面白い問題おしえて〜な 28問目
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>>249 9852554225504584574の素因数分解は2×83×59352736298220389である。 http://www.wolframalpha.com/input/?i=prime+factorization+9852554225504584574 p = 2、q = 83、r = 59352736298220389 とおき、それぞれの sylow group P,Q.R を選び、その共役の個数をl、m、n とおく。 このとき m = [G:N(Q)] = 1,p,r,pr、m ≡ 1 (mod q) である。 https://en.wikipedia.org/wiki/Sylow_theorems しかしこれを満たすのは m=1 のみである。 特に Q は正規部分群である。 同様にして R も正規部分群である。 よってQR = Hは位数qrの部分群であり、同様にしてRはHの正規部分群である。 よってHはRのQによるInner semidirect productである。 https://en.wikipedia.org/wiki/Semidirect_product ここでAut Rは位数 r-1 の巡回群であり、(r-1,q) = 1であるからQ→Aut Hは自明であるものしかない。 よってHはQとRの直積であり、位数qrの巡回群である。 同様にしてGはHのPによるInner semidirect productである。 ここでAut Hは位数q-1の巡回群と位数r-1の巡回群の直積であり、P→Aut Hは4つある。 以上によりGは C[2]×C[83]×C[59352736298220389]、 D[83]×C[59352736298220389]、 C[83]×D[59352736298220389]、 <x,y,z|x^2、y^83、z^ 59352736298220389、xyxy、xzxz> の4つのいずれかに同型である。 池の鯉を網で56匹すくいました。 すくった56匹に目印をつけ、池にもどしました。 次の日に鯉45匹をすくったところ、36匹に目印がついていました。 池の鯉はおよそ何匹ですか。 95%信頼区間も合わせて述べなさい。 >>36 の1つ目が本当にわからん… mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、 剰余を使った証明はどうやら無理っぽいということまでしかわからん… 次の等式が成立することを示せ。eはネイピア数である。 1/((1π)^2+1)+1/((2π)^2+1)+1/((3π)^2+1)+……=1/(e^2-1) >>252 忘れてた。 これムズイよね? 多分すべてのp進数体では解を持つけど大域的には解がないHasse principle の反例になるやつだと思うんだけど、じゃどうせいと言われると手が止まるよね? >>239 の定理3だけど、証明に致命的な間違いが見つかってやり直したが、それでもどう頑張っても修正無理そうだ… 代わりに、 S の条件をさらに強めたバージョンに変更して(主張がだいぶしょぼくなったけど)今度こそ証明したので報告。 安々と定理なんて言うもんじゃないな… 実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。 V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする: (i)任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。 (ii)f∈V が定数関数の時、Sf=f. (iii)任意の a>0 について次が成り立つ:「f∈V が f(x)>0 for ∀x∈R-(aZ) を満たせば (Sf)(0)>0.」 (iv)次を満たす H>0 が存在する:「f∈V が f(x)=0 for ∀x∈[-H,H] を満たせば (Sf)(0)=0.」 (定理3.1)このような状況の時、Sf=f を満たす f∈V は定数関数のみである。 使う補題とすんごい大雑把な証明の概略 (補題1)f∈V が Sf=f を満たし、ある a>0 について f(x+a)=f(x) for ∀x∈R を満たせば、f は定数。 (∵)f(x) が f の最小値をとるような x の集合を L、 x∈L⇒x+a∈L を満たす a の集合を G とおくと、 G は閉集合で加法に関して群をなし、∪_(x∈L) {a∈R| x+a∈L でない} = R-G が言える。 R の強リンデレフ性から L の点列 {x_n} であって ∪_(n=1,∞) {a∈R| x_n+a∈L でない} = R-G を満たすものがとれて、 アスコリ=アルツェラの定理から F(x) = Σ_(n=1,∞) 2^(-n)_f(x+x_n) は連続で S 不変、 かつ ∀x∈R-G で F(x)>0 となるから (iii) より G=R となるしかない。□ >>253 Σ[k≧1] 1/((kπ)^2 + 1) =Σ[k≧1i≧1] (-1(kπ)^2)^i =Σ[i≧1] ζ(2i)(-1π^2)^i =Σ[i≧1] (-1)^(i+1)B[2i](2π)^(2i)/2/(2i)!(-1π^2)^i =Σ[i≧1] (-1)B[2i]2^(2i)/2/(2i)! = (1/2)(coth 1 - 1) =1/(e^2-1) >>255 の続き (補題2)f∈V が Sf=f を満たし、lim(x→∞)f(x) と lim(x→-∞) f(x) が存在するならば、f は定数。 (∵)g(x)=f(x+1)-f(x) とおいて sup_x g(x) > 0 と仮定すると、g(x) が g の最大値になるような最小の x_0 と最大の x_1 について、 G(x):=g(x+x_0)+g(x+x_1) は S 不変かつ G(x)<G(0) for∀x≠0 となり、(iii) と矛盾。 これらの議論が -g にも適用できることから g が定数とわbゥるので、補題bPより f も定数。□ (補題3)f∈V が Sf=f を満たすならば、F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も SF=F を満たす。 (∵)関数列 f_n(x):=(1/n)Σ_(k=1,n) f(x+k/n) のコンパクト一様収束性から従う。□ >>253 オイラー積表示 sinh(x) = x Π[k=1,∞] {1 + (x/kπ)^2}, より log|sinh(x)| = log|x| + Σ[k=1,∞] log{1 + (x/kπ)^2}, coth(x) = cosh(x)/sinh(x) = ( log|sinh(x)| ) ' = 1/x + 2Σ[k=1,∞] x/{(kπ)^2 + x^2}, に x=1 を入れる… >>257 の続き 一番面倒な補題 (補題4)f∈V が1以下のリプシッツ係数を持ち Sf=f を満たすならば、lim_(x→∞) f(x) が存在する。 (∵)a:=liminf_(x→∞) f(x) < b:=limsup_(x→∞) f(x) であると仮定する。 各 r∈R に対して C(r)=lim_(ε→+0) limsup_(x→∞, f(x)<a+ε) f(x+r)-a とおくと、 アスコリアルツェラから C は有界かつ1以下のリプシッツ係数を持つことがわかる。 またこれより、各 r∈R に対して、非有界な上昇列 {x_n} であって n→∞ の時 f(x_n)-a→0、f(x_n+r)-a→C(r) を満たすものがとれるが アスコリアルツェラから部分列 {x'_n} であって T_(x'_n)f-a が [-1,1] 上で一様収束するものがとれる。(Tの定義は(i)参照) この部分列 {x''_n} をとって T_(x''_n)f-a が [-2,2] 上で一様収束するものがとれて、更に部分列 {x'''_n} をとって T_(x'''_n)f-a が [-3,3] 上で一様収束するものがとれて、… と部分列を帰納的に定義できることから、{x_n} の部分列 {y_n} であって T_(y_n)f-a がコンパクト一様収束するものがとれる。 この関数列の収束先である F_r は 0≦F_r(x)≦C(x) for∀x かつ F_r(r)=C(r) を満たし、なおかつ S 不変。これが任意の r に定義できることから、 C(x) にコンパクト一様収束する V の関数列 {g_n} であって g_n(x)≧0 for∀x かつ (Sg_n)(0)=0 を満たすものが構成できるので、(SC)(0)=0. r_1,r_2∈R について C(r_1)=C(r_2)=0 ⇒ C(r_1+r_2)=0 がわかるので、C の零点集合は (1) R の加法に関する離散部分群かその部分集合、(2) R 全体、 もしくは (3)0以上の実数全体か0以下の実数全体のどちらかの部分集合 X であって原点から離れるにつれ徐々に稠密になっていく集合、のどれかになる。 (続く) >>259 の続き (1) の場合は (iii) と矛盾。(2) の場合は、十分小さい ε>0 と十分大きい実数 b_1<a_1<a_2<a_3<b_3 s.t. (x≧b_1 かつ f(x)<a+ε ならば ∀r∈[-H,H] について f(x+y)<(a+b)/2) ∧ f(b_1),f(b_3)>(a+3b)/4 ∧ f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε ∧ a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)} ∧ a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)} がとれるので、(T_(a_1)+T_(a_3))f(x)>2f(a_2) (for∀x∈[-H,0)∪(0,H]) から S(T_(a_1)+T_(a_3))f(0)>2f(a_2) となるが、これは f(a_1)+f(a_3)=2f(a_2) と矛盾。 これらから (3) の場合のみが残る。集合 X が伸びている方向を σ∈{+,-} とおくと、Xはσの方向に徐々に稠密になっていくから lim_(x→σ∞) C(x)=0. これまでと全く同様の議論を -f に対して行い(勿論aとbも逆になる)、C にあたる関数を D とおく。 もし D の零点集合が伸びる方向が σ と逆ならば (C+D)(x)>0 for∀x≠0 より S(C+D)(0)>0 となるが、これは SC(0)=SD(0)=0 と矛盾。 よって、D は C と同じ方向に伸びるので、lim_(x→σ∞) D(x)=0. したがって、M>0, ε>0 であって (M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3) ∧ (M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3) を満たすものが存在。これより、M<b'_1<a'_1<a'_2<a'_3<b'_3 を f(b_1),f(b_3) > b-ε ∧ f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε ∧ a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)} ∧ a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)} を満たすように定めれば、(1') |b'_1-a'_1|≦H または |b'_3-a'_3|≦H と (2') b'_1+H<a'_1 かつ a'_3<b'_3-H の二つの場合に分けてそれぞれ今までとほぼ同様に矛盾を示せる。□ (定理3.1)f∈V が Sf=f を満たすならば、f は定数。 (∵)補題3から F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も S 不変かつリプシッツ連続であるが、 補題4(と対称性)から lim(x→∞) F(x) と lim(x→-∞) F(x) が存在。 補題2から F は定数であるから、f(x)=f(x+1). これと補題1から f は定数。□ (系1)正の数からなる無限列 λ_1, λ_2,… の総和は1であり、 有界な実数列 a_1, a_2,… のうちQ上一次独立な二つ組が存在すると仮定する。 この時、実数上の有界連続関数 f で f(x) = Σ_(n=1,∞) λ_nf(x+a_n) (for∀x) を満たすものは定数関数に限られる。(証明略) (系2)a<b を実数、φ を区間 [a,b] 上の連続関数であって φ(t)≧0 (for∀t∈[a,b]), ∫_(a,b)φ(t)dt=1 を満たすものとする。この時、実数上の有界連続関数 f で f(x) = ∫_(a,b)φ(t)f(x+t)dt (for∀x) を満たすものは定数関数に限られる。(証明略) ちなみに、例えばこんなことはまだ示せていません。和をとったりしてる範囲が非有界なので (予想1)実数上の有界連続関数 f で f(x) = Σ_(n=1,∞) f(x+√n)*2^(-n) (for∀x) を満たすものは定数関数に限られる。また、 f(x) = (1/√π)∫_(-∞,∞) f(x+t)e^(-t^2) dt (for∀x) を満たすものも定数関数に限られる。 (予想2)S の条件のうち (iv) を (iv)’ 関数列 f_n∈V (n=1,2,…) が一様有界かつ 0∈V にコンパクト一様収束するならば lim_(n→∞) (Sf_n)(0)=0. まで緩めても、定理3.1と同様の主張が成り立つ。 >>260 訂正 誤: したがって、M>0, ε>0 であって (M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3) ∧ (M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3) を満たすものが存在。 正: したがって、M>0, ε>0, m>3H であって (M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)<(2a+b)/3) ∧ (M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)>(a+2b)/3) を満たすものが存在。 >>252 > >>36 の1つ目が本当にわからん… > mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、 どうやって示すんですか? >>264 S(p,a) = Σ_(x,y,z,w=1〜p) e^(2πi(x^4+y^4-6z^4-12w^4)a/p), S(p) = Σ_(a=1〜p) S(p,a) とおくと、もし x^4+y^4-6z^4-12w^4=0 の解が (0,0,0,0) しか無ければ S(p)=p となるはず。 一方 S(p,p)=p^4 であり、Aがpで割りきれない時は確か |Σ_(x=1〜p) e^(2πi(x^4)A/p)|≦3√p が Vinogradov(1954) の "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" から言えたはずだから、 S(p) ≧ p^4 - (p-1)(3√p)^4 = p^4 - 81p^3 + 81p^2. 以上から p≦80 がわかるから、あとはこれらの p についてパソコンか何かで調べ上げればOK >>265 もし x^4+y^4-6z^4-12w^4≡0 (mod p) の解が x≡y≡z≡w≡0 (mod p) しか無ければ だった スマン >>266 なるほど。 でもなんかこの問題 Hasse principle 使えるような気がしてきた。 >>262 (予想2)普通にできたわ…何でこれ気づかなかったんや… (∵)S の条件を変えたときに補題1,2,3は同じ議論で通用するから、補題4だけ証明すればよい。 まず g(x)=f(x+1)-f(x) とおき、この g に対して >>259 と同様に C を定めると、 (1)の場合に矛盾が生じるところまで同じ議論が成り立つ。 (2),(3) のいずれの場合も、σ∈{+,-} であって lim_(x→σ∞)C(x)=0 を満たすものが存在。 したがって、a = liminf(x→∞)g(x) < 0 と仮定すると、任意の N>0 について M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、 十分大きい全ての x∈R s.t. g(x)<a+ε が g(x+r)<a/2 for∀r∈[M,M+N] を満たすことがわかる。 このような x について、 f(x+M+N)-f(x+M) = g(x+M)+g(x+M+1)+…+g(M+N-1) < Na/2 が成り立つが、N>0 は任意であったからこれは f の有界性に反する。したがって、a≧0. -g や逆方向の極限についても同様であるから、lim_(x→±∞)g(x)=0. 補題2から g は定数であり、補題1から f も定数である。 以上から補題4にあたる部分が示されたが、 補題1〜4から主張を示す部分は、定理3.1と同様の議論が成立する。□ 系として(予想1)も成り立つことがわかりますが、証明は略。 同様の結果が成り立つことを保証するのに条件(iv)'は本当に必要なのか?という疑問は当然わきますが、 任意の f∈V に対して定義されて f の x→±∞ での挙動「のみ」に依存する線形な作用素が、 そもそもそんな簡単には作れないような気がしてて、 ここは選択公理とか使ったりする必要がありそうと感じているため、 その辺の反例の構成とかは興味のある有志にお任せしたいと思います… >>268 誤: M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、 正: M∈R, ε>0 s.t. C_ε(r)<|a/6| for∀r∈[M,M+N] がとれるから、 3×3行列Aについて、det(A) を tr(A) の式で表せ。 >>270 det(A) = (1/6)tr(A)^3 - (1/2)tr(A)tr(A^2) + (1/3)tr(A^3) とかはダメ? できるわけないやん。trは等しいけどdetは異なる行列なんか死ぬほどあるやろ? >>271 正解です。直ぐに出てくるなんて凄いな。 私は最近知ったんだけど、この手の内容について参考文献とかあったら教えてください。 >>273 大学で使うような線形代数の教科書だったら何でも載ってる気がするけどなあ、わからんが wikipedia の固有多項式の項目を見てみるだけでも結構色んな情報引き出せたりすると思うけど、 もし文献が欲しいならすまんが数学の本スレとか別のところで聞いてみてくれ 類題 3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。(detの中身は複数種類でも可) 池の鯉を網で56匹すくいました。 すくった56匹に目印をつけ、池にもどしました。 次の日に鯉45匹をすくったところ、36匹に目印がついていました。 池の鯉はおよそ何匹ですか。 これ、70匹でも69匹でも同確率になるよね? 56*45/36=70で求まる70匹のとき36匹の目印が見つかる確率 137149850039891/562949953421312 0.2436270741410791 69匹のときの36匹の目印が見つかる確率も 137149850039891/562949953421312 0.2436270741410791 となった。 import math from fractions import Fraction def choose(n, r): return math.factorial(n) // (math.factorial(n - r) * math.factorial(r)) def dhyper(x,g,b,s): return choose(g,x)*choose(b,s-x) / choose(g+b,s) f69 = dhyper(36,56,69-56,45) print (Fraction(f69)) print(f69) f70 = dhyper(36,56,70-56,45) print (Fraction(f70)) print (f70) プログラムのご紹介、乙。 でも、ま、プログラムとしての新規性の証明、解説が必要かな? >>280 Rの超幾何分布関数で算出したら 最頻値が2つ出てきたので分数表示できるpythonでやっても同じになって困惑してるのが現状。 全ての成分が自然数で、対角成分が全て0の正方行列Aについて tr(A^3)は6の倍数であることを証明せよ >>282 >>283 B = A^3, tr(B) = Σ[i=1,n] B(i,i) = Σ[1≦i,j,k≦n] A(i,j) A(j,k) A(k,i) = 6Σ[1≦i<j<k≦n] A(i,j) A(j,k) A(i,k) ∵ {i,j,k} のどれかが一致すれば 0 ぢゃね? 単発質問スレより 引用 1問目は1から9を多くて1回づつ使って等式を完成させる https://i.imgur.com/os8xCr9.jpg □/□ * □/□ = □□/□ (a/b)*(c/d) = (10*e+f) /g 左辺の分数は互換なのでa>cとして Prelude> let r = [[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[1..9],b<-[2..9],c<-[1..9],d<-[2..9],e<-[1..9],f<-[1..9],g<-[2..9],(a/b)*(c/d)==(10*e+f)/g, a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a>c] Prelude> let f x = map floor x Prelude> map f r [[7,2,3,6,1,4,8],[7,6,3,2,1,4,8],[8,2,3,6,1,4,7],[8,2,7,4,6,3,9],[8,2,7,6,1,4,3],[8,4,7,2,6,3,9],[8,4,7,6,2,1,9],[8,6,3,2,1,4,7],[9,2,7,4,6,3,8], [9,2,8,4,6,3,7],[9,4,7,2,6,3,8],[9,4,7,6,2,1,8],[9,4,8,2,6,3,7],[9,4,8,6,2,1,7],[9,6,7,4,2,1,8],[9,6,8,4,2,1,7]] 2問目は2個答える 最大になるように-5から5を多くて1回づつ使う 最小になるように-5から5を多くて1回づつ使う https://i.imgur.com/H7btl39.jpg こっちが終わらない :( 前>>277 訂正。 16×5⇒14×5 ま、でも印をつけられる段階ですでに「ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉」が10匹ぐらいいると思うんだよね。 すべての鯉をx匹、ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉をy匹とおくと、 x-y=70(匹) 印をつけられる確率は4/5じゃない気がする。 印をつけるたびすでに印をつけられた鯉が生け簀に増えてくわけで、 すでに印をつけられた鯉を捕ることもあるはず。 y=10なら80匹だし、それに70匹ぐらいなら80匹もぎりぎりオッケーじゃないの。 >>285 2問目も計算、終わってた y = [a/b*(c-d)-e*(f-g)|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5], a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g] f x = map floor x yMax = maximum y z=[[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5] ,a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a/b*(c-d)-e*(f-g)==yMax] map f z Prelude> map f z [[-5,-1,3,-4,5,-3,4],[-5,-1,3,-3,5,-4,4],[-5,-1,4,-4,5,-3,3],[-5,-1,4,-3,5,-4,3],[-5,1,-4,3,5,-3,4],[-5,1,-4,4,5,-3,3],[-5,1,-3,3,5,-4,4],[-5,1,-3,4,5,-4,3], [5,-1,-4,3,-5,4,-3],[5,-1,-4,4,-5,3,-3],[5,-1,-3,3,-5,4,-4],[5,-1,-3,4,-5,3,-4],[5,1,3,-4,-5,4,-3],[5,1,3,-3,-5,4,-4],[5,1,4,-4,-5,3,-3],[5,1,4,-3,-5,3,-4]] >>286 70匹のときの確率 137149850039891/562949953421312 = 0.2436270741410791 80匹のときの確率 639173184839639/36028797018963968 = 0.017740619663298957 だから、80匹は可能性が低い >>286 池の鯉の可能性を56+(45−36)=65匹から上限を10000匹にして その確率は一様分布に従う(つまり、65匹の確率も10000匹の確率も同じ)として計算したら 最頻値 $`mode` [1] 69 70 中央値 $median [1] 71 期待値 $mean [1] 71.17647 95%信頼区間(highest density) $CI.hdi [1] 65 78 パーセンタイル(2.5.%-97.5%) $CI.Qqtl [1] 66 80 80匹はまあ、ギリギリセーフといえなくもない。 >>36 の出題者らしきレスなんにも出てこないけど、これ本当にとけるんかな?時々未解決問題貼るやついるからなぁ。 まぁもう諦めたからどっちでもいいけど。 >>281 Wolframdでも同じだなぁ。69匹と70匹は同確率。 では、56*45/36=70の値は一体なんだろ choose(56,36)*choose(13,9)/choose(69,45) https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose (56,36)*choose(13,9)%2Fchoose(69,45) 3591292705/14740942556 choose(56,36)*choose(14,9)/choose(70,45) https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose (56,36)*choose(14,9)%2Fchoose(70,45) 3591292705/14740942556 choose(13,9)/choose(69,45) 11/35471218518158136 (13!/(4!*9!)) /(69!/(24!*45!)) choose(14,9)/choose(70,45) 11/35471218518158136 (14!/(5!*9!))/(70!/(25!*45!)) 大きな数を扱う化学では コップの中の真水56ccを濃度1%の食塩水56ccで置き換えました。 よく混ぜた後45cc取り出して濃度を測ると36/45%でした。 最初の真水の量は何ccだったのか計算せよ。 36/45=56/x x=70 答え 70cc とかしてるわけだけど、 確率分布はどんな様子になってるんだろう。 >>276 の問題の各数値を10^23倍くらいにすればいいわけだよね 小学校 「さくらんぼ計算」に戸惑う声 https://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20181115-00000006-jct-soci https://amd.c.yimg.jp/im_sigg4tEc9zbWoY9xWDiiNhYroA---x900-y720-q90-exp3h-pril/amd/20181115-00000006-jct-000-1-view.jpg さくらんぼ計算とは、「8+7」の足し算で、7を2と5に分け、8にこの2を足して10にする。 そして、10と残りの5を足して15と計算するやり方だ。7の下にぶら下がったさくらんぼの実を2つ描き、 2と5を実の中に書くことから、さくらんぼ計算と呼ばれている。 報告主は、「10+7」の10を3と7に分けるといったムダなことをする子供もいたとして、 こうした考え方を示した文科省に疑問をぶつけていた。このほかにも、さくらんぼ計算のせいで 娘が算数が大嫌いになり、中学3年になっても苦手から抜け出せずに数学を拒否している。 >>95 ■P1stを求める 宝一つの時の自陣当たり数 (n(n+1)/2)-1 ……@ その中での宝二個の組み合わせ数 ((n(n+1)/2)-1)(((n(n+1)/2)-1)-1)/2 ……A 最終マスと@との組み合わせ数 (n(n+1)/2)-1 ……B 自陣の当たりと相手の当たりで自分が勝つ 組み合わせはAと差分の和 差分は1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203 252 308 372 444 525 615…… それを表す関数 (4n^3+6n^2-4n-3+3(-1)^n)/48 nが一つずれているのでn-1に補正 {4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)}/48 ……C 計算知能でAx2+B+Cを入力すると P1st ={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 ……D 全n(n+1)マスで宝二個の組合わせ数 n(n+1){n(n+1)-1}/2 ……E 引き分け数は、n(n+1)-1と同着数の和 同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25…… これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……F n(n+1)-1 ……G 計算知能でF+Gを入力すると even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8 ……H 計算知能でE-D-Hを入力すると Q1st ={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 前>>286 >>288-289 >>291 期待値の問題か。 80匹もぎりぎりセーフってことで正解だね。 一万匹は無理だね。 金銭的にも興行的にも。 どこ〜かで〜かね〜がな〜ぁて〜♪ らし〜くな〜ぃこと〜ばか゚〜ぅか〜んで〜♪ さむ〜さか゚〜ここ〜ちよ〜くて〜♪ な〜んでこ〜ぃな〜んかして〜んだろ〜♪ 前>>295 ~、、,, ~~゚~~~。~ ~~~ ~ (-.-))⌒〜っ゙~ ~ ~~~ υυ〜~~~ ~~ ~ ~゚ ~~ ~~~~゚ ~ ~ ~~ ゚ ~~~ ~ >>279 この式で56匹から100匹までの確率の総和を取ったら約2になった sigma[choose(56,36)*choose(n-56,9)/choose(n,45), n = 56 to 100] https://www.wolframalpha.com/input/?i=sigma%5Bchoose (56,36)*choose(n-56,9)%2Fchoose(n,45),+n+%3D+56+to+100%5D >>292 カードの照合の問題も、最初に選んだ10枚に印をつけて再捕獲したと考えればいいんだろうけど 200/3=66.6枚という最頻値がどれほどの信頼できるのか疑問。 固有の番号の書かれたカードが何枚あり、 その枚数は1000枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。 調査員が無作為に10枚選んで番号を記録して元に戻した。 別の調査員が無作為に20枚選んで番号を記録した。 二人の調査員の記録した番号を照合すると3枚の番号が一致していた。 この情報からカード枚数の期待値を求めよ。 事前分布としてある枚数である確率を一様分布にするのが現実離れといえるけど。 まあ、男女の生まれる確率分布を一様分布として計算するのに似ているかも。 >さくらんぼ計算のせい アベノセイダーズを彷彿とさせるような記述だなぁ。 >>297 サイコロをふって1回1の目がでた。 サイコロを降った回数は1から100回のどれかである。 1回ふって1回出た確率、2回ふって1回出た確率、3回ふって1回出た確率、...、100回ふって1回出た確率 全部足したらいくらになる? 問題の数値を変えてわずか3匹しか目印なしとすると 池の鯉を網で56匹すくいました。 すくった56匹に目印をつけ、池にもどしました。 次の日に鯉45匹をすくったところ、3匹に目印がついていました。 池の鯉はおよそ何匹ですか。 56*45/3=840匹になるのだけど、 この数値ってどれほどアテにしていいんだろうね? 数値を10倍、100倍にしたときのグラフを描かせてみた 青が10倍で範囲は690匹から7100匹、 赤が100倍で範囲は6900〜7100匹 https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+choose (560,+360)*choose(x-560,+90)%2Fchoose(x,450),++choose(5600,+3600)*choose(x*10-5600,+900)%2Fchoose(x*10,4500),+from+x%3D690+to+710 https://i.imgur.com/wMoy71B.jpg 10倍程度だとあまり先鋭化しない 100倍でも思ったより先鋭化しない 化学で扱うような10^23あたりのサンプル数なら推定値の ±0.001%の範囲である確率が0.9999とかになるんだろうな そこが統計が数学科であんまり好まれないとこだろうねぇ。 確率の問題と深く関わってはいるけど厳密には確率の問題ではない。 母数の分布とは言うけどそんなもんわかりっこないから本来どうしようもないし。 けどわからんわからんいうてても何も始まらんので適当に××仮説とか立てて「こう考えるとするとこうなる」ぐらいの事しか言えない。 信頼区間にしてもwikiにも明示されてるけどあくまで"指標"でしかない。確率でもなんでもない。 確率だと思うには母数の分布になんかの仮定入れないと無理だけど、その仮定の入れ方ごとに答え変わるし、ましてや次はその仮定どれくらい信頼できるねんと言う話に戻ってしまう。 >>303 全体の数より、再捕獲での陽性割合を変化させた方がグラフは大きく変化すると思う。 目印陽性がすくないと信頼区間が広くなって推定値が信頼できないが、目印陽性が多いと信頼区間が狭くなる。 >>305 なるほど。 とはいえさっきはグラフの形だけ見て「あまり先鋭化しない」なんて書いたけど、 10倍では690〜710以外の範囲でも無視できない程の確率があるのに 100倍だと6900〜7100以外での確率はほぼゼロだから大分違うか >>306 10打数で1安打と1000打数100安打での信頼区間の差では? そもそも信頼区間の定義とは違う意味で信頼区間という用語使ってるレス多いな。 信頼区間の計算式って沢山あるよな。 1000打数100安打の95%信頼区間 > binom::binom.confint(100,1000) method x n mean lower upper 1 agresti-coull 100 1000 0.1000000 0.08284688 0.1202145 2 asymptotic 100 1000 0.1000000 0.08140615 0.1185939 3 bayes 100 1000 0.1003996 0.08206073 0.1191877 4 cloglog 100 1000 0.1000000 0.08239444 0.1195577 5 exact 100 1000 0.1000000 0.08210533 0.1202879 6 logit 100 1000 0.1000000 0.08288164 0.1201906 7 probit 100 1000 0.1000000 0.08264461 0.1198768 8 profile 100 1000 0.1000000 0.08243331 0.1196133 9 lrt 100 1000 0.1000000 0.08243172 0.1196130 10 prop.test 100 1000 0.1000000 0.08245237 0.1206909 11 wilson 100 1000 0.1000000 0.08290944 0.1201520 >>305 自分でも興味があったので弄ってみた。 魚の総数を上限1万匹とし、その確率分布は一様分布を仮定。 再捕獲した45匹中何匹に目印がついているかで推測される95%信頼区間(Highest Density Interval)をグラフにしてみた。 http://i.imgur.com/NKcQ61u.png Rのコードはここに置いた(通知を変えて実行できる) http://tpcg.io/TBD7MO >>271 tr(AA) や tr(A^3) も使えばできますね。 Aの固有多項式は f(x) = det(A-xI) = det(A) - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・x + tr(A) xx - x^3, ケーリー・ハミルトンにより f(A) = det(A)I - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・A + tr(A)AA - A^3 = O, det(A) = (1/3)tr[ {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・A - tr(A)AA + A^3 ] = … tr(A^i)全部使っていいなら固有多項式の係数全部表せるのはまんまニュートンの漸化式やん。 >>305 >>310 単に>>303 風のグラフを描くなら対数で計算すればコップの中の水分子とかでも計算できますね あとでやってみよう >>311 A = {a_ij} が3次行列のとき tr(A) = a11 + a22 + a33, tr(AA) = (a11)^2 + (a22)^2 + (a33)^2 + 2 a12 a21 + 2 a23 a32 + 2 a31 a13, ∴Aの固有多項式は det(A-xI) = det{[a11-x, a12, a13], [a21, a22-x, a23], [a31, a32, a33-x]} = det(A) - (a11 a22 + a22 a33 + a33 a11 - a12 a21 - a23 a32 - a31 a13)x + (a11+a22+a33)xx -x^3 = det(A) - {(tr A)^2 -tr(AA)}/2 x + tr(A) xx - x^3, >>312 n次多項式がn個の根λ1,λ2,・・・,λn をもつ(ガウス)が既知ならば tr(A^i) = (λ1)^i + (λ2)^i + … + (λn)^i, これは {λ1,λ2,…,λn} のi次の対称多項式だから、1〜i次の基本対称式で表わせる。 逆に、i次の基本対称式は tr(A) 〜 tr(A^i) で表わせる。 池の鯉の総数と調査します。 五郎君が名前に因んで56匹を捕まえて目印をつけ、池にもどしました。 次の日に三郎君が自分の名前に因んで36匹の目印のついた鯉を捕まえることにしました。 鯉45匹めで予定の36匹が捕まりました。 池の鯉はおよそ何匹ですか。 >>314 トレースって跡ともいうけど、ずっと「あと」って読んでいた。 線形代数の本の索引で、ア行になくサ行にあったので気づいたわ。 >>311 A = {a_ij} がn次行列のときも tr(A) = a_11 + a_22 + ・・・ + a_nn, tr(AA) = (a_11)^2 + … + (a_nn)^2 + 2 Σ[i<j] a_ij a_ji, (trA)^2 - tr(AA) = 2Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_ji), ∴ Aの固有多項式は det(A-xI) = det{[a_11-x, a_12, …, a_1n], [a_21, a_22-x, …, a_2n], ……, [a_n1, a_n2, …, a_nn-x]} = det(A) - …… + Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_jj) (-x)^{n-2} + (a_11+…+a_nn)(-x)^{n-1} + (-x)^n = det(A) - …… + {(tr A)^2 - tr(AA)}/2 (-x)^{n-2} + tr(A)(-x)^{n-1} + (-x)^n, 昨日出した問題だけど 数2Bまでの知識で解ける a,b,c,dは実数とする。 a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ。ただし、計算機は使ってはならない。 あれ? a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4 になって (a^2-b)(c^2-d) =(ac)^2-(a^2d+bc^2)+bd =(ac)^2-(-16/3-4)+1 になって負になりっこない希ガス。 >>319 f(x) = (x^2+2ax+b)(x^2+2cx+d) = x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1 をxで微分したら 4(x-2)(x-1)(x+1) となるから、 x=-1 で極小 f(-1)<0, x=1 で極大 f(1)>0, x=2 で極小 f(2)>0 となってそれ以外の区間で単調であるから、 f は ちょうど2つの単根を持つ。 したがって、(x+a)^2 - (a^2-b) と (x+c)^2 - (c^2-d) はどちらも重根を持たず、どちらか一方のみが2つの実根を持つことから、題意が示される。 >>321 すげぇ……判別式の形露骨に出ないように姑息に2a,2cみたいな係数にしてたのによく見破ったな…… >>322 ある ウルフラム先生が言ってるんだから間違いない多分 >>321 すごいな。2つの判別式の積になってるって見抜けないと思いつかんなあ >>320 また現れたか、デキッコナイス。なんなんだこいつは。 https://i.imgur.com/bLyuU1o.jpg あれ?>>320 の間違いまじでわからん? どこ間違ってるかわかる? >>325 これa,b,c,dの値固定されてるからacの値によらず(ac)^2-(-16/3-4)+1が常に負になる必要はないんじゃね(特定のa,b,c,dで負になるなら良い) >>326 いや、変形に計算間違いがないならacが実数である限り何であっても正になってしまう。 いまパソコンが壊れててて計算しか出来ないから検算しようがない。 自分で再計算しても同じとこ間違うのが関の山だし。 まぁ問題に一言も実数とは断ってないから実数でないのかもしれないけど。 >>328 aについてしか解いてくれてないけど。 虚数解混じってるし。 全部実数になる解あるの? >>329 More rootってあるだろ、これ以上はスレチになるからこことは違うところで調べてくれ あ、いや、ごめんなさい。 実数解ひとつあれば全部実数になる解は自動的にあるな。 あれ?>>320 どこ間違ってるんだろう。 パソコンないとこうも手詰まりになるもんだな。 >>331 > a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より > a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4 a^2d+bc^2=4(a+c)-ac(b+d) 計算見直すだけだろ Wolfram 先生に factorize x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1 ってお願いして irreducible factorization 出してもらえば普通に a,b,c,d 構成できるんじゃないの あと >>320 だけど a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4 は計算間違いで本当は a^2d+bc^2=4(a+c)-(abc+acd) になって特に何が言える訳でもないと思うよ まだやってたのか、NG入れてあぼーんしてたから気づかなんだわ。 数学板の常連は意外と面倒見がいいんだな。 解決してた すまん 未解決だけど投稿します 各項の係数の絶対値が1以下であるような整数係数多項式 f(x)≠0 であって、x^4+x^3+3x^2+x+1 で割り切れるようなものは存在するか。 >>334 ありがとう。 後で気づいた。 お騒がせしました。 m種類の文字をm^n個並べた円順列で、連続するn文字の並びがすべて異なるものは常に存在するか? 例:文字0,1の円順列[00011101]中の3文字の並びは 000,001,011,111,110,101,010,100 で、すべて異なる。 じゃトレースがらみで Aをn次正方行列とするとき、行列Bを B[i j] =tr(A^(i+j)) で定められるn次正方行列とする。 この時 Aの固有値が全て異なることと det(B)≠0 である事は必要十分である事を示せ。 >>339 訂正 B[i j] = tr(A^(i+j-2)) です。 >>339 ,340 tr(A^i)はAの固有値のi乗の総和なので、行列BはAの固有値のヴァンデルモンド行列とその転置との積。 したがってBの行列式は差積の2乗つまり判別式。 >>341 素晴らしい! 正解です。簡単すぎてすまソ >>338 m=3、n=2の場合で考える。 別のケースでもいけるけど記述がうるさくなるので。 0〜m^n-1の整数を頂点とし[x/m] ≡ y (mod m^n/m)の時xからyに→を描いて向き付きのグラフGを作る。 このグラフが全ての点をちょうど一回づつ通る向き付きのループを持つ事を示せば良い。 隣接行列をfromが横方向、toが縦方向に来るようにとる。 また、見やすいようにfromは最下位桁以外が一致するものを固めてならべ、toは最上位桁以外が固まるように並べる。 今の場合なら例えば以下のようになる。 . 00 01 02 10 11 12 20 21 22 00 1 1 1 10 1 1 1 20 1 1 1 01 1 1 1 11 1 1 1 21 1 1 1 02 1 1 1 12 1 1 1 22 1 1 1 このなかの1から1をm^n個選びその表す部分グラフが連結成分数が1の向き付きループになるものを見つければ良い。 各行、各列からちょうど一個づつ選べば向き付きループの有限和にはなる。 例えば対角線上の1を全て選べば良い。しかしそれだと連結成分が複数出てくるので繋げていく。 まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えてそのブロックにあるループが成分一個になるようにする。 上の例なら . 00 01 02 10 11 12 20 21 22 00 ○ 10 ○ 20 ○ 01 ○ 11 * 21 △ 02 ○ 12 △ 22 ※ となる。 この時点で00→20→02→10→01→00、11→11、12→21→12、22→22の4成分。 ここで右上のブロックを占有するループの中の→のtoは最下位桁以外を無視して0〜m^n/m-1までの全ての数がでるから各ブロックを少なくとも1回づつ通過する。 よって先の様な挿げ替えを再び行って成分数を1にできる。 訂正 ×まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えて ○ まず左上の(m^n/m)×(m^n/m)を必要なだけ挿げ替えて 訂正ついでにも少し補足。 挿げ替えとはA→B、C→DをA→D、C→Bと→を選び直す事。 この作業を何回か繰り返せば同じブロックに属する→は全て同一成分に出来る。 今の例なら A→B→‥→A、C→D→‥→Cという2成分が A→D→‥→C→B→‥→Aとつながって1成分減る。 あ、いらん訂正した。>>344 であってます。 >>345 は無かったことに。 同一ブロックに入るのはたとえばm=3, n=5ならたとえば fromが02430,02431,02432,02433,02434, toが. 00243,10243,20243,30243,40243 であるm×m個。 このfromがm個、toがm個のm×m通りは全て→で結ばれていて自由に挿げ替えられる。 >>346 スレ汚しすまん。まだ間違ってる。 挿げ替えのアルゴリズムは>>344 では不十分。 以外に訂正。 とりあえず、全ブロックの→を挿げ替えで同一成分にする。 これで十分。 もしこれで2成分以上あったとする。 しかし元のグラフは連結なので2成分X YとXの通過する点とYの通過する点を結ぶ→がみつかる。 実際異なる連結成分を結ぶパスで長さ最小のパスを取ればそれは→である。 たとえばm=5, n=5で X: …→02432→30243→… Y: …→02431→10243→… の02432と10243の様な組みである。 そしてこの部分は同一ブロックに属する。 しかし同一ブロックの→は全て同一連結成分になる様に取っているのでそれらが異なる連結成分に属するのは矛盾。 >>343 [1] (20点) aを2以上の整数とし、有理数bを b = 1 + 1/a により定める。自然数nに対して、 S_n = Σ[k=1,n] k^(1/a), とおく。ただし、k^(1/a) とはa乗するとkになる正の実数のことである。 以下の設問に答えよ。 (1) lim[n→∞] S_n / n^b = 1/b を示せ。 (2) lim[n→∞] (S_n - (n^b)/b)= ∞ を示せ。 [4] (20点) nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。 (C) 0≦k<n. (D) k/n ≦ 1/m < (k+1)/n を満たす自然数mが存在する。 条件(C),(D)を満たす整数kの個数を T_n とする。以下の設問に答えよ。 (1) T_50 を求めよ。 (2) 次の極限値を求めよ。 lim[n→∞]log(T_n)/log(n) http://suseum.jp/gq/question/2951 >>321 x - 2/3 = X, とおくと f(x) = x^4 -(8/3)x^3 -2x^2 +8x +1 = X^4 -(14/3)X^2 +(80/27)X +(131/27) = (X^2 +f)^2 -(14/3 +2f)(X-g)^2, となり、2次因子に分解する。 2(14/3 +2f)g = (80/27), ff -(14/3 +2f)gg = (131/27), より f^3 +(7/3)f^2 -(131/27)f -(9053/729) = 0, g^3 -(2/5)g^2 +(7/3)g -(10/27) = 0, f = (-7 +6(13+2√11)^{1/3} +6(13-2√11)^{1/3})/9 = 2.256314207884 g = (2 +3(4+25√11)^{1/3} -3(-4+25√11)^{1/3})/15 = 0.161393818172 >>349 (続き) f(x) = (x^2+2ax+b) (x^2+2cx+d) とする。 x^2 +2ax +b = X^2 +2√(7/6 +f/2)・(X-g) +f, 判別式 a^2 -b = (7/6 +f/2) -f +2g√(7/6 +f/2) = (7/6 -f/2) +20/[27√(7/6 +f/2)] = 0.5274900867207 x^2 +2cx +d = X^2 -2√(7/6 +f/2)・(X-g) +f, 判別式 c^2 -d = (7/6 +f/2) -f -2g√(7/6 +f/2) = (7/6 -f/2) -20/[27√(7/6 +f/2)] = -0.4504709612713 (a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(80/27)^2/(7/6 +f/2) = -(4/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}] = -0.237618966426144 < 0, ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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