今年の近大の数学コンテストの問題に関するものなのですが，
アドバイスをください．
次のような問題です：

nを3以上の自然数，定数aを｜a｜＜１をみたす実数とする．
　　z^n＋az^(n−1)＋az＋1＝0
この方程式の解はすべて複素平面上の円｜z｜＝１上にあることを示せ．

以下のように考えました．

z＝w^2とおく．w≠0から
　　w^(2n）＋aw^(2n−2)＋aw^2＋1＝0
　　w^n＋aw^(n−2)＋aw^(2−n)＋w^(−n)＝0
これの解がすべて複素平面上の円｜z｜＝１上にあることを示せばいい．

f(θ)＝cosnθ＋acos(n−2)θ　(0≦θ≦π)を考えると，
f(kπ/n)＝(−1)^k＋acos((n−2)π/n)
kが奇数のとき負の値をとり，偶数のとき正の値をとる．
k＝1，2，…，nの，区間（(k−1)π/n，kπ/n)）で符号を変えるので，
各区間に1つずつf(θ)＝0をみたすものをとることができる．
α_1，α_2，…，α_n　（0＜α_1＜α_2＜…＜α_n＜π）
とすると，w＝cosα_k＋ｉsinα_kについて，
　　w^n＋aw^(n−2)＋aw^(2−n)＋w^(−n)＝2f(α_k）＝0．
ここで，α_kとこの複素共役なものは，すべて異なっていて，全部で2n個．
　　w^(2n）＋aw^(2n−2)＋aw^2＋1＝0
この方程式の解すべてになっていて，
すべて複素平面上の円｜z｜＝１上にある．　□□

いかがでしょうか？