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0041１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 14:28:52.25ID:LB37fX3V
>>38

2円の中心は、線分OPの垂直二等分線とx軸，y軸の交点。
（(pp+1)/2，0)　(0，(pp+1)/(2p))
その距離の2乗は
　L(p)^2 = (pp+1)^3 /(2p)^2 = (27/16) + (1/4)(pp+4)(pp-1/2)^2 ≧ 27/16,
　L(p) ≧ L(1/√2) = (3√3)/4,
0042１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 15:37:10.80ID:K+mlOyzP
二円の直径(半径)は、それぞれ直角三角形の相似で簡単にわかる.
M = 4L^2 = (pp + 1)^2 + ( p + 1/p )^2 = q^2 + 3q + 1/q + 3 (q = pp と置いた)
M'= 2q + 3 - 1/(qq) = (2q^3 + 3qq - 1) = (2q - 1)(q+1)^2 /(qq)
増減表より M は q=1/2 にてミニマム値をとる事がわかる. (条件 q＞０)
よって L_min = (1/2) * √(1/4 + 3/2 + 2 + 3)　= 1/4 √27 = (3√3)/4.
0043１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 20:28:40.36ID:V7W4cdgn
前スレ>>897
サイコロを繰り返し投げ, 出た目が直前の回に出た目の約数でなくなったら終了する。
n回目にサイコロを投げ, かつその目が1である確率p[n]を求め, n回目に終了する確率をp[n]とp[n+1]を用いて表せ。

n回目が1になるのは, 次のような経過の場合である:
6→1, 6→3→1, 6→2→1, 5→1, 4→1, 4→2→1, 3→1, 2→1, 1

∴n回目が1である確率P[n]は,
P[n]={1+5･C(n-1, 1)･3･C(n-1, 2)}/6^n
=(3n²+n-2)/(2･6^n)
を得て,
n-1回目に終了していない確率は, 6･P[n]なので
, n回で終了する確率は,
6(P[n]-P[n+1])=(15n²-n-14)/(2･6^n)
を得る。

n回目が1である確率から, 直ちにn回で終了する確率が求められるところが面白いと感じますね。
0044１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 21:56:07.33ID:rx27zQJP
ある牧場では１００頭の羊を放すと１５日間で牧草がなくなり、
１２０頭の羊を放すと１０日間で牧草が食べつくされました　
この牧場で８０頭の羊を１０日間放した後、
さらに何頭xかの羊を加えたところ、
加えてから４日間で牧草は食べつくされました
後から加えた羊は何頭ですか
ただし、牧草は１日に一定量a生え、また、
どの羊も１日で同じ量uの牧草を食べるものとします

（ヒント：最初からある草の量をbとおく）
0049１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 23:48:05.98ID:LB37fX3V
>>34

〔前スレ．993〕
　aを正の定数とする。
xyz空間において，円柱 yy + zz ≦ aa と角柱 |x| + |z|≦ a との共通部分をKとする。
(1) Kの体積を求めよ。
(2) Kの表面積を求めよ。
0050１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 00:16:28.74ID:0sa6guuR
>>49
(1)
ｚ＝一定の平面で切ると、
　|x| ≦ a - |z|,
　|y| ≦ √(aa-zz),
の長方形。

V = 8∫[0，a] (a-z)√(aa-zz) dz = (2π - 8/3)a^3 = 3.61651864a^3
0051１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 00:20:46.17ID:3neCGX+4
a,b,cは素数で、2≦a≦b≦cかつa+b>cを満たす。
AB=c,BC=a,CA=bである△ABCの面積をS(a,b,c)とする。

（1）有理数pと自然数nを用い、S(a,b,c)=p√nと表したとき、n=1とならないことを示せ。

（2）次の命題の真偽を述べよ。
「どのような素数qについても、a,b,cをうまく選ぶことで、n=qとなるようにできる」
0054１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 09:25:25.86ID:0sa6guuR
>>52

固有値　　　(固有ベクトル)^t
----------------------------------
　1+2a 　　(1/√3，1/√3，1/√3)
　1-a　　　(1/√6，1/√6，-2/√6)
　1-a　　　(1/√2，-1/√2，0)

1-a は重根なので、固有ベクトルの取り方がいくつもあります。
a=0 つまり A=E のときは任意のベクトルが固有ベクトルです。
0055１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 09:58:35.15ID:0sa6guuR
>>50 (補足)

∫(a-z)√(aa-zz) dz
　= ∫[(1/2)a^3 -aaz -azz +z^3]/√(aa-zz) dz + (a^3)/2･∫1/√(aa-zz) dz
　= (1/6) (2aa+3az-2zz) √(aa-zz) + (a^3)/2･arcsin(z/a) +c,
0056１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 10:42:44.15ID:G7anWKpK
「無」に勝るものは何もありませんか？
0057１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 10:45:54.04ID:cU6atyIc
>>44
増える草の量+最初の草の量-食べる草の量=0
として式を作る。
15a+b-100*15u=0
10a+b-120*10u=0
14a+b-(80*14+x*4)u=0
これを解くとx=80
0058１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 11:38:07.42ID:BJ8Ls50p
>>38
勝手にtで置いてたけどpだったかw
0059１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 11:42:09.86ID:BJ8Ls50p
面白スレの795で、宝は2つのまま、縦と横のマス数をそれぞれn、n+1と置いたとき、横に沿って探した方が相手より先に見つけやすいことは3,4の場合でそうだったことから容易に想像出来るが、その証明は出来るだろうか？
0060１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 11:48:03.89ID:BJ8Ls50p
縦nマス、横n+1マスのn(n+1)マスのうちランダムに選ばれた2マスにそれぞれ宝が眠っている。
縦1列を探し終えたらすぐ右の1列に移って宝を探していく方法をとるP君と、横1行を探し終えたらすぐ下の1行に移って宝を探していく方法をとるQ君が、同時に左上の地点から探索を開始した。
例えば、n=3の時はP君はAEIBFJCGKDHLの順で探す。Q君はABCDEFGHIJKの順で探すことになる。

ABCD
EFGH
I JK L

1つの地点を捜索するのにかかる時間は同じで、相手が1度探し終えた地点を重複して調べることも当然ある。
相手より先に宝を見つけた方を勝者とする。同時の場合は引き分けとする。
どちらの方が有利になるだろうか？
0063１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 13:27:04.86ID:Gnr41rTz
>>62
49のでした
0064１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 13:27:17.09ID:Gnr41rTz
>>62
49のでした
0065１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 14:32:32.99ID:/l3Dn7CN
>>64
切断面は 半分の楕円が4つなので簡単、残りの円柱側面は積分で求める。
S = 2 * (π a (√(2) a) ) + 4 a² ∫ [0, +π] dθ (1- sinθ)
以下略
0066１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 15:22:53.04ID:wVAS8Odg
α，β，γ は α>0，β>0，γ>0，α+β+γ=π を満たすものとする．このとき， sinαsinβsinγ の最大値を求めよ．

最もエレガントな回答を教えてください。
ごちゃごちゃ一つ固定して微分すればすぐ解けますが
対称性から一発で解けたりしませんか？
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 15:56:31.23ID:d9pvisw+
無に勝てるものはありますか？
0071１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 16:01:35.27ID:jGg55AkS
z/{((z-1)^2)((z-2)^3)}

の各特異点における留数を求めるのって
z=1 だったら
(z-1)^5をかけて4回も微分して極限をとるっていうことしないといけないのってめちゃくちゃ手間がかかると思うんですけど
そうする以外に簡単にもとまる方法ってないですか？
0072１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 16:10:31.43ID:/l3Dn7CN
>>66
f(α,β,γ) = sinαsinβsinγ と置く.
領域境界では f = 0 、領域内点では f ＞ 0 .
境界が素直なので f の勾配ベクトルが平面 α + β + γ = π と直交する点を探せばよい.
つまり cosα sinβ sinγ = sinα cosβ sinγ = sinα sinβ cosγ より
tanα = tanβ = tanγ ∴ α = β = γ = π/3
f = (√(3)/2)^3 = (3/8)√3 を得る.
0073１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 16:48:51.00ID:/l3Dn7CN
>>71
z/{((z-1)^2)((z-2)^3)}
= {(z-1) + 1}/{((z-1)^2)((z-1 - 1)^3)} (以降 h = z-1 と置く)
= -(1/h + 1/h^2) * (1 + h + h^2 + ...)^3
= -(1/h + 1/h^2) * (1 + 3h + ...)
= -1/h^2 - 4/h - ...
1/h の係数だけ拾えばよい

(z-2 + 2)/{((z-2 + 1)^2)((z-2)^3)}
= (1/h^2 + 2/h^3) { 1 - h + h^2 + ... }^2
= (1/h^2 + 2/h^3) { 1 - 2h + 3h^2 +... }
以下略
0076１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 17:42:08.46ID:0sa6guuR
>>69

最もエレガントな解答は log(sin(x)) の凸性使えば一発で出ますが >>69

GM-AM で下準備
　sinα sinβ sinγ ≦ {(sinα + sinβ + sinγ)/3}^3
してから sin(x) の凸性使う
　(sinα + sinβ + sinγ)/3 ≦ sin{(α+β+γ)/3} = sin(60ﾟ) = (√3)/2,
ほうが簡単かもです。
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 18:03:57.91ID:3neCGX+4
こういうのをゴリ押しで解こうとするたび思うんだが、sinxをexp(ix)で表しても手間は減らないもの？
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 18:36:49.94ID:Gnr41rTz
>>65
ありがとうございます
0079１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 19:30:25.68ID:StgroO81
>>60
コンピュータでシミュレーションしてみた。

n=3のときは (P1st:：P君が先に見つける宝の埋没場所の組み合わせ数）

> t342=treasure(3,4,2)
P1st Q1st even
26 27 13

n=4のときは

> t452=treasure(4,5,2)
P1st Q1st even
84 83 23

常に横に探す方が有利ではないようだ。

Rでのコードはここ

http://tpcg.io/d6OYvn
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 19:45:57.54ID:StgroO81
>>79
ｎを変化させてP,Qが先に見つける宝の配置を計算させてみた。

大きいほうが有利になる。

> t(sapply(1:15,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 20:20:58.73ID:Gnr41rTz
2点(0,0,0),(2,0,1)を通る直線をl,2点(1,-2,0),(0,-4,-1)を通る直線をmとし、l,mをz軸のまわりに、1回転して得られる曲面をそれぞれα、βとする。
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 20:23:37.03ID:Gnr41rTz
>>81
2平面z=0,z=5とαで囲まれた部分をA,2平面z=0,z=5とβで囲まれた部分をBとするとき、共通部分A∩Bの体積を求めよ
0083１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 20:29:57.03ID:Gnr41rTz
>>82
詳しい解説お願いします。
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 20:54:39.62ID:Gnr41rTz
>>82
>>83
自分の答えは2511π/15となったんですがあっていますか？
0086１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 21:06:36.11ID:Gnr41rTz
>>85約分すればあっていますか？
0087１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 21:38:41.16ID:mkO25Lni
>>60>>61
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う

Ω＝｛A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L｝となる

各 i （１≦i≦１２） が根元事象である

最初に宝が出るという事象A＝｛宝｝で確率P(A)は

P(A)＝１／１２　となる

最初に探す方向を i
列が変わる時を ｊ として

最初に宝が出るという事象Aと事象Bを考える.

A＝｛（i，j）|　i または j が宝｝
B＝｛（i，j）|　i または j が宝｝

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ，１≦j≦ｎ＋１｝となり

このｎ（ｎ＋１）通りの各要素が根元事象

縦方向に探査する場合

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ，１≦j≦ｎ＋１｝から

#A＝ｎ（ｎ＋１）−ｎ（ｎ−１）＝２ｎ

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

横方向に探査する場合

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ＋１，１≦j≦ｎ｝から

#B＝ｎ（ｎ＋１）−ｎ（ｎ−１）＝２ｎ

最初に宝が出る確率は

∴P(A)＝P(B)＝２ｎ／ｎ（ｎ＋１）
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 21:52:35.93ID:Gnr41rTz
>>84
計算ミスしてました
156πです
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 21:58:55.19ID:aLWZN9hC
σをn次の置換とする。R^nからR^nへの写像で、(x_1,...,x_n)を(x_σ(1),...,x_σ(n))にうつすものは連続であることを示して下さい。
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 22:01:08.70ID:pgMxDp3h
直観的に考えたら違う理由が思いつかないから書いたんだけど…
何故違うかもしれないと考えたのかわからないレベルで違う理由が思いつかない

ABCDEFGHIJK
AEIBFJCGKDHL
と並んでる状態で、A-Kのうち２個がランダムで当たり
最初の当たりが左に近いのはどっち？ってことじゃん

>>80では有意差が有るように見えるけど、何故なのかよくわからない
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 22:03:12.46ID:yIeks/2s
>>90
別スレの解説をコピペ

なるほどねえ
確かにQの方が微妙に先に見つける場合が多いな

Pが先に見つけるのは以下の26通り
CE,DE,DI,EF,EG,EH,EI,EJ,EK,EL,FG,FH,FI,FJ,FK,FL,GI,GJ,HI,HJ,IJ,IK,IL,JK,JL,KL

Qが先に見つけるのは以下の27通り
BC,BD,BF,BG,BH,BI,BJ,BK,BL,CD,CF,CG,CH,CJ,CK,CL,DF,DG,DH,DJ,DK,DL,GH,GK,GL,HK,HL

同時に見つけるのは以下の13通り
AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ,AK,AL,BE,CI
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 22:31:29.47ID:StgroO81
>>80

n=2

ABC
DEF

の場合

短軸方向探索Pが先に宝を発見する埋め方：４通り
> print(matrix(LETTERS[t232$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] C D D E
[2,] D E F F

長軸方向探索Qが先に宝を発見する埋め方：５通り
> print(matrix(LETTERS[t232$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] B B B C C
[2,] C E F E F

同時に宝を発見する埋め方：６通り
> print(matrix(LETTERS[t232$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] A A A A A B
[2,] B C D E F D
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 22:53:50.48ID:mkO25Lni
そんなの当たり前じゃん(´・ω・`)

等確率にしかならないのに無理やり差異を
見つけようとしているもん
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 22:56:19.95ID:yIeks/2s
>>96
>95の操作をn=20までやってみた。

> t(sapply(1:20,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 22:58:30.06ID:yIeks/2s
シミュレーションしても>92の結果に合致。

> x=c(1,1,rep(0,10))
> PQ <- function(){
+ Q=sample(x)
+ z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
+ P=as.vector(z)
+ c( even=which.max(P) == which.max(Q),
+ p1st=which.max(P) < which.max(Q),
+ q1st=which.max(P) > which.max(Q))
+
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,PQ())
> mean(re['even',]) ; 13/(26+27+13)
[1] 0.197025
[1] 0.1969697
> mean(re['p1st',]) ; 26/(26+27+13)
[1] 0.393803
[1] 0.3939394
> mean(re['q1st',]) ; 27/(26+27+13)
[1] 0.409172
[1] 0.4090909
0101１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 23:11:46.33ID:xxxgguJP
>>92
この結果面白いね
問題が２つ見つけるまでやって多く獲った方どっち？だったらイーブンだけど、１つ目を先に獲った方が勝ち、とすると差が出る
この場合、２番目を先に見つける確率にもきっと差があるのだろう
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 23:27:39.20ID:pgMxDp3h
>>100
納得できないのは直観的に納得できないだけで、そういうことになるよなぁとはわかっていると思います

今ちょっと考えているのが、遅く見つけたほうが勝ちというルールで行うなら
Ｑ：ABCDEFGHIJKL
Ｐ：AEIBFJCGKDHL
では、Ｐ君の方が勝率は高いということ。
じゃあ、Ｑに対してＰ以上に勝率の高い文字列（検索順序）は存在するはずだけど
それらを具体的に求める方法は？
とか考えてしまう。
で、頭がぐーるぐーるるるるるる
0103１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 23:50:26.24ID:StgroO81
>>101
先に２つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。

n=2

ABC
DEF

の場合


> t232=treasure2(2,3,2)
P1st Q1st even
5 4 6

短軸方向探索Pが先に２つの宝を発見する埋め方：５通り
> print(matrix(LETTERS[t232$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] A A B B D
[2,] D E D E E

長軸方向探索Qが先に２つの宝を発見する埋め方：４通り
> print(matrix(LETTERS[t232$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] A A B C
[2,] B C C D

同時に２つめの宝を発見する埋め方：６通り
> print(matrix(LETTERS[t232$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] A B C C D E
[2,] F F E F F F
0104１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 23:55:16.91ID:StgroO81
先に２つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。

n=3

ABCD
EFGH
IJKL

の場合

> t342=treasure2(3,4,2)
P1st Q1st even
27 26 13
> #短軸方向探索Pが先に２つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B B C C C D E E E E F
[2,] E F I J K E F I J K I J K K F I J K I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27]
[1,] F F G G G I I J
[2,] J K I J K J K K
> #長軸方向探索Qが先に２つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B C C C C C D D D D D
[2,] B C D G H C D G H D E F G H E F G H I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26]
[1,] E E F F G H H
[2,] G H G H H I J
> #同時に２つめの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
[1,] A B C D D E F G H H I J K
[2,] L L L J L L L L K L L L L
0106１３２人目の素数さん
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2018/10/26(金) 00:14:40.87ID:1urJ4mi5
ABCD
EFGH

を一般化するとこうなるかな？

横一列に並んだ ABCDEFGH の中からランダムに2つを選んで宝を隠しておく
ABCDEFGH の中から宝を探す順番は8！通りある
最初の宝を見つけた時点で終わるものとするとき、
8！通りの探し方の中で最も有利な探し方はどのような探し方か
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 00:18:52.65ID:TSc11EGu
もっとも有利なんてないやろ。
じゃんけんと一緒。
どんな列取ってきてもその先頭文字を末尾に回した探索には負ける。
0109１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 00:38:06.24ID:kGQXd/Nk
全部の中で一番がないというのは>>107の考察通りだと思う。
けど、ある特定の列に対して最も勝率が高いのはどれだろうとは気になる。

けど、先頭文字を末尾に回した奴が一番勝率高くなるのかな。
ABCDEFGに対してなら
BCDEFGAが一番勝率高い気がする
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 00:40:48.65ID:MkOm1coU
最初に当たり一つ引けばそこでゲーム終了だから
二つ目の当たりとの組み合わせは考慮しなくていい

当たりがどの座標のマスに置かれても
要素の個数は変化しないので
どの方向からの探査によっても確率は変化しない
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 01:01:12.32ID:kGQXd/Nk
これ、当たりが１個でも、探索順番によって勝率変わってくるな
やっと構造がなんとなくわかってきた
自分の脳みその弱さが悲しくなってくる
0112１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 01:17:34.08ID:0VxS+eWR
>>109
部屋の数についての帰納法でいけるんじゃね？
主張は
部屋の数が n の時 P:A[1]A[2]…A[n] に引き分けないという条件下で勝つ確率最大なのは Q:A[2]A[3]…A[n]A[1]。
以下Qの探索順をB[i]とする。
n=3では多分成立。
n<k で成立として n=k のとき。
P が Q に勝つのはA[1]とA[2]以外に宝が配置されるときでその確率は (n-2)/C[n,2]。
引き分けるのはA[1]、A[2]に配置されるときで確率1/C[n,2]。
よってQがPに勝つ確率は (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1)。
容易にA[1]≠B[1]の場合はコレより確率は大きくならないとわかる。
A[1] = B[1]の場合を考えればよい。
このとき引き分けないという条件下では宝箱はA[1]以外の２つに配置される場合でその場合Qの勝つ条件付き確率の最大値は (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)。
多分 (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1) ≧ (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)より成立。
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 02:33:21.22ID:kGQXd/Nk
>>112
おお、そういう風に片付くのか
帰納法で出来ないかとも考えたけど、自分の頭では無理だったのです
これで自分はスッキリしました！
0115１３２人目の素数さん
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2018/10/26(金) 08:04:41.48ID:w2SAJyTA
>>98の結果をみると20までだが
縦nマス、横n+1マスのn(n+1)マスのとき
n=1でイーブン
n=2,3で長軸方向探索が有利
n=4以上で短軸方向探索が有利となっているので
数学的帰納法はn=3で適応できないと思う。
0117１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:12:21.06ID:Jik/lAlw
>>109

# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする
library(gtools)
n=7
k=2
perm=permutations(n,n)
Q=perm[1,]
np=nrow(perm)
p1st=numeric(np)
for(i in 1:np){
P=perm[i,]
tre=combn(n,k)
nt=ncol(tre)
re=numeric()
for(j in 1:nt){
re[j]=min(which(tre[1,j]==P),which(tre[2,j]==P))-
min(which(tre[1,j]==Q),which(tre[2,j]==Q))
}
p1st[i]=sum(re<0)
}
plot(p1st)
p1st[which.max(p1st)]
(p.max=which(p1st==15))
print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F)

#
0118１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:13:54.87ID:Jik/lAlw
>>117
# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする

一番勝率高い探索順は４通りあった

> print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] B C D E F A G
[2,] B C D E F G A
[3,] B C D E G A F
[4,] B C D E G F A
0119１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:21:23.87ID:X/+dwIGq
>>118
なるほどね
先回り側がEの次の部屋へ進むってことは当たりはFGだからどっちに進んでも同じか
0120１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:24:00.72ID:X/+dwIGq
そうして、
先回り側の順序の最後の2つは決して実行されない
その４つの順序のどれでも最後から3番目のFかGまでで決着が付くから
0121１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:43:40.29ID:w2SAJyTA
宝を２個先にみつけた方が勝者とすると
ABCDEFGに対して一番勝率高い探索順は？
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:44:35.23ID:w2SAJyTA
これも４通り出てきた。

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] A C D E F G B
[2,] B C D E F G A
[3,] C A D E F G B
[4,] C B D E F G A
0123１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:46:50.17ID:aPqhQq7R
要するに｢相手に『自分が探索済のマス』を探させる｣｢自分は『相手が探索済のマス』を探さない｣の2つを出来るだけ守っていればいい話だから相手の探索方法に対応する最適解の議論はあまり意義がないのではと思う
0124１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 11:49:49.69ID:aPqhQq7R
しかし、n=4から先はずっと短軸探索が有利になるのか。長軸側が逆転することはなさそうだし、n≧4の場合について｢短軸探索が有利である｣は成り立ちそう。これを証明することは出来ないだろうか…
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 12:47:58.81ID:kGQXd/Nk
宝箱１個なら、なんとか証明できそうな感じだし、そこから拡張すれば宝箱２個でもいけるのかなぁ
整数苦手だからよくわかんない
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 13:00:54.84ID:Jik/lAlw
>>126
そうは問屋が卸さないみたいだよ。

縦４マス、横５マスで宝箱を１から７まで増やしてみると

宝が６個になると短軸有意から長軸有意に逆転した。

処理速度の制約であまり大きな数字で検証できないのだが。

> sapply(1:7,function(k) treasure(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 13:12:19.08ID:Jik/lAlw
>>127
気長にやってみた。

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

４×５の場合
宝：１個　同等
宝：２〜５個　短軸有利
宝：６〜１３個　長軸有利
宝：１４〜２０個　同等

と推移した。
0131１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 14:19:32.80ID:kGQXd/Nk
あれーほんとだ
どこかで派手な勘違いをしたままでやってたぽい
そりゃあっちこっちぐるぐるうううになるわ…
0133１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 14:40:12.43ID:Jik/lAlw
>>124
宝２個でn=30まで計算させてみた。４以上で短軸有利は不変だった。

> t(sapply(1:30,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
[21,] 53615 52305 571
[22,] 64329 62810 626
[23,] 76571 74822 683
[24,] 90479 88478 743
[25,] 106198 103922 805
[26,] 123878 121303 870
[27,] 143676 140777 937
[28,] 165754 162505 1007
[29,] 190281 186655 1079
[30,] 217431 213400 1154
0134１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 14:48:29.91ID:D44zYEch
正の整数の組(x,y)であって,x!+y!=x^yを満たすようなものを全て求めよ
の解説をして頂けませんか？

答えは2,2 2,3だと思うのですが解答が無くて
よろしくお願いします
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 17:18:43.03ID:CMAX0Lj4
>>136
y≦x-1のとき,
x!+y!=y!(x!/y!)+y!=y!((x!/y!)+1),
(3≦)(x!/y!)+1=x･(x-1)!/y!+1とxは互いに素だから, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦y.
3≦xのとき,
x!+y!=x!(1+(y!/x!))は(x-1)(≧2)の倍数.
x-1とxは互いに素であり, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦2.
1)x=1のとき, 与式を満足させるyはない.
2)x=2のとき, 2+y!=2^y.
y≧4とすれば,
2+y!=2+24･(y!/4!)>2+3･2^(k-1)>2^k.
すなわちy≦3.
よって求める組は(x,y)=(2,2), (2,3).

できました！
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 21:20:44.30ID:yoS+SCcd
宝箱問題、
もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると
1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな
初見での印象よりも随分奥深いなこれ
0140１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/26(金) 21:50:07.25ID:kZgcrX3x
数列の項を並べ替えてできる数列の収束性、極限値は如何？

もう少し正確にいうと、
全単射関数　n : N -> N で 数列 a[ i ] を n で並べ替えた数列b[ i ]を
b[ i ] = a[ n(i) ] で定義する。
b[ i ] の収束性、極限値はどうなるでしょう?
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