分からない問題はここに書いてね448

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 23:34:13.76

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね447
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537106483/

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 00:49:04.01

削除依頼を出しました

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 00:57:24.49

しつもんいいすか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 00:59:40.14

いいよ。
でも完全性定理と数理論理のモデル理論はダメだからね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:01:08.96

なぜですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:02:45.54

面白くないからに決まってるジャン

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:03:06.08

画像貼るんでちとまってください

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:04:39.25

おう、
待つよ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:06:04.33

https://i.imgur.com/kgByavn.jpg

https://i.imgur.com/81mXtaZ.jpg

1枚目の問題の解答が2枚目なのですが、途中に出てくるmaxは正しくはminではないでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:19:35.42

その通り

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 06:18:04.06

∫1→∞　1/x^2　dx
について
1→∞[-2/x]
1→∞[0+2]=2
とするんですが違和感がありすぎます
x=1のとき高さが2であるとしかこれは言っていなくて
積分ならば当然面積なので
⊿これね直角三角形の面積
高さが2だから面積が2なんて数学はなくて
当然(底辺×高さ)／２ですよね
しかるに
∫1→∞　1/x^2　dx
は
底辺∞高さ2の直角三角形だから
(∞×2)/2=∞
とこうなるんじゃないのん？
おらが間違えたんならどう間違ったか解説してくれんかのう

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:06:11.56

そもそも１だし

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:47:28.20

高さ1底辺∞の直角三角形＝高さ1底辺∞の帯状領域（直方体）
だし
積分で面積を求めた領域≒（x=1付近を除けば）点(0,1)から延びる半直線
だから
違和感持つ方が無理だろ

> 1→∞[0+2]=2
左辺の変な記号が一つ上の行と同じ意味なら右辺は0だなｗ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 15:55:25.77

そかそか

∫1→∞　1/x^2　dx
について
1→∞[-1/x]
1→∞[0+1]=1
とするんですが違和感がありすぎます
x=1のとき高さが1であるとしかこれは言っていなくて
積分ならば当然面積なので
⊿これね直角三角形の面積
高さが1だから面積が1なんて数学はなくて
当然(底辺×高さ)／２ですよね
しかるに
∫1→∞　1/x^2　dx
は
底辺∞-1高さ1の直角三角形だから
((∞-1)×1)/2=∞
とこうなるんじゃないのん？
おらが間違えたんならどう間違ったか解説してくれんかのう

∫1→∞　1/x^2　dx
の面積って1なの？∞なの？どっち？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:10:04.55

dx＝1として計算してみるよ
1→∞[-1/x]

x=1　ｙ＝1
x=2　ｙ＝0.5
x=3　ｙ＝0.33
x=4　y=0.25

ここまでの面積
1+0.5+0.33+0.25=2.08

∫1→∞　1/x^2　dx
の面積は1にはどうしても思えなくて∞だろ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:22:28.86

ああ、ちゃうな

dx＝1として計算してみるよ
y=1/x^2

x=1　ｙ＝1
x=2　ｙ＝0.25
x=3　ｙ＝0.11
x=4　y=0.0625

ここまでの面積
｜1+0.25+0.11+0.0625｜=1.4225

∫1→∞　1/x^2　dx
の面積は1にはどうしても思えなくて∞だろ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:29:56.14

だから無限遠の重力ポテンシャルをゼロにしたなんちゃら宇宙速度
ってそもそも面積∞だから使い物にならんよねえ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:38:43.47

さあ、どうやって誤魔化しますかぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 18:30:04.04

三角形の合同条件3つが合同条件になる証明ができない高校生です笑笑
検索しても出なかったので詳しい方お願いできないでしょうか。
メモします

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:56:36.72

それは例えばヒルベルトの公理系からスタートするのかR^2の座標とっていいのかでも話がだいぶ違うな。
後者でいいん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 20:09:28.39

>>16
> x=1　ｙ＝1
> x=2　ｙ＝0.25
> x=3　ｙ＝0.11
> x=4　y=0.0625
>
> ここまでの面積
> ｜1+0.25+0.11+0.0625｜=1.4225

お前が足してるのは左上の点が1/x^2のグラフ上にある長方形の面積だから
1/x^2のグラフから大いにはみ出てる（積分を上から評価することはできる
右上の点がグラフ上にあるようにするなら最初の1x1の長方形は範囲外だから足したらダメ
そうするとお前の示したのは 0.4225 < 求める積分 < 1.4225 になるということだけ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:07:08.23

そもそも一般に
∫1→∞　1/r^2　dr　＝　1
と
∫0→1　1/r^2　dr　は相似なのに　＝　∞　
↑
なんで1と∞を混在して採用しているわけさ？
ご都合主義なん？

相似なんだから1か∞に統一すべきじゃないのか？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:10:02.83

だから、結局これは

∫0→∞　1/r^2　dr　＝　3　or　∞

3なの？∞なの？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:20:28.20

∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
とする
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞
だけど
∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
と縦横入れ替わっただけで相似だから
∫0→1　1/x^2　dx　＝　1
とする
それに1×1=1
ゆえに
∫0→∞　1/x^2　dx　＝　1+1+1　=　3

こういうことにはならんのかえ？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:25:51.61

ちょっと違うな

∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
とする
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞
だけど
∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
と縦横入れ替わっただけで相似だから 1×1=1の部分を足して
∫0→1　1/x^2　dx　＝　2
とする
ゆえに
∫0→∞　1/x^2　dx　＝　1+2　=　3

こういうことにはならんのかえ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 06:41:01.11

そもそも1/x^2のグラフはｙ軸に対して対称であって縦横が相似じゃないぞ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 07:32:04.74

老子とプリンストン大学数学科の教授の中で断然トップの人はどっちの方が頭が良いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 07:38:25.06

分子が1、分母がn桁の正整数である有理数全体からなる集合をS_nとする。
S_nの要素のうち、循環節の長さを最小とするものを1つ取り、その長さをm[n]とする。同様に循環節の長さを最大とするものについてその長さをM[n]とする。

（1）m[n]を求めよ。

（2）以下を示せ。
(a) lim[n→∞] m[n]/M[n] = 0
(b) M[n]≦M[n+1]
(c) M[n]<10^n

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 08:18:21.72

(10,a) = 1のとき
1/a の循環節の長さ = 10の Z/aZの乗法群での位数。
とくにそれはaより小さいからa<10^nのとき
1/a の循環節の長さ < 10^n。
またa|bのとき
1/a の循環節の長さ≦1/b の循環節の長さ。
pを素数としてa = p^e、vをp進付値mを10の Z/pZの乗法群での位数とするとき
v(10^(mn) －1) = v(10^m－1)+v(n)
により10のZ/aZの乗法群での位数はmp^(e-v(10^m-1))。
特にp = 7のとき10のZ/(p^e)Zの乗法群での位数は6・7^(e-1)。
10^(n-1)<7^e<10^n であるn,eをとるとき1/7^eの循環節の長さは
6・7^(e-1)であり特に
M[n] ≧ 6・7^(e-1) > 6/7 10^(n-1)。

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 10:07:27.41

>>26
y=1/x^2
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞

y=1/x^2
yとx入れ替えて
x=1/y^2
y=1/√x
∫1→∞　1/√x　dx　＝　1
1→∞[2√x]=1→∞[∞-1]=∞

あれ？なんでこっちは収束しないん？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 10:08:36.50

>>26
y=1/x^2
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞

y=1/x^2
yとx入れ替えて
x=1/y^2
y=1/√x
∫1→∞　1/√x　dx　＝　1
1→∞[2√x]=1→∞[∞-2]=∞

あれ？なんでこっちは収束しないん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 10:19:57.47

これの18問ってどうやって解けば良いの？
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/b20170524.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 12:33:50.84

前スレの992
点T(1,t)で円2つが交わるとすれば線分OTの垂直二等分線の第一象限で切り取られた部分が2円の中心間距離l。
l=(t^2+1)^(3/2)/2tはすぐ出てくるのであとは微分してください
おわり

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 12:42:15.75

前スレ993

2∫0→t (a^2-2(a-√(a^2-t^2))^2)dtで出てくるやろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 12:46:55.95

>>32
最近はどうか知らんが
内部の学生有志で解答作ってないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 13:39:03.57

https://i.imgur.com/bzc36HW.jpg　

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 13:45:51.73

宿題の答えを聞いているような感じ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:08:10.35

>>33

〔前スレ．992〕
　xy平面上に，原点Oでそれぞれx軸，y軸に接する2円があり，この2円は点P(1,p) (p>0) で交わっている。
この2円の中心間の距離の最小値を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:19:01.65

>>32
(1)が5になった。自信なし。
(2)(1)のAF(X) = Qを満たすXをX0とすると
EG(X0)⊂X0⊂AF(X0) = Q
だから
X0∈{ AF(EG(X0)) = Q}
により
min {|X| ; AF(EG(X0)) = Q} ≦ 5。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:28:03.45

>>36
x y の法6の類は交代していくだけなので
sin((xn -x0)π/3) + sin((yn -y0)π/3) = 0

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:28:52.25

>>38

2円の中心は、線分OPの垂直二等分線とx軸，y軸の交点。
（(pp+1)/2，0)　(0，(pp+1)/(2p))
その距離の2乗は
　L(p)^2 = (pp+1)^3 /(2p)^2 = (27/16) + (1/4)(pp+4)(pp-1/2)^2 ≧ 27/16,
　L(p) ≧ L(1/√2) = (3√3)/4,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 15:37:10.80

二円の直径(半径)は、それぞれ直角三角形の相似で簡単にわかる.
M = 4L^2 = (pp + 1)^2 + ( p + 1/p )^2 = q^2 + 3q + 1/q + 3 (q = pp と置いた)
M'= 2q + 3 - 1/(qq) = (2q^3 + 3qq - 1) = (2q - 1)(q+1)^2 /(qq)
増減表より M は q=1/2 にてミニマム値をとる事がわかる. (条件 q＞０)
よって L_min = (1/2) * √(1/4 + 3/2 + 2 + 3)　= 1/4 √27 = (3√3)/4.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 20:28:40.36

前スレ>>897
サイコロを繰り返し投げ, 出た目が直前の回に出た目の約数でなくなったら終了する。
n回目にサイコロを投げ, かつその目が1である確率p[n]を求め, n回目に終了する確率をp[n]とp[n+1]を用いて表せ。

n回目が1になるのは, 次のような経過の場合である:
6→1, 6→3→1, 6→2→1, 5→1, 4→1, 4→2→1, 3→1, 2→1, 1

∴n回目が1である確率P[n]は,
P[n]={1+5･C(n-1, 1)･3･C(n-1, 2)}/6^n
=(3n²+n-2)/(2･6^n)
を得て,
n-1回目に終了していない確率は, 6･P[n]なので
, n回で終了する確率は,
6(P[n]-P[n+1])=(15n²-n-14)/(2･6^n)
を得る。

n回目が1である確率から, 直ちにn回で終了する確率が求められるところが面白いと感じますね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 21:56:07.33

ある牧場では１００頭の羊を放すと１５日間で牧草がなくなり、
１２０頭の羊を放すと１０日間で牧草が食べつくされました　
この牧場で８０頭の羊を１０日間放した後、
さらに何頭xかの羊を加えたところ、
加えてから４日間で牧草は食べつくされました
後から加えた羊は何頭ですか
ただし、牧草は１日に一定量a生え、また、
どの羊も１日で同じ量uの牧草を食べるものとします

（ヒント：最初からある草の量をbとおく）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:16:23.48

ニュートンのパチモンか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:20:12.89

１００

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:22:52.34

問題文見間違えた >46はなしで

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:31:23.90

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 23:48:05.98

>>34

〔前スレ．993〕
　aを正の定数とする。
xyz空間において，円柱 yy + zz ≦ aa と角柱 |x| + |z|≦ a との共通部分をKとする。
(1) Kの体積を求めよ。
(2) Kの表面積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 00:16:28.74

>>49
(1)
ｚ＝一定の平面で切ると、
　|x| ≦ a - |z|,
　|y| ≦ √(aa-zz),
の長方形。

V = 8∫[0，a] (a-z)√(aa-zz) dz = (2π - 8/3)a^3 = 3.61651864a^3

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 00:20:46.17

a,b,cは素数で、2≦a≦b≦cかつa+b>cを満たす。
AB=c,BC=a,CA=bである△ABCの面積をS(a,b,c)とする。

（1）有理数pと自然数nを用い、S(a,b,c)=p√nと表したとき、n=1とならないことを示せ。

（2）次の命題の真偽を述べよ。
「どのような素数qについても、a,b,cをうまく選ぶことで、n=qとなるようにできる」

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 08:36:23.80

高専２年
行列
(2)は簡単ですが(1)の固有値が求まりません
お願いします

https://i.imgur.com/3dtlh8V.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 08:42:17.38

わからないんですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 09:25:25.86

>>52

固有値　　　(固有ベクトル)^t
----------------------------------
　1+2a 　　(1/√3，1/√3，1/√3)
　1-a　　　(1/√6，1/√6，-2/√6)
　1-a　　　(1/√2，-1/√2，0)

1-a は重根なので、固有ベクトルの取り方がいくつもあります。
a=0 つまり A=E のときは任意のベクトルが固有ベクトルです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 09:58:35.15

>>50 (補足)

∫(a-z)√(aa-zz) dz
　= ∫[(1/2)a^3 -aaz -azz +z^3]/√(aa-zz) dz + (a^3)/2･∫1/√(aa-zz) dz
　= (1/6) (2aa+3az-2zz) √(aa-zz) + (a^3)/2･arcsin(z/a) +c,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 10:42:44.15

「無」に勝るものは何もありませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 10:45:54.04

>>44
増える草の量+最初の草の量-食べる草の量=0
として式を作る。
15a+b-100*15u=0
10a+b-120*10u=0
14a+b-(80*14+x*4)u=0
これを解くとx=80

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 11:38:07.42

>>38
勝手にtで置いてたけどpだったかw