質問です

斎藤毅の｢集合と位相｣　BP6.2.10　です。

選択公理によりa ∈ Π_i X_i が存在する。

として議論を進めています。
しかし、単に積集合からの元を取るだけで良いのであれば、単に｢
　　積集合Π_i X_iが空である時は定理は明らかになり立つので
　　積集合Π_i X_iは空ではないと仮定して証明すればよい。
｣という論法によって証明が出来るんじゃないんですか？

もしそうであれば、この定理はACを使わずして証明出来るって事にはなりませんかね？