1)} - 3/{x(3-x)}
　> 4 - 3/2
　= 5/2.
∵　1/4 - (2-x)(x-1) = (3/2 -x)^2 ≧ 0,
　　x(3-x) - 2 = (2-x)(x-1) > 0,

・2n<x<2n+1 のとき
　f(x-1009), g(x-1009) は奇関数。
　f(x) = - f(2018-x),
　g(x) = - g(2018-x),
ところで、2n<x<2n+1 ゆえ
　2(1009-n) -1 < 2018-x < 2(1009-n),
∴上記により
　f(x) - g(x) = - f(2018-x) + g(2018-x) > 5/2,

APMO-2018
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/　→　2018

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/17(火) 20:11:27.77

良さげな不等式問題を拾ってきたので貼る

https://i.imgur.com/lpbo2qf.png

https://i.imgur.com/2Qhn5ql.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/18(水) 05:54:49.50

(上)
a,b,c は負でない実数とする。次を示せ。
　a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.

Let a,b,c be non-negative real numbers.
Prove that
　a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.

Wenyu Cao
USA.ELMO-2009 day1-Q3
Inequalitybot [111]　☆5
安藤哲哉「不等式」数学書房 (2012) の p.55, 例題2.2.12(3)
　S_3 + 2S_{2,1} ≧ 3S_{1,2}

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/18(水) 06:09:44.78

(下)
a,b,c は正の実数で
　a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7)
を満たすとする。
　 (a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1
を証明せよ。

Let a,b,c be positive reals satisfying
　a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7).
Prove that (a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1.
　(Evan Chen)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/18(水) 06:25:25.87

>>357
　min{a,b,c} = m,
　{a,b,c} = {m,m+x,m+y} とする。(x≧0, y≧0)
　(与式) = 2m(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ 0.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/18(水) 06:36:15.76

>>352
>>354
対角項 (a=bの場合) は
∫[-∞,∞] 1/(1+(x-a)^2)^2 dx = ∫[-∞,∞] 1/(1+xx)^2 dx = π/2,

∵∫ 1/(1+xx)^2 dx
　= (1/2)∫ {(1-xx)/(1+xx)^2 + 1/(1+xx)} dx
　= x/(2(1+xx)) + (1/2)arctan(x),

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/19(木) 13:09:23.34

>>343 (1)

(x-1)log(x) ≧ 0　より
　x^x - x ≧ 0,　　y^y - y ≧ 0,　　････ (A)

・x≧1 のとき
　x^x -x^y -y^x +y^y
　= {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) + {(x^x)(y^y) - (x^y)(y^x)}/(x^y)
　≧ {x^(x-y) -1}(x^y - y^y)　　　(>>342 より)
　≧ 0.

・(x-1)(y-1)≦0 のとき
　x^y ≦ x,　　y^x ≦ y,
これと (A) から出る。

・0 < y ≦ x ≦1 のとき
　d = (x-y)/2 ≧ 0, とおく。
　x^x -x^y -y^x +y^y
　= - x^((x+y)/2) {x^(-d) - x^d} + y^((x+y)/2) {y^(-d) - y^d},
(sinhθ)/θ は |θ| について単調増加ゆえ
　{y^(-d) - y^d}/(-log(y)) ≧ {x^(-d) - x^d}/(-log(x)) ≧ 0,
また
　y^((x+y)/2)(-log(y)) ≧ x^((x+y)/2)(-log(x)) ≧ 0,
辺々掛ける。

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/19(木) 17:26:22.21

>>350
区間[0,1] を
　P = { x∈[0,1] | f(x)≧0 }
　N = { x∈[0,1] | f(x)<0 }
に分ける。
　I_P = ∫_P |f(x)| dx,
　I_N = ∫_N |f(x)| dx,
　p = ∫_P dx,
　n = ∫_N dx,
とすると
　p + n = 1,
で
(左辺) = ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ ∫PN ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
　+ ∫NP ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
　= ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ |∫PN (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
　+ |∫NP (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
　= 2p･I_P + 2n･I_N + 2|n･I_P - p･I_N|
　≧ 2p･I_P + 2n･I_N + (n-p)(I_P - I_N)　　(*)
　= (p+n)(I_P + I_N)
　= I_P + I_N
　= ∫[0,1] |f(x)| dx,

(*)
(n-p)(I_P-I_N) ≦ 0 のときは明らか。
n≧p, I_P≧I_N のとき
　n･I_P - p･I_N = (n-p)I_N + n(I_P-I_N) ≧ (n-p)(I_P-I_N),
p≧n, I_N≧I_P のとき
　p･I_N - n･I_P = (p-n)I_P + p(I_N-I_P) ≧ (n-p)(I_P-I_N).

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/19(木) 19:08:25.00

ルーマニア数学オリンピックから不等式の問題を色々拾ってきたので貼る

https://i.imgur.com/Ff1ilAe.png

https://i.imgur.com/g0L0rVU.png

https://i.imgur.com/tctI7rS.png

https://i.imgur.com/ZnoplcH.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/19(木) 20:17:08.41

そしてこれはルーマニア数オリ代表選抜の問題から

https://i.imgur.com/a7w31xM.png

https://i.imgur.com/E7grEPf.png

https://i.imgur.com/INwFbml.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/19(木) 22:27:58.00

(;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/20(金) 00:31:37.70

>>363

[1]
すべての自然数nについて
　sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n),

　sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n),　∀n∈N

[2]
自然数 n≧2 と n個の正の実数 a_1, a_2, ････, a_n が
次の不等式を満たすとする。
　Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1},　　∀i∈{1,2,････,n-1}
このとき
　Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.
を証明せよ。

Let be a natural number n≧2 and n positive real numbers
a_1, a_2, ････, a_n that satisfy the inequalities
　Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1},　　∀i∈{1,2,････,n-1}
Prove that
　Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.

[3]
1/2 ≦ a,b,c ≦ 1 とする。
　2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
を証明せよ。

Let a,b,c ∈ [1/2,1].
Prove that
　2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
　(selected by Mircea Lascu)

[4]
n∈Nﾟとし、
ｖ1, ｖ2, ････, ｖn は平面内ヴェクトルで、長さは１以下とする。
このとき
　|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.
となるような ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} が存在することを示せ。

Let n∈Nﾟ and ｖ1, ｖ2, ････, ｖn be vectors in the plane
　with lengths less than or equal to 1.
Prove that there exists ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} such that
　|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/20(金) 04:13:12.05

[1]
〔ジョルダンの不等式〕
sinθは上に凸だから
　sin(aθ) ≧ a･sinθ,　　(0≦a≦1、0≦θ≦1.43π)
　文献[3] 大関(1987)、p.38 例題2

[3]
(左)
s = a+b+c　とおくと
(与式) = (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b)
　= (1+a+b+c){1/(1+c) + 1/(1+a) + 1/(1+b)} - 3
　≧ (1+s)･9/(3+s) - 3　　(AM-HM)
　= 6 - 18/(3+s)
　≧ 6 - 4　　　　(s≧3/2)
　= 2,
(右)
(与式) = {(a+b)(1+a)(1+b) + (b+c)(1+b)(1+c) + (c+a)(1+c)(1+a)}／{(1+c)(1+a)(1+b)}
　= 3 - {3(1+c)(1+a)(1+b) - (a+b)(1+a)(1+b) - (b+c)(1+b)(1+c) - (c+a)(1+c)(1+a)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
　= 3 - {(1-a)[4a+(b-c)^2] +(1-b)[4b+(c-a)^2] +(1-c)[4c+(a-b)^2] +3(1-a)(1-b)(1-c)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
　≦ 3　　(0≦a,b,c≦1)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/20(金) 16:48:31.71

>>364

[5]
n≧2 は自然数, a_i,b_i (1≦i≦n) は実数で、
　Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
　Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
のとき
　(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
を証明せよ。

For n∈N, n≧2, a_i,b_i∈R, 1≦i≦n, such that
　Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
　Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
Prove that
　(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.

[6]
a_1, a_2, a_3, a_4 を任意の4角形の辺とし、周長を 2s とする。
　Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
を証明せよ。
等号が成立つのはいつか？

Let a_1, a_2, a_3, a_4 be the sides of an arbitrary quadrilateral
of perimeter 2s.　Prove that
　Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
When does the equality hold ?

[7]
n≧2 を整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を実数とする。
任意の空でない部分集合S ⊂ {1,2,････,n} について
　(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2.
を証明せよ。

Let n≧2 be an integer and let a_1, a_2, ････, a_n be
real numbers.
Prove that for any non-empty subset S ⊂ {1,2,････,n}
we have
　(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2.
　(Gabriel Dospinescu)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/21(土) 01:09:55.99

[5]
n次元空間で考える。
n個のヴェクトル {ａ,ｂ,ｃ, ････ } が規格化直交系をなす、とする。
　ｔ = ａ(ａ･ｔ) + ｂ(ｂ･ｔ) + ｃ(ｃ･ｔ) + ････,
　 (ｔ･ｔ) = (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2 + (ｃ･ｔ)^2 + ････
　　　≧ (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2.
ここでｔ = (1,1,････,1)　とおく。

不等式への招待 第10章

不等式への招待第10章