現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56

2018/12/16(日) 10:45:05.23

このスレは、皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 11:56:23.42

>>34
「時枝の定理」成立を理解するには
大した理解力と学力を必要としない

順序関係の基本的性質を理解すればいいだけ
2個以上の数のどれもが
「他のどれより大きい」「他のどれより小さい」
ということはあり得ない
「」内の性質を持つ数はたかだか一つ
それだけ理解できれば、積分すら知らなくていい
積分もできないような確率分布を
無理矢理”俺様積分”した上で、
定理が間違ってるとほざくスレ主は
まさにピエロであり小学生以下のサル

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 11:58:21.93

「スレ主の独白」

大学で数学を教えている恩師のところへ行ってきました
以下は、その概略です（‐-

１．時枝記事の解法は成り立つ
２．それは、大学で数学を学んだものなら当然の常識だし
　　成立が理解できないのは、数学科生としては、落ちこぼれ
３．時枝記事を読めば誰でもわかることを
　　わざわざ繰り返すのは無意味だからしないだけ
４．君が時枝論法は間違ってると思ってるなら
　　数学科の学生なら、完全に落ちこぼれ
　　選択公理以前の問題
　　君が自分は正しいと思い続けてるなら
　　サイコパスで、誇大妄想・自己肥大といわざるを得ない
　　ま、数学科じゃないなら、頭が悪いし、能力が低いから、仕方ないが
　　全くピエロもいいところだね

ということでした OTL

私は、この面談の完全な記録を持っているが、
自分の面目を潰すだけだから絶対公開しない！
オレはピエロにはなりたくなぁぁぁい（スレ主、絶叫）

2018/12/16(日) 13:23:13.34

突然ですが
下記、数学セミナー2019年1月号ショルツェさん
パーフェクトイド説明がいいね
なんとなく、分った気にさせてくれる（＾＾

(抜粋)
Qpをp進数体、Fp((t))を位数pの有限体Fp上の形式ローラン級数体とする
Qpにpのp^n乗根 p^(1/p^n)を付け加えて得られる体Qp( p^(1/p^n))を考える

この調子で、p^n乗根 p^(1/p^n)を整合的に取って得られる体の拡大の
合併 ∪ n>=1 Qp( p^(1/p^n))
を考え、その完備化をKo,∞ と書きます

Fp((t))にも仲良くt^(1/p^n)を付け加え、
合併 ∪ n>=1 Fp((t))（t^(1/p^n)）
を考え、その完備化をKp,∞ と書きます

定理
Ko,∞ の絶対ガロア群と
Kp,∞ の絶対ガロア群の間に
自然な同型が存在する。
(引用終り)

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー　2019年1月号
[特集1]
国際数学者会議2018
＊[フィールズ賞業績紹介] ショルツェ……今井直毅　26

つづく

2018/12/16(日) 13:23:49.18

>>38
つづき

このパーフェクトイド Qp( p^(1/p^n) n→∞ の話は
下記、雪江明彦先生の順極限の例 ”Gn＝(1/n)*Z⊂Qで、lim → Gn ＝Q” の話に似ていると思った
つまり、整数環Zから”順極限”で、有理数環Qを作る話のアナロジーで理解できるかなと
さらに、有理数環Qを完備化して、実数体Rを作る
同じように完備化を、パーフェクトイドでも行う
完備化の話は、雪江　明彦「代数学3」P17とかP112にある

（参考）
前スレ>>361 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1543319499/361
より、
(抜粋)
雪江明彦先生の「代数学３」に、極限の話があったなと思い出した（下記）
書棚の肥やしを持ち出してきました
P6～18ですね

P7 例1.27.7 (順極限の例)
Gn＝(1/n)*Z⊂Q とすれば
（ここに、Zは整数環）
lim → Gn ＝Q　（”lim →”が、順極限）である
とありますね。

https://www.amazon.co.jp/dp/4535786615
代数学3 代数学のひろがり単行本（ソフトカバー） ? 2011/3/16
雪江　明彦

2018/12/16(日) 13:41:31.02

>>39

絶対ガロア群は下記な
むずいな（＾＾
グロタンディークのガロア理論ならぬ、ショルツェのパーフェクトイドの絶対ガロア理論か（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
より発展的な定式化

抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大はガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。

一般に体 K の有限次分離拡大の「合併」として K の分離閉包 K?sep が考えられる。K?sep の正規部分拡大 L の自己同型で K の元を固定しているもの全体 Gal(L/K) は L に含まれる K の有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。Gal(L/K) は各点収束の位相について位相群となり、L の中間体のなす系と、Gal(L/K) の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。

体 K に対しその絶対ガロア群 GK = Gal(K?sep/K) が推移的かつ連続に作用する有限離散空間 X が与えられたとする。このとき X から K?sep への写像の空間 (Ksep)X に対する GK の作用
(g,f)[x]=f(g^{-1}x)
が考えられる。
この作用の下で固定されている写像たちのなす部分代数は、X の任意の一点の固定部分群に関する K?sep の不変部分体と同型になる（X の点の取り替えは K?sep の中での共役な部分体の取り替えに対応する）。
X への作用の推移性を外すことは K の有限次分離拡大体の代わりに K 上の有限エタール代数を考えることに対応し、こうして K 上の有限エタール代数のなす圏と GK が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の反変圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化が得られる。

つづく

2018/12/16(日) 13:42:16.47

>>40
つづき

グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。
K上のエタール代数はアフィンスキーム Spec(K) の上のエタール層を表しており、埋め込みK → K?sep に対応する射 Spec(K?sep) → Spec(K) が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 FK?sep: A → HomK(A, K?sep) が、圏同値 : Spec(K) 上のエタール層の圏 EtK ≡ G が連続的に作用する集合の圏 BG をひき起こしている。
また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、
特定の公理を満たしている関手
{F} _{K^ {sep} }: {Et} _{K}→ {Sets} からガロア群を復元できることが分かる。
また、上の圏同値によって、体 K上のガロアコホモロジーは、Spec(K) 上のエタール・コホモロジー理論と同値となる。

(引用終り)

2018/12/16(日) 13:48:41.10

>>40 追加

（ご参考）
「絶対 Galois 群による数体の復元」星裕一郎
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/
星裕一郎のホームページ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
講演
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group , (絶対 Galois 群による数体の復元),
第 18 回早稲田大学整数論研究集会,
早稲田大学,
2014.3.11-2014.3.13.
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311.pdf
(講演スライド)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 14:29:15.24

>>34
＞時枝記事の解法が正しいと思っている
いや、スレ主のレベルでは時枝問題は無理だからもういいって何度も言ってるんだが。
簡易版時枝問題（>>14）が今の対象だよ。
対象は変わったんだよ。あまりにスレ主のレベルが低いから。
で、スレ主は簡易版にすら答えられないから言ってるんだよ。
わかった？お爺ちゃん

2018/12/16(日) 14:30:48.03

>>42 補足

この星裕一郎先生のは、
望月先生IUT関連で書かれたようだね

2018/12/16(日) 14:31:48.09

>>43
ありがとう
だが、あわれだね

2018/12/16(日) 14:33:27.07

ビルカーさん（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー　2019年1月号
[特集1]
国際数学者会議2018
＊[フィールズ賞業績紹介] ビルカー……權業善範　14

＜関連PDF＞
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H22-kawakita.pdf
京都大学数理解析研究所 - 数学入門公開講座
極小モデル理論の発展　　　　川北　真之 2010年8月2日-8月5日（第32回）

　代数幾何学の扱う対象は、代数多様体と呼ばれる、連立多項式の共通零点集合として定義される図形です。
極小モデル理論とは、変数変換で写り合う代数多様体たちを本質的に同じものと捉え、各々の中から代表的な代数多様体を抽出する理論です。
抽出の過程で多様体上の余計な曲線を収縮させるのですが、収縮によって悪い特異点を持つ多様体が生じます。
それを回復させる操作がフリップと呼ばれる変換で、極小モデル理論において中心的な役割を果たします。
3次元極小モデル理論は森によるフリップの存在を中心として90年代に完成しましたが、その高次元化は暫く模索段階でした。
ところが2006年、ビルカー、カッシーニ、ヘイコン、マッカーナンは一般次元のフリップの存在を証明し、極小モデル理論は大きな前進を遂げました。
講座では、このような極小モデル理論の最近の発展を、わかりやすく紹介します。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/reports.html
Website of Masayuki Kawakita
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/Documents/alg-symp09.pdf
（ビルカー後）
Problems on singularities from the theory of minimal models,第54回代数学シンポジウム報告集, 47-54 (2009)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/Documents/msj06.pdf
（ビルカー前）
高次元極小モデル理論の発展, 日本数学会代数学分科会講演アブストラクト, 92-95 (2006 autumn)

つづく

2018/12/16(日) 14:34:13.48

>>46

つづき

https://www.iwanami.co.jp/book/b258667.html
https://www.iwanami.co.jp/files/tachiyomi/pdfs/0075980.pdf
立ち読みPDF
岩波数学叢書
高次元代数多様体論川又　雄二郎著 2014/07/25

本書の主目標は「代数多様体の標準環は有限生成である」という大きな定理の証明である．証明で用いられる極小モデル理論は，様々な国々に散らばった数多くの数学者たちが代数・幾何・解析の手法を総合し，近年になって大きなブレークスルーを生み出してきた．この三十数年間にわたる成果の集大成ともいえる書である．

（主に森理論）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/
藤野修
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/sonota.html
その他
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/TW-HP.pdf
トーリックの世界 ?森理論入門? 藤野修成14年京都大学数理解析研究所数学入門公開講座用テキスト
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/ZU-HP.pdf
トーリックの世界--森理論入門-- 付録の図成14年京都大学数理解析研究所数学入門公開講座用テキスト

以上

2018/12/16(日) 14:42:11.50

>>45

時枝記事の解法が不成立という事実
それは、良質な情報を得られない数学板の村人たちには理解できないことだったろう

時枝記事の解法が不成立という事実が分ったとき
それは、彼らに、あたかも巨大隕石が降ってきたと同じ衝撃を与えるだろう、「君の名は。」の隕石と同じように

隕石のあと
そこには、彼らが自ら掘った大きな墓穴が残るだろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%9B%E3%81%AE%E5%90%8D%E3%81%AF%E3%80%82
君の名は。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 14:45:45.00

>>38-42
スレ主恒例のガロア理論コピペによる敗北宣言

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 14:51:40.14

>>48
時枝解法が
「２つ以上の数がそれぞれ
　自分が他のどの数より大きい、
　ということはあり得ない」
という順序の根本的性質に基づいていることは、
計算馬鹿のスレ主には到底理解できぬようだ

隕石に押しつぶされてるのはスレ主自身である
スレ主がこのスレで何を書こうが幽霊の戯言にすぎない

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 14:58:33.92

余談だが、ボクが秋元真夏だとするとスレ主は白石麻衣だな

https://www.youtube.com/watch?v=JuCpJQlyFgY&;t=1m33s

ま、顔じゃなくオツムの話ですけどねｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 15:22:08.26

>>45
お爺ちゃん、哀れなのは簡易版にすら答えられないお爺ちゃんだよ
進行し過ぎて自分と他人の区別もできなくなったの？

2018/12/16(日) 16:51:38.01

>>51-52
ピエロちゃん、連投ごくろうさま
「答えられない」？

いやいや、うっかりその手には乗りませんよ
うっかり答えたら、また一つ、また一つと、終わらないでしょw

それ、誘導尋問ですよね～（＾＾

あと、こっちは、時枝不成立に絶対の自信があって>>48>>31(旧>>484)を書いているわけで
あなた方が勝利するには>>31の一択です

でも、そこでピエロの命脈は尽きる（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 17:03:39.27

時枝解法不成立を名乗り出た大学教員はいないけど
時枝解法成立を名乗り出た大学教員はスタンフォード大学教授時枝正
よってスレ主論法でもスレ主の負けです

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 17:06:29.13

うっかり答えたら危険という理由で答えないというのは
負けを認めたくないってだけじゃんｗ
政治家が不祥事をごまかすのと同じｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 17:30:46.73

U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝
Herm(n)= ｛Y∈C(n×n)|Y*=Y｝
がn^2次元実ベクトル空間であることの証明をそれぞれ教えてください。
Xはn×n複素正方行列、X*はXのエルミート共役です。(Yも同様です)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:09:06.81

>>53
>うっかり答えたら

スレ主は考えないからすべての発言がうっかりだけどな

>こっちは、時枝不成立に絶対の自信があって

妄想だな　統合失調症か脳梅毒かはわからんがね

2018/12/16(日) 18:10:41.99

>>54
URLを示しなさい（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:11:16.70

>>55
スレ主自身が負けを認めなくても
読者全員がスレ主を負け犬と認めてますから～

残念～！（古っｗ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:12:52.62

>>58
＞URLを示しなさい（＾＾

時枝氏は数セミで記事書いてます
読めばバカでもないかぎり理解できます

あっ、スレ主は大バカでしたかｗｗｗｗｗｗｗ

2018/12/16(日) 18:12:58.44

>>57
いや、例えば、ある数学科でね
クラスに複数の人がいて
たまたま5ｃｈを見て
じゃ、「代表で、おまえ、時枝記事について、支持声明だすよう頼んでこいよ」でもいいんよ
まだ、皆無だからね～（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:14:49.60

>>61
スレ主こそ恩師に時枝論法は間違ってるって
HPで書いてくれって頼んで断られたんだろ？
「○違いを教えた覚えはない、シッシッ」
とかいわれてｗｗｗｗｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:21:51.04

スレ主の言い訳は聞くに堪えないので
ここで乃木團の動画でも観て下さいｗ

https://www.youtube.com/watch?v=k_Pw0PKi-2A

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:21:57.86

肯定派にはスタンフォード大学教授時枝正がいる一方で否定派は皆無だ
スレ主の土俵でもスレ主の負けｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:32:15.72

そして時枝問題の簡易版（>>14）にすら答えられないなら、勝負にすらなってない
勝ち負け以前　論外

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:35:38.26

間違ってるのは時枝じゃなくてスレ主の前提なんだよな
確率分布を積分すれば正解が出るっていう計算馬鹿の前提

そもそも積分可能な確率分布じゃなきゃ計算できねぇだろｗ

2018/12/16(日) 18:44:27.81

>>56
えーと、
順番として
下記のスレに、投稿してね
それで、レスがつかない問題について
「投稿したがレスがつかないので応援してほしい」と書いてくれ
それが、スレの一応の棲み分けだから（＾＾

分からない問題はここに書いてね449
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1543158054/

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 18:48:32.17

>>67
えーと、
常識として
数学の分からんバカは投稿しないでね
それが数学板だから

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 19:38:55.55

>>25
> 果たして、これは数学的に正しいのだろうか？

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1543319499/639
639１３２人目の素数さん2018/12/14(金) 01:01:51.63ID:1RzyLg/g
https://cs.stanford.edu/people/slingamn/limits.pdf
> 2 The game formulation
> 1. Hater chooses an ε > 0.
> 2. Player looks at the ε and chooses a δ > 0.
> 3. Hater looks at the δ and chooses a point x such that 0 < |x － c| < δ,
> i.e., an x ≠ c in (c － δ, c + δ).
> 4. Now, the value |f(x) － L| is checked. If |f(x) － L| < ε, Player wins. If
> |f(x) － L| >= ε, Hater wins.

> Claim 1
> If lim_{x→c} f(x) = L, then if Player plays cleverly, Player will win
> the game and Hater will lose.
> If lim_{x→c} f(x) ≠ L, then if Hater plays cleverly, Hater will win
> and Player will lose.

同じ点cで収束する関数が100個あればδ1, ... ,δ100が求められる
簡単のためにδ1, ... ,δ100が同じ値をとらないとすると
最大値(最小値)をとるものはただ1つ

これは数学的に正しい

> f1とg1が、ある近傍δ1で、一致するとする。
これがあるから近傍δ1の中の点では数当てが成立する

「数当てができなければδ1は求められない」ことがスレ主は理解できない

2018/12/16(日) 19:56:46.46

>>67

”分からない問題はここに書いてね”スレに書いてもらう前提で
情報提供な（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97
エルミート行列
(抜粋)
線型代数学におけるエルミート行列（エルミートぎょうれつ、英: Hermitian matrix）または自己随伴行列（じこずいはんぎょうれつ、英: self-adjoint matrix）は、複素数に成分をとる正方行列で自身の随伴行列（共軛転置）と一致するようなものを言う。エルミート行列は、実対称行列の複素数に対する拡張版の概念として理解することができる。

行列 A の随伴を A♯ と書くとき、複素行列がエルミートであるということは、
（A♯は、原文ではA†と表記されているが、文字化けの可能性が大なので、♯を使った）
A=A^♯
が成り立つということであり、これはまた
A^T =(a_{ji})= ({a}}_{ij})= A￣
が成り立つことと同値ゆえ、その成分は任意の添字 i, j について (i, j)-成分は (j,i)-成分の複素共軛と等しい。

随伴行列 A♯ は A? と書かれるほうが普通だが、A? を複素共軛（本項では A と書いた）の意味で使う文献も多く紛らわしい。
（A♯は、原文ではA† ）

エルミート行列の名はシャルル・エルミートに因む。エルミートは1855年、この種の行列が固有値が常に実数となるという実対称行列と同じ性質を持つことを示した。

性質
・n×n 複素エルミート行列の全体は、複素数体 C 上のベクトル空間を成さない（例えば単位行列 In はエルミートだがそのスカラー i-倍である i?In はエルミートでない）。
しかし複素エルミート行列の全体は実数体 R 上のベクトル空間にはなる。n×n 複素行列の全体は R 上で 2n2-次元のベクトル空間であり、その中で複素エルミート行列の全体は n2-次元の部分空間を成す。その基底は、行列単位 Ejk（(j,k)-成分が 1 でそれ以外の成分は全て 0 であるような n×n-行列）を用いれば、
E_{jj}　(1 <= j <= n)
E_{{jk}}+E_{{kj}}, i(E_{{jk}}-E_{{kj}})　(1 <= j < k <= n)
で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ n, (n2 ? n)/2, (n2 ? n)/2 個ずつ存在するから、次元は n + (n2 ? n)/2 + (n2 ? n)/2 = n2 であることがわかる。ただし、i は虚数単位である。
(引用終り)

2018/12/16(日) 20:02:16.76

>>70 補足
>n×n 複素エルミート行列の全体は、複素数体 C 上のベクトル空間を成さない（例えば単位行列 In はエルミートだがそのスカラー i-倍である i?In はエルミートでない）。
>しかし複素エルミート行列の全体は実数体 R 上のベクトル空間にはなる。n×n 複素行列の全体は R 上で 2n2-次元のベクトル空間であり、その中で複素エルミート行列の全体は n2-次元の部分空間を成す。

この記述が当てはまるだろ
証明も、その後の記述を参考にすれば可能だろ

2018/12/16(日) 20:06:13.33

>>71

（>>56）
「U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝」

こちらは、>>70を参考に自分で考え、
”分からない問題はここに書いてね”スレでも質問して

それでも分らなければ、またこのスレへ
”分からない問題はここに書いてね”スレに書いた後、レスが付かないときにね

2018/12/16(日) 20:07:19.50

>>70
ああ、A†は、文字化けしないね（＾＾

2018/12/16(日) 23:11:59.39

>>72
ちょっと考えたので、ついでなので書いておく
問題（>>56より）
”U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝
がn^2次元実ベクトル空間であることの証明をそれぞれ教えてください。
Xはn×n複素正方行列、X*はXのエルミート共役です。(Yも同様です)”

回答
ここで、表記の都合で、*を複素共役の意味に使うことにして、エルミート共役をX*ではなくX†で表わす

実ベクトル空間は、定義「係数体 F が実数体 R のとき実ベクトル空間 (real vector space )」（下記より）
Xは、複素数体によるn×nの正方行列
行列の要素をaijと書いて、正方行列X＝{aij}とする
複素数 aij＝xij+ yij√(-1) ここに xij, yij ∈Rとして
エルミート共役 X†＝{bji}と表わすと
bji＝aji*＝xji- yji√(-1)となる
問題の条件より、X†+X=0 なので
aij＋bji＝xij+ yij√(-1) ＋（xji- yji√(-1)）
これより、xij＋xji＝0かつyij- yji＝0
書き直して、xij＝-xjiかつyij＝ yji
言葉で書くと、
要素 aijの実部は xij＝-xjiで絶対値が等しく符号が逆（いわゆる歪対称）、虚部は yij＝ yji でいわゆる対称となっている
特に対角成分は、xii＝-xii＝0 なので、aii＝yii√(-1) と純虚数になる

つづく

2018/12/16(日) 23:12:46.28

>>74

つづき

あとは、この行列について、複素数体 C 上のベクトル空間を成さないと一言触れて
実数体R上でスカラー倍と、ベクトル和としての行列の和X+Yが、ベクトル空間の定義を満たすことを証明して
あと次元は
行列単位 Eijを使って
（エルミート行列に倣って）
E_{jj}√(-1)　(1 <= j <= n)
E_{{jk}}-E_{{kj}}, √(-1)(E_{{jk}}+E_{{kj}})　(1 <= j < k <= n)
で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ n, (n2 - n)/2, (n2 - n)/2 個ずつ存在するから、次元は n + (n2 - n)/2 + (n2 - n)/2 = n2 であることがわかる。ただし、√(-1) は虚数単位である。
（終り）

こんな感じだな
あとは、どこまで丁寧に書くか
定期試験とか院試なら、時間との兼ね合いで、採点基準を想定しながら書く感じですかね
（”これを書いておく方が、配点貰える”とか。まあ、そこまで余裕があれば高得点だろうが）

つづく

2018/12/16(日) 23:15:28.38

>>75
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
定義
「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトルと呼ばれる。体 F は係数体と呼ばれる。係数体 F の元はスカラーあるいは係数と呼ばれる。ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す[nb 1]。
導入節では始点を固定した有向平面線分の全体や実数の順序対の全体の成す集合をベクトル空間の例として挙げたが、これらはともに実数体（実数全体からなる体）上のベクトル空間である。

ベクトル空間が備えるべき二種類の演算の一つは、ベクトルの加法と呼ばれ、任意の二つのベクトル v と w とからそれらの和と呼ばれる第三のベクトル v + w を割り当てるものである。
もう一つの演算は、任意のスカラー a と任意のベクトル v とから別のベクトル av を割り当てるもので、最初の例でのこの乗法がベクトル v をスカラー a 倍に拡大縮小（スケーリング）するものになっていることから、この乗法は v の a によるスカラー乗法と呼ばれる。

集合 V がベクトル空間と呼ばれるためには、加法とスカラー乗法が（ベクトル空間の）公理系と呼ばれる一連の制約条件に従わなければならない[1]。

ベクトル空間は、係数体 F が実数体 R のとき実ベクトル空間 (real vector space )、複素数体 C のとき複素ベクトル空間 (complex vector space ) と呼ばれ、これら二つの場合が工学においてもっともよく用いられる。最も一般のベクトル空間の定義では、スカラーは任意に選んだ体 F の元とすることができる。
これを F-ベクトル空間 (F-vector space ) あるいは F 上のベクトル空間 (vector space over F) という。体というのは本質的に、四則演算が自由にできる数の集合である[nb 3]。例えば有理数の全体 Q もまた体を成す。

平面やより高次の空間におけるベクトルには、直観的に、近さや角度や距離という概念が存在する。しかし、一般的なベクトル空間においてはそれらの概念は不要であり、実際、そういうものが存在しないベクトル空間もある。これらの概念は、一般的なベクトル空間に追加的に定義される構造である (#付加構造を備えたベクトル空間)。
以上

2018/12/16(日) 23:16:34.01

>>74 タイポ訂正

回答
　↓
解答

2018/12/16(日) 23:18:53.85

>>75 タイポ訂正追加

で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ n, (n2 - n)/2, (n2 - n)/2 個ずつ存在するから、次元は n + (n2 - n)/2 + (n2 - n)/2 = n2 であることがわかる。ただし、√(-1) は虚数単位である。
　↓
で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ n, (n^2 - n)/2, (n^2 - n)/2 個ずつ存在するから、次元は n + (n^2 - n)/2 + (n^2 - n)/2 = n^2 であることがわかる。ただし、√(-1) は虚数単位である。

2018/12/16(日) 23:30:44.02

>>74 補足

１）Herm(n)= ｛Y∈C(n×n)|Y*=Y｝の方は、エルミート行列で、これは常識問題かな？（＾＾
２）U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝は、名前はないかも。（Uは普通ユニタリー行列だが、違うね）
３）どちらも、行列成分に落として、与えられた条件式から成分の条件を出す（これ行列の常套手段）
４）次元は、示したように、単位行列Eijとか使ってベクトル基底を構成して、次元を数えること（常套手段？）

PS
そういえば、余談だが、高校数学で、「添え字にｉを使うな。間違い（計算ミスとか）をする確率が高くなるから」と言われていたことを思い出したよ
（読み手も、ijでは視認性が悪いか）
まあ、キーボードタイプはij使うのが楽なんだけどね

2018/12/16(日) 23:36:54.64

>>74-75
補足

いま見たら、いっぱいタイプミスしとるね（＾＾
（だれかみたいになってきたな）

まあ、いちいち直さないけど、
気になるなら、具体的な箇所について「タイプミスでは？」と、聞いておくれ（＾＾；

以上

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 00:37:44.74

↑
この横柄な態度はなに？
お前は教える立場じゃない、添削してもらう立場だ
勘違いも甚だしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 01:20:29.95

ほんま5chって頭良い奴多いんだな

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 07:06:45.14

>>70-80
スレ主、別問題逃避で敗北宣言

スレ主はまず時枝論法の何がどう「間違ってる」のか書こう
そうすればスレ主自身の「間違い」が明らかになるぞ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 07:16:46.54

負け犬ピエロのスレ主ちゃまへ

１．自然数をランダムに選択し、
例えば100番目の箱を開け続ければ
確率１で●が出る

「100番目」のところは「1000番目」でも「10000番目」でもいい
とにかく、ある自然数ｉを固定し、ｉ番目の箱を開け続ければいいだけ

２．さて、次に100人がそれぞれ自然数n_i(i=1～100)を1個無作為に選択し
（２人以上が同じ数を選択することも可能）
自分の数以外の自然数の最大値max_iを求める

自然数n_iに対応する列のmax_i番目の箱を開けたとき
中身が●となる人物は高々1人である
つまり確率は高々1/100

なぜならn_i>max_iとなるようなnは高々１個だから

これまた、「100人」のところは「10000人」でもよい

時枝論法のエッセンスは
１．と２．の違いに集約される
もはや同値類も選択公理もない

上記のトリックにスレ主が一切反駁できなければスレ主の負けが確定

2018/12/17(月) 07:28:53.69

>>79 補足
"２）U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝は、名前はないかも。"

ここな
歪エルミート行列な（下記）

X*+X=0
　↓
X*=-X
と視点を換えないといけなかった
おれも鈍いね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%AA%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97
歪エルミート行列
(抜粋)
歪エルミート行列（わいえるみーとぎょうれつ、英語: Skew-Hermitian matrix）あるいは反エルミート行列（はんえるみーとぎょうれつ、英語: Anti-Hermitian matrix）とは、自身のエルミート共役が自身に負号をつけたものに等しいような複素正方行列のことである。つまり、n 次正方行列 A に対し、そのエルミート共役を A* で表すとき、A が歪エルミートならば、以下の条件を満たす。

A^*=-A.
行列 A の成分をあらわに書けば、これは次のようにも表せる。

(A^*)_{ij}=￣ {A_{ji}}}=-A_{ij} (1 <= i,j <= n)
歪エルミート行列と似た定義を持つ行列として、エルミート行列がある。エルミート行列は自身と自身のエルミート共役が等しい。

H^*=H.
歪エルミート行列はエルミート行列と同じく、正規行列の特別な場合であり、?1 をユニタリ行列 U と見なせば、以下の正規行列の定義を満たしている。

A^*=AU.

性質
多くの点で歪エルミート行列はエルミート行列とちょうど反対の性質を持つ。

歪エルミート行列の成分を虚数単位 i で除することによりエルミート行列にできる。すなわち歪エルミート行列 A に対して
A=iH} A=iH
を満たす H はエルミート行列となる。実際、(iH)* = ?iH* なので iH は歪エルミートである。同様に ?iH も歪エルミートである。従って、A/i = ?iA および A/(?i) = iA はエルミートである。
歪エルミート行列 A の対角成分はすべて純虚数である。
(A^*)_{ii}=￣ {A_{ii}}}=-A_{ii} (1 <= i <= n)
従って、そのトレースも純虚数である。

2018/12/17(月) 07:30:45.82

>>85
追加

（参考）
歪対称性（わいたいしょうせい）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7
反対称性
(抜粋)
反対称性（はんたいしょうせい）とは数学で、ある要素にある変換を施した結果が、元の要素に逆符号を付けたもの（実数でいえば絶対値が同じで正負が逆）と等しくなる、という性質をいう。
対象分野によっては交代性（こうたいせい）または歪対称性（わいたいしょうせい）とも呼ばれる。このような要素を「その変換に対して反対称である」という。変換によって変化しない「対称性」に類似した性質であり、対称性・反対称性とも全くない「非対称性」とは異なる。反対称性の要素に変換を複数回施すと、元と同じになる。

2018/12/17(月) 07:32:30.99

>>86
ご参考追加

反対称関係：「ある変換により符号が反転する性質を反対称性というが、この概念とも直接の関係はない。」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E9%96%A2%E4%BF%82
反対称関係
(抜粋)
反対称関係（はんたいしょうかんけい、antisymmetric relation）とは、集合 X に関する二項関係 R であって、次の条件を満たすものをいう。

∀ a,b ∈ X, (aRb ∧ bRa → a=b)
すなわち、X の任意の元 a と b に対して「a から b への関係、および b から a への関係がともに成り立つならば、a = b である」ような関係のことである。この条件を反対称律という。

また、反対称律は次の条件と同値である。

∀ a,b ∈ X, (aRb ∧ a ≠ b→ ￢ bRa)
すなわち、反対称関係とは「a からb への関係が成り立ち、かつ a と b が等しくないならば、b から a への関係は成り立たない」ような関係であると定義してもよい。

反対称律に加え、反射律および推移律が成り立つ二項関係を、順序関係という。したがって、一般に順序関係は反対称関係である。例えば、実数における大小関係 (?) や集合における包含関係 (⊂) は順序関係であるから、反対称関係でもある。順序関係でなく、反対称関係である関係の例としては、等号なしの大小関係 (<) が挙げられる。

反対称関係は対称関係の論理的否定ではない。対称関係でも反対称関係でもある関係（等号など）もあり、また対称関係でも反対称関係でもない関係もある。対称関係でないものは非対称関係と呼ばれる。なお、ある変換により符号が反転する性質を反対称性というが、この概念とも直接の関係はない。

2018/12/17(月) 07:34:40.20

>>87
全く関係ないけど、検索ヒットしたので（＾＾

随伴作用素：「等式 < Ax,y > =< x,A^*y > は形の上では圏論における随伴対を定義する性質と同じ形をしている。そしてこれは随伴函手の名の由来でもある。」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0
随伴作用素
(抜粋)
数学の特に函数解析学において、ヒルベルト空間上の各有界線型作用素は、対応する随伴作用素（ずいはんさようそ、英: adjoint operator）を持つ。作用素の随伴は正方行列の随伴行列の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。ヒルベルト空間上の作用素を「一般化された複素数」と考えれば、作用素の随伴は複素数に対する複素共軛の役割を果たすものである。
作用素 A の随伴は、シャルル・エルミートに因んでエルミート共軛 (Hermitian conjugate) とも呼ばれ、A? あるいは A† などで表される（後者は特にブラケット記法とともに用いられる）。

その他の随伴
等式
< Ax,y > =< x,A^*y >
は形の上では圏論における随伴対を定義する性質と同じ形をしている。そしてこれは随伴函手の名の由来でもある。

2018/12/17(月) 07:37:55.49

>>86-87

似ているが違う事項（項目）は、
その違いを明確にしながら、
関連項目として学ぶべし
だな

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 10:12:24.93

https://www.nikkei.com/article/DGXMZO38982840U8A211C1SHA000/
スタートアップ、企業価値100億円超が2倍　AIけん引
NEXTユニコーン調査
2018/12/17 2:00日本経済新聞　電子版
(抜粋)
未上場で成長を続けるスタートアップ企業の勢いが増している。日本経済新聞社が集計したところ、企業価値（推計）で100億円を超えた企業は47社と昨年の集計の2.1倍に増えたことが分かった。人工知能（AI）や、金融とITを融合した「フィンテック」の関連企業が上位となった。イノベーションのけん引役として、斬新な技術や発想を持つ新興勢の成長を後押しする動きが急速に広がってきた。

https://www.nikkei.com/content/pic/20181217/96958A9F889DE1EAEBEAE0EAE6E2E3E6E3E0E0E2E3EA819A93E2E2E2-DSXMZO3897073014122018TJC001-PN1-5.jpg

https://vdata.nikkei.com/newsgraphics/next-unicorn/#/list
NEXTユニコーン推計企業価値ランキング

企業価値首位は昨年に続いて、AI開発のプリファード・ネットワークス（東京・千代田）だった。脳をヒントにして開発した技術「深層学習」を使った機械制御や医療診断の実用化に取り組む。トヨタ自動車や日立製作所、中外製薬など幅広い業種から出資を受けている。

2018/12/17(月) 11:28:56.34

>>85
これはすぐ閃くように
セットで覚えておかないと
いけないってことだね

反対称性（歪対称）
X*+X=0
　↓
X*=-X

対称性
X*-X=0
　↓
X*= X

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 11:49:42.43

なんで工学バカが数学板でスレ主やってんの？

2018/12/17(月) 17:46:41.38

>>92
それは私がスレ主だから
それは５CH数学板がその程度だから（＾＾
それは５CH数学板とはそういうものだから（＾＾

2018/12/17(月) 17:48:08.88

>>85
「Eman物理」のエルミートの説明
Emanさんの説明は、いつも分かりやすいね（＾＾
http://eman-physics.net/quantum/matrix.html
演算子は行列だエルミート演算子とは何か。 Eman物理
(抜粋)
エルミート行列の性質
　まずこの行列 H のエルミート共役を取ってやるとどうなるかを見よう。

この行列 H はエルミート共役を取っても、取る前と変わらないことが分かる。
H†= H
　このような性質を持つ行列を「エルミート行列」と呼ぶことにしよう。あるいは自分自身が自身の随伴行列になっていることから「自己随伴行列」と呼ぶこともある。

　この関係からすぐに分かると思うが、対称成分は複素共役になっている。1 行 2 列目が
a+bi
だとしたら、2 行 1 列目の成分は
a?bi
になっているわけだ。だとしたら対角成分は必ず実数でなければならない。理屈は分かるかな？逆にそういう行列があればエルミート行列だと思っていい。ただし、この対角成分の実数はユニタリ変換する前の対角行列の実数と同じになっているわけではない。やってみればすぐに分かることだが、頭の中だけで理解しようとするとそういう勘違いも有り得るので注意しておく。
　普通の教科書では「エルミート行列はユニタリ変換をすることで実数の対角行列に変形できる」などと、さも不思議な難しい定理であるかのように説明しているが、もともと実数の対角行列をユニタリ変換したものがエルミート行列なのだから当然のことだ。

エルミート演算子
　物理量を表す演算子が行列に相当するということで、物理量を表すにふさわしい行列がどのような性質を持つかを調べてきた。つまりエルミート行列でなければならないのだった。ならば演算子の方にも何かこれに相当する条件があるはずである。それを「エルミート性」と呼ぼう。

この条件を満たす演算子
H
はエルミート性を持つと言えるのである。そのような演算子を「エルミート演算子」と呼んでいる。ある演算子が物理量を表すためにはエルミート演算子の条件を満たしていなければならないのである。

つづく

2018/12/17(月) 17:49:50.71

>>94

つづき

普通の教科書との違い
　世の中に出回っている教科書の多くは、ここで最後に出てきた式をいきなり示して、「このような条件を満たす演算子をエルミート演算子と呼ぶ」などと説明を始めており、本来結論とすべき話が一番初めの前提として出て来てしまっている。こんな説明をされたのでは、読者は「なぜこの条件が必要なの？」「この式はどこから出てきたの？」と混乱してしまうだろう。

　何らかの具体的な疑問を持てればまだ救われる可能性もあろうが、漠然とした疑問は自分自身で解決のしようがない。漠然とした疑問は「分からない」という気持ちと直結している。
　疑問を持てさえすればいいというものでもない。「そもそも始めの条件はどこから来たもので、その物理的意味は？」なんてことを考え始めてしまった場合、方向を誤っている。おそらくいくらかの時間を費やさなければならなくなるだろう。今回の説明はそのような人のための道標になっている。私もこの辺りを彷徨った。

　ここでは行列の固有値が実数であるべき事から始めて、エルミート性とは何かを説明したが、もちろん逆にエルミート性から始めて固有値が実数になることを示すことも簡単に出来る。
まぁ、普通の教科書はそういう説明をしており、こちらも知っておいた方がいい。なぜなら行列や波動関数の概念を行き来しなくても証明できるからだ。
それ以外の理由として、授業の単位を取るためにはこの証明を書き下せることが必要だということも挙げられる。どちらにしろ、論理は自由自在に操れた方がいいに決まっている。
(引用終わり)

以上

2018/12/17(月) 18:02:57.80

>>92-93
>それは５CH数学板とはそういうものだから（＾＾

所詮、５CH数学板とは、下記みたいなスレがあるところ
玉石混交も、ここに極まれりだな（＾＾；

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1525700829/1-40
名古屋】有限会社モトミ食品輸送【トランストラスト2】
(抜粋)
1 名前：お魚さん[] 投稿日：2018/05/07(月) 22:47:09.43 ID:zLtdzZt0 [1/2]
社長は数学者
40 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2018/06/01(金) 22:34:17.59 ID:phj0Qv9j
なんで数学板にあるのかまるで理解出来ないスレ
(引用終わり)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 19:18:46.50

>>93
自分の馬鹿を恥じず開き直るサイコパス
それがスレ主

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 22:06:50.59

前スレで過去の書き込みは間違えていたとか書いていたが
依然として書いているのはなぜ？

>>21は間違えている

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 22:15:50.73

スレ主は>>21で一体何を主張した気になってるのだろうか？
0,0,0,... と 1,0,0,... は同値でないとでも言いたいのだろうか？
アホの考えてることはさっぱりわからん

2018/12/17(月) 23:20:43.22

>>88
>等式 < Ax,y > =< x,A^*y > は形の上では圏論における随伴対を定義する性質と同じ形をしている。そしてこれは随伴函手の名の由来でもある。

随伴関手
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E9%96%A2%E6%89%8B
随伴関手
(抜粋)
数学の特に圏論における随伴（ずいはん、英: adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。

最も簡潔な対称的定義において、圏 ?? と ?? の間の随伴とは、二つの関手

F：Ｄ → Ｃ, G：Ｃ → Ｄ
の対であって、全単射の族
hom _ Ｃ(FY,X) ～＝ hom _ Ｄ(Y,GX)
が変数 X, Y に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 F を左随伴函手と呼び、他方 G を右随伴函手と呼ぶ。また、「F は G の左随伴である」 (同じことだが、「G は F の右随伴である」)という関係を
F ? G
と書く。

以下では、この定義や他の定義を詳細化する。

つづく

2018/12/17(月) 23:21:29.45

>>100

つづき

目次
1 導入
1.1 綴り
2 動機
2.1 最適化問題の解として
2.2 最適化問題の逆
3 形式的な定義
3.1 記法の約束
3.2 普遍射による定義
3.3 余単位-単位随伴による定義
3.4 hom集合随伴
4 随伴の全容
4.1 普遍射がhom集合随伴を導くこと
4.2 余単位-単位随伴がhom集合随伴を導くこと
4.3 hom集合随伴が上の全てを導くこと
5 歴史
5.1 随伴の遍在性
5.2 様々な問題の定式化
5.3 半順序集合
6 例
6.1 自由群
6.2 自由構成と忘却関手
6.3 対角関手と極限
6.4 余極限と対角関手
6.5 さらなる例
6.5.1 代数
6.5.2 位相
6.5.3 圏論
6.5.4 Categorical logic
7 性質
7.1 存在性
7.2 一意性
7.3 合成
7.4 極限の保存
7.5 加法性
8 関連
8.1 普遍的構成
8.2 圏同値
8.3 モナド

つづく

2018/12/17(月) 23:22:22.73

>>101

つづき

hom集合随伴
圏CとDの間のhom集合の随伴は2つの関手 F : C ← D と G : C → D および、自然同型
Φ : hom _{C}(F-,-) → hom _{D}(-,G-)
のことをいう。これはCの各対象XとDの各対象Yで添え字付けられた全単射の族
Φ _{Y,X}: hom _c(FY,X) → hom _{D}(Y,GX)
を定める。
このとき、 FはGの左随伴であり GはFの右随伴であるという。

随伴の全容
以上のことから、随伴にはたくさんの関手や自然変換を持っているが、その一部を決めるだけで他のものは決定される。

つづく

2018/12/17(月) 23:22:51.77

>>102

つづき

歴史
随伴の遍在性
随伴関手の考えはダニエル・カンによって1958年に定式化された。多くの圏論の概念と同様に、ホモロジー代数において計算を行おうとした際に必要になったために導入された。この問題のきれいで系統的な表現を与えようと向き合った人々はアーベル群の圏において
hom(F(X), Y) = hom(X, G(Y))
のような関係があることに気づいていた。ここで、Fは関手 -＊ A(つまり、Aとテンソル積を取る)であり、Gは関手hom(A,?)である。
（注：-＊ Aの ”＊”は、ｘを○で囲んだテンソル積の代用である。無理をすると文字化けするので、 ”＊”で代用した。）
ここで等号を使うのは記号の乱用である。これらの群は実際には等しくないが、等しく見せるような自然な方法がある。自然に感じられる理由として、一番に、元々はこれらがX × AからYへの双線形写像の2つの異なった表現であるからである。しかし、これはテンソル積に関するいくぶん固有な話である。圏論においての全単射の自然性は自然同型の概念が元になっている。

この用語はヒルベルト空間において、上記のhom集合の間の関係と似た関係 \langle Tx,y\rangle =\langle x,Uy\rangle } \langle Tx,y\rangle =\langle x,Uy\rangle を満たす、随伴作用素TとUから来ている。FはGの左随伴といい、GはFの右随伴という。ただし、G自身もFとはかなり異なった右随伴を持ちうる(以下の例を見よ)。ある種の文脈においては、詳細なヒルベルト空間の随伴写像のアナロジーが可能である[1]。

これらの随伴関手の対を探し始めると、実は抽象代数では非常にありふれたことであり、他の分野でも同様であることが分かる。以下の例の節ではこの証拠を与える。さらに、普遍的構成はもっと普通にたくさんの随伴関手の対に持ち上げることができる。

つづく

2018/12/17(月) 23:23:35.70

>>103

つづき

様々な問題の定式化
数学者は一般的には完全な随伴関手の概念を必要としているわけではない。彼らの解こうとしている問題にあっているかや証明に必要かどうかで必要な概念かどうかを判定している。圏論の初期段階である1950年代にはこれらの動機に大きく引っ張られていた。
アレクサンドル・グロタンディークの時代になって、圏論は他の仕事における指針として使われるようになった。はじめは関数解析とホモロジー代数であり最終的には代数幾何で使用された。

彼が随伴関手の概念を分離したというのはおそらく誤っているといえるが、随伴の特別な役割についてグロタンディーク固有の認識はあった。例えば、彼の著名な業績のひとつに、相対型のセール双対性、くだいていうと、代数多様体の連続な族に関するセール双対性がある。
この証明の全体は結局のところある関手の右随伴が存在するかということになる。これは完全に抽象的で非構成的であるが、それなりに強力でもある。

半順序集合
2つの半順序集合の間の随伴関手対はガロア接続と呼ばれる(そして、反変の場合は、antitoneガロア接続である)。ガロア接続の記事に多くの例がある。とくにガロア理論が一番の例である。任意のガロア接続は閉包作用素や対応する閉じた要素間の逆順序を保存する全単射に持ち上げることが出来る。

ガロア群の場合と同様に、実際の興味はしばしば双対との対応(例えば、antitone順序の同型)を詳細化していくことにある。Kaplanskyよるこのガロア理論の捕らえ方は、ここに一般的な構造があることへの認識に影響を与えた。

つづく

2018/12/17(月) 23:24:16.77

>>104

つづき

代数
・グロタンディーク構成: 発端は、K-理論において位相空間上のベクトル束の圏が直和の下で可換モノイド構造を持つことである。各ベクトル束（の同値類）に加法逆元を形式的に追加することにより、このモノイドをグロタンディーク群と呼ばれるアーベル群にすることができる。同じことだが、各群を（逆元の存在を忘れることにより）その台となるモノイドへ写す函手は左随伴を持つ。
このようなグロタンディーク構成は、自然数からの負の整数の構成をなぞるようにすることもできるし、存在定理として使うこともある。有限項演算の代数構造の場合に対しては、そのような構成の存在性は普遍代数学やモデル理論に言及することもできるし、圏論的に適当な形での証明としても自然に述べられる。
・群の表現論におけるフロベニウス相互律によれば、表現の誘導は表現の制限の左随伴である。

位相
・層の順像と逆像。全ての連続写像f : X → YはX上の層(集合の層、アーベル群の層、環の層など)からYの対応する層への関手f *を誘導し、順像関手と呼ばれる。さらに、Y上のアーベル群の層からX上のアーベル群の層への関手 f ?1 も誘導され、逆像関手と呼ばれる。f ?1 は f * の左随伴である。ここで微妙な点は連接層での左随伴は(集合の)層のそれとは異なっていることである。
(引用終り)

2018/12/17(月) 23:26:56.94

いやー、随伴はむずいね
細かいところは、よく分らん（＾＾；
hom集合はちょっとだけ慣れてきた（＾＾

2018/12/17(月) 23:36:02.54

>>100
>F ? G

やっぱり文字化けしたか
随伴を表わすＴの字を、右に倒したような記号なんだ

代用で罫線を試して見るよ
┤
┨
┥
?

2018/12/17(月) 23:36:49.36

>>107
おお、罫線は文字化けしないね（＾＾

2018/12/18(火) 00:07:43.15

>>106

（ご参考）
"これまで出会ったなかでいちばんわかりやすい圏論の説明"だそうです
これ読むのは２回目だけど、多少読めるようになった（＾＾；
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/
谷村　省吾名古屋大
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/lectures/tanimura-category.pdf
講義・講演資料「物理学者のための圏論入門」　研究会「量子と古典の物理と幾何」にて講演（2017年2月）谷村省吾原稿公開 2017 年 3 月 28 日軽微な修正 2017 年 4 月 4 日

http://math.artet.net/?eid=1422236
これまで出会ったなかでいちばんわかりやすい圏論の説明 TETRA's MATH 2017.04.05
(抜粋)
　久しぶりの更新らしい更新です。表題の件、さっそくリンクします↓

谷村省吾「物理学者のための圏論入門」
https://drive.google.com/file/d/0B-wUHJlJ-mgXRnFpcXE5Q1lVLUk/view

　″物理学者のための…”と銘打ってありますが、物理学者ではない人もまったく臆する必要のないものです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 00:39:02.25

711現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/12/15(土) 21:39:44.43ID:T3LlDTB7>>712
>>697
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃんらしいね（＾＾
おれが、>>684(証明の細部の不備)と>>692（反例の存在）とを、カレーにスルーかい？（＾＾

・「背理法を適用する」なら、最初にそれを宣言しないと
・「log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y| となって」の誘導がへん
　（>>697では”、log_x|y|＝p/q となる。従って、x^{p/q}＝|y| ”の部分だよ）
　（log_x|y|で自然対数の底は、eでしょ？忘れてないかい？）
・反例が存在する

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 00:40:18.90

724１３２人目の素数さん2018/12/16(日) 07:18:46.11ID:bB/JzT3m>>742
横レスだが、「log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y| となって」の誘導は正しいでしょ
工学バカのくせに対数の計算もできなくなったか？

＞（log_x|y|で自然対数の底は、eでしょ？忘れてないかい？）

log_x|y| の底はeではなくxだから、おっちゃんの誘導は正しいでしょ
log|y| ではなく、log_e|y| でもなく、log_x|y| だぞ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 00:59:27.14

＞・「log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y| となって」の誘導がへん
＞　（>>697では”、log_x|y|＝p/q となる。従って、x^{p/q}＝|y| ”の部分だよ）
＞　（log_x|y|で自然対数の底は、eでしょ？忘れてないかい？）
うわあああああああああああ　恥ずかしいいいいいいいいいい

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 01:01:35.50

＞・反例が存在する
反例まだ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 01:25:47.98

718現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/12/15(土) 22:06:04.62ID:T3LlDTB7
>>715

はい、あなたにも
>>692（反例の存在）考えてみて

感情のコントロールや衝動の抑制が困難に
そのため、平気で数学の問題をそのまま相手にぶつけたりして
あなたの力を試そうと（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 03:04:03.26

おっちゃんです。
(前スレ>732より)
>まあ、おれならこう書いている
>（前スレ>697のおれ流書き直し）
>
>[命題]：任意の正の超越数xと、任意の正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。
>　　　　（注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）
>[証明]：背理法を使う
>　log_x (y) が有理数とする。
>　log_x (y) ＝ p/q （ここに、p,q は整数）
>従って、x^{p/q}＝y
>これは、矛盾である。
>（∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから）
>よって命題は成り立つ。
>ＱＥＤ
>
>まあ、おれと>697とはちょっとセンスが違う
>おれなら、この板のアスキーで見にくい数式には、気を遣って”注”を入れる
>|y| とする必要はないので、正に限定する
>それで、証明は数分の一になり、本質が見えると思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 03:20:23.69

(>>115の続き)
これは前スレの>658の大雑把な証明
>一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
>或る正の超越数xと、或る |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R が存在して、log_x|y|∈Q とすると、|y|≠0 かつ |y|≠1 から
>log_x|y| に対して或る既約有理数 p/q (p,q)＝1 q＞1 が存在して log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y| となって x^{2p/q}＝y^2。
>xは正の超越数であるから、x^{2p/q} は正の超越数である。しかし、yは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。
>従って矛盾が生じる。背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、示すべき結論は導かれる。
とは何も変わっていない。強いていえば、正の実数xを底とする対数関数の定義域が I＝ (-∞,0)∪(0,+∞) から
(0,+∞) になって、扱うxを底とする対数関数が log_x|y| y∈I から log_x(y) y＞0 になったことと、示す命題とが変わっただけ。
その大雑把な証明の行間を埋めて書くと以下のようになる。

[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
証]：或る正の超越数xと、或る |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R が存在して、log_x|y|∈Q とする。
仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。
また同様に、仮定からyは実数であって |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数だから、|y| は1とは異なる正の代数的数である。
従って、log_x|y| に対して或る既約有理数 p/q (p,q)＝1 q＞1 が存在して log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y|、
故に x^{2p/q}＝y^2。仮定からxは正の超越数だから、x^{2p/q} は正の超越数である。
しかし、仮定からyは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。従って、x^{2p/q}≠y^2 となる。故に矛盾が生じる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、示すべき結論は導かれる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 03:28:10.50

高校でも高1で実数の絶対値を定義してから底を正の実数xとする対数関数 log_x(y) y＞0 が定義されているし、
大学の微分積分でも実数の絶対値を定義してから底を正の実数xとする対数関数 log_x(y) y＞0 が定義されている。
その対数関数 log_x(y) y＞0 の諸性質を導く方法は同じ。
その定義域 (0,+∞) を拡張して R＼{0} にして底を正の実数xとする対数関数 log_x|y| y∈R＼{0} としても、
計算の量は増えるが、絶対値を扱った後に対数を扱う点は、高校でも大学でも結局変わらないので、
その諸性質を導く方法は高校でも大学でも変わらない。
他にも複素変数z |z|＜1 の対数関数(多価関数) log(1＋z) |z|＜1 も扱ったりする。
感じ方は人にもよるが、書き方はlog_x(y) y＞0 に似ている。
そのようなことから、どうせなら、正の実数xを底とする対数関数 log_x(y) y＞0 は、
その定義域 (0,+∞) を拡張して R＼{0} にして log_x|y| y∈R＼{0} としたいい方が工学屋にとってはいいだろう。
式を変形して計算する人にとってはいい定義だと思うぞ。工学屋は何より計算だろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 03:38:11.73

元々、スレ主が>>116の前半の大雑把な証明の行間を埋められないといっていたから、
私がバカ丁寧に分かり易く書いただけで、本来はスレ主が>>116の後半のように行間を埋めて書けば済む話。
スレ主は70歳近くの工学屋らしいから、本来は>>116の下のように行間を埋めて書くとは出来る筈なんだが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 03:53:16.40

>>118(最後)の訂正：書くとは出来る筈 → 書く「こ」とは出来る筈

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 06:51:30.19

>>100-109
スレ主、理解もできぬホモロジー代数に逃避

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 06:54:44.74

スレ主がコピペしだしたら敗北宣言

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 07:02:07.34

負け犬ピエロのスレ主ちゃまへ

１．自然数をランダムに選択し、
例えば100番目の箱を開け続ければ
確率１で●が出る

「100番目」のところは「1000番目」でも「10000番目」でもいい
とにかく、ある自然数ｉを固定し、ｉ番目の箱を開け続ければいいだけ

２．さて、次に100人がそれぞれ自然数n_i(i=1～100)を1個無作為に選択し
（２人以上が同じ数を選択することも可能）
自分の数以外の自然数の最大値max_iを求める

自然数n_iに対応する列のmax_i番目の箱を開けたとき
中身が●となる人物は高々1人である
つまり確率は高々1/100

なぜならn_i>max_iとなるようなnは高々１個だから

これまた、「100人」のところは「10000人」でもよい

時枝論法のエッセンスは
１．と２．の違いに集約される
もはや同値類も選択公理もない

上記のトリックにスレ主が一切反駁できなければスレ主の負けが確定

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 07:05:45.87

あっ、「書く」でも「読む」でもいいが、私とスレ主との立場上の正確な日本語としては、>>118は

>元々、スレ主が>>116の前半の大雑把な証明の行間を埋められないといっていたから、
>私がバカ丁寧に分かり易く書いただけで、本来はスレ主が>>116の後半のように行間を埋めて「読めば」済む話。
>スレ主は70歳近くの工学屋らしいから、本来は>>116の下のように行間を埋めて「読むこと」は出来る筈なんだが。

と書くべきだったか。まあ、スレ主が如何にレス内容を読むかは知らないが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 08:47:06.15

まさにピエロだね
ピエロ君反例はよ

2018/12/18(火) 10:33:52.62

>>115-119
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ありがとう

だが、いつもながら、議論の本筋を外しているね

入試では、答案は戻ってこない！！
採点者は、熱心に汚い手書き答案を読んでくれるが、”採点ミスを誘導せず高得点を狙う書き方”をすべき

log_x|y|（おっちゃん） vs ”log_x (y) （ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）”（私）
の違い分かる？

そう、log_x (y) の「定義」を書いてあるってことだ（＾＾
つまり、自分の導入した記号や関数については、逐一「定義」を書く
いろんな数学の教科書や論文を見てみな。全部そうなっているよ
この数学の作法（定義を書く）が身についていない答案は、採点官の心証はマイナスだろうね
（特に数学科の院試ではね）

「log_x|y|（おっちゃん）」を、前スレ >>724のID:bB/JzT3mさんが、”xを底とする対数関数”だろうと救ってくれた
（落ちこぼれピエロは気づいてなかった（＾＾；）
だが、入試なら、採点官のそばには、ID:bB/JzT3mさんはいないよ

あと、類似だが
>仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。

これ最初に、「背理法を使う」と宣言しないと、心証悪いよ
実際、前スレ>>697では
”仮定から x＞0 であり、|y|≠0 かつ |y|≠1 だから、log_x|y| は0ではない有理数である”と書いていたでしょ？（＾＾

（参考：前スレ>>732）
(引用開始)
[命題]：任意の正の超越数xと、任意の正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。
　　　　（注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）
[証明]：背理法を使う
　log_x (y) が有理数とする。
　log_x (y) ＝ p/q （ここに、p,q は整数）
従って、x^{p/q}＝y
これは、矛盾である。
（∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから）
よって命題は成り立つ。
ＱＥＤ
(引用終わり)

2018/12/18(火) 10:39:32.15

>>120
>スレ主、理解もできぬホモロジー代数に逃避

ホモロジー代数？
　>>100-109に、ホモロジー代数あったかな？（＾＾

”Φ : hom _{C}(F-,-) → hom _{D}(-,G-)
のことをいう。これはCの各対象XとDの各対象Yで添え字付けられた全単射の族
Φ _{Y,X}: hom _c(FY,X) → hom _{D}(Y,GX)
を定める。”
(引用終わり)

ああ、これのことかい？（＾＾
私が、”ホモロジー代数を分かっていない”というのは正しいが
おまえも（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 11:05:33.47

>>125
>log_x|y|（おっちゃん） vs ”log_x (y) （ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）”（私）
>の違い分かる？
>
>そう、log_x (y) の「定義」を書いてあるってことだ（＾＾
>つまり、自分の導入した記号や関数については、逐一「定義」を書く
>いろんな数学の教科書や論文を見てみな。全部そうなっているよ
実数yについて |y|＝0 となるための必要十分条件はyの値が y＝0 になることも、
高校の場合は高1でやるし、大学でも底を正の実数xとする対数関数 log_x(y) y＞0 が定義する前にやることも共通している。
実数yについて |y|＝0 となるための必要十分条件はyの値が y＝0 になることだから、
任意の正の実数yに対して log_x (y)∈R が定義されることは、
結局、任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されることと何ら変わらず同じなんことだが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 11:09:13.14

>>125
(実数の)絶対値の諸性質が分かっていれば、何も断り書きする必要はない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 11:15:45.76

>>125の(一番下の行の)訂正：
結局、任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されること
→ 結局、任意の0とは異なる実数yに対して log_x|y|∈R が定義されること

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 11:18:46.94

>>125
>>129は取り消して次のように書き直し。

>>127の(一番下の行の)訂正：
結局、任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されること
→ 結局、任意の0とは異なる実数yに対して log_x|y|∈R が定義されること

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 12:04:58.72

>>125
一応、実数yについて |y|＝0 となるための必要十分条件はyの値が y＝0 になることの証明。
(必要性)：実数yについて、y＜0 とする。絶対値の定義から、|y|＝-y。また、-y＞0。従って、|y|＞0。
しかし、これは仮定に反し矛盾する。背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、実数yは y≧0 を満たす。
従って、絶対値の定義と仮定とから、|y|＝y、故に y＝0 となる。
(十分性)：仮定から y＝0 だから、絶対値の定義から、|y|＝y、故に |y|＝0 を得る。

上のように、内容的には高1ですることのみで示せる。
というか、絶対値の定義から直観的には明らかなことだと思うが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 13:19:45.71

>>125
＞xを底とする対数関数

数学の言葉の使い方からしてめちゃくちゃ
早く死ね

2018/12/18(火) 15:21:26.47

>>132
>＞xを底とする対数関数
>数学の言葉の使い方からしてめちゃくちゃ

そうかな
「関数 log a?x を a を底とする対数関数と呼ぶ」（下記）
で、普通に、このおっちゃんの場合（”log_x|y|”）は、「xを底とする対数関数」になると思う

あとな、”log_x|y|”でな、対数の底は教科書などでは、下付き添え字なんだよね
ところが、この５CH数学バカ板では、アスキー記法限定で、下付き添え字が使えないから、余計に書く方が気配りしないと、誤解を招く
（手書きの数学答案も、下付き添え字は分かりにくいから、配慮がいるってこと。きちんと、定義でうたわないとね）

あんた、ピエロはだろ？　学力低いね
中学からやり直した方が良いと
思う

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0
対数
(抜粋)
対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 b^p として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は log b?x と書き表される。

定義
演算法則からの定義
f_a(x)=log a x
と書き、この関数 log a?x を a を底とする対数関数と呼ぶ。

2018/12/18(火) 15:23:34.59

>>133 文字化け訂正

「関数 log a?x を a を底とする対数関数と呼ぶ」（下記）
　↓
「関数 log a x を a を底とする対数関数と呼ぶ」（下記）

と書き、この関数 log a?x を a を底とする対数関数と呼ぶ。
　↓
と書き、この関数 log a x を a を底とする対数関数と呼ぶ。

2018/12/18(火) 15:54:03.21

>>127-131
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ありがとう

下記の命題の数学の本質は
”任意の正の超越数xを底とする対数関数で、その対数関数の変数y(真数yともいう)が代数的数を取るとき、無理数になる”
これで、まずx,yがいずれも正のときを論じれば、それで足りると思う

もっと補足すれば、”任意の正の超越数xを底とする対数関数”は、実関数の範囲で、その定義域を、正の実数に取るってことが本質で
（おっちゃんが>>117に書いてるように、複素関数まで広げると、一価関数でなくなるし）
なので”正の超越数xを、対数（実）関数で、代数的数（当然正）を入れると、無理数になる”よと
この４つの要素
これで、全て尽くされているでしょ？

で、対数関数に入れる数で、負の代数的数を考える意義は薄いでしょ？（＾＾

あと、気付いてないようだが
おいらは「・・、矛盾である。（∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから）」
と、理由付けを書いたんだ
これも、答案作成テクニックとして必要と思うよ
これ、採点基準にあったりすると、理由付け抜かすと、減点されかねないからね（＾＾
（どの程度詳しく書くかは、求められているレベル（詳しく書くべきかどうか）と、残り時間との相談だね
　時間に余裕があるなら、詳しく書けば良いのだが）

（>>125）
(再引用開始)
[命題]：任意の正の超越数xと、任意の正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。
　　　　（注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）
[証明]：背理法を使う
　log_x (y) が有理数とする。
　log_x (y) ＝ p/q （ここに、p,q は整数）
従って、x^{p/q}＝y
これは、矛盾である。
（∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから）
よって命題は成り立つ。
ＱＥＤ
(引用終わり)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56