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面白い問題おしえて～な 28問目
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/29(月) 00:19:23.87ID:59VF2v6C
過去ログ置き場 (1～15問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ *
4 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ *
5 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ *
6 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ *
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
0351１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 07:45:15.59ID:5ARxnQrn
問題 : ４ リットルと ３ リットルの容器を使って ２ リットルの水を測るにはどうすればいい？
これが最短手順でいい？
[(0,0),(4,0),(1,3),(1,0),(0,1),(4,1),(2,3),(2,0)]
0353１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 11:25:42.32ID:eL1RQpps
>>350 訂正

(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= (1/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
　= -0.237618966426144
　< 0,

分かスレ４４８-819,827
0356イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2018/11/19(月) 18:19:06.42ID:/GTUzlHS
>>355満タン(10)(７)(３)の三つの容器をこの並びで置き、
初め(10)(０)(０)入っているのを移していく
→(３)(７)(０)
→(３)(４)(３)
→(６)(４)(０)
→(６)(１)(３)
→(９)(０)(１)
→(２)(７)(１)
→(２)(５)(３)
→(５)(５)(０)
８回で二分できた。
0357１３２人目の素数さん
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2018/11/19(月) 18:46:32.29ID:TVJAPYv0
>>344-347
だいたい考えてた解答と一緒です。
自分のは、1234→2341→3412→4123→1234のようなサイクルをつないでいくやり方でした。

探索なしで生成する方法はないんでしょうかね？
0358イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2018/11/19(月) 18:46:44.45ID:/GTUzlHS
前>>356両手ありで空にしたとこにすぐ入れるのをノーカンにするなら７回だけど、
(10)(０)(０)
→(３)(７)(０)
→(３)(４)(３)
→(６)(４)(０)省略可
→(６)(１)(３)
→(９)(１)(０)省略可
→(９)(０)(１)
→(２)(７)(１)
→(２)(５)(３)
→(５)(５)(０)
片手だと９回か。
0359１３２人目の素数さん
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2018/11/19(月) 23:43:46.25ID:eL1RQpps
>>350 >>353

(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= (1/3) [(13+2√11)^{1/3} - (13-2√11)^{1/3}]^2
　= -0.237618966426144
　< 0,
0360１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 23:55:14.32ID:yvqX1603
>>359
■式を展開してゆくと

(a^2-b)(c^2-d)<0
a^2c^2-a^2d-c^2b+bd<0
a^2c^2-(a^2d+c^2b)+bd<0
a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+ac(b+d)+bd<0
ac(ac+b+d)-(a+c)(ad+bc)+bd<0
ac(b+4ac+d)-3a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+bd<0

a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1
は作ることができたが

最終的に9a^2c^2+6ac-19>0となる
0361１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 23:55:39.30ID:vaYg27wd
>>357
え？自作問題なんですか？
よくこんなの思いつきましたね！すっげ！
とりあえず>>344-347みたいな解答できた後、明示的な解が作れないか考えたけど出来ずorz。
普段ならパソコンに探索させてやってみるんですが、今パソコン壊れててそれもできず。
少なくともm=2とかに限定すれば出来て不思議なさそうなんですけどねぇ？
0362１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/20(火) 01:41:08.34ID:bRya54dl
>>355
こうなると人間技では無理だな。

100Lの容器いっぱいに油が入っています。51Lの容器と49Lの容器を使って、この油を50Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。
0365１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/20(火) 20:29:08.33ID:2b66cHGf
無限にも一般化できそうねこれ　既に解答あるかどうか知ってる訳じゃないけど

n を正の整数とする時、関数 f:Z→Z であって、F:Z→Z^n;F(x)=(f(x+1),f(x+2),…,f(x+n)) が全単射になるものは常に存在するか？
0366１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/20(火) 20:41:37.58ID:2b66cHGf
De Bruijn torus みたいに多次元への一般化も考えられてるみたいだし、更にこんな一般化もできる　ごっちゃごちゃやけど

m, n_1, n_2,…, n_m を正の整数とし、N=n_1*n_2*…*n_m とおく。この時、関数 f:Z^m→Z であって
F:Z^m→Z^N; F(x) = ( f(x+(1,1,…,1)), f(x+(1,1,…,2)), …, f(x+(n_1,n_2,…,n_m)) )
が全単射になるものは常に存在するか？
0367１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/21(水) 01:28:51.54ID:e25FOlfs
とりあえず>>364 のページには ”こうすりゃできる” というのが載ってはいるが、なぜそれで出来るサッパリわがんね。
試しにm=n=3で手計算でやってみると

aaabaacabbabcacbaccbbbcbccc

……できてる……すっげ！
0372１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/21(水) 18:57:16.48ID:vRlJnRg/
>>365
文字が整数ではなく自然数だったら、つまりf:N→N, F:N→N^nだったら、
n=2の場合、0 01 1 0212 2 031323 3 0414…
n=3の場合、0 001011 1 002012022102112122 2 003013…
のようにすればよさそうだけど、n≧4の場合はどうすればいいんだろう？
0375１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/22(木) 01:47:18.64ID:x/Au2Ugh
>>374
左上から
　横7cm → 縦5cm → 横4cm → 横8cm → 縦9cm → 横5cm,

下3段の縦の比
右端から 4:4:8 → 4:4:9 → 8:9 → 8:4:5 →→ 7:7:5:4:5
横の比　20:35:21:(5cm)
0377１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/23(金) 01:34:48.76ID:4a5jgypk
>>363のwikiに載ってる方法
0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数を(必要なら上位を0で埋めて)m進数n桁表示で表示したとき、その最上位以外をひとつずつ上位に移し、最高位を最下位に移す写像を f とする。
このとき f は0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数の全体 S の置換を与える。
この置換を互いに可換な循環置換の積 f = g[1]g[2]…g[t] で表す。
ただしg[i] = (n[i1]…n[ij]) n[i1]が最小限と表示するときワードw[i] = n[i1]…n[ij]は辞書式順序で昇順であるとする。
n[11]n[12]…をすべてつなげたワードをwとする。
そのワードの各文字をm^(n-1)で割った商で置き換えたワードがde Bruijn sequenceとなる。

--例--
m=3、n=2のとき。
f = (0) (1 3) (2 6) (4) (5 7) (8)
であるから
w = 0 1 3 2 6 4 5 7 8
であり各文字を3^1で割った商に置き換えて
001021222
はde Bruijn sequenceとなる。

……やっと証明わかった。
こんな構成法絶対思いつかん。
0378１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/23(金) 18:46:55.67ID:imnUH0Gw
実数 x に対して [x] を x の整数部分と定める。この時、次の値を求めよ：
lim_(n→∞) (1/√n)Σ_(k=1,[√n])(n/k-[n/k])
0379１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/23(金) 21:38:04.43ID:v31SUiKG
>>378
収束するん？
全然収束してる感ないけど？

*Main> let f n = (/(sqrt n)) $ sum [n/k - (fromInteger $ truncate $ n/k) |k<-[1..(sqrt n)]]
*Main> mapM_ print [f x | x<-[10000..10010]]
0.39775176396203077
0.42960405947242447
0.4414551710047714
0.4733020995001393
0.46515384320018427
0.4370114006470376
0.4688537799785083
0.5106894801475358
0.4425649747743292
0.4843978105580605
0.37630141203414064
0380１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/23(金) 22:23:27.31ID:afoQoOE+
じゃあ問題変えよか
次を示せ：
Σ_(k=1,[√n]) n/k-[n/k] = (1/2)√n + O(n^(10/21))
0381１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/23(金) 23:06:09.28ID:K/FSQatd
>>380

>>378より主張が強くなってるけどホントに成立するん？
相当収束遅いんかな？
100000000000でもまだ0.01ぐらいの誤差あるけど。
この辺までくると計算誤差かもしれないけど。
もってる R(n)/n^(10/21) の上からの評価値と矛盾してない？
収束してても不思議ない感くらいはあるんだけど。

*Main> mapM_ print [f x | x<-[100000000000..100000000010]]
0.49838288499722044
0.4983868107954477
0.4983780874456663
0.4984167982310302
0.49843969769390706
0.4984309743244439
0.4984601983048952
0.4984957468592659
0.4984870234930951
0.49847830012017674
0.4984695768000378
0382１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/23(金) 23:47:54.50ID:afoQoOE+
>>381
誤差項の係数まで出してるわけじゃないから計算一つ一つ追ってくのはしんどくてすぐできそうにないけど、>>380 の右辺を
(√n)･(1/2 + O(n^(-1/42)))
と変形できて、n にそのまま 10^11 入れて n^(-1/42) 計算しても 0.547 くらいになるから、
むしろ >>381 の数値の 1/2 との近さは"良すぎる"くらいだね　言い換えれば >>380 の評価がガバガバすぎるってことなんだけど
0384１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 00:57:22.81ID:R0eGczxp
>>275
> 3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。（detの中身は複数種類でも可）

これどうやるんですか？
0385１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 01:23:19.32ID:lLG6RWzh
>>384
A の固有値を a,b,c とおくと
det(A+E) + det(A-E) - 2det(A)
= (a+1)(b+1)(c+1) + (a-1)(b-1)(c-1) - 2abc
= 2(a+b+c) = 2tr(A)
でいける
0388１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 10:55:38.86ID:9xCWeV16
>>387
想定してる解答ではそういう複素解析的な技術は使ってないよ
使えるのかどうかはわからないけど、n>n' として n' の時の和が n の時の和の部分和になってる訳じゃないから
今までと同じような方法で臨むのは難しそうな気がする
0389１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 12:56:55.99ID:464U4GYy
>>388
違うのか…
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = O(n^(10/21))
を示せば十分で
x - [x] - 1/2 = -2/πΣ[i] sin(2πix)/i
を使って
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = -2/πΣ[k] Σ[i] sin (2πi n/k) / i
で
Σ[i] sin (2πi n/k) / i = Σ [ξ] <sin (2πi n/k), ξ(i)> L(ξ, 1)
でL(ξ,1)を評価するのかなと。
でもこのL(ξ,1)の評価ネットで探してもありそでなさそで……
これむずい。気長にやります。
0390１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 13:09:45.85ID:HscCLQgZ
{x}＝x－[x]と定義して、

Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3})

が示せた(計算ミスがなければ)。方針は>>389なんだけど、
L関数ではなく、普通にフェイェール核を使う。
あとはオイラー・マクローリン。
0393１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 13:30:52.39ID:464U4GYy
私も>>389訂正。L(ξ, 1)じゃなくてL(1,ξ)ね。
あとwolframで確かめてみたら
x - [x] - 1/2 = -1/πΣ[i] sin(2πix)/iですね。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-1%2Fpi*(sin(1+x)%2F1%2Bsin(2+x)%2F2%2B+sin(3+x)%2F3%2Bsin(4+x)%2F4%2Bsin(5+x)%2F5%2Bsin(6+x)%2F6%2Bsin(7+x)%2F7%2Bsin(8+x)%2F8%2Bsin(9+x)%2F9%2Bsin(10+x)%2F10)
これ気合で i:1～10 足したけどもっと賢く入力できないのかな？
ここからオイラーマクローリンで行こうとおもったんだけど
∫[1,∞] a cos (ax)x (x - [x] - 1/2) dx (ただし a = 2πn/k)
の項が出てきて評価ができなかった。
Dirichlet の不連続因子っての使うのかなとも思ったんだけど眠くなってやめた。
積分苦手 orz。
0394１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 14:01:12.00ID:HscCLQgZ
計算が面倒くさすぎるので、使う道具だけ書いておきます。間違ってたらスマン。

m≧0に対して、D_m：R→R を D_m(x)＝(sin mπx)/sin πx (x∈R－Z), m (x∈Z) と定義する。
また、f_m＝D_{2m＋1} (m≧0) と定義する。

基本的な性質の一覧。

D_0(x)＝0, D_1(x)＝1, D_m(1±x)＝D_m(x)＝D_m(－x) (x∈R, m≧1)

f_0(x)＝1, f_m(1±x)＝f_m(x)＝f_m(－x) (x∈R, m≧1)

m≧1に対して∫(0,1/2)f_m(t)dt＝∫(1/2,1)f_m(t)dt＝1/2

m≧1, x∈R に対して Σ(n＝1～m) cos2πnx ＝ －1/2＋f_m(x)/2

m≧1, x∈R に対して {x}－1/2＝－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx)/(πn)＋∫(1/2,{x})f_m(t)dt
0395１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 14:12:41.48ID:HscCLQgZ
定義　命題Pに対して、[[P]] ∈ {0,1} を次のように定義する。

[[P]]＝0 (Pが偽のとき), 1 (Pが真のとき).

定理1　x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})D_m(t)dt ＝ －[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})f_m(t)dt ＝ －[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して Σ(n＝1～∞) (sin 2πnx)/(πn) ＝ 1/2－{x}－[[x∈Z]]/2.
0396１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 14:18:51.97ID:HscCLQgZ
定理2　g：[0,1/2]→Rは[0,1/2]上でルベーグ積分可能であり、g(＋0)が存在するとする。このとき、

Clim(m→∞)∫(0,1/2)f_m(t)g(t)dt＝g(＋0)/2.

ただし、実数列 {a_m}_m に対して Clim(m→∞)a_m＝lim(m→∞)(a_1＋a_2＋…＋a_m)/m と定義する。

定理3　a＜bとする。g：[a,b]→Rは[a,b]上でルベーグ積分可能であり、n∈[a,b]∩Zのとき、
g(x)はx＝nにおいて片側極限が必ず存在するとする。このとき、

Clim(m→∞)∫(a,b)f_m(t)g(t)dt＝Σ(n∈[a,b]∩Z) (g(n－0)＋g(n＋0))/2.

ただし、a∈Z のときは、(g(a－0)＋g(a＋0))/2 の部分を g(a＋0)/2 で置き換える。
また、b∈Z のときは、(g(b－0)＋g(b＋0))/2 の部分を g(b－0)/2 で置き換える。
0397１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 14:21:47.97ID:HscCLQgZ
定理4(オイラー・マクローリンの公式)　a∈Z, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して

Σ(a≦k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.

定理5(オイラー・マクローリンの公式)　a, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して

Σ(a＜k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋((1－2{x})f(x)－(1－2{a})f(a))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.
0398１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 14:32:22.84ID:HscCLQgZ
Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3}) の証明を大雑把に。

x＞1として、Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
と分解して、まず Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＝O(x^{1/3}). 次に、m≧1を任意に取って

Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
＝Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})(1/2－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx/k)/(πn)＋∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt)
＝([x^{1/2}]－[x^{1/3}])/2－Σ(n＝1～m)(1/(πn))Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}) sin 2πnx/k
　＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt　(1)

と分解する。
0400１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 14:42:15.81ID:UbXGWPhk
>>398
kの小さいとこ分けるのはやったんだけどなぁ。
まぁやってみます。
ところで出題者さんに質問。
この誤差項のx^(10/21)の肩の数字はいくらでも小さく採れるんですか？
0403１３２人目の素数さん
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2018/11/24(土) 15:35:04.80ID:qzNDTVhe
>>400
や、今解答として用意してる計算のしかたであれば、最善のパラメーターのとり方でこの結果。
もっと和のとり方を工夫したら改善できるかもだけども
0405１３２人目の素数さん
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2018/11/24(土) 16:48:54.13ID:qzNDTVhe
普通に改善できた…でもパラメータ変えて誤差項の指数小さくできるかはっきりしないし問題は変えないことにする
（もし小さくできたとしてもややこしくなるだけだし変えないつもりだけど）

>>404
うーん、フーリエ展開から攻めるのはちょっとオススメしにくい
小数部分をとる関数 {x} に不連続点があるせいで級数が絶対収束しないから、
各フーリエ係数ごとに和をとってから全体を評価しようとするとどうしてもばかでかくなってしまう気がする
フーリエ級数いじるの得意じゃないし本当にできないのかとかについては何とも言えないけど
0406１３２人目の素数さん
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2018/11/24(土) 16:55:34.93ID:qzNDTVhe
停滞するのもあれだし類題出しときます

lim_(n→∞) (1/logn)Σ_(k=1,[logn]) (n/k-[n/k])
は存在するか。
0407１３２人目の素数さん
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2018/11/24(土) 17:17:24.06ID:HscCLQgZ
まだ暗算レベルだけど、Σ(k≦x^{1/2})({x/k}^2－{x/k}) だったら、
>>394-399で失敗した計算が救済できて

Σ(k≦x^{1/2})({x/n}^2－{x/n})＝(-1/6)x^{1/2}＋O(x^{1/3})

あたりのオーダーが言えそうな気がする。
また間違うかもしれないので書かないけどｗ
0408１３２人目の素数さん
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2018/11/24(土) 19:35:26.74ID:HscCLQgZ
>>407もダメだった。

B(t)＝{t}－1/2と置くと、>>407の場合、
∫(x^{1/3},x^{1/2})B(t)B(x/t)dt みたいなのが出てきて、
これのxに関するオーダーが計算できないｗ

どうやら、オイラー・マクローリンで計算すると、{x/n}の難しいところが
B(t)に移転してしまい、B(t)の積分計算ができなくなって失敗するっぽい。
0409１３２人目の素数さん
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2018/11/25(日) 02:09:19.35ID:AuW29Ma5
>>275 >>384 >>385

・4次のとき
　det(A+xE) - det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)
　= 2 S_3 x + 2 tr(A) x^3,
より
　tr(A) = {det(A+2E) -2det(A+E) +2det(A-E) -det(A-2E)}/(2･3!)

・5次のとき
　det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x) -2abcde + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)
　= 2 S_3 x^2 + 2 tr(A) x^4,
より
　tr(A) = {det(A+2E) -4det(A+E) +6det(A) -4det(A-E) +det(A-2E)}/(4!)

・6次のとき
　det(A+xE) - det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)
　= 2 S_5 x + 2 S_3 x^3 + 2 tr(A) x^5,
より
　tr(A) = {det(A+3E) -4det(A+2E) +5det(A+E) -5det(A-E) +4det(A-2E) -det(A-3E)}/(2･5!)

・7次のとき
　det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x)(g+x) -2abcdefg + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)(g-x)
　= 2 S_5 x^2 + 2 S_3 x^4 + 2 tr(A) x^6,
より
　tr(A) = {det(A+3E) -6det(A+2E) +15det(A+E) -20det(A) +15det(A-E) -6det(A-2E) +det(A-3E)}/(2･6!)

S_k はk次の基本対称式。 S_1 = tr(A), S_n = det(A),
0410１３２人目の素数さん
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2018/11/25(日) 02:25:52.63ID:AuW29Ma5
>>275 >>384 >>385
A, E はn次の正方行列とする。

・nが奇数のとき
　tr(A) = {1/(n-1)!}Σ[k=0,n-1] (-1)^k C(n-1,k) det{A + (k-(n-1)/2)E},

・nが偶数のとき
　tr(A) = {1/2(n-1)!}Σ[k=0,n] (-1)^k {C(n-1,k)-C(n-1,k-1)} det{A + (k-n/2)E},
　ただし、C(n-1,n) = C(n-1,-1) = 0
0411１３２人目の素数さん
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2018/11/25(日) 02:42:24.60ID:XzUMGiUk
和のとり方を改善してパラメータをとり直した結果、
>>380 の誤差項を O(n^(5/12)･logn) まで改善できたので一応報告
けど予定通り、問題の主張を変えるつもりはなし
0413１３２人目の素数さん
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2018/11/25(日) 14:43:15.35ID:4bOKPxfm
>>412
手助けになればいいけど、下の定理2.1.6を使えば Σ_(k=√n) sin(n/k) = O(n^(1/3)) まで落とせそう
https://spectrum.library.concordia.ca/978881/

Theorem2.1.6 (2nd derivative test)
fは区間[a,b]上で二階連続的微分可能であり、c>1 であって
0<λ≦f''(t)≦cλ (for∀t∈[a,b])
が成り立っているとする。この時、
Σ_(a<k≦b) e^(2πif(k)) = O_c( (b-a)λ^(1/2) + λ^(-1/2) ).□

具体的には m を正の整数（この場合およそ (√n)/(2π) ）として、j=0,1,… に対して a_j = m･2^(-j-1), b_j = a･2^(-j) と定めて、
f(x)=N/x として各区間 [a_j,b_j] に対して定理を適用する訳なんだけど、
この場合 j の値にかかわらず c=8 で一様にとれるから、j=0,1,…,r で足し合わせても同じ implied constant で抑えられる。
あとは r の値をうまく調整すればOK
0414１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/25(日) 18:39:02.79ID:9eLajdTN
>>413
sin 2πn/k はうまくいきました。
でも本丸は∫ a*cos(2πax)/x dxなんですよね～。
こいつがO(1/a)とかならうまくいくし、数値実験てきには成立してそうなんだけどむずい。
やっぱりこりゃノーヒントじゃ無理だ。
>>378さんヒントお願いします。
0415１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/25(日) 21:03:53.65ID:0+5Uplew
１時間に２本の列車があり、8：00　8:45 9:00 9:45　10：00 10:45 ...という風にダイヤが組まれている。
ランダムに駅に行ったときの待ち時間の期待値はいくらか？
0416１３２人目の素数さん
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2018/11/25(日) 21:07:15.08ID:MRMVN18u
>>414
ほい

（補題）h/q (q>0) は既約分数であり、k=1,2,…,q の時実数 r(k) の絶対値は E 以下であるとする。
この時、任意の実数 a について次が成り立つ：
|Σ_(k=0,q-1) ({hk/q + a + r(k)} - 1/2)| ≦ 3qE + 3.
（ただし特にことわらなければ {x} は x の小数部分を表すものとする）
（∵）σ(k) := [q{hk/q + a}] は集合 {0,1,…,q-1} 上の全単射であるから、
ε(k) := {hk/q + a} - σ(k)/q ∈ [0,1/q) とおけば
Σ_(k=0,q-1) {hk/q + a + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {σ(k)/q + ε(k) + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {(k + 1/2)/q + r'(k)}. （σ(k) を k で置き換え。ただし |r'(k)| ≦ E + 1/(2q) ）
ここで、r'(k)=0 (for k=0,1,…,q-1) の時この和が q/2 に等しくなることから、
| Σ_(k=0,q-1) {(k+1/2)/q + r'(k)} - {(k+1/2)/q} | ≦ 3qE+3
を示せばよい。そのためには、区間 [k/q - E, (k+1)/q + E] が関数{x}の不連続点（つまり整数）を通過する k とそうでない k に Σ を分けて、
それぞれを評価すればよい。詳細は略（突然の飽き）□
0417１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/25(日) 22:00:17.82ID:UuPttQIq
>>294
■①^2+④でもP1stは求められる

((n(n+1)/2)-1)^2+｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　

計算知能で①^2+④を入力すると

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48
0423１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 00:47:04.32ID:BZQrI/i+
>>416
ありがとう。
また考えてみます。
Fourier展開みたいな技使ってもダメっぽいね。
コツコツやるしかないのね……
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 01:22:34.01ID:zUO0KBha
東京駅からのぞみ号で朝8時から9時に出発する（9時発も可）。

無作為に選んだ8時台の時間に出発ホームに到着したとすると平均の待ち時間は何分か？

以下が東京8時台発のぞみ号の時刻表である。

8:00 8:10 8:13 8:20 8:23 8:30 8:40 8:47 8:50 9:00
0426イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2018/11/26(月) 03:00:27.06ID:s06YIHN9
(0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0)÷61
=207÷61
=3.39344262
≒3.4(分)
3分24秒
前>>425
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 07:29:11.92ID:zUO0KBha
>>425
Prelude> let tt = [0,10,13,20,23,30,40,47,50,60]
Prelude> let diff = zipWith (-) (tail tt) (init tt)
Prelude> sum (map (\x -> x^2/2) diff) / sum(diff)
3.95
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 08:20:42.11ID:zUO0KBha
>>426
レスありがとうございます。
筆算、乙。
０～６０分を１分ごと、０．１分ごと０．０１分、０．０１分ごとにして計算すると

> mean(ct2wt(seq(0,60,by=1)))
[1] 3.393443
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.1)))
[1] 3.893511
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.01)))
[1] 3.944343
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.001)))
[1] 3.949434

面積計算の値3.95分に収束するようです。

Rのソース
tt=c(0,10,13,20,23,30,40,47,50,60) # time table
ct2wt <- function(x){ # clock time to waiting time
n=length(tt)
if(x<=tt[1]){w8=tt[1]-x
}else{
for(i in 1:(n-1)){
if(tt[i]<=x & x<=tt[i+1]){
w8=(tt[i+1]-x)
break
}
}}
return(w8)
}
ct2wt=Vectorize(ct2wt)
0430１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 15:12:05.01ID:kjzRc5OI
分単位でちょうどの時間に着いた時は
待ち時間なしの確率が1/2になるというわけだな
0431１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 15:40:21.97ID:cCOlyEA2
ある駅のホームの1番線には1時間ごと、2番線には(1/2)時間ごと、3番線には(1/3)時間ごとに電車が来るようにダイヤを組みたい。
ランダムな時間に駅に着いたときの平均待ち時間を最小にするには、どのようにダイヤを組めば良いか。
ただし、何番線の電車に乗っても向かう方向や停車駅に違いは無いとする。
0432１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 16:20:05.15ID:kjzRc5OI
単純に考えて、以下ぐらいしか思いつかない

３番線　00　20　40
２番線　20/3　110/3
１番線　50　
0433１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 16:27:19.74ID:kjzRc5OI
>>432　訂正
最大15分はどうしても開くのかな？

３番線　00　20　40
２番線　05　35
１番線　50　
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 17:05:53.16ID:kjzRc5OI
最小5分50秒　00　10　15　30　45　50　00
最大8分20秒　00　20　30　40　00
0436１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 17:53:39.06ID:yzjtacP4
>>433-434
正解
３番線を00,20,40で固定すれば、対称性から２番線は x,30+x (0≦x≦10) のみを考えればよくて、
x をどうとっても１番線を 50 とするのが最適解（のうちの１つ）であることがわかる。
（より長い空白のど真ん中に入れた方がより平均待ち時間を削減できるから）
0437１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 18:17:18.85ID:mGDYWVbl
いつもの顰蹙のプログラミング解

w8 <- function(xy,Print=FALSE){
x=xy[1];y=xy[2]
if(x<0|x>20|y<0|y>30)return(Inf)
tt=c(0,x,x+20,x+40,y,y+30,60)
tt=sort(tt)
d=diff(tt)
w=sum(d^2/2)/sum(d)
if(Print){
print(tt)
cat(sum(d^2/2),'/',sum(d))
}
return(w)
}
optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead')　# 最小値
> optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead')
$`par`
[1] 9.999003 14.999925

$value
[1] 5.833333

w8(c(10,15),P=T)
> w8(c(10,15),P=T)
[1] 0 10 15 30 45 50 60
350 / 60[1] 5.833333

optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1))　# 最大値
> optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1))
$`par`
[1] 0 0

$value
[1] 8.333333

w8(c(0,0),P=T)
> w8(c(0,0),P=T)
[1] 0 0 0 20 30 40 60
500 / 60[1] 8.333333
0438１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 18:31:44.90ID:mGDYWVbl
細かいことを言えば
１番線　03
２番線　18　48
３番線　13　33　53
でもいいはず。
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 20:08:04.25ID:mGDYWVbl
>>431
４番線は１時間に４本電車が来るとしてプログラムに解かせると

[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 15 45

[[3]]
[1] 10 30 50

[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5

待ち時間の期待値は3.333333
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 20:47:10.08ID:yzjtacP4
>>440
おつ　n(≧2)番線に 60*(2k-1)/2n (k=1,2,…,n) 分に来させれば良いと予想したくなるなｗ ファレイ数列みたいだ
しかしそれだと30分に到着する番線が大量発生して非効率そうだ
0442１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 21:42:27.22ID:mGDYWVbl
>>441
そんなに単純じゃないみたい。

> densha(c(15,10,7.5,6),P=T)
[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 15 45

[[3]]
[1] 10 30 50

[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5

[[5]]
[1] 6 18 30 42 54

155 / 60
[1] 2.583333

よりも、こっちの方が平均待ち時間が少ない。

> densha(c(14,8,6,6),P=T)
[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 14 44

[[3]]
[1] 8 28 48

[[4]]
[1] 6 21 36 51

[[5]]
[1] 6 18 30 42 54

150 / 60
[1] 2.5
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 22:33:06.60ID:mGDYWVbl
>>442
こっちの方がもっと少なかった。
> densha(c(16,12,8,6),P=T)
[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 16 46

[[3]]
[1] 12 32 52

[[4]]
[1] 8 23 38 53

[[5]]
[1] 6 18 30 42 54

148 / 60
[1] 2.466667

プログラムでの最適解はこんな値を返してきた。
> optim(par=30/2:5,densha)
$`par`
[1] 15.967750 11.935738 8.225689 5.999897
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 11:33:32.61ID:b5HUeFcY
至急お願いします

異なる業種間で賃金格差が存在しているかどうかを調査するために、一部上場企業の金融業と製造業から総合職（入社5年目）の社員をそれぞれ100名ずつ無作為抽出したところ、平均賃金は金融業が600万円、製造業が570万円でした。

また、標本標準偏差はどちらも70万円でした。業種間で賃金格差が存在しているどうかを有意水準5％で検定するとき、その結果として正しいものを以下から選びなさい。

A. 金融業の方が賃金が高い

B. 製造業の方が賃金が高い

C. 金融業と製造業に賃金格差があるとは言えない

D. いずれでもない
0445１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 11:35:03.74ID:b5HUeFcY
某テレビ局のプロデューサーX氏は製作番組の視聴率の目標を20％と想定していました。500世帯を対象に調査をしたところ、平均視聴率は15%でした。X氏の製作番組は目標視聴率20％を達成したかどうかを有意水準5％で検定します。

真の視聴率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。

A. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を採択

B. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を採択

C. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を棄却

D. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を棄却

E. いずれでもない

サイコロを300回投げたところ、そのうち60回で1が出ました。このサイコロに歪みがないかを有意水準5%で検定します。

サイコロを1回投げたとき1が出る確率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。

A. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を棄却

B. 帰無仮説p>1/6、対立仮説p=1/6、帰無仮説を棄却

C. 帰無仮説p<1/6、対立仮説p>1/6、帰無仮説を採択

D. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を採択

E. いずれでもない
0447１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 14:19:17.27ID:Lp6axtvL
>>444
> T.test=function(n1,n2,m1,m2,sd1,sd2){
+ SE12=sqrt((1/n1+1/n2)*((n1-1)*sd1^2+(n2-1)*sd2^2)/((n1-1)+(n2-1)))
+ T=(m1-m2)/SE12
+ 2*pt(abs(T),n1-1+n2-1,lower.tail = FALSE)
+
+ }
> T.test(100,100,600,570,70,70)
[1] 0.002767864
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 14:22:23.16ID:Lp6axtvL
>>444
> kinyu=scale(rnorm(100))*70+600
> seizo=scale(rnorm(100))*70+570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE)

Two Sample t-test

data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.002768
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
10.47802 49.52198
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570

> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE,alt='greater')

Two Sample t-test

data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.001384
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
13.64024 Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570

答は　A
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 14:26:13.78ID:Lp6axtvL
>>445
前半
> binom.test(0.15*500,500,0.20,alternative = 'less')

Exact binomial test

data: 0.15 * 500 and 500
number of successes = 75, number of trials = 500, p-value = 0.002383
alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.2
95 percent confidence interval:
0.0000000 0.1788032
sample estimates:
probability of success
0.15
答はC
0450１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 14:29:13.62ID:Lp6axtvL
>>445
後半
> binom.test(60,300,1/6)

Exact binomial test

data: 60 and 300
number of successes = 60, number of trials = 300, p-value = 0.1216
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1666667
95 percent confidence interval:
0.1562313 0.2498044
sample estimates:
probability of success
0.2
帰無仮説は棄却できない。

帰無仮説を不採択だから、答はE
　
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