分からない問題はここに書いてね448

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 23:34:13.76

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね447
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537106483/

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 20:48:48.15

問題②
2人が自転車に乗って走っている。その速さの比は11:8である。この2人が周囲480mの円形の池の同じ地点から同時に同方向にスタートしてまわるとき、速い人は遅い人を4分ごとに追い越す。2人の毎分の速さを求めよ

答え 440m. 320m. 同じく過程式が知りたいです。

よろしくお願いします

a=11u m/min
b=8u m/min
とおいて
480/4=(11-8)u
u=40

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 20:55:52.19

>735のような問題を特殊訓練や数式なしで解ける小学生は凄いといつも思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 21:18:48.70

>>736
Aが一日で片づける仕事を３０とすると１０日で３００
Bが一日で片づける仕事は２０
Cが一日で片づける仕事は１５となる

三人がフルで６日間働くと

（３０＋２０＋１５）ｘ６＝６５ｘ６＝３９０の仕事量

『この仕事』の仕事量はAの１０日分で３００

本来３９０できたはずの仕事が３００しかできなかったので
差分は９０

Aが休んだ日数は

９０／３０＝３で三日間となる

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 21:42:27.47

3次関数f(x)はf(-1),f(1),f(2018)のいずれも整数値をとる。
任意の整数nに対してf(n)は整数か。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 21:43:32.00

>>736-739

素早い回答ありがとうございます。すごく助かります！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 21:45:29.01

（1）半径1の円周上に長さ√2と長さ√3の弦を取ったとき、その弦に対する中心角をそれぞれ求めよ。答えのみでよい。
（2）√2+√3とπの大小を比較せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 22:08:43.38

(x+1)(x-1)(x-2018)/100000

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 22:17:57.30

ax^2 + b^x + c = 0 ･･･①
Ax^2 + B^x + C = 0 ･･･②

R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)

①、②が実数係数の2次方程式でいずれも2実数解をもつとする。①の2解はα、β；②の2解はγ、δ。
このとき、

R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)

を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 22:21:03.26

>>744　一部訂正
2実数解→異なる実数解

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 23:10:48.23

再度訂正

ax^2 + bx + c = 0 ･･･①
Ax^2 + Bx + C = 0 ･･･②

R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)

①、②が実数係数の2次方程式でいずれも異なる2実数解をもつとする。①の2解はα、β。②の2解はγ、δ。
このとき、

R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)

を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 02:14:07.59

a,b,c,A,B,C の単位が [U] のとき
α～δは無次元、
(aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)は[U^2]、
a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C)、A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)は[U^4]。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 03:37:51.95

>>742
(1)　90ﾟ，120ﾟ
(2)　√2 + √3 > π,

あ、こっちは答だけぢゃねぇのか。
　θ = 15ﾟ = 60ﾟ - 45ﾟ = 45ﾟ - 30ﾟ,
から加法公式により
　sin(15ﾟ) = (√6 - √2)/4,
　tan(15ﾟ) = 2 - √3,
が求まる。これらを Snellius-Huygens の式
　2sinθ + tanθ > 3θ,
に入れると
　(√6 - √2)/2 + (2 - √3) > π/4,
よって
　√2 + √3 > 2(√6 - √2) + 4(2 - √3) > π,

(*)　(√2 + √3) - 2(√6 - √2) - 4(2 - √3)
　　= (1/4)(√2 - 1)^2･(√3 - 1)^4･(√3 - √2)
　　> 0,

不等式スレ９ - 761 (3), 762

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 03:55:27.18

>>746
くだらない問題
計算がちょっと長いだけだった

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 14:40:44.23

　ＡＢＣ
　ＡＣＢ
　ＢＡＣ
　ＢＣＡ
＋ＣＡＢ
--------
３１２３

Ａ，Ｂ，Ｃは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 15:18:09.65

コピペ荒らしは、頭が伝説のわかめちゃん

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 15:21:55.76

オックスフォード大学に入学して数学を専攻したい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 15:56:21.46

G をグラフとする。
M^* を G の最大マッチングとする。
M を G のマッチングとする。

このとき、 G には、 M に関する、点を共有しない |M^*| - |M| 個の単純な増加パスが存在することを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 16:09:02.25

この積分が解けません…途中計算を教えてもらえないでしょうか？

ざっとググった感じarcsinがでてくるらしいのですができればarcsin使う方向でお願いしたいです

https://i.imgur.com/PRH9wUj.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 16:24:42.16

すみません！解決しました！
ご協力ありがとうございます！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 16:32:55.50

∫ sqrt( (1 - x) / (1 + x) ) dx = ∫ (1 - x) * sqrt( 1 / (1 - x^2) ) dx

= ∫ (1 - x) * (arcsin(x))' dx

=

(1 - x) * arcsin(x) + ∫ arcsinx dx

=

(1 - x) * arcsin(x) + x * arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)

= arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 17:15:32.83

>>750
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..9],b<-[1..9],c<-[1..9], (a+a+b+b+c)*100+(b+c+a+c+a)*10+(c+b+c+a+b)==3123]
[(3,7,8)]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 18:30:52.41

>>750
（A,B,C)＝（3,7,8）
Ａ，Ｂ，Ｃが１桁の整数とは一言も書いてないけどな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 19:22:58.85

>>757
俺には配列の演算が配列の要素通しの演算になるRが使い勝手がいいな。
（）で目がチカチカするがｗ

for(A in 1:9){
for(B in 1:9){
for(C in 1:9){
if (sum((c(A,B,C)+c(A,C,B)+c(B,A,C)+c(B,C,A)+c(C,A,B))*c(100,10,1)) == 3123)
print(c(A,B,C))
}
}
}

[1] 3 7 8

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 19:30:39.32

aを実数の定数とする。連立方程式　x+ay=1,(2a+2)x-y=2a+6を満たす整数x,yが存在するとき、aの値を求めよ。
わかる方詳しい解説お願いします😭✨

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 20:01:01.26

G をグラフとする。
M^* を G の最大マッチングとする。
M を G のマッチングとする。

このとき、 G には、 M に関する、点を共有しない |M^*| - |M| 個の単純な増加パスが存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 20:12:04.90

>>760
x=1-ay
(2a+2)(1-ay)-y=2a+6
(-2a^2-2a-1)y=4
-2(a-1/2)^2-1/2<0
(-2a^2-2a-1, y)=(-1,-4),(-2,-2),(-4,1)
(a,x,y)=(-1,5,4),(0,1,4)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 21:22:03.00

>>756
ありがとうございます！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 21:52:27.96

>>762
それだと(a,x,y)=(-1/2,-3,-8)のようなaが分数の場合が考慮されてないです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 21:53:49.07

誰かわかる方お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 22:13:27.56

下記の問題を素早く簡単に解く方法を教えてください。

問題①
2、7、15、26、40、( )

問題②
1、2、5、10、( )、26

答えは①57 ②17 です。よろしくおねがいします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 22:25:39.48

>>766
すいません、自己解決しました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 02:41:06.89

>>705
x = √( W( 2e^{2y} )/2 )

これはyに後は数値を代入して計算ソフトなどで計算するだけでしょうか？
ランベルトのW関数についていろいろ調べたのですが数値を出す例がほとんどでした
W( 2e^{2y} )をランベルトのW関数使わずにyの関数で表す方法はないのでしょうか？
例えばW( ye^y ) = y のように

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 06:07:14.13

ランベルトのW関数f(x)について、定積分
∫[0→a] f(x) dx
を求めよ。aは正の実数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 06:15:27.93

nを3以上の整数、kを1≦k≦n-1を満たす整数とする。
赤玉がn個と青玉がn-k個あり、これらをでたらめに左から右に横一列に並べる。
このとき
「ある連続する4つの玉からなる部分で、左から『赤赤赤青』となっている部分が存在する」
ような確率をn,kで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 08:05:25.14

代数学初学者です

Zは整数全体
50∈Z が単位元となるZ上の群構造はあるか調べよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 12:23:48.87

>>769
∫[0→a] f(x) dx = a W(a) - ∫[0, W(a)] x e^x dx
= aW - [ x e^x - e^x ]{0,W}
= a W - W e^W + e^W - 1
= a( W(a) + 1/W(a) - 1) - 1

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 13:40:10.11

袋の中に赤玉a個、青玉b個、白玉c個が入っている。ただしa,bは自然数である。
袋から玉を無作為に取り出す操作を繰り返す。取り出した玉は袋に戻さない。
袋の中の玉で、一番はじめに赤玉がなくなった場合「勝利」とし、同様に青玉がなくなった場合「敗北」とする。
また袋の中に赤玉も青玉も残っている状態で白玉を取り出した場合、操作を終了し「引き分け」とする。

（1）c=0のとき、勝利する確率を求めよ。

（2）c=1のとき、勝利する確率を求めよ。また（1）で求めた確率との大小を比較せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 13:45:21.49

P(赤勝利) = 1-a/(a+b)-a/(a+c)+a/(a+b+c)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 14:57:27.83

>>766
次項から自項を引く
①　５、８、１１、１４、（１７）　だから３づつ増えている
②　１、３、５、（７）、９　だから奇数の列が隠れている

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 15:46:22.87

x=(2a^2+6a+1)/(2a^2+2a+1)=1+4a/(2a^2+2a+1),
y=-4/(2a^2+2a+1)
よりaが有理数であることに注意してx,yが共に整数となるようなaを探せばいい

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 17:08:13.99

>>776
それ以上、条件が絞れないんですか？
その場合どういうふうに探せばいいんですか？
aが分数もありえるので

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 18:59:15.12

>>777
解決しました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 19:46:42.57

まだ宝だプログラムだだので荒らし継続してんのかよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 20:18:43.86

プログラムが一概に悪いとは限らないが、
すぐ総当たり法に頼って「解けたぞ！」は、さすがに違うだろ...と思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 21:58:19.32

定価の2割引で売っても、原価の1割2分の利益があるように定価をつけたい。定価をつけるときの利益率は何%にすればよいか？

答え40%です。ちと問題の意味がわかりません。過程式をよろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/16(金) 22:02:41.77

0.8x = 1.12
x = (5/4) * 1.12

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 01:14:28.19

高校の問題で恥ずかしい
〔問題文〕
AB＝AC=ADである四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をEとし、点Aから底面BCDに垂線AHを引く。
このとき、点Hは△BCDの外心であることを「三垂線の定理」を用いて証明せよ。〔以上〕

だそうです。よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 01:29:46.81

>>783
△ABH ≡ △ACH ≡ △ADH。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 01:34:30.45

>>784
三垂線の定理の使いどころがわからない
どこで使うのこれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 01:38:38.02

>>785
わがんね

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 01:38:41.23

>>783
E　はどう使うの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 01:48:40.92

>>786
全くわからんね
>>787
多分三垂線の定理を適応させるために用意したものかな？？
https://i.imgur.com/LGcBsow.jpg
手書きですまんが

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 01:54:23.54

情報理論の問題です。（１）は解けるのですが、（２）でつまずいています...

＜問題＞
50人の生徒からなるクラスがある。
そのうち30人は男子、20人は女子であり、男子のうち18人、女子のうち2人は眼鏡をかけている仮定とする。

（１）男女の別、眼鏡の有無のそれぞれが持つ平均自己相互量を求めよ。
（２）男女の性別が判っているという条件のもとで、眼鏡の有無が持つ条件付き自己情報量を求めよ。

答えは、
（１）H(X) = 0.97ビット, H(Y) = 0.97ビット
（２）H(Y|X) = 0.77ビット
となっております。

得意な方がいましたら、（２）の答えを出すまでの計算過程を教えていただきたいです。
よろしくお願い致します。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 06:44:42.66

>>789
単純に -(18/30)log2(18/30)-(2/20)log2-(2/20) ちゃう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 09:19:27.79

>>783

題意より AB = AC
∴ ΔABCは2等辺Δ
∴ Aから底辺BCに下した水栓は中点Eで交わる。
散水栓の定理より、Hから辺BCに下した水栓も中点Eで交わる。
∴ ΔHBCも2等辺Δ
∴ HB = HC
同様にして
　HB = HC = HD
3点B,C,Dは点Hを中心とする円周上にある。
点Hは△BCDの外心である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 09:47:48.49

断熱変化におけるポアソンの式の導出 | 高校数学の美しい物語
https://mathtrain.jp/hinetsuhi

高校生なのですが、これで分からないところがあるのですが（純粋に数学的操作なのでここで質問させていただきます）

https://i.imgur.com/yWbiiCK.png

これの「両辺で積分」とありますが、何を変数として積分しているのでしょうか？
P,V,Tの微小変化量を⊿P、⊿V、⊿Tとする、というところからのみ話を勧めてて謎なのですが

まさか何で積分してもよいということはないですよね？時間とかですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 10:00:56.02

Δ→dとして∫つければわかりますかね

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 10:01:53.34

>>792
⊿じゃなくて、dで考えると
dP/P + γdV/V = 0
両辺に積分記号をくっつけて（積分して）
∫1/P dP + γ∫1/V dV = 0
以下略
気になるなら右辺はＣでも。

簡単な微分方程式の本（昔の高校教科書レベル）を読むとわかりやすいかも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 10:39:00.66

>>792
気持ちが悪ければΔVで割り算して、Ｖに関して積分すれば
ええんでない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 11:04:51.45

>>794
あ、それぞれ別の変数で積分してよいのですか。
難しい……

>>795
これは試してみて納得しました。難しいですね……
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 12:54:00.17

>>796
なんでもいいんだけど例えば V=V(T) と置いて置換積分
∫ 1/V(T) dt
= ∫ 1/V(T) V'(T) dT
= ∫ 1/V (dV/dT) dT
= ∫ 1/V dV

Pも同様

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 12:57:18.17

>>796
変数の間に関係が成り立つから、実は別の変数ではないんだよなあ
でもどんなパラメータで媒介変数表示しても、結局置換積分でパラメータは見えなくなるから
別々の変数で積分したような見た目になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 13:21:46.95

>>796
変数で積分してるんじゃないよ

細かい議論はすっ飛ばして言えば
辺々を順番に足し合わせていくことで

Σ(⊿P/P + γ⊿/V) = Σ0
で、⊿→d　になるように極限をとれば、（細かい議論を吹っ飛ばして）
∫記号に変わるってこと。

∫f(x)dxはf(x)をxで積分してるんじゃなくて、f(x)dx を範囲の分だけ足し合わせてる感覚。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 13:32:05.34

>>791
お見事
勉強してきます😭

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 14:01:59.85

A:n次行列
A^5 -5A+E=0となるときAは対角化可能であることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 14:15:29.13

標数5なら成立しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 15:50:03.48

>>789
初めて聞く言葉なので興味が湧いて
https://logics-of-blue.com/information-theory-basic/
を読んでみた。

# https://logics-of-blue.com/information-theory-basic/
"予想がつかない→不確実性（情報エントロピー）が大きい→平均情報量も大きい"
ent <- function(x){ # 情報エントロピー（平均情報量）
x=x/sum(x)
entropy=0
for(i in x) entropy=entropy+i*(-log2(i))
return(entropy)
}
ent(c(30/50,20/50)) # gender
ent(c((18+2)/50,(50-18-2)/50)) # glass

"各々の確率分布の情報量の差分の期待値をとります
確率分布が異なっていれば、情報量があるとみなすのが、
カルバック・ライブラーの情報量です。"
rel_ent <- function(P,Q){ # 相対エントロピー
n=length(P)
if(n!=length(Q)) return(NULL)
P=P/sum(P)
Q=Q/sum(Q)
re=numeric(n)
for(i in 1:n) re[i] = Q[i]*(-log2(P[i])-(-log2(Q[i])))
return(sum(re))
}
#
"相互情報量は不確実性（情報エントロピー）の減少量とみなすことができます"
"
＜問題＞
50人の生徒からなるクラスがある。
そのうち30人は男子、 20人は女子であり、
男子のうち18人、女子のうち2人は眼鏡をかけている仮定とする。
"
30/50*ent(c(18/30,12/30)) + 20/50*ent(c(2/20,18/20))

> 30/50*ent(c(18/30,12/30)) + 20/50*ent(c(2/20,18/20))
[1] 0.7701686

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 16:09:51.32

>>803
Rなしで計算式を書くと

30/50 * ( 18/30*(-log2(18/30))+ 12/30*(-log2(12/30))) + 20/50 * ( 2/20*(-log2( 2/20))+ 18/20*(-log2(18/20)))

括弧を見やすくすると

30/50 * [ 18/30*{-log2(18/30)}+ 12/30*{-log2(12/30)} ] + 20/50 * [ 2/20*{-log2( 2/20)}+ 18/20*{-log2(18/20)} ]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 17:19:46.28

>>442
■P1stを求める

宝一つの時の自陣当たり数

(n(n+1)/2)-1　……①

その中での宝二個の組み合わせ数

((n(n+1)/2)-1)(((n(n+1)/2)-1)-1)/2　……②

最終マスと①との組み合わせ数　　

(n(n+1)/2)-1　……③

自陣の当たりと相手の当たりで自分が勝つ
組み合わせは②と差分の和

差分は1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……

それを表す関数

(4n^3+6n^2-4n-3+3(-1)^n)/48

nが一つずれているのでn-1に補正

｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　……④

計算知能で②x2+③+④を入力すると

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48　……⑤

全n(n+1)マスで宝二個の組合わせ数

n(n+1)｛n(n+1)-1｝/2　……⑥

引き分け数は、n(n+1)-1と同着数の和

同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……

これを表す関数は　｛2n^2-1+(-1)^(n)｝/8　……⑦

n(n+1)-1　……⑧

計算知能で⑦+⑧を入力すると

even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8　……⑨

計算知能で⑥-⑤-⑨を入力すると

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48　

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 17:31:53.36

>>804
Prelude> let entropy x = sum $ map (\i -> -i*(logBase 2 i)) ( map(/sum(x)) x )
Prelude> 30/50 * entropy [18, 12] + 20/50 * entropy [2, 18]
0.7701685941085136

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 21:34:42.04

長さがそれぞれ等しい鋭角36°と鋭角72°の菱形がある。これらを頂点をずらさず隙間なく敷き詰め、正五角形をつくることは可能か。

バカすぎてぜんぜんわからんのでお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 22:01:44.88

>>802
まじすか

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 22:09:33.94

>>808
固有値が-1の5次のJordan cellをJとすると標数5では
J^5=-E=5J-E。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 22:48:36.06

https://i.imgur.com/2HWFTjk.jpg
答えは5πであっていますか？
違っていたら解説お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 11:20:58.52

念のためプロット
>>810
x = 2 e^{t i} + e^{-2t i} (周長比 1:3 から 2項の向きが揃うタイミングが分かる)
r^2 = |x|^2 = 5 + 2e^{3*t i} + 2e^{-3*t i} = 5 + 4 cos(3t)
tanθ := Im{x}/Re{x} = (2s-s2)/(2c+c2)
(dθ/dt) /cosθ^2 = { 2(c-c2)(2c+c2) + 2(s+s2)(2s-s2) }/(2c+c2)^2
(dθ/dt) r^2 = 2 - 2 cos(3t)
( >>410 は θ ≠ t である事を見落としたと思われる)

S = (1/2) ∫ [0→2π]dθ r^2 =(1/2) ∫ [0→2π]dt (dθ/dt) r^2
= (1/2) ∫ [0→2π]dt (2 - 2cos(3t)) = 2π

念のためプロットしてみた
https://i.imgur.com/uCqzGmh.png
まーこんなもんじゃないでしょうか。小円の半径は√2 (面積 2π)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 11:23:28.42

>>801
固有多項式が重根を持たないので最小多項式も重根を持たない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 11:45:09.64

>>801
すまん。一般のn 次だった。
x^5 - 5x +1 は最小多項式で割り切れる。
最小多項式が重根を持たないのは明らかなので対角化可能。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 12:19:20.95

>>813
最小多項式重解持ち得るよん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 13:00:23.76

非分離拡大てのもあったな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 13:05:44.28

>>813
最小多項式で割り切れるのはわかりますが重解を持たないのは言い切れますかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 13:34:26.69

>>816
最小多項式が重根を持てば
f(x) = x^5 - 5x +1 も重根を持つ
⇔ f(x) = 0 , f’(x) = 0 が共通解を持つ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 15:58:55.04

失礼しました。最小多項式ね。固有多項式でなく。
なら大丈夫ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 16:57:03.64

a,b,c,dは実数とする
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、
(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 18:17:27.66

>>811
ありがとうございます。まだまだ勉強が足りてませんでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 19:30:39.22

a,bを非負整数とする。
xの多項式{(1+x)^a}{(1-x)^b}を展開したとき、係数の絶対値が最大となる項の次数をa,bで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:20:13.43

>>811
高校数学の内容だけで解く場合はどうなりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:22:51.64

>>822
ベクトルで解くとr^2=4cos2θ+5となってしまいます。ご教示ください

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:42:27.52

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 22:53:14.06

>>823
(x,y) = 2* (cos(t), sin(t)) + 1* (cos(-2t), sin(-2t))
第１項を公転成分、第２項を自転成分と思ってください.
そして t は "公転角" と同時に "接触点の偏角" であり, "点 P の偏角 θ" ではない事に注意.

【自転角速度が -2 の理由】
周長比 1:3 なので小円は計3回大円の周をナメるわけです.
つまり 1ナメ目の公転角 t=2π/3 でPは大円と2度目の接触をします(t=0 が1度目), このとき自転角は -2*2π/3 の逆回りでと公転角の "方向" と一致するわけです.

【θとt の関係】
tanθ = y/x = (2s - s2)/(2c + c2). この両辺を t で微分 (s,s2 等の略記は省スペースのため)
[左]=(dθ/dt) ( 1 + (tanθ)^2 ) =(dθ/dt)( x^2 + y^2 )/x^2 = (dθ/dt) r^2 / x^2
[右]={ 2(c - c2)(2c + c2) +2(s + s2)(2s - s2) }/x^2 = ( 2 - cos(3t) )/ x^2
∴ (dθ/dt) r^2 = 2 - cos(3t)

【面積S】
微小三角形(面積: (1/2)*r*rΔθ) の極限和を求めればよいので,
S = (1/2) ∫ [θ:0→2π] dθ r^2 = (1/2) ∫ [t:0→2π] dt (dθ/dt) r^2 = (1/2) ∫ [t:0→2π] dt ( 2 - cos(3t) ) = 2π
面積だけ求めたいのなら (x, y) や r^2 を偏角 θ で表す必要は無いのです. (簡単な形にはならない気がする)

(積分の変数変換の辺りが高校数学範囲内なのかは知らない)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 01:46:36.22

2 - cos(3t) のとこは 2 - 2cos(3t) です.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 11:18:44.31

>>819
面白スレの解答は…

f(x) = (x^2 +2ax+b)(x^2 +2cx+d) = x^4 -(8/3)x^3 -2x^2 +8x+1,

(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(20/27)^2/(7/6 +f/2)
　= (1/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
　= -0.2376189664261441
　< 0,

面白スレ２８-319,321

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 12:08:35.38

Ｑ,　Ａ・Ｂ・Ｃ　三枚のカードが入った箱がある。そこから１枚引き、箱に戻すを６回繰り返す。Ａを引いた時は300点、Ｂは100点、Ｃは0点もらえる。６回繰り返した時の点数の期待値はいくらか。
Ａ・Ｂ・Ｃそれぞれ1/3の確率で引けるとする。

これをできるだけ少ない計算で楽に解く方法ないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 12:25:06.16

>>828
400/3*6じゃだめ？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/19(月) 12:35:56.00

>>828
６回やればA２回B２回が期待できる。
300×2+100×2=800(点)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 13:09:50.61

>>829-830
ありがとうございました。
1回だけ引いた場合の期待値×繰り返す回数って計算でいいんですか？
これってカードが4枚や5枚になったり、点数が変わっても同じですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 13:47:01.22

>>827
なるほどそのf(x)の係数になっているのか
だとするとf(x)=0の4つの解が異なる2実解と互いに共役な複素数解であることを使えば
もっと簡単に導けるな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 14:52:44.52

>>831
毎回同じ条件（箱から1枚引いては戻す）場合はそう。「反復試行」と呼び、「二項分布」に従う。高校数Ｂでやるはず。教科書にものってんじゃないかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 15:40:40.10

期待値は高校の指導要領から外れた。
ので高校数学の範囲では期待値求める問題でないし、期待値に関する公式も原則使えない。
どうでもいいですが～♬

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 16:21:43.47

>>834
平均値って期待値じゃないの？
統計でどう教えるんだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 16:32:22.67

　Ａ・Ｂ・Ｃ　三枚のカードが入った各々３枚ずつ計９枚入った箱がある。そこから１枚引き、カードは戻さないを６回繰り返す。Ａを引いた時は300点、Ｂは100点、Ｃは0点もらえる。６回繰り返した時の点数の期待値はいくらか。
Ａ・Ｂ・Ｃそれぞれ1/3の確率で引けるとする。

この方が面白いね。