分からない問題はここに書いてね448

[0001 １３２人目の素数さん 2018/10/22(月) 23:34:13.76 ID:E/Wq6zj4]

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね447
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[0196 １３２人目の素数さん 2018/10/28(日) 20:32:10.70 ID:x624ZJMX]

>>195
続き

部屋が縦m、横nの場合を考えているが、もう少し計算を進める。
#{j| j>i, σ(j)>i} をこの場合に具体的に表そう。

i,j (0≦i,j≦mn-1)をそれぞれ nk+l, nk'+l' (0≦k,k'≦m-1, 0≦l,l'≦n-1) とする。
σ(i)>i ⇔ lm+k>nk+l ⇔ (m-1)l>(n-1)k、
j>i ⇔ nk+l>nk'+l' ⇔ 「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」、
σ(j)>i ⇔ l'm+k'>nk+l ⇔ l' + k'/m > (nk+l)/m　[ここで nk+lをmで割った商をq、余りをrとすると]
　　 ⇔ l' + k'/m > q + r/m ⇔ 「q≦l'≦n-1 ただし l'=q, k'≦r を除く」
を使って
#{j| j>i, σ(j)>i} = #{(k',l')|『「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」』かつ l'm+k'>nk+l}
に出てくる『「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」』かつ l'm+k'>nk+lを満たす組(k',l')の数を求める。
k=k' かつ l<l'のとき σ(i)>iからlm+k>nk+lだからl'm+k'>nk+lは常に成り立つので、l<l'≦n-1でn-1-l個。
k<k' のとき l'm+k'>nk+l ⇔ 「q≦l'≦n-1, k<k'≦m-1 ただし l'=q, k<k'≦r を除く」だから
(n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k)個、ただしδ(P)はPが真なら1、偽なら0である関数。
よって、#{j| j>i, σ(j)>i} = (n-1-l) + (n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k)。
したがって、求める数は
Σ[0≦k≦m-1, 0≦l≦n-1, (m-1)l>(n-1)k] binomial((n-1-l) + (n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k), c-1)。

これを使ったPythonコード：
#nloc(m,n,k,l)は縦m、横nの部屋で横優先が部屋(k,l)で初めて宝を発見する場合で
#宝が置かれても縦優先に先を越されない部屋の数。
def nloc(m,n,k,l):
q,r = divmod(n*k+l,m)
return (n-1-l) + (n-q)*(m-1-k) - (r-k if r > k else 0)

#部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数
def nwinrect1(m,n,c):
return sum(binomial(nloc(m,n,k,l),c-1) for k in range(m) for l in range(n) if (m-1)*l>(n-1)*k)

続く

[0197 １３２人目の素数さん 2018/10/28(日) 20:34:35.87 ID:x624ZJMX]

>>196
続き

部屋がm×(m+1) (n=m+1) のとき。
(m-1)l>(n-1)k ⇔ 0≦k≦m-2 かつ k+1≦l≦m。
(nk+l)/m = k + (k+l)/m より k+l<mのときq=k,r=k+l、k+l≧mのときq=k+1,r=k+l-m。
r>k (k+l<m)とr≦k (k+l≧m)とに分けるように場合分けをする：
�@0≦k≦[(m-1)/2], k+1≦l≦m-k-2 のとき r>k、
�A[(m+1)/2]≦l≦m-1, m-1-l≦k≦l-1 または �Bl=m, 0≦k≦m-2 のとき r≦k。

m=6のとき
�@�@�@�@�A�B
××�@�@�A�A�B
×××�A�A�A�B
××××�A�A�B
×××××�A�B
×××××××

m=7のとき
�@�@�@�@�@�A�B
××�@�@�@�A�A�B
×××�@�A�A�A�B
××××�A�A�A�B
×××××�A�A�B
××××××�A�B
××××××××

後はΣの計算。>>60に合わせるとＱ君がＡ君の立場でmが>>60でのn。
#以下 SageMathコード
,var m,n,l,k,q,r,c
T2 = (n-1-l) + (n-q)*(m-1-k)
T1 = T2 - (r-k)
#mが奇数の場合：
Q1 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m+1,q:k,r:k+l}),c-1), l,k+1,m-k-2), k,0,(m-1)/2-1)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m+1,q:k+1,r:k+l-m}),c-1), k,m-1-l,l-1), l,(m+1)/2,m-1)
+ sum(binomial(T2.subs({n:m+1,l:m,q:k+1,r:k}),c-1), k,0,m-2)
).subs({m:n,c:2}).simplify_full().factor()
#mが偶数の場合：
Q2 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m+1,q:k,r:k+l}),c-1), l,k+1,m-k-2), k,0,m/2-2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m+1,q:k+1,r:k+l-m}),c-1), k,m-1-l,l-1), l,m/2,m-1)
+ sum(binomial(T2.subs({n:m+1,l:m,q:k+1,r:k}),c-1), k,0,m-2)
).subs({m:n,c:2}).simplify_full().factor()
def Q1st(x):
return (Q1 if mod(x,2) == 1 else Q2).subs({n:x})

続く