大学数学の質問です

距離空間(X,d)、U⊆Xに対して、Uの直径をdiam(U) := sup{d(x,y)|x,y∈U}
と定義している本は良く見かけます。
でも、これってU=φのケースってどうなるんですか？
diam(φ)=0　にしたいんですか？
でも、supの定義を考えたら supφ=-∞　の方がまだしっくりきます