分からない問題はここに書いてね448
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実数aに対して、f(x)=a^xを考える。 f(x)=f'(x)となるようなa(すなわちe)が存在することを中間値の定理を用いて示せ。 半径1の円に内接する正13角形の頂点を、1つの点をA1とし反時計回りにA2,A3,...,A13とおく。 これら13個の点から相異なる2点を無作為に選んで結ぶとき、その線分の長さの期待値Eと1/2の大小を比較せよ。 定義域はちゃんと書け aは負でもいいのか、そのときxの範囲として1/(奇数)とかを含めるかどうか 流石に実数値関数だろうからR全体ではないだろう あとa=0のときの0^0はどうするのか、xの定義域に0を含めなければa=0でf(x)=f'(x)となるが 出題ガイジはまじで「数学が好きだけど数学が得意じゃない」可哀相な人なんだと思う 俺レベルでもひと目で自明とわかる問題をバンバン出してるし 中学生とかならいいけど、大学生以上でこれやってたら悲惨だなー 多分後者っぽい気がすんだよね 淡々と問題貼り続けるキチっぽさが >>683 ご指導ありがとうございます aは正の実数です lim[t to 0] t^t = 1 と定義させていただきます 21m+11 と 17m+n が全ての自然数mに対して互いに素となるような自然数nを1つ求めよ。 定義域以前にどこまで教科書の公式使っていいのか判定のしようがない。 流石に(e^x)’=e^xを使うと自明になってしまうからダメだろなとまでは思うけど、じゃ(a^x)’=a^x log aはいいのかという話になる。 でも高校の教科書の定義は底がeの時の対数関数だからやっぱりダメっぽい。 するとそもそも論としてa^xの微分可能性は使っていいのかもかなり怪しくなる。 この問題何は仮定してよくて何は証明しないといけないのかがそもそもサッパリ。 いや、これも共通因数というのが1入れるのかという話になる。 わざわざ素因数という言葉があるくらいだから高校数学の用語としては1は因数ということになると思う。 すると条件は Nとnは互いに素、N-n=16と言ってるのと同じでこんなもん死ぬほど解ある。 数列{a[n]}はn=1,2,...に対して以下の全ての条件を満たす。 ・a[1] = c (1/3 < c ≦ 2/3) ・0 < a[3n] ≦ 1/3、1/3 < a[3n+1] ≦ 2/3、2/3 ≦ a[3n+2] < 1 ・lim[n→∞] a[n] は収束する。 このとき、L = lim[n→∞] a[n] の取りうる値、もしくはその範囲を求めよ。 >>691 傑作だと思う。 カオス理論から帰着した >>693 失礼。 lim[n→∞] a[3n] だわ >>691 失礼。 lim[n→∞] a[3n] だわ >>682 ln(x) < x/e より (3/2)ln(2) = ln(2√2) < (2√2)/e, ln(2) < (4√2)/(3e) < 1/√2 = 0.7071… (← e > 8/3) 7^6 = 117649 > 10^5, 7 > 10^(5/6), log(7) > 5/6 = 0.8333… ∴ ln(2) < 1/√2 < 5/6 < log(7), >>681 正n角形のとき 線分(辺または対角線)の長さは 2sin(kπ/n) (k=1,2,…,n-1) 確率はいずれも等しく 1/(n-1), E_n = {1/(n-1)}Σ[k=1,n-1] 2sin(kπ/n) = {2/(n-1)}cot(π/2n) 〜4n/{(n-1)π} → 4/π (n→∞) √3 (n=3) からnとともに減少する。 >>697 補足 積和公式 2sin(kθ) = {cos((k-1/2)θ) - cos((k+1/2)θ)}/sin(θ/2), から Σ[k=1,n-1] 2sin(kθ) = {cos(θ/2) - cos(nθ -θ/2)}/sin(θ/2), ここで θ=π/n とおけば、nθ=π より = 2cot(θ/2) >>680 実数a>0 と xに対して f(x) = a^x が定義されているとする。 f'(x) = lim(h→0) {f(x+h) - f(x)}/h = lim(h→0) {a^(x+h) - a^x}/h = (a^x) lim(h→0) (a^h - 1)/h = (a^x) g(a), とおく。 g(a) は連続函数で g(1) = 0 a>1 のとき g(a^m) = lim(h→0) {a^(mh) - 1}/h = m・lim(H→0) (a^H -1)/H = m g(a), a がm乗になると、g(a) はm倍になる。 アルキメデスの原理により、これはいくらでも大きくなる。 中間値の定理より g(e) = 1 を満足する e>1 が存在する。 >>679 N/d = x, n/d = y とおくと x^d - y^d = 16/(d^d), ∴ d^d は 16 を割り切る。 ∴ d=1,2 d=1 のときは >>690 d=2 のとき x^2 - y^2 = 4, (x,y) = (±2,0) (N,n) = (±4,0) となる。(不適) 相違3整数解を持ち、その導関数が相違2整数解を持つ3次関数は存在するか? y = log(x) + x^2 この関数の逆関数を求めるにはどうすればいいですか? >>704 y = log(x) + x^2 = log(x) + log(e^{x^2}) = log(x *e^{x^2} ) e^y = x * e^{x^2} 2e^{2y} = 2x^2 *e^{2x^2} W( 2e^{2y} ) = 2 x^2 ∴ x = √( W( 2e^{2y} )/2 ) ※ W(x)は ランベルトのW関数. f(x) = x e^x の逆関数として定義される. y=f(x)=xe^x+x^2のグラフのt≦x≦t+1の部分の長さをL(t)とする。 lim[t→∞] L(t)/{f(t+1)-f(t)} を求めよ。 半径1の円に内接する三角形の周の長さの極値を偏微分を用いて求めよ >>701 f(x) = x^3 -3AAx -B, とおくと f '(-A) = f '(A) = 0 さらに A = 1 +3t +3tt, B = ±(-2A+1)(A+3t+1)(A-3t-2) とおけば f(-2A+1) = f(A+3t+1) = f(A-3t-2) = 0, or f(2A-1) = f(-A-3t-1) = f(-A+3t+2) = 0, >>708 正弦定理より a + b + c = 2 (sinA + sinB + sinC) 拘束条件は A + B + C = π ラグランジュ未定乗数を μ として F(A,B,C) = 2 (sinA + sinB + sinC) - μ*( A + B + C ) ∂F/∂A = 2cosA - μ = 0, ... , ... A = B = C = arccos(μ/2) = π/3 以下略 完全マッチングは最大マッチングであることはどう証明しますか? G = (V, E) を完全パッチングをもつグラフとする。 Mp を G = (V, E) の完全マッチングとする。 明らかに、 |Mp| = |V| / 2 が成り立つ。 よって、すべての完全マッチングの辺の数は等しく、その数は、 |V| / 2 である。 Mmax を G = (V, E) の最大マッチングとし、 |Mmax| > |Mp| と仮定して矛盾を導く。 明らかに、 2 * |Mmax| ≦ |V| が成り立つ。 ∴ |Mmax| ≦ |V| / 2 = |Mp| これは矛盾である。 よって、完全マッチングは最大マッチングである。 >>714 訂正します: G = (V, E) を完全マッチングをもつグラフとする。 Mp を G = (V, E) の完全マッチングとする。 明らかに、 |Mp| = |V| / 2 が成り立つ。 よって、すべての完全マッチングの辺の数は等しく、その数は、 |V| / 2 である。 Mmax を G = (V, E) の最大マッチングとし、 |Mmax| > |Mp| と仮定して矛盾を導く。 明らかに、 2 * |Mmax| ≦ |V| が成り立つ。 ∴ |Mmax| ≦ |V| / 2 = |Mp| これは矛盾である。 よって、完全マッチングは最大マッチングである。 大学入試で関数の最小を求める問題で 指定の値域で導関数がゼロになるものが一つしかない場合 論述でこれ書いたら雑な方法認定されて減点されますかね? 導関数が値域のどこかで正か負の無限大にならない場合、 +0+、-0-、+0-、-0+ の4パターンしかないですから端点と0の点だけ調べればいけますよね? やっぱ増減表書かないとまずいでしょうか? https://i.imgur.com/2tESt3F.jpg 問題 15%の食塩水600gから100gを使い、その後、水を250g入れると[ ]%の食塩水になる。 答えは10%なんですが、過程式がわからないです… よろしくお願いします https://i.imgur.com/MKH94wj.jpg 誰も解けないかんじですか?難問ですが解ける人いたらお願いします。 ゴミみたいな問題だからスルーしてるだけですよ。 e^{2πia/b} 以下略 Aを可換環、Bを部分環、a∈Aとする。 このとき、B[a]がA加群として有限生成なら、生成系はあるnが存在し{1,a,......,a^n}と取れることの証明を教えて下さい。 >>722 これはおかしいですね AをB代数、b∈Bとして、A[b]がA加群として有限生成なら、生成系として{1,b,....b^n}がとれるでお願いします >>725 (1) 整数 k, k’ が exp(i2π k/b) = exp(i2π k’ /b) となる必要十分条件は 2π k/b = 2π k’ /b + 2π n (nは適当な整数) の関係にある事である. すなわち k ≡ k’ (mod b) であり、k=0, 1, ..., b-1 が相異なる exp(...) を与える. よって #P = b. (2) a k ≡ 1 (mod b) を与える k が存在する. (∵ a, b は互いに素). (1)よりそれが求めたかった k である. (3) 明らかに Q ⊂ P である. また(2)よりQは P の生成元を含む、よって P ⊂ Q. (4) (3)より a1 = a2 = 1 としても同じ事である. 適当な k,k’ を選べば k/b1 + k’/b2 = k(b2 k + b1 k’)/(b1 b2) = 1/(b1 b2) とできる. (∵例えばユークリッド互除法) よって (1)〜(3)より #(Q1Q2) = b1 b2 >>724 A, Ab, Ab+Ab^2, ...... はそれぞれ有限生成でA[b]も有限生成だから、あるnが存在してA+Ab+...Ab^n = A[b]となる よって1,b, ...... , b^nがとれる とネーター加群の真似をしてみたのですが、これは正しいでしょうか? 15%食塩水600gからとった食塩水100gの中に食塩は何gある? 15gだ。 残り500gの中に食塩は何gある? 75gだ。 250g足したら食塩水は何gになった? 750gだ。 750gの食塩水の中に75gの食塩がある。何%だ? 10%だ。 式か? 100×0.15=15 600-100=500 15×(500/100)=75 500+250=750 (75/750)×100=10 この五式で満点だろう。 >>722-723 一般にMが有限生成、(m[i])がMの元の集合でM = Σ[i∈I]m[i]AとするとIの有限部分集合FがとれてM = Σm[i∈F]A。 (∵) M = Σ[j=1〜n]n[j]Aとする。 各 j に対し有限集合 F[j] と a[i,j]∈Aで n[j] = Σ[i∈F[j]]m[i]a[ij] となるものがとれる。 F = ∪ F[j] とすれば n[j] ∈ Σ[i∈F] m[i]Aであるから M ⊂ Σ[j=1〜n]n[j]A ⊂ Σ[i∈F] m[i]A である。 >>728 問題 15%の食塩水600mLから100mLを使い、その後、水を250g入れると[ ]%の食塩水になる。 と改変すると比重を考える必要が出てきて難問化するね。 >>729 有限生成であることの同値な言いかえとしてそのようなことが成り立つのは知りませんでした ありがとうございます m^p-n^q=2を満たす2以上の自然数m,n,p,qは存在しないか、有限組しか存在しないことを示せ。 必要であれば以下の事実を用いて良い。 「a^b-c^d=1を満たす2以上の自然数a,b,c,dはただ一組しか存在しない」 >>728 ありがとうございます。助かりました。 問題@ ある仕事を仕上げるのにAは10日、Bは15日、Cは20日かかる。この仕事を3人で協力して行ったが、途中Aが休んだので、仕上げるのに6日かかった。Aは何日仕事を休んだか? 答え 3日ですが、 過去問に過程式がないので理解できないです。 問題A 2人が自転車に乗って走っている。その速さの比は11:8である。この2人が周囲480mの円形の池の同じ地点から同時に同方向にスタートしてまわるとき、速い人は遅い人を4分ごとに追い越す。2人の毎分の速さを求めよ 答え 440m. 320m. 同じく過程式が知りたいです。 よろしくお願いします >>735 問題@ ある仕事を仕上げるのにAは10日、Bは15日、Cは20日かかる。この仕事を3人で協力して行ったが、途中Aが休んだので、仕上げるのに6日かかった。Aは何日仕事を休んだか? 答え 3日ですが、 過去問に過程式がないので理解できないです。 計算しやすいように仕事量を60u(unitの略)とすると A,B,C が1日にこなす仕事量は6u,4u,3uとなる。 休んだ日数をxとすると。 6u*(6-x)+4u*6+3u*6=60u 問題A 2人が自転車に乗って走っている。その速さの比は11:8である。この2人が周囲480mの円形の池の同じ地点から同時に同方向にスタートしてまわるとき、速い人は遅い人を4分ごとに追い越す。2人の毎分の速さを求めよ 答え 440m. 320m. 同じく過程式が知りたいです。 よろしくお願いします a=11u m/min b=8u m/min とおいて 480/4=(11-8)u u=40 >735のような問題を特殊訓練や数式なしで解ける小学生は凄いといつも思う。 >>736 Aが一日で片づける仕事を30とすると10日で300 Bが一日で片づける仕事は20 Cが一日で片づける仕事は15となる 三人がフルで6日間働くと (30+20+15)x6=65x6=390の仕事量 『この仕事』の仕事量はAの10日分で300 本来390できたはずの仕事が300しかできなかったので 差分は90 Aが休んだ日数は 90/30=3で三日間となる 3次関数f(x)はf(-1),f(1),f(2018)のいずれも整数値をとる。 任意の整数nに対してf(n)は整数か。 >>736-739 素早い回答ありがとうございます。すごく助かります! (1)半径1の円周上に長さ√2と長さ√3の弦を取ったとき、その弦に対する中心角をそれぞれ求めよ。答えのみでよい。 (2)√2+√3とπの大小を比較せよ。 (x+1)(x-1)(x-2018)/100000 ax^2 + b^x + c = 0 ・・・@ Ax^2 + B^x + C = 0 ・・・A R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc) @、Aが実数係数の2次方程式でいずれも2実数解をもつとする。@の2解はα、β;Aの2解はγ、δ。 このとき、 R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c) を示せ。 再度訂正 ax^2 + bx + c = 0 ・・・@ Ax^2 + Bx + C = 0 ・・・A R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc) @、Aが実数係数の2次方程式でいずれも異なる2実数解をもつとする。@の2解はα、β。Aの2解はγ、δ。 このとき、 R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c) を示せ。 a,b,c,A,B,C の単位が [U] のとき α〜δは無次元、 (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)は[U^2]、 a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C)、A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)は[U^4]。 >>742 (1) 90゚,120゚ (2) √2 + √3 > π, あ、こっちは答だけぢゃねぇのか。 θ = 15゚ = 60゚ - 45゚ = 45゚ - 30゚, から加法公式により sin(15゚) = (√6 - √2)/4, tan(15゚) = 2 - √3, が求まる。これらを Snellius-Huygens の式 2sinθ + tanθ > 3θ, に入れると (√6 - √2)/2 + (2 - √3) > π/4, よって √2 + √3 > 2(√6 - √2) + 4(2 - √3) > π, (*) (√2 + √3) - 2(√6 - √2) - 4(2 - √3) = (1/4)(√2 - 1)^2・(√3 - 1)^4・(√3 - √2) > 0, 不等式スレ9 - 761 (3), 762 >>746 くだらない問題 計算がちょっと長いだけだった ABC ACB BAC BCA +CAB -------- 3123 A,B,Cは? G をグラフとする。 M^* を G の最大マッチングとする。 M を G のマッチングとする。 このとき、 G には、 M に関する、点を共有しない |M^*| - |M| 個の単純な増加パスが存在することを示せ この積分が解けません…途中計算を教えてもらえないでしょうか? ざっとググった感じarcsinがでてくるらしいのですができればarcsin使う方向でお願いしたいです https://i.imgur.com/PRH9wUj.jpg すみません!解決しました! ご協力ありがとうございます! ∫ sqrt( (1 - x) / (1 + x) ) dx = ∫ (1 - x) * sqrt( 1 / (1 - x^2) ) dx = ∫ (1 - x) * (arcsin(x))' dx = (1 - x) * arcsin(x) + ∫ arcsinx dx = (1 - x) * arcsin(x) + x * arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) = arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) >>750 Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..9],b<-[1..9],c<-[1..9], (a+a+b+b+c)*100+(b+c+a+c+a)*10+(c+b+c+a+b)==3123] [(3,7,8)] >>750 (A,B,C)=(3,7,8) A,B,Cが1桁の整数とは一言も書いてないけどな >>757 俺には配列の演算が配列の要素通しの演算になるRが使い勝手がいいな。 ()で目がチカチカするがw for(A in 1:9){ for(B in 1:9){ for(C in 1:9){ if (sum((c(A,B,C)+c(A,C,B)+c(B,A,C)+c(B,C,A)+c(C,A,B))*c(100,10,1)) == 3123) print(c(A,B,C)) } } } [1] 3 7 8 aを実数の定数とする。連立方程式 x+ay=1,(2a+2)x-y=2a+6を満たす整数x,yが存在するとき、aの値を求めよ。 わかる方詳しい解説お願いします😭✨ G をグラフとする。 M^* を G の最大マッチングとする。 M を G のマッチングとする。 このとき、 G には、 M に関する、点を共有しない |M^*| - |M| 個の単純な増加パスが存在することを示せ。 >>760 x=1-ay (2a+2)(1-ay)-y=2a+6 (-2a^2-2a-1)y=4 -2(a-1/2)^2-1/2<0 (-2a^2-2a-1, y)=(-1,-4),(-2,-2),(-4,1) (a,x,y)=(-1,5,4),(0,1,4) >>762 それだと(a,x,y)=(-1/2,-3,-8)のようなaが分数の場合が考慮されてないです。 下記の問題を素早く簡単に解く方法を教えてください。 問題@ 2、7、15、26、40、( ) 問題A 1、2、5、10、( )、26 答えは@57 A17 です。よろしくおねがいします。 >>705 x = √( W( 2e^{2y} )/2 ) これはyに後は数値を代入して計算ソフトなどで計算するだけでしょうか? ランベルトのW関数についていろいろ調べたのですが数値を出す例がほとんどでした W( 2e^{2y} )をランベルトのW関数使わずにyの関数で表す方法はないのでしょうか? 例えばW( ye^y ) = y のように ランベルトのW関数f(x)について、定積分 ∫[0→a] f(x) dx を求めよ。aは正の実数である。 nを3以上の整数、kを1≦k≦n-1を満たす整数とする。 赤玉がn個と青玉がn-k個あり、これらをでたらめに左から右に横一列に並べる。 このとき 「ある連続する4つの玉からなる部分で、左から『赤赤赤青』となっている部分が存在する」 ような確率をn,kで表せ。 代数学初学者です Zは整数全体 50∈Z が単位元となるZ上の群構造はあるか調べよ >>769 ∫[0→a] f(x) dx = a W(a) - ∫[0, W(a)] x e^x dx = aW - [ x e^x - e^x ]{0,W} = a W - W e^W + e^W - 1 = a( W(a) + 1/W(a) - 1) - 1 袋の中に赤玉a個、青玉b個、白玉c個が入っている。ただしa,bは自然数である。 袋から玉を無作為に取り出す操作を繰り返す。取り出した玉は袋に戻さない。 袋の中の玉で、一番はじめに赤玉がなくなった場合「勝利」とし、同様に青玉がなくなった場合「敗北」とする。 また袋の中に赤玉も青玉も残っている状態で白玉を取り出した場合、操作を終了し「引き分け」とする。 (1)c=0のとき、勝利する確率を求めよ。 (2)c=1のとき、勝利する確率を求めよ。また(1)で求めた確率との大小を比較せよ。 P(赤勝利) = 1-a/(a+b)-a/(a+c)+a/(a+b+c) >>766 次項から自項を引く @ 5、8、11、14、(17) だから3づつ増えている A 1、3、5、(7)、9 だから奇数の列が隠れている x=(2a^2+6a+1)/(2a^2+2a+1)=1+4a/(2a^2+2a+1), y=-4/(2a^2+2a+1) よりaが有理数であることに注意してx,yが共に整数となるようなaを探せばいい >>776 それ以上、条件が絞れないんですか? その場合どういうふうに探せばいいんですか? aが分数もありえるので ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.4 2024/05/19 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる