>>506
1問目
p-q=nとおく(nは自然数)
p+q=n^3,p-q=nより
p=n(n^2+1)/2
n≧3のとき、n>2,1+n^2>2より右辺は素数とならない
n=1のとき
(p,q)=(1,0) (素数でないので不適)
n=2のとき
(p,q)=(5,3)
よって、条件を満たすのは(p,q)=(5,3)のときのみ

2問目
k≦l≦mとしてよい
l!及びm!はk!の倍数となるので、左辺はk!の倍数
一方、右辺は素因数として2しかもたないので、k!も2のベキ乗で書かなければならない
よってk=1またはk=2

・k=1
右辺は偶数なので左辺も偶数
l!が偶数(⇔l≧2)の時、l≦mからm!も偶数なので左辺は奇数となってしまう
よってl=1でなければならない
このとき
m! = 2^n - 2 = 2(2^(n-1)-1)
n=1のとき右辺は0となり、これを満たすmは存在しない
n>1のとき、2^(n-1)-1は奇数なので、右辺の素因数分解を考えたとき、2を1つしかもたない
m!がそのようになるのはm=2,3のときのみ
m=2のときn=2,m=3のときn=3

・k=2
両辺2で割って
1+(l!/2)+(m!/2)=2^(n-1)
先ほどと同様の考察により、l!/2は奇数でなければならないのでl=2またはl=3

l=2のとき
m! = 2^n - 4 = 4(2^(n-2)-1)
n=1,2のときこれを満たすmは存在しない
n>2のとき、2^(n-2)-1は奇数なので、右辺の素因数分解を考えたとき、2を2つしかもたない
しかし、m!がそのようになるmは存在しない

l=3のとき
m! = 2^n - 8 = 8(2^(n-3)-1)
n=1,2,3のときこれを満たすmは存在しない
n>3のとき、2^(n-3)-1は奇数なので、右辺の素因数分解を考えたとき、2を3つしかもたない
m!がそのようになるのはm=4,5のとき
m=4のときn=5
m=5のときn=7

以上より条件を満たす組は
(k,l,m,n)=(1,1,2,2),(1,1,3,3),(2,3,4,5),(2,3,5,7)
及びこれらのk,l,mに関する並び替え