すいません、これって証明合ってますか？

問題文は「第一行の式はx=0を除いて-1＜x＜1で成り立つことを示せ」というものです
初っ端x=0を無視して対数を取ってるのはそのためです。

何が気持ち悪いかと言うと
①元の文章の式はx=0で定義できないのにそれを変形して得られたf(0)=0を使っている
（f(x)の連続性は微分が可能な時点でいえてるからこれは気にしなくてよいのでしょうか？）

②f`(x)が0<x<1で正、f(0)=0、これだけでf(x)は0<x<1で正と言えるのか？
（ここはf(x)が微分可能である時点で自明としてよいのでしょうか？）

どのような文を付け足せばまともな証明になるでしょうか？
よろしくお願いしますm(_ _)m

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