不等式への招待 第10章
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諸君 私は不等式が好きだ 諸君 私は不等式が大好きだ 改造が好きだ 改良が好きだ 拡張が好きだ AM-GMで Cauchyで Holderで Jensenで Schurで Chebyshevで rearrangementで Bernoulliで Muirheadで Karamataで Maclaurinで ぬるぽビッチで この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ 大小順をそろえた歩兵の横隊を 並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ 恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して 不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える 糸口の見つからない不等式に滅茶苦茶に悩まされるのが好きだ 必死に悩んだ不等式が成立しない例を挙げられていく様はとても悲しいものだ 君達は一体何を望んでいる? 更なる不等式を望むか? 『不等式! 不等式! 不等式!』 よろしい ならば証明だ! rv―v―、 r-v-v r、 ノ も( ノ ま ( ,ィx (\\(^} ) !! 厳. っ ( ) だ ( /)///7 {^ヽ^ヽ { ) し. と ( ) だ ( / 'ヽ / \ `Y ノ}_ ハ く ノ 乂 ノ {. 〈 / 〉,r彡ハ _> < / ま ( 人_ノ〉 V ∨ !! 改 も () !! だ( / 7 / 'v V 良 っ (). だ(/ / 'v V .を と 人_,ノ〈 / V V rfテ弐ミk / }' 'v ',仔r=r弌リ' / 'v '({ ヾ二フ,j' / } j个ー‐个ト, / }> / />ュ<ト、\ノ{ _j/ / | / :| | \\ _,>、__, イ>\/ _」/\ ̄{_ / /:::::| \/__,>|:::::∧ { /| ./:::::/ 厂 |::::::::∧ |\ / :| /:::::/ |o 〔::::::::::::∧.| \ / / /:::::/ :|o 丿:|:::::::::::::∧ \ 前スレ967の不等式、(3)が2019年度中国数学オリンピック第一問 (1) a,b,c≧-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8. (2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144. (3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. --------------------------------------- (1)の証明 a+b, b+c, c+a のうち負は高々1個。 a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、 0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8. 1つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。 このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、 0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64. --------------------------------------- 〔予想〕 a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき ・n:奇数 (n≧5) ならば -(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1), ・n:偶数 ならば -2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦(2^n)(n-1)^2. >>1 スレ立て乙 ついに2桁に到達したでござるな。 ・次スレ用のメモ。 【過去スレ】 〜.2ch.net/ → 〜.5ch.net/ ・過去スレのミラー置き場 http://onedrive.live.com/?id=D357AFBB34F5B26F%21110& ;cid=D357AFBB34F5B26F 【姉妹サイト】 キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/highmath/471952/ キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ >>2 次スレ用のメモ 【不等式の和書】 [1] 不等式 (数学クラシックス11), G.H.Hardy、J.E.Littlewood、G.Polya(著)、細川尋史(訳), 丸善出版, 2012年, 417p. http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/4621063510 [2] 不等式 (数学選書), 大関信雄・青木雅計, 槇書店, 1967年(絶版), 237p. ASIN B000JA494Y, [3] 不等式への招待 (数学ゼミナール6), 大関信雄・大関清太,近代科学社,1992年, 162p. ASIN 4844372661, ISBN 978-4-844-37266-0, http://www.kindaikagaku.co.jp/news/20120912/index.html [4] 不等式入門 (数学のかんどころシリーズ9), 大関清太, 共立出版, 2012年, 186p. http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898 [5] 不等式入門 (数学ライブラリー教養篇4), 渡部隆一,森北出版,2005年, 154p. ASIN 4627010494, ISBN 978-4-627-01049-9, http://www.morikita.co.jp/books/book/84 [6] 不等式の工学への応用, 海津 聰(訳), 森北出版,2004年, 160p. ASIN 4627075812, ISBN 978-4-627-07581-8, http://www.morikita.co.jp/books/book/437 [7] 不等式 (モノグラフ4), 梁取 弘(著)、矢野健太郎(監修), 科学新興新社, 1998年, 118p. http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740 [8] 不等式 〜 21世紀の代数的不等式論 〜, 安藤哲哉, 数学書房, 2012年, 280p. ASIN 4903342700, ISBN 978-4-903-34270-2, http://www.sugakushobo.co.jp/903342_70_mae.html (正誤表+補遺) http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/ ~ando/ [9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として, 佐藤淳郎(訳), 朝倉書店, 2013年, 260p. http://www.asakura.co.jp/G_12.php?isbn=ISBN978-4-254-11137-8 [10] 思考力を鍛える不等式 (大学への数学・別冊), 栗田哲也, 東京出版, 2014年, 135p, ASIN 4887422091, ISBN 978-4-887-42209-4, http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html ※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 https://seesaawiki.jp/w/loveinequality/ >>4 > (2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144. a+b, b+c, c+d, d+a のうち、3つ以上が負にならない。 また2つが負のとき、隣り合う2つか、一つおきの2つが負だが、後者はありえない。 結局、次の3つを考えればよい。 (i) a+b, b+c, c+d, d+a ≧0. (ii) a+b, b+c, c+d ≧0 >d+a. (iii) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+a. (i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦16. (ii)のとき、4<b+c≦6に注意して 0 ≦ -27(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {3(a+b)+(b+c)+3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b+c)^4 ≦1296,. ∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≧-48. (iii)のとき、-1≦d<b≦7に注意して 0 ≦ 9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)-3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b-d-2)^4 ≦1296. ∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144. ( ゚∀゚) こんなものかな。次は(5)か… >>9 蛇足 : (ii)では 4<b+c≦6、(iii)では 7≧b>d≧-1に注意。 >>4 > (3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. a+b, b+c, c+d, d+e, e+a のうち、4つ以上が負にならない。 また3つが負の場合に、負でない2つが隣り合わない場合も除外してよい。 結局、次の5つを考えればよい。 (i) a+b, b+c, c+d, d+e, e+a ≧0. (ii) a+b, b+c, c+d, d+e ≧0 > e+a. (iii) a+b, b+c, c+d ≧0 > d+e, e+a. (iv) a+b, b+c, d+e ≧0 > c+d, e+a. (v) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+e, e+a. (i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦32. (ii)のとき、-2≦e+a<0 に注意して 0 ≦ -(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e)-(e+a)}/5]^5 = {2 - (2/5)*(e+a)}^5 ≦ (14/5)^5 < 512. ∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)>-512. (iii)のとき、-1≦e≦5, 5<b+c-e≦9 に注意して 0 ≦ 27648(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a) ≦ [ {8(a+b)+3(b+c)+8(c+d)-12(d+e)-12(e+a)}/5]^5 = {3(b+c-e)-e-4}^5 ≦ 24^5. ∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. (iv)のとき、5<b≦9 に注意して 0 ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(d+e)}/3]^3 * [ {-(c+d)-(e+a)}/2]^2 = {(b+5)/3}^3 * {(b-5)/2}^2 ≦ (14/3)^3 * 2^2 < 288. ∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)<288. (v)のとき、-1≦d,e<b≦9 に注意して 0 ≦ -64(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)-4(c+d)-4(d+e)-4(e+a)}/5]^5 = (b-d-e-3)^5 ≦ 8^5. ∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≧-512. ( ゚∀゚) ウヒョッ! 残りは一般のnの場合だが、こんなやり方じゃ場合分けで死ぬ… 〔問題A-3〕 a, b ≧1 のとき不等式 (1/2)^{a+b-2} ≦ (a+b-1)∫[0,1] t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt ≦ 1 が成り立つことを証明して下さい。 (近畿大学 数学コンテスト21, 2018/11/03) http://www.math.kindai.ac.jp/index.php?id=84 → 第21回(H30年) http://suseum.jp/gq/question/2997 http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式2-327 >>4 一般の場合のよい証明が思いつかんでござる。 正整数t,k,mがあって、t^2>kmを満たす。 このとき次の不等式が成立 Σ[i=0,m-t-1]C[2m,i]<4^m/2k 〔補題〕 自然数mについて 4^m /√(π(m+1/3)) < C[2m,m] < 4^m /√(π(m+1/4)), (略解) a_m = √{π(m+1/4)} C[2m,m]/(4^m), b_m = √{π(m+1/3)} C[2m,m]/(4^m), とおくと a_m < b_m, (4m+5)(2m+1)^2 - (4m+1)(2m+2)^2 = 1 より a_{m+1}/a_m = √{(4m+5)/(4m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} > 1, a_m は単調増加。 (3m+1)(2m+2)^2 - (3m+4)(2m+1)^2 = m より b_{m+1}/b_m = √{(3m+4)/(3m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} < 1, b_m は単調減少。 よって a_1 < a_2 < ・・・・ < a_m < ・・・・ < b_m < ・・・・ < b_2 < b_1 ゆえ収束する。 極限値 1 >>19 (続き) 3<π<4 √(π(m+1/4)) < 1 < √(π(m+1/3)) より a_0 < 1 < b_0 3<π<3.2 √(π(m+1/4)) < 2 < √(π(m+1/3)) より a_1 < 1 < b_1 m>1 のときも a_m < 1 < b_m >>19 極限値はウォリスの公式 C[2m,m] = (2m)! / (m!)^2 〜 4^m / √(πm), またはスターリングの公式 log(n!) = (n+1/2)log(n) - n + (1/2)log(2π) + 1/(12n) + O(1/n^3) log{C[2m,m]} = log{(2m)!} - 2log(m!) = m log(4) - (1/2)log{π(m+1/4)} + O(1/m^3) から出る。 ∧_∧ ( ´Д` ) 新年あけまして / ヽ し、__X__,ノJ /´⌒⌒ヽ l⌒ ⌒l おめでとうございます。 ⊂ ( ) ⊃ V ̄V 正の数 a,b,c に対して (a^2019 -a^31 +3) (b^2019 -b^31 +3) (c^2019 -c^31 +3) ≧ 9 (abc)^(4/3), [第9章.395, 397] Inequalitybot [104] (aa+bb+cc)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|, [前スレ.574, 576] //www.casphy.com/bbs/highmath/472060 不等式2-196 じゅー君 (作) >>22 x^2019 - x^31 + 3 ≧ 2.08319787624644064040 x^(4/3), 等号成立は x = 0.99794707802373850618 のとき。 (6053x^2019 - 89x^31 - 12 = 0 の正根) 最良値 9.040481720894526247626 人 /⌒\ (__) \●/(__)/⌒\ ∩ (・∀・ )\●/ あけおめでござる。 Y  ̄ ||y||  ̄`''φ Lノ /ニ|| ! ソ > 乂/ノ ハ ヽー´ `ー-、__| >>22 〔問題390〕 正の数 a,b,c に対して (a^2019 - a^31 + 3) (b^2019 - b^31 + 3) (c^2019 - c^31 + 3) > 3 (a^4 + b^4 + c^4), [前スレ.390] >>26 x0 = 0.99794707802373850618 とおく。 >>25 (x^2019 - x^31 + 3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 + 1 + 1} ≧ 3k (x/x0)^4, ここに k = 2.98882413327445720383 (左辺) = (a^2019 - a^31 + 3)(b^2019 - b^31 + 3)(c^2019 - c^31 + 3) ≧ k [{(a/x0)^12 + 1 + 1} {1 + (b/x0)^12 + 1} {1 + 1 + (c/x0)^12}]^{1/3} ≧ k {(a/x0)^4 + (b/x0)^4 + (c/x0)^4} (←コーシー) = (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4) = 3.01349390694842082546 (a^4 + b^4 + c^4) 等号成立は a=b=c=x0. >>27 訂正スマソ k/(x0^4) = 3.01349390696484208254 x はn次元ベクトル ||x||_p はp-norm p>q>0に対して、||x||_p ≦ ||x||_q ≦ n^(1/q - 1/p)*||x||_p. 今年もよろしくお願いします ( ゚∀゚) ウヒョッ! >>29 ||x||_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ・・・・ + |x_n|^p)^{1/p} p次平均ノルム p≧1 >>27 x ≒ x0 の周りにテイラー展開すれば (x^2019 - x^31 + 3)^3 = 3k{1 + 4(x/x0 - 1) + 45791.82863314406(x/x0 -1)^2 + ・・・・}, (x/x0)^12 + 1 + 1 = 3{1 + 4(x/x0 - 1) + 22(x/x0 - 1)^2 + ・・・・}, (x/x0)^4 = {1 + 4(x/x0 - 1) + 6(x/x0 - 1)^2 + ・・・・}, >>13 左: 0 < t < 1/2 ⇒ 1-t > t, 1/2 < t < 1 ⇒ t > 1-t, (中辺) > (a+b-1)∫[0,1/2] t^{a+b-2} dt + (a+b-1)∫[1/2,1] (1-t)^{a+b-2} dt = [ t^{a+b-1} ](0,1/2) + [ (1-t)^{a+b-1} ](1/2,1) = (1/2)^{a+b-1} + (1/2)^{a+b-1} = (1/2)^{a+b-2}, 右: ヤングの不等式より t^{a-1}・(1-t)^{b-1} ≦ [(a-1)t^{a+b-2} + (b-1)(1-t)^{a+b-2}]/(a+b-2), (中辺) ≦ [(a-1)t^{a+b-1} - (b-1)(1-t)^{a+b-1}](0,1) /(a+b-2) = [(a-1) + (b-1)] / (a+b-2) = 1, 〔前スレ.950〕 a,b,c > 0 に対して、 (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 8[(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2]/(a+b+c)^2, ( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式2 - 325, 336 ) ( //suseum.jp/gq/question/3013 ) >>33 bはaとcの中間にあるとしてよい。 (a-b)(b-c) ≧ 0, (c-a)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)(b-c) + (b-c)^2, s = a+b+c,u = abc とおく。 (左辺 - 右辺)・ssu = [c(a-b)^2 + b(c-a)^2 + a(b-c)^2]ss - 8u[(a-b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2] = (css -8u)(a-b)^2 + (bss -8u)(c-a)^2 + (ass -8u)(b-c)^2 = [(b+c)ss -16u](a-b)^2 + (bss -8u)・2(a-b)(b-c) + [(a+b)ss -16u](b-c)^2 ≧ 4a[(a-b)(b-c)]^2 + 16b[(a-b)(b-c)]^2 + 4c[(a-b)(b-c)]^2 = 4(a+4b+c)[(a-b)(b-c)]^2 ≧ 0, (b+c)ss - 16u -4a(b-c)^2 = (b+c)[ss - 4a(b+c)] = (b+c)(-a+b+c)^2 ≧ 0, bss - 8u -8b(a-b)(b-c) = b[ss -8b(a-b+c)] = b(a-3b+c)^2 ≧ 0, (a+b)ss - 16u -4c(a-b)^2 = (a+b)[ss - 4c(a+b)] = (a+b)(a+b-c)^2 ≧ 0, a,b,c >0 のとき (1) (abb)^3 + (bcc)^3 + (caa)^3 + 3(abc)^3 ≧ abc{(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3} + (abc)^2・(a^3 +b^3 +c^3) バルカンMO-2015、P1 (2) a√(a+3b+c) + b√(a+b+3c) + c√(3a+b+c) ≦ √(a+b+c)・√{a(a+3b+c)+b(a+b+3c)+c(3a+b+c)}, セルビアMO-2017、P1改 (3) (a-b-c)^2 /b + (b-c-a)^2 /c + (c-a-b)^2 /a ≧ (aa+bb)/(a+b) + (bb+cc)/(b+c) + (cc+aa)/(c+a), クロアチアMO-2018、A1改 ガイシュツかも知れませんが・・・・ a,b,c>0に対して、1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ≧ (3√3)/{2√(aa+bb+cc)}. ( ゚∀゚)ノ ごきげんよう とりあえず改造・・・・ a,b,c>0 に対して 1/a + 1/b + 1/c ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) ≧ 9/(a+b+c) ≧ 9/√{3(aa+bb+cc)}. ( ゚∀゚)ノ ごぶさたでござる。 >>37 なんと!元の不等式はヌルヌルでござったか… 等式だけど (aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 + 2(ac+bd)^2 = (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 + 2(ab+cd)^2. これって何か背景あるのかな? >>39 行列式を展開して作れるのかなと思ったが、どんな行列式から出てくるか思いつかん。 >>39 (aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 - 2(ab±cd)^2 = (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 - 2(ac±bd)^2. = (aa+dd-1)^2 + (bb+cc-1)^2 - 2(ad±bc)^2, (複号同順) 同じことだけど・・・・ 数セミ3月号 NOTE より n個の正数 x_1, x_2, …, x_n の相加平均を A_n、相乗平均を G_n とする。 それに正数 y を追加した (n+1)個組の相加平均を A_{n+1}、相乗平均を G_{n+1} とする。このとき n(A_n - G_n) ≦ (n+1)(A_{n+1} - G_{n+1}), [前スレ.866, 872] ニコニコ大百科 http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthal の不等式 >>42 NOTEの不等式って、ヤコブスタールの不等式とどこが違うの? >>43 畏れながらお奉行様、手前には何のことやらさっぱり分からぬ始末にございまして、いやはや、いったいどこからそのような根も葉もない噂が流れ ましたことやら。 溜池通信 http://tameike.net/writing/shanghai27.htm >>43 それを気にしていたら、このスレの住人は務まりませぬ。。。 記事のコメントには、ヤコブスタールの不等式そのものであるとか指摘はなかったけど、ZZZは知らなかったのか? 学術誌レベルの新規性を要求されちゃカナワンよなぁ。 雑誌を全部サーチしてから出すなんて、どだい無理だし。 ヤコブスタールの不等式は、一般人には有名じゃないの? コーラを飲めばゲップが出るくらい当たり前のことだと思っていたけど… 読者(一般人)に有名でなければ 再発見でもOK ということで願いたい。 〔問題3043〕 A, B, C は正の実数で次式を満たす。 M = (A+B+C)/3 = 1/(nn+n+1), n = 1, 2, ・・・・ このとき次式を示せ。 {(1-A)/A^p}^p + {(1-B)/B^p}^p + {(1-C)/C^p}^p ≧ 3{(1-M)/M^p}^p, ただし p = 1/(n+1). by K. Chikaya (2019/Feb) http://suseum.jp/gq/question/3043 〔bot-59〕 x,y,z>0 のとき次を示せ。 4 + xx + xyy + xyzz ≧ 4xyz, カナダMO-2012 A.1 左から AM-GM するだけ.... 4 + xx + xyy + xyzz + xyzww ≧ 4xyzw, なるほど! カラクリが分かると何でもないですね、ありがと。 a,b,c,d,e>0 に対して、 (abcd + bcde + cdea + deab + eabc)^4 ≧ 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3 >>56 abcd + bcde + cdea + deab + eabc = 5(G^5)/H, a+b+c+d+e = 5A, abcde = G^5, だから A^(n-1)・H ≧ G^n ≧ A・H^(n-1) … Sierpinskiの不等式 の右側でござるか。 ・文献3 (大関) 2-2 例題1 p.79-80 >>56 1/a=A, 1/b=B, 1/c=C, 1/d=D, 1/e=E とおく。 与式は (A+B+C+D+E)^4 ≧ 125(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC), となる。 左辺を展開すると、いろいろなパターンの4次項が現れる。 5つから重複を許して4つを取り出す場合は (4,1) (3,1,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1) の5パターンがある。 (4,1) A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4, (3,1) 4(A^3)(B+C+D+E) + … (2,2) 6(AABB+AACC+AADD+AAEE+BBCC+BBDD+BBEE+CCDD+CCEE+DDEE), (2,1,1) 12AA(BC+BD+BE+CD+CE+DE) + … (1,1,1,1) 24(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC) = 24v, AM-GM より (A^4 + B^4 + C^4 + D^4)/4 ≧ ABCD, (4,1) ≧ v, 同様にして(チョト怪しい…) (3,1) ≧ 16v, (2,2) ≧ 12v, (2,1,1) ≧ 72v, (1,1,1,1) = 24v, となるので、 (左辺) = (A+B+C+D+E)^4 ≧ (1+16+12+72+24)v = 125v = (右辺), >>58 訂正スマソ 5つから重複を許して4つを取り出す場合は (4) (3,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1) の5パターンがある。 >>58 Muirhead から (4) ≧ (3,1) ≧ (2.2) ≧ (2,1,1) ≧ (1,1,1,1) = 24v, ですね。 一般のnについても、同様に成立。 〔B.5009〕 Given that xx+yy+zz=3, where x,y,z are positive numbers. Prove that 2^(1/x) + 2^(1/y) + 2^(1/z) ≧ 6, (2019/Feb) (略証) コーシーで (xx+yy+zz)(1/x+1/y+1/z)^2 ≧ (1+1+1)^3 = 27, あるいは AM-HM で 1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z) ≧ √{27/(xx+yy+zz)} = 3, AM-GM で (左辺) ≧ 3・2^{(1/x +1/y +1/z)/3} ≧ 3・2 = 6, 等号成立は x=y=z=1. 〔C.1511〕 B and C are interior points of a line segment AD such that AB=CD. Prove that PA+PD ≧ PB+PC for any point P on the plane. (2018/Dec) (略証) ・Pが直線AD上になく、B≠C の場合。 ADの中点 = BCの中点 をFとし、PFの延長線上に PF=FQ となる点Qをとる。 問題図は点Fに関して対称である。 儕AF ≡ 儔DF、 儕BF ≡ 儔CF PA = QD、 PB = QC ここで、儕DQ ⊃ 儕CQ だから QD + PD ≧ QC + PC, ∴ PA + PD ≧ PB + PC, ・B=C の場合は△不等式となる。 ・Pが直線AD上の場合は明らか。A以遠またはD以遠のとき等号成立。 〔B.4980〕 Let n>3 be a positive integer, and let a_1, a_2, ・・・・, a_n be positive real numbers. Prove that 1 < a_1/(a_n+a_1+a_2) + a_2/(a_1+a_2+a_3) + ・・・・ + a_n/(a_{n-1}+a_n+a_1) < [n/2] where the left-hand side of the inequality cannot be replaced by a larger number, and the right-hand side cannot be replaced by a smaller number. ( [x] denotes the greatest integer not greater than the number x.) (2018/Oct) (左側) (分母) < a_1+a_2+・・・・+a_n により成立。 また ε>0, a_i = ε^(i-1) とすると、(中辺) < 1 +(n-1)ε, ε→0 とすれば1に近づく。 (右側) nが偶数のとき、隣合うペアについて a_i/(a_{i-1}+a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}) < a_i/(a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}) = 1, だから成立。 nが奇数のときは、分母(a_{j-1}+a_j+a_{j+1})が最小となるような j に対して a_{j-1}/(a_{j-2}+a_{j-1}+a_j) + a_j/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) + a_{j+1}/(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}) < (a_{j-1}+a_j+a_{j+1})/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) = 1, 残った偶数項を隣合うペアに分ける。 後略 〔C.1493〕 A triangle of unit area has sides a,b,c, such that a≧b≧c. Show that b ≧ √2. (2018/Sep) (略解) 2 = bc・sin(A) ≦ bc ≦ bb, b ≧ √(2), 等号成立は直角2等辺 〔B.4968〕 Solve the following simultaneous equations on the set of positive real numbers: 1/(1+a+ab+abc) + 1/(1+b+bc+bcd) + 1/(1+c+cd+cda) + 1/(1+d+da+dab) = 1, a+b+c+d = 4. (2018/Sep) (略解) abcd ≦ {(a+b+c+d)/4}^4 = 1, (← GM-AM) 1/(1+b+bc+bcd) = a/(a+ab+abc+abcd) ≧ a/(a+ab+abc+1), 1/(1+c+cd+cda) = ab/{ab+abc+abcd(1+a)} ≧ ab/(ab+abc+1+a), 1/(1+d+da+dab) = abc/{abc+abcd(1+a+ab)} ≧ abc/(abc+1+a+ab), (左辺) ≧ 1, 等号条件から a=b=c=d=1. >>66 bを底辺としたときの高さ(辺bに下した垂線の長さ)m はc以下だから 2 = bm ≦ bc ≦ bb, a,b,c>0 に対して、 3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc) ≧ Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2}. n番目の素数をp(n)とおくとき、n≧5に対して、 p(n+1)^3 < Π[k=1 to n] p(k). Crux (2018年度)から。 4302, 4304, 4308, 4309, 4310 https://cms.math.ca/crux/v44/n1/Problems_44_1.pdf 4311, 4316, 4319, 4320 https://cms.math.ca/crux/v44/n2/Problems_44_2.pdf 4321, 4322, 4327, 4329 https://cms.math.ca/crux/v44/n3/Problems_44_3.pdf 4335, 4336, 4340 https://cms.math.ca/crux/v44/n4/Problems_44_4.pdf 4348, 4349, 4350 https://cms.math.ca/crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf 4353, 4359, 4360 https://cms.math.ca/crux/v44/n6/Problems_44_6.pdf 4367 https://cms.math.ca/crux/v44/n7/Problems_44_7.pdf 4376、4377, 4380 ←ハァハァ https://cms.math.ca/crux/v44/n8/Problems_44_8.pdf 4388, 4389 https://cms.math.ca/crux/v44/n9/Problems_44_9.pdf 4398, 4399 https://cms.math.ca/crux/v44/n10/Problems_44_10.pdf 春ですな ( ゚∀゚) ウヒョッ! >>71 nについての帰納法で・・・・ ・n=5 のとき (左辺) = p(6)^3 = 13^3 = 2197, (右辺) = p(1)p(2)p(3)p(4)p(5) = 2・3・5・7・11 = 2310, により成立。 ・n>5 のとき ベルトラン予想(チェビシェフの定理)より p(n+2)/p(n+1) < 2, ∴ {p(n+2)/p(n+1)}^3 < 8 < p(n+1), n について成立すれば n+1 のついても成立する。(終) さくら、さくら、今 咲き誇る http://www.youtube.com/watch?v=PB-IdtDRY1I >>72 crux/v44/n1/Problems_44_1 4304 Evaluate cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) + {cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3, 4306-改 Prove that √(16n+24) > √n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) > √(16n+20), 4308. Let a,b & c be positive real numbers. Prove that 27abc(aab+bbc+cca) ≦ (a+b+c)^2・(ab+bc+ca)^2, 4309. Let a,b & c be real numbers such that a+b+c=3. Prove that 2(a^4 + b^4 + c^4) ≧ ab(ab+1) + bc(bc+1) + ca(ca+1). >>74 4304. cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) = √7, {cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3 = 18/√7, ∴ 25/√7. 4306-改 右) √n + √(n+3) = √{(2n+3) + 2√(n(n+3))} ≧ √{(2n+3) + 2(n+1)} = √(4n+5), {√(n+1) - √n} - {√(n+3) - √(n+2)} = 1/{√(n+1) + √n} - 1/{√(n+3) + √(n+2)} > 0, √n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≧ 2√(4n+5), 左) GM-AM より √n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≦ 4√(n+3/2) = √(16n+24), 4308. A = aab+bbc+cca, B = abb+bcc+caa, C = 3abc とおくと与式は 9CA ≦ (A+B+C)^2, (u+v+w)^2 ≧ 3(uv+vw+wu) より B^2 ≧ 3abc(aab+bbc+cca) = CA, A+B+C ≧ A + √(CA) + C ≧ 3√(CA), 4309. (解1) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/9)(aa+bb+cc)(a+b+c)^2 = aa+bb+cc ≧ ab+bc+ca, a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2, 辺々たす。 (解2) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/27)(a+b+c)^4 = (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca, a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2, 辺々たす。 http://cms.math.ca/crux/v45/n1/Solutions_45_1.pdf >>72 crux/v44/n2/Problems_44_2 4316. Let f:[0,11] be an integrable and convex function. Prove that ∫[3,5] f(x)dx + ∫[6,8] f(x)dx ≦ ∫[0,2] f(x)dx + ∫[9,11] f(x)dx, (略解) 下に凸だから f(3+t) ≦ {f(t) + f(t) + f(9+t)}/3, f(6+t) ≦ {f(t) + f(9+t) + f(9+t)}/3, 辺々たす。 f(3+t) + f(6+t) ≦ f(t) + f(9+t), 0≦t≦2 で積分する。 4317. Solve the following system of equations over reals: a+b+c+d = 4, abc + bcd+ cda + dab = 2, abcd = -1/4, (略解) ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3, となるから a〜d は↓の実根。 0 = t^4 -4t^3 +(3√3)t^2 -2t -1/4 = {t-(1+√3)/2}^3 {t-(5-3√3)/2}, ∴ a〜d = (1+√3)/2 = 1.36602540378444 (3重根) (5-3√3)/2 = -0.0980762113533 4320. For positive real numbers a,b,c,d, prove that (a+b)(a+b)(a+c)(b+c)(b+d)(c+d) ≧ (a+b+c+d)(abcd)^(5/4), 整理して頂き、有難う御座いまする。 最近の数オリに不等式が少ないのは、ネタ切れなのかな? >>72 crux/v44/n3/Problems_44_3 4321. Find the greatest positive real number k such that (aa + bb + cc + dd + ee)^2 ≧ k(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4) for all real numbers a,b,c,d & e satisfying a+b+c+d+e=0. k = 20/13, 等号成立は {1,1,1,1,-4} のとき。 4325. Solve in real numbers the system of equations: x^4 -2y^3 -x^2 +2y = -1 +2√5, y^4 -2x^3 -y^2 +2x = -1 -2√5, x = (1+√5)/2 = φ = 1.61803399 y = (1-√5)/2 = -1/φ = - 0.61803399 (x, y) ≒ (1.8 1.5) 付近では接触しないようでござる。 4327. Prove the following inequality for all x>0: arctan(x) arctan(1/x) < π/{2(xx+1)}. 4330. Let a & b be integers such that aa -20b +24 = 0. Find the complete set of solutions of the following equation over integers: 5xx + axy + byy = 11. a = 2(5n+7), b = 5nn+14n+11 (x, y) = (n, -1) (-n, 1) (3n+4, -3) (-3n-4, 3) a = 2(5n-7), b = 5nn-14n+11 (x, y) = (n, -1) (-n, 1) (3n-4, -3) (-3n+4, 3) >>70 s,t,u と schur で何とかなりそうな伊予柑… >>79 4327-改 Prove the following inequality for all x>0: arctan(x) arctan(1/x) < πx/{2(xx+1)}, (略解) x⇔1/x としても不変だから、0<x≦1 としてよい。 arctan(x) < x, arctan(1/x) < π/{2(xx+1)}, 辺々掛ける。 〔補題〕 0<x≦1 のとき arctan(x) > πxx/{2(xx+1)}, arctan(1/x) < π/{2(xx+1)}, (略証) ・0 < x < 2/π のとき arctan(x) = ∫[0,x] 1/(tt+1) dt > x/(xx+1) > πxx/{2(xx+1)}, arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) < π/{2(xx+1)}, ・(4-π)/π < x ≦ 1 のとき arctan(x) = (π/4) - ∫[x,1] 1/(tt+1)dt ≧ (π/4) - (1-x)/(xx+1) = πxx/{2(xx+1)} + (1-x){πx - (4-π)}/{4(xx+1)} ≧ πxx/{2(xx+1)}, arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) ≦ π/{2(xx+1)}, >>72 crux/v44/n4/Problems_44_4 4335. Let a & b be fixed positive real numbers and let n≧2 be an integer. Prove that for any non-negative real numbers x_i, (i=1,2,・・・・,n) such that x1 + x2 + ・・・・ + xn = 1, we have (a・x_1 + b)^(1/3) + (a・x_2 + b)^(1/3) + ・・・・ + (a・x_n + b)^(1/3) ≧ (a+b)^(1/3) + (n-1)b^(1/3). f(x) = (ax+b)^(1/3) は上に凸だから、Jensenで f(x) ≧ x・f(0) + (1-x)・f(1), 4336. For non-negative integers m & n, evaluate in closed form Σ[k=0,n] Σ[j=0,m] (j+k+1)C[j+k,j] 1 + (mn+m+n)(m+n+3)!/{(m+2)! (n+2)!}, 4340. Let a,b,c & d be positive real numbers such that a + b + c + d = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d. Show that a + b + c + d ≧ max{ 4√(abcd), 4/√(abcd) }. >>72 crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf 4346. Find all x,y,z ∈ (0,∞) such that 64(x+y+z)^2 = 27(xx+1)(yy+1)(zz+1), x+y+z = xyz. (x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)i より (xx+1)(yy+1)(zz+1) = (xyz-x-y-z)^2 + (xy+yz+zx-1)^2, 与式より x+y+z = xyz = ±(3√3)/8・(xy+yz+zx-1) ξ^3 -s・ξ^2 +{1±(8/3√3)s}・ξ -s = 0 の3根。 x = y = z = √3, 4348. Let p∈[0,1]. Then for each n>1, prove that (1-p)^n + p^n ≧ (2pp-2p+1)^n + (2p-2pp)^n. 4349. Let x,y & z be positive real numbers such that x+y+z = 3. Find the minimum value of (x^3)/{y√(x^3 +8)} + (y^3)/{z√(y^3 +8)} + (z^3)/{x√(z^3 +8)}. 4350. Let f:[0,1]→R be a decreasing, differentiable and concave function. Prove that f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≦ 3f(0) + f(d-c+b-a), for any real numbers a,b,c,d such that 0≦a≦b≦c≦d≦1. 単調減少 だから f(a) ≦ f(0), f(b) ≦ f(b-a), f(c) ≦ f(0), f(d) ≦ f(d-c), 下に凸 だから f(b-a) + f(d-c) ≦ f(0) + f(d-c+b-a), 辺々たす。 >>72 crux/v44/n6/Problems_44_6 4353. Evaluate lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1,∞) Σ[j=1,n] 1/{k C[j+k-1,j]}. ・k=1 Σ[j=1,n] 1/C[j,j] = n ・k=2 Σ[j=1,n] 1/{2 C[j+1,j] = Σ[j=1,n] 1/{2(j+1)} 〜 (1/2)log(n), ・k>2 1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/C[j+k-1,j] - 1/C[j+k,j+1]}, Σ[j=1,n] 1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/k - 1/C[n+k,n+1]}. 4356. Solve the following system over reals: a + b + c + d = 6, aa + bb + cc + dd = 12, abc + bcd + cda + dab = 8 + abcd. これらより ab + ac + ad + bc + bd + cd = 12, abc + bcd + cda + dab = 8, abcd = 0, 0 = t^4 -6t^3 +12t^2 -8t = t(t-2)^3, {a,b,c,d} = {0,2,2,2} 4359. Let a,b & c be positive real numbers. Prove that 3 ln(a^b + b^c + c^a) + a/c + b/a + c/b ≧ a+b+c + ln(27). 4360. Let a,b,c be non-negative real numbers such that a+b+c = 1. Find the minimum and the maximum values of the expression (a+b)/(1+ab) + (b+c)/(1+bc) + (c+a)/(1+ca). When do these extreme values occur ? min. = 9/5, {a,b,c} = {1/2,1/2,0} {1/3,1/3,1/3} max. = 2, {a,b,c} = {1,0,0} >>72 crux/v44/n6/Problems_44_7 4367. Let a, b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1 and |a+b+c| ≦ 1. Prove that |(a+b)/(a-b)||(b+c)/(b-c)| + |(b+c)/(b-c)||(c+a)/(c-a)| + |(c+a)/(c-a)||(a+b)/(a-b)| = 1, 4370. Solve the following system of equations: a + b + c + d = 4, aa + bb + cc + dd = 7, abc + bcd + cda + dab - abcd = 5/16. これらより ab + ac + ad + bc + bd + cd = 9/2, abc + bcd + cda + dab = 1, abcd = 1/16, 0 = t^4 -4t^3 +(9/2)t^2 -t +(1/16) = (tt-2t+1/4)^2, t = 1 ±(√3)/2, (重根) 4368. Calculate Σ[n=2,∞) (2^n)[ζ(n) -1 -1/(2^n)] (与式) = Σ[n=2,∞) Σ[k=3,∞) (2/k)^n = Σ[k=3,∞) (2/k)^2 /(1 - 2/k) = Σ[k=3,∞) 4/{k(k-2)} = Σ[k=3,∞) {2/(k-2) - 2/k} = 2/1 + 2/2 = 3, ----------------------------------- crux/v44/n8/Problems_44_8 4377. Let x≧y≧z >0 such that x+y+z + xy+yz+zx = 1 + xyz. Find min x. 与式より xy+yz+zx -1 = xyz-x-y-z = A, (x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)i = A(1+i), (x,y,z;A) = (7,3,3;50) (8,5,2;65) (13,4,2;85) 4378. Find all k such that the following limit exists. lim[n→∞) {k・F_(n+1) - Σ[i=0,n] φ^i} = 0, where F_n is the n-th Fibonacci number and φ is the golden ratio. F_n = {φ^n - (-1/φ)^n}/√5, (Binetの公式) k = (√5)φ, >>72 crux/v44/n9/Problems_44_9 4383. Evaluate the inegral ∫[0,1] (ln x)・√{x/(1-x)} dx. 4388. For positive real numbers a,b & c, prove 8abc(aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ (27/64){(a+b)(b+c)(c+a)}^3. 4389. Considerthe real numbers a,b,c & d. Prove that a(c+d) - b(c-d) ≦ √{2(aa+bb)(cc+dd)}. {a(c+d) - b(c-d)}^2 + {a(c-d) + b(c+d)}^2 = 2(aa+bb)(cc+dd), あるいは (a+bi)(c-di)(1+i) = {a(c+d) - b(c-d)} + {a(c-d) +b(c+d)}i, (a-bi)(c+di)(1-i) = {a(c+d) - b(c-d)} - {a(c-d) +b(c+d)}i, 辺々掛ける。 4390. Let x,y & z be positive real numbers with x+y+z = m. Find the minimum value of the expression 1/(1+xx) + 1/(1+yy) + 1/(1+zz). >>87 4383. (略解) x = (sinθ)^2 とおくと dx = 2 sinθ cosθ dθ (与式) = 4∫[0,π/2] log(sinθ) (sinθ)^2 dθ = 2∫[0,π/2] log(sinθ) {1 - cos(2θ)} dθ = 2I - ∫[0,π/2] log(sinθ) 2cos(2θ) dθ = 2I - [ log(sinθ) sin(2θ) ](0,π/2) + ∫[0,π/2] {cos(2θ)+1} dθ = 2I + [ {-log(sinθ) + 1/2} sin(2θ) + θ ](0,π/2) = 2I + π/2 = -π{log(2) - 1/2} (*) ----------------------------------------------- *) 次を使った。 [例3] ∫[0,π/2] log(sinθ) dθ = - (π/2)log(2). (Euler) 被積分函数は θ→0 のとき -∞ になるが、θ^a log(sinθ) = (θ^a)logθ + (θ^a)log(sinθ/θ) → 0 (a>0) だから、 積分は収束する。(定理36) この積分を I とすれば θ を π-θ に,また π/2-θ に変換して I = ∫[π/2, π] log(sinθ) dθ, I = ∫[0,π/2] log(cosθ) dθ. 故に 2I = ∫[0,π] log(sinθ) dθ. ここで θ=2φ とすれば I = ∫[0,π/2] log(2φ) dφ = ∫[0,π/2] log(2 sinφ cosφ) dφ = ∫[0,π/2] log(2) dφ + ∫[0,π/2] log(sinφ) dφ + ∫[0,π/2] log(cosφ) dφ, = (π/2)log(2) + I + I. よって標記の結果を得る。 高木:「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.113 第3章 積分法、§34. 積分変数の変換、[例3] >>87 4390. 0 < m < √2 のとき 1 + 1 + 1/(1+mm) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9), √2 < m < √3 のとき 1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9), √3 < m < √6 のとき 1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm), √6 < m のとき 3/(1+mm/9) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm), >>72 crux/v44/n10/Problems_44_10 4398. Prove that for n∈N, we have 1/(2n-1) + ∫[0,1] {sin(x^n)}^2 dx ≧ (2/n){1-cos(1)}. 4399. Let ABCDE be a pentagon. Prove that |AB||EC||ED| + |BC|ED||EA| + |CD||EA||EB| ≧ |AD||EB||EC|. When does equality hold ? >>.76 crux/v44/n2/Problems_44_2 4317. 他にもまだあった。 ・ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3 のとき a〜d = (1+√3)/2 = 1.36602540378444 (3重根) (5-3√3)/2 = -0.09807621135332 ・ab+ac+ad+bc+bd+cd = -3√3 のとき a〜d = (1-√3)/2 = -0.36602540378444 (3重根) (5+3√3)/2 = 5.09807621135332 4320. (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) = (ac-bd)^2 ≧ 0, より (左辺)^2 ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^3, (左辺) ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^(3/2) ≧ 8(a+b+c+d)^(3/2)・(abcd)^(9/8) ≧ 16(a+b+c+d)・(abcd)^(5/4), 右辺の係数16が抜けてました。スマソ http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf >>90 〔補題〕 (1/16) (a+b+c+d)^4 ≧ (4/9) (ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2 ≧ { (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) + (a+c)(c+d)(d+b)(b+a) + (a+d)(d+b)(b+c)(c+a) } /3 ≧ (a+b+c+d) (abc+bcd+cda+dab) ≧ 16 abcd, (略証) s = a+b+c+d, t = ab+ac+ad+bc+bd+cd, u = abc+bcd+cda+dab, v = abcd とおく。 3ss - 8t = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0, 8tt - 6(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - 6(a+c)(c+d)(d+b)(b+a) - 6(a+d)(d+b)(b+c)(c+a)} = {(a-b)(c-d)}^2 + {(a-c)(b-d)}^2 + {(a-d)(b-c)}^2 ≧ 0, (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - su = (ac-bd)^2 ≧ 0, su - 16v = ab(c-d)^2 + ac(b-d)^2 + ad(b-c)^2 + bc(a-d)^2 + bd(a-c)^2 + cd(a-b)^2 ≧ 0, >>87 訂正 4388. For positive real numbers a,b & c, prove 8abc (aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ {(a+b)(b+c)(c+a)}^3. >>79 crux/v44/n3/Problems_44_3 4325. 与式を辺々たす。 0 = (x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1) + (y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1) = (xx-x-1)^2 + (yy-y-1)^2 よって xx -x -1 = 0 かつ yy -y -1 = 0, >>81 やっぱり、そうだ。 http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf >>76 (追加) 4319. Let x_1,x_2,・・・・,x_n ∈ (0,+∞), n≧2, α≧3/2, such that (x_1)^α + (x_2)^α + ・・・・ +(x_n)^α = n. Prove the following inequality: Π[i=1,n] {1 +x_i + x_i^(α+1)} ≦ 3^n. (略証) x ≦ (α-1 +x^α)/α より 1 + x + x^(α+1) ≦ 1 + (1 +x^α)(α-1 +x^α)/α = 1 + (1+X)(α-1 +X)/α = 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/α)(X-1)^2 ≦ 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/8)(1+2/α)^2・(X-1)^2 (← α≧3/2) = 3{1 +y +(3/8)yy} ≦ 3 e^y, (←補題) ここに X = x^α, y = (1/3)(1+2/α)(X-1), 題意により y_1 +y_2 + ・・・・ +y_n = (1/3)(1+2/α)(X_1 +X_2+・・・・+X_n -n) = 0, (左辺) ≦ (3^n)e^(y_1+y_2+・・・・+y_n) = 3^n. 〔補題〕 y > -0.9323381774 のとき 1 +y +(3/8)yy < e^y. x>0, X>0, α≧3/2 のとき y > -7/9 > -0.9323381774 さて、補題をどう示すか・・・・ >>85 4367. O(0), A(a), B(b), C(c) とおく。 題意より A,B,Cは単位円上にあり、僊BC は鋭角三角形。 ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ とおくと tanα>0, tanβ>0, tanγ>0, (a+b)/(a-b) = -i/tan(∠AOB/2) = -i/tanγ, etc. (左辺) = 1/(tanγ・tanα) + 1/(tanα・tanβ) + 1/(tanβ・tanγ) = (tanβ + tanγ + tanα)/(tanα・tanβ・tanγ) = 1, (α+β+γ=π より) >>93 4325. xx-x-1 = 0, yy-y-1 = 0 を元の式に入れて 2√5 = x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1 = (xx+x+1)(xx-x-1) -2(y+1)(yy-y-1) +2(x-y) = 2(x-y), -2√5 = y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1 = (yy+y+1)(yy-y-1) -2(x+1)(xx-x-1) +2(y-x) = 2(y-x), これから x,y が出る。 >>94 模範解答は・・・・ 4319. X = x^α, f(X) = log{1 + X^(1/α) + X^(1+1/α)} とおくと f "(X)・αα・X^(2-1/α)・exp{2f(X)} = -α(α+1)X^(2+1/α) -2αX^(1+1/α) -αX^(1/α) +(α+1)X -(α-1) < -2αX^(1+1/α) + (α+1)X - (α-1) < -α[2X^(α+1)]^(1/α) + (α+1)X - 1/2 (← α≧3/2) < 0, より f(X) は X>0で上に凸。 ∵ (α/(α+1))・2X^(1+1/α) + (α-1)/(α+1) > (α/(α+1))[2X^(α+1)]^(1/α) + (1/(α+1))・(1/2) (← α≧3/2) > X (← Jensen) http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf >>79 4321. |a| ≧ |b|,|c|,|d|,|e| としてもよい。このとき 5aa - S_2 = 5aa - (aa+bb+cc+dd+ee) ≧ 0, aa = (-b-c-d-e)^2 ≦ 4(bb+cc+dd+ee) = 4(S_2-aa), ∴ 4S_2 -5aa ≧ 0, (等号は b=c=d=e のとき) 2aa -S_2 = (-b-c-d-e)^2 -bb -cc -dd -ee = 2(bc+bd+be+cd+ce+de), よって S_4 = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4 = a^4 + (S_2 -aa)^2 -2(bbcc+bbdd+bbee+ccdd+ccee+ddee) ≦ a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/3)(bc+bd+be+cd+ce+de)^2 = a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/12)(2aa -S_2)^2 = (13/20)(S_2)^2 - (1/15)(5aa -S_2)(4S_2 -5aa) ≦ (13/20)(S_2)^2, http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf >>85 4367-改. Let a,b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1. Prove that ((a+b)/(a-b))((b+c)/(b-c)) + ((b+c)/(b-c))((c+a)/(c-a)) + ((c+a)/(c-a))((a+b)/(a-b)) = -1. >>95 (略証) 指数関数の加法公式より sin(α+β+γ) = Im{e^(i(α+β+γ))} = Im{e^(iα)・e^(iβ)・e^(iγ)} = Im{(cosα+i・sinα)(cosβ+i・sinβ)(cosγ+i・sinγ)} = cosα・sinβ・cosγ + cosα・cosβ・sinγ + sinα・cosβ・cosγ - sinα・sinβ・sinγ = sinα・sinβ・sinγ{1/(tanγ・tanα) + 1/(tanα・tanβ) + 1/(tanβ・tanγ) - 1}, 〔補題〕 0<θ<π/2 のとき sinθ < H < θ < G < A < tanθ, ここで H = 3sinθ/(2+cosθ), G = {(sinθ)^2・tanθ}^(1/3), A = (2sinθ+tanθ)/3 である。 (略証) cos(x) < 3{1+2cos(x)}/{2+cos(x)}^2 < 1 < {2cos(x)^2 +1}/{3cos(x)^(4/3)} < {2cos(x) + 1/cos(x)^2}/3 < 1/cos(x)^2, をxで積分する。(0→θ) H < θ を B.C.Carlson と呼び、θ < A を Snellius-Huygens と呼ぶ。 [第2章.196-199,679] [第3章.565,591] [第6章.610-613,634,641] [第7章.156-157,929] [第9章.762-763] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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