分からない問題はここに書いてね448

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 23:34:13.76

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね447
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537106483/

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 15:50:03.48

>>789
初めて聞く言葉なので興味が湧いて
https://logics-of-blue.com/information-theory-basic/
を読んでみた。

# https://logics-of-blue.com/information-theory-basic/
"予想がつかない→不確実性（情報エントロピー）が大きい→平均情報量も大きい"
ent <- function(x){ # 情報エントロピー（平均情報量）
x=x/sum(x)
entropy=0
for(i in x) entropy=entropy+i*(-log2(i))
return(entropy)
}
ent(c(30/50,20/50)) # gender
ent(c((18+2)/50,(50-18-2)/50)) # glass

"各々の確率分布の情報量の差分の期待値をとります
確率分布が異なっていれば、情報量があるとみなすのが、
カルバック・ライブラーの情報量です。"
rel_ent <- function(P,Q){ # 相対エントロピー
n=length(P)
if(n!=length(Q)) return(NULL)
P=P/sum(P)
Q=Q/sum(Q)
re=numeric(n)
for(i in 1:n) re[i] = Q[i]*(-log2(P[i])-(-log2(Q[i])))
return(sum(re))
}
#
"相互情報量は不確実性（情報エントロピー）の減少量とみなすことができます"
"
＜問題＞
50人の生徒からなるクラスがある。
そのうち30人は男子、 20人は女子であり、
男子のうち18人、女子のうち2人は眼鏡をかけている仮定とする。
"
30/50*ent(c(18/30,12/30)) + 20/50*ent(c(2/20,18/20))

> 30/50*ent(c(18/30,12/30)) + 20/50*ent(c(2/20,18/20))
[1] 0.7701686

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 16:09:51.32

>>803
Rなしで計算式を書くと

30/50 * ( 18/30*(-log2(18/30))+ 12/30*(-log2(12/30))) + 20/50 * ( 2/20*(-log2( 2/20))+ 18/20*(-log2(18/20)))

括弧を見やすくすると

30/50 * [ 18/30*{-log2(18/30)}+ 12/30*{-log2(12/30)} ] + 20/50 * [ 2/20*{-log2( 2/20)}+ 18/20*{-log2(18/20)} ]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 17:19:46.28

>>442
■P1stを求める

宝一つの時の自陣当たり数

(n(n+1)/2)-1　……①

その中での宝二個の組み合わせ数

((n(n+1)/2)-1)(((n(n+1)/2)-1)-1)/2　……②

最終マスと①との組み合わせ数　　

(n(n+1)/2)-1　……③

自陣の当たりと相手の当たりで自分が勝つ
組み合わせは②と差分の和

差分は1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……

それを表す関数

(4n^3+6n^2-4n-3+3(-1)^n)/48

nが一つずれているのでn-1に補正

｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　……④

計算知能で②x2+③+④を入力すると

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48　……⑤

全n(n+1)マスで宝二個の組合わせ数

n(n+1)｛n(n+1)-1｝/2　……⑥

引き分け数は、n(n+1)-1と同着数の和

同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……

これを表す関数は　｛2n^2-1+(-1)^(n)｝/8　……⑦

n(n+1)-1　……⑧

計算知能で⑦+⑧を入力すると

even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8　……⑨

計算知能で⑥-⑤-⑨を入力すると

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48　

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 17:31:53.36

>>804
Prelude> let entropy x = sum $ map (\i -> -i*(logBase 2 i)) ( map(/sum(x)) x )
Prelude> 30/50 * entropy [18, 12] + 20/50 * entropy [2, 18]
0.7701685941085136

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 21:34:42.04

長さがそれぞれ等しい鋭角36°と鋭角72°の菱形がある。これらを頂点をずらさず隙間なく敷き詰め、正五角形をつくることは可能か。

バカすぎてぜんぜんわからんのでお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 22:01:44.88

>>802
まじすか

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 22:09:33.94

>>808
固有値が-1の5次のJordan cellをJとすると標数5では
J^5=-E=5J-E。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 22:48:36.06

https://i.imgur.com/2HWFTjk.jpg
答えは5πであっていますか？
違っていたら解説お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 11:20:58.52

念のためプロット
>>810
x = 2 e^{t i} + e^{-2t i} (周長比 1:3 から 2項の向きが揃うタイミングが分かる)
r^2 = |x|^2 = 5 + 2e^{3*t i} + 2e^{-3*t i} = 5 + 4 cos(3t)
tanθ := Im{x}/Re{x} = (2s-s2)/(2c+c2)
(dθ/dt) /cosθ^2 = { 2(c-c2)(2c+c2) + 2(s+s2)(2s-s2) }/(2c+c2)^2
(dθ/dt) r^2 = 2 - 2 cos(3t)
( >>410 は θ ≠ t である事を見落としたと思われる)

S = (1/2) ∫ [0→2π]dθ r^2 =(1/2) ∫ [0→2π]dt (dθ/dt) r^2
= (1/2) ∫ [0→2π]dt (2 - 2cos(3t)) = 2π

念のためプロットしてみた
https://i.imgur.com/uCqzGmh.png
まーこんなもんじゃないでしょうか。小円の半径は√2 (面積 2π)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 11:23:28.42

>>801
固有多項式が重根を持たないので最小多項式も重根を持たない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 11:45:09.64

>>801
すまん。一般のn 次だった。
x^5 - 5x +1 は最小多項式で割り切れる。
最小多項式が重根を持たないのは明らかなので対角化可能。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 12:19:20.95

>>813
最小多項式重解持ち得るよん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 13:00:23.76

非分離拡大てのもあったな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 13:05:44.28

>>813
最小多項式で割り切れるのはわかりますが重解を持たないのは言い切れますかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 13:34:26.69

>>816
最小多項式が重根を持てば
f(x) = x^5 - 5x +1 も重根を持つ
⇔ f(x) = 0 , f’(x) = 0 が共通解を持つ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 15:58:55.04

失礼しました。最小多項式ね。固有多項式でなく。
なら大丈夫ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 16:57:03.64

a,b,c,dは実数とする
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、
(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 18:17:27.66

>>811
ありがとうございます。まだまだ勉強が足りてませんでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 19:30:39.22

a,bを非負整数とする。
xの多項式{(1+x)^a}{(1-x)^b}を展開したとき、係数の絶対値が最大となる項の次数をa,bで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:20:13.43

>>811
高校数学の内容だけで解く場合はどうなりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:22:51.64

>>822
ベクトルで解くとr^2=4cos2θ+5となってしまいます。ご教示ください

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:42:27.52

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 22:53:14.06

>>823
(x,y) = 2* (cos(t), sin(t)) + 1* (cos(-2t), sin(-2t))
第１項を公転成分、第２項を自転成分と思ってください.
そして t は "公転角" と同時に "接触点の偏角" であり, "点 P の偏角 θ" ではない事に注意.

【自転角速度が -2 の理由】
周長比 1:3 なので小円は計3回大円の周をナメるわけです.
つまり 1ナメ目の公転角 t=2π/3 でPは大円と2度目の接触をします(t=0 が1度目), このとき自転角は -2*2π/3 の逆回りでと公転角の "方向" と一致するわけです.

【θとt の関係】
tanθ = y/x = (2s - s2)/(2c + c2). この両辺を t で微分 (s,s2 等の略記は省スペースのため)
[左]=(dθ/dt) ( 1 + (tanθ)^2 ) =(dθ/dt)( x^2 + y^2 )/x^2 = (dθ/dt) r^2 / x^2
[右]={ 2(c - c2)(2c + c2) +2(s + s2)(2s - s2) }/x^2 = ( 2 - cos(3t) )/ x^2
∴ (dθ/dt) r^2 = 2 - cos(3t)

【面積S】
微小三角形(面積: (1/2)*r*rΔθ) の極限和を求めればよいので,
S = (1/2) ∫ [θ:0→2π] dθ r^2 = (1/2) ∫ [t:0→2π] dt (dθ/dt) r^2 = (1/2) ∫ [t:0→2π] dt ( 2 - cos(3t) ) = 2π
面積だけ求めたいのなら (x, y) や r^2 を偏角 θ で表す必要は無いのです. (簡単な形にはならない気がする)

(積分の変数変換の辺りが高校数学範囲内なのかは知らない)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 01:46:36.22

2 - cos(3t) のとこは 2 - 2cos(3t) です.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 11:18:44.31

>>819
面白スレの解答は…

f(x) = (x^2 +2ax+b)(x^2 +2cx+d) = x^4 -(8/3)x^3 -2x^2 +8x+1,

(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= (1/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
　= -0.2376189664261441
　< 0,

面白スレ２８-319,321

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 12:08:35.38

Ｑ,　Ａ・Ｂ・Ｃ　三枚のカードが入った箱がある。そこから１枚引き、箱に戻すを６回繰り返す。Ａを引いた時は300点、Ｂは100点、Ｃは0点もらえる。６回繰り返した時の点数の期待値はいくらか。
Ａ・Ｂ・Ｃそれぞれ1/3の確率で引けるとする。

これをできるだけ少ない計算で楽に解く方法ないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 12:25:06.16

>>828
400/3*6じゃだめ？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/19(月) 12:35:56.00

>>828
６回やればA２回B２回が期待できる。
300×2+100×2=800(点)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 13:09:50.61

>>829-830
ありがとうございました。
1回だけ引いた場合の期待値×繰り返す回数って計算でいいんですか？
これってカードが4枚や5枚になったり、点数が変わっても同じですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 13:47:01.22

>>827
なるほどそのf(x)の係数になっているのか
だとするとf(x)=0の4つの解が異なる2実解と互いに共役な複素数解であることを使えば
もっと簡単に導けるな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 14:52:44.52

>>831
毎回同じ条件（箱から1枚引いては戻す）場合はそう。「反復試行」と呼び、「二項分布」に従う。高校数Ｂでやるはず。教科書にものってんじゃないかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 15:40:40.10

期待値は高校の指導要領から外れた。
ので高校数学の範囲では期待値求める問題でないし、期待値に関する公式も原則使えない。
どうでもいいですが～♬

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 16:21:43.47

>>834
平均値って期待値じゃないの？
統計でどう教えるんだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 16:32:22.67

　Ａ・Ｂ・Ｃ　三枚のカードが入った各々３枚ずつ計９枚入った箱がある。そこから１枚引き、カードは戻さないを６回繰り返す。Ａを引いた時は300点、Ｂは100点、Ｃは0点もらえる。６回繰り返した時の点数の期待値はいくらか。
Ａ・Ｂ・Ｃそれぞれ1/3の確率で引けるとする。

この方が面白いね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 16:52:04.68

>>836
これも期待値８００でいいかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 16:58:35.81

△ABCで、BC=a、CA=b、∠A=α、∠B=βである。
a<bのとき、以下の不等式が成り立つことを示せ。
(b/a)^2 < (1-cosβ)/(1-cosα) < (β/α)^2

これを平面図形で示せといわれたのですが分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 20:23:46.76

https://i.imgur.com/jChlpB1.jpg
テスト勉強しているのですが2.(3)が分からないのでどなたかご教示下さい

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 21:00:57.16

>>839

原点で不連続である。

ε ∈ (0, 1) とする。

δ を任意の正の実数とする。

P = ((δ/2) * cos(δ/2), (δ/2) * sin(δ/2))

とすると、

原点と点 P の距離は、 δ/2 であり、 δ よりも小さい。

|f(P) - f(0)| = |1 - 0| = 1 > ε

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 22:46:04.32

どのような内積からも導きかれないノルムの例教えてください。証明もお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 22:53:05.97

>>841

James R. Munkres 著『Analysis on Manifolds』のp.9 Exercise 3に例があります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 23:49:42.58

>>819 >>827

(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= - (1/3) [(13+2√11)^{1/3} - (13-2√11)^{1/3}]^2
　= - 0.2376189664261441
　< 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 00:01:57.34

空ではないHの部分集合Aに対してconv(A)=AならばAは凸集合である。の証明が分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 00:24:46.34

conv(A) は Aを含む最小の凸集合である。
conv(A) = A なら A 自体がその凸集合である。
どこに悩む要素があるのか...

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 01:16:32.77

電車の広告で見た中学入試問題かなにか。

「11から20までの整数のうち、連続する自然数の和では表せない
ものをすべてあげなさい。」

うまい解き方あるのかな？奇数が連続する2つの自然数の和に
なることはほとんど自明だから、偶数だけチェックすればいいけど。

自作問題：素数が3つ以上の連続する自然数の和では表せないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 01:30:51.13

>>846
有名どこでは
nがa～bの和なら2n=(b+a)(b-a+1)より2nは2べきでなくnも2べきでない。
逆にnが2べきでないなら2nも2べきでなく2n=xy、x>y、x、yの奇遇がことなるを満たすものがとれてnはa=(x-y+1)/2～
b=(x+y-1)/2の和になるってのがあるね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 01:56:49.65

1+2+3+4+5+6=21を眺めて
20,18,14も候補から外れるな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 01:57:58.56

>>848
14は残るか

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 02:00:01.05

>>849
2+3+4+5=14
3+4+5=12

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 02:15:45.54

2×20=5×8
(8+5-1)/2=6
(8-5+1)/2=2
20=2+3+4+5+6

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 02:19:02.24

すまん。外すのは表せない数のリストからね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 02:36:58.55

リストアップなら10まで考えないとダメだね。

1～:3 6 10 15 21 28 35 45 55
2～: 5 9 14 20 27 34 44 54
3～: 7 12 18 25 32 42 52
4～: 9 15 22 29 39 49
5～: 11 18 25 35 45
6～: 13 20 30 40
7～: 14 24 34
8～: 17 27
9～: 19

出てこないのは1,2,4,8,16。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 05:23:26.76

2個以上の連続した自然数の和Sは、
その個数が奇数の場合、個数をa、真ん中の数をbとしてS=abと表され、
個数が偶数の場合、個数を2b、真ん中の2つの数の和をaとしてS=abと表される。
いずれの場合もaは3以上の奇数。よって、Sは必ず3以上の奇数を約数として持つ。
（すなわち、2以外の素因数を持つ）
逆に、Sが3以上の奇数の約数aを持っていれば、S=abと分解した上で、
そのa,bを用いて上記2通りのアプローチで少なくとも連続した2個以上の
「整数」の和で表すことができる。
そして、それが2個以上の「自然数」の和となる条件を調べると、
２つのアプローチの片方が必ず実現可能であることがわかる。

よって、Sが2個以上の連続した自然数の和で表されるための必要十分条件は
Sが2以外の素因数を持つこと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 10:58:41.74

ホモロジー群が同型だがホモトピー型が異なる幾何学的実現をもつ単体的複体の例を教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 12:23:34.89

>>852
１６だけが表せないでいいのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 14:19:05.96

(X,O)を位相空間
opをこの空間の開核作用素
clをこの空間の閉包作用素
とし、op,clをP(X)からP(X)への写像とみなす。(P(X)はXの巾集合)

この写像の合成についてなりたつ式って何でしたっけ？

op･ｃｌ･op = op だったっけ？
op･cl･op･cl = op･cl だったっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 15:02:39.87

>>857
上はダメ
反例R＼{0}わ。
下は言える。
閉集合 F に対し ici F= i F が言えれば良い。
ci F ⊂ F ゆえ ici F ⊂ i F。
i F ⊂ ci F ゆえ i F ⊂ ici F。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 15:28:01.44

サンクス
じゃあ同様の議論で
cl･op･cl･op = cl･op も言えそうだな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 16:21:12.13

F(x)=∫(x→x+1)te^(-|t|)dtについて、xがすべての実数を動くとき、F(x)が最大および最小となるxの値をそれぞれ求めよ。
詳しい解答解説お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 17:38:53.17

積分記号化の微分じゃねーの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 18:43:21.18

>>860
絶対値外して部分積分
そんなこともできないのかゴミ野郎w

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 19:01:12.87

>>860

x≦-1 のとき
　F(x) = exp(x){(e-1)x +1} < 0,

x≧0 のとき
　F(x) = exp(-x-1){(e-1)x +(e-2)} > 0,

-1≦x≦0 のとき
　F(x) = ∫[x,0] t･exp(t) dt + ∫[0,x+1] t･exp(-t) dt
　　= {(1-x)exp(x) - 1} + {1 - (2+x)exp(-x-1)}
　　= (1-x)exp(x) - (2+x)exp(-x-1),
F(-1/2) = 0,
点(-1/2，0) について対称

F '(x) = (x+1)exp(-|x+1|) - x･exp(-|x|) = 0,
より
　x = -e/(e-1) で最小　{ F(x) = -(e-1)exp(-e/(e-1)) }
　x = 1/(e-1) で最大　{ F(x) = (e-1)exp(-e/(e-1)) }

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 20:26:18.91

>>863
ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 20:27:59.99

>>862
ゴミですいません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 20:35:09.19

距離空間(X, d)について質問です。
A, B⊂Xについて
δ(A∪B)≦d(A, B)+δ(A)+δ(B)
であることの証明が考えつきません。
どなたかお教えいただければ幸いです。

なお、A, B⊂Xに対して
δ(A)=sup{d(x, y)|x, y∈A}
d(A, B)=inf{d(x, y)|x∈A, y∈B}

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 20:37:12.20

距離空間(X, d)について質問です。
A, B⊂Xについて
δ(A∪B)≦d(A, B)+δ(A)+δ(B)
であることの証明が考えつきません。
どなたかお教えいただければ幸いです。

なお、A, B⊂Xに対して
δ(A)=sup{d(x, y)|x, y∈A}
d(A, B)=inf{d(x, y)|x∈A, y∈B}

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 21:28:28.76

>>847
ひぇー、即答ですね。確かにその通りですね。恐れ入りました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 21:32:04.03

>>867
a_1∈A, b_1∈B s.t. δ(A∪B) = d(a_1, b_1)
a_0∈A, b_0∈B s.t. d(A, B) = d(a_0, b_0)
となっているとする。

三角不等式より
d(A∪B) = d(a_1, b_1) ≦ d(a_1, a_0) + d(a0, b_1)
≦ d(a_1, a_0) + d(a_0, b_0) + d(b_0, b1)
≦ δ(A) + d(A, B) + δ(B)
（最後の不等号はδの定義より）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 21:35:14.21

>>854
これまたお見事ですね。
初等的に導かれて面白い問題ですが、知る人ぞ知る問題なのかな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 21:40:16.97

>>867
a_1∈A, b_1∈B s.t. δ(A∪B) = d(a_1, b_1)
a_0∈A, b_0∈B s.t. d(A, B) = d(a_0, b_0)
となっているとする。

三角不等式より
d(A∪B) = d(a_1, b_1) ≦ d(a_1, a_0) + d(a_0, b_1)
≦ d(a_1, a_0) + d(a_0, b_0) + d(b_0, b_1)
≦ δ(A) + d(A, B) + δ(B)
（最後の不等号はδの定義より）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 22:12:06.22

>>867
A, Bが開集合ならa_i∈A, b_j∈Bとするとまずい。
sup, infなので。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 22:39:28.20

>>872
δ(A∪B)=d(a_1, b_1)
d(A, B)=d(a_0, b_0)
となるa_0, a_1∈A, b_0, b_1∈Bの存在があやふやですよね。
これでは証明になっていないと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 23:21:59.46

>>873
存在があやふやだと？どこまで自分の頭で考えたんだ？
A, Bが開のときは、それらは、 Xに対するA, Bの補集合の元。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 23:33:59.25

問題というか質問なんですが
統計学でt検定ってデータでいうと1変数じゃないですか？
n変数(次元)のデータに対して各クラスに有意差があるないってどういうふうに検定したらいいですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 23:40:40.99

>>874
つまりA, Bの元でないこともあるってことですよね笑

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 00:28:15.76

>>867
d(A,B)の定義より
∀(ε＞0) ∃(x'∈A, y'∈B) d(x', y') < d(A,B) + ε
(1)∀(x∈A, y∈B) d(x,y)≦ d(x,x')+d(x',y')+d(y',y) < δ(A)+δ(B)+d(A, B) + ε

δ(A),δ(B)の定義より
(2)∀(x,y ∈A) d(x,y)≦ δ(A) ≦ δ(A)+δ(B)+d(A, B)
(3)∀(x,y ∈B) d(x,y)≦ δ(B) ≦ δ(A)+δ(B)+d(A, B)

(1)-(3)より
(4)∀(x,y ∈A∪B) d(x,y) < δ(A)+δ(B)+d(A, B) + ε

δ(A∪B) の定義より
(5) ∀(ε'＞0) ∃(x'',y'' ∈A∪B) δ(A∪B) - ε' < d(x'',y'')

(4),(5)より
∀(ε, ε'＞0) δ(A∪B) - ε' < δ(A)+δ(B)+d(A, B) + ε
∴ δ(A∪B) ≦ δ(A)+δ(B)+d(A, B)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 02:13:33.11

>>838

(左)
AB = c とおく。
第二余弦定理より
　1-cosα = {aa-(b-c)^2} /2bc = (a-b+c)(a+b-c)/2bc,
　1-cosβ = {bb-(c-a)^2} /2ac = (b+c-a)(a+b-c)/2ac,
より
aa(1-cosβ) - bb(1-cosα)
= aa{1 - (cc+aa-bb)/2ac} - bb{1 - (bb+cc-aa)/2bc}
= {a(b+c-a) - b(a-b+c)}(a+b-c) /2c
= (b-a)(a+b-c)^2 /2c
> 0,　　　(←　b-a>0)
また、
1-cosβ > 1-cosα,
cosβ < cosα,
β > α,

(右)
sin(x) は 0<x<π で上に凸だから
　sin(α/2) > (1-α/β)sin(0) + (α/β)sin(β/2) = (α/β)sin(β/2),

(1-cosβ)/(1-cosα) = {sin(β/2)/sin(α/2)}^2 < (β/α)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 02:31:11.27

この問題解いてください！
緊急です。
ほんとお願いします。
https://i.imgur.com/X8VmzMu.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 08:42:53.92

>>877
昨日この質問をした者です。
納得できました。
本当にありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 10:47:51.23

>>855
お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 12:41:11.97

>>838 >>878

　0 < (b-a)/2R　　　(← 題意)
　= sinβ - sinα　　　(← 正弦定理)
　= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2)　　(← 和積公式)
ここで 0 < (α+β)/2 < π/2 だから
　sin((β-α)/2) > 0,
　β > α,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 13:14:07.84

>>881
非自明な結び目(e.g. trefoil knot)の管状近傍を用意してS^3からくり抜いたものをMとおく。
∂M上のループlでそのMでのホモロジー類が0であるものをとる。
lとちょうど一個共有点を持つループをmとおく。
整数i(i≠0)を選びホモロジー類がm+|iであるループxを選ぶ。
xの帯状近傍に沿ってD^2×Iの側面∂D^2×Iを貼り付けたものをNとおく。
∂NはS^2なのでここにS^3を貼り付けたものをXとおく。
Xはホモロジー3球面になる。
証明はXの基本群をVan Kampen's theoremで計算する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 14:17:38.60

切除性だっけ？。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 16:09:10.44

a^2+b^2=n
a^3+b^3=m

の時aとbを求めなさい

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 16:12:09.93

この問題簡単そうでかなり計算が手こずり、ab
の 4次方程式と三次方程式の連立方程式になり、最終的に二次方程式として解けるようなのですが、うまくいきませんどなたかご教授お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 16:22:15.71

a=b=n=m
そもそも実数だか整数だかの条件が無い

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 16:25:20.21

自然数を添え字とする開集合列(A_{n,m})に対して、
∪_n ∩_m A_(n,m) は開集合となるか？

よろしくお願いします。
(個人的には上手な足し合わせによって開集合になりそうな気がするんだけどな)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 16:41:07.40

>>888
は成り立たないね

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 16:44:07.31

すいませんa,b,m,nともに複素数です

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 17:16:31.00

何のヒントにもなってない。4数とも実部虚部ともにゼロではない、とかの意味か?

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 17:18:18.32

clを閉包作用素、
(Un),(Vm)は自然数n,mを添え字とする開集合の列
とする時、

∪_n Un ＼ ∪_m cl(Vm)
∪_m Vm ＼ ∪_n cl(Un)

は適切な和の取り方によって同時に開集合と出来ますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 17:57:52.46

すいませんa,b,をm,nの式で表せだったら大丈夫でしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 18:00:34.40

>>885
(1) a^2+b^2= (a+b)^2 - 2ab = n
(2) a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3(a+b)ab = m
より ab を消去
(a+b)^3 - 3(a+b)((a+b)^2 - n)/2 = m
∴ (a+b)^3 - 3n(a+b) + 2m = 0
これを (a+b)についての３次方程式として解き, (1) から ab の値を得る.
後は２次方程式 x^2 - (a+b)x + ab = 0 を解けば (a, b) が求まる.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 18:05:49.91

>>885
常套的な方法で、対称式　x=a+b、y=ab とおいてx、y の連立方程式を導き、それから2次方程式を解く、かな？

具体的には
a^2+b^2=n から　x^2-2y=n
a^3+b^3=m から　x(n-y)=m　
この2式から y を消せば x の3次方程式 x^3-3nx+2m=0 が得られるので、それを解けばよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 18:07:02.75

被った。
忘れてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 19:29:19.08

ヤンミルズ方程式と質量ギャップ問題ってどうやって解けば良いの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 22:36:54.36

Wolframに入れたかが答が理解できなかった

Solve[{a^2+b^2==n,a^3+b^3==m},{a,b}]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 23:34:48.67

>>894 >>895

(a+b)^3 -3n(a+b) +2m = 0,
の根は
a+b = 2(√n)cosθ,
ここに cos(3θ) = -m/{n^(3/2)}

(*) 本問では　n^3 - mm = (3aa-2ab+3bb)(ab)^2 > 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 23:53:56.46

> a+b = 2(√n)cosθ,
> ここに cos(3θ) = -m/{n^(3/2)}
>
a bは複素数らしいけどね。
まぁだからcosθの値域についてますます気にする必要ないんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 00:28:24.19

>>898
https://i.imgur.com/VUu8EPe.jpg
答えに出てくる
Root[f, i] は方程式fのi次の根、f(x)=0のi番めの解を意味している。
で、& は無名の関数を作る記号で #1 ってのは関数の1番めの引数
(この文中の「#」は#じゃないけど#みたいな記号の意)

つまり Root[2#1^6-3#1^4n-2#1^3m+3#1^2n^2+m^2-n^3 &,1] は
方程式 2x^6 -3x^4n-2x^3m+3x^2n^2+m^2-n^3=0 の1番めの解

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 00:29:04.07

方程式じゃなく「関数」fの根、か。