高校数学の質問スレPart398
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間違えました 誤 >一番左のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、 正 一番右のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、 でした。済みません。 x≠0, y≠0のとき以下が成り立つ log|y|=x+3log|x|+C <=> log|y/x^3| = x + C <=> y/x^3 = ±e^C・e^x <=> y = Ax^3・e^x (A = ±e^C) 記述上、複号は任意なんだな。それを全部積分て位数Aに含めている。 >>424 いえ、入ってます。 問題から離れて非常にシンプルな例で考えてみましょう。 y=|x|またはy=−|x|…☆ について、 y=xもy=−xも☆のどちらの一つを表してくれません。 しかし、 y=xまたはy=-x としたとき、☆とグラフは同じですよね。 これと同様に、Aがある値をとったときy=|x|^3e^xを表すものはありません。 しかし、A=1とA=−1でy=|x|^3e^xとy=−|x|^3e^xを表せていませんか? でも、ま、それは当然かな。 暖かく見守ってやらなくちゃね(自明なことを執拗に繰り返さない限りは、だけど)。 >>429 424 です。 早速の返事ありがとうございます。 y=|x|またはy=−|x|…☆ は y=xまたはy=-x とグラフが同じになるので 等しい関数と考えるということですか? ここのところが、腑に落ちません。 例えば、何かの観察をして、この微分方程式ができて、 初期条件 x=0, y=1 から関数を定め、それ以外の x について yを求めようとしたとき、 y=x^3e^x と y=|x|^3e^x では x<0 のとき y の値が違ってしまいますが 問題はないのですか? >>435 そういう微分方程式を解くときは、xの範囲を曖昧にするのが慣習なんです あなたのいうように、どちらも解なわけですが、結局基本はy=Ax^3e^xな訳です 細かい調整は勝手にやってねって感じですね >>424 これ>>424 の疑問はもっともだし、その参考書?の答えの方がおかしいんじゃね? なんて教科書? 3log|x|を左辺に移項してlogをまとめて答を出すと「テキスト」のと同じになるだろ 結果が異なるということは少なくともどっちがか間違ってるということだ いや、違う。 もひ、この問題を大学生以上の人に正しく解説するなら y≠0の時 そのようなx=tの近傍において 中略 y=ax^3e^x 特にt>0のときはx>0に、t<0のときはx<0に一意に拡張される。 逆にa.bを任意に選び y=ax^3 (x>0) . bx^3 (x<0) . 0. (x=0) と定めれば与式を満たす。 故に上式が一般解である。 までやらないと少なくとも数学科では通用しない。 とりあえずy≠0とか仮定して変数分離して局所解出すのはいいけど、大域的につないで行くとき積分定数がずれる事が許される可能性はキチンと精査しないとダメ。 てかこの手の方程式ではかなりのケースでズレる事が許される。 受験数学でこんなのが出るとは思わないし、そもそも範囲外だけど敢えて受験数学の参考書に書くならこういう例出してはダメだ。 高校生に理解させるのはかなりムズイし意味もない。 そう。 これを意味の或る問題とするためには、例えば、 x>0で定義された微分可能なxの関数yは x(dy/dx)=(3+x)y を満たす。 y を求めよ。 但しx=1のときy=eとする。 くらいの制限をつけないとね。 >>435 >とグラフが同じになるので >等しい関数と考えるということですか? 細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、 y=|x|またはy=−|x| も y=xまたはy=-x も2つずつあるので関数の集合ですね。 それと、初期条件x=0, y=1を満たすAもCもありませんので一応。 腑に落ちない理由は ・一般解を求めよという問題と初期値問題を一緒にしていること ・常に一般解に単に初期条件を代入すれば特殊解が出てくると思っていること だと思います。 まず、1つ目の理由について。 一般解を求めよならy=Ax^3e^xでいいのですが、 ある初期値の時の特殊解を求めよという問いのときはこの形にしてだめだということです。 微分方程式の一般解と特殊解という関係でなくても、 ある問題の解答がy=|x|のとき、どんな関数かと訊かれたら、普通はy=|x|と簡潔に答える一方で、 グラフを書くときはxが非負ではy=xでx<0ではy=-xと分けて考えるのと同じです。 つまり、一般解を簡潔な形で書いたために、特殊解は求めにくくなっているということです。 ただ、y=Ax^3e^xは任意のxでなりたつy=f(x)のような統一された一定の関係性よりも 個々のxにyを対応させればそれでよいという現代的な関数の見方である集合論的に関数を見る側面が強い式なので、 こういうことまで高校生に知っていることを前提とするのは無茶だと思います。 次に2つ目の理由についてですが、 y=Ax^3e^xのように一般解を簡潔まとめなくても、例えば一般解はxが正にも負にも存在するのに、 ある初期条件ではxが負ではその特殊解が存在しなくなるため、 ただ単に初期条件を代入すれば良いわけではなく、しっかり考察が必要という場合があります (例:dy/dx=-y/x^2、x=1でy=e)。 そういうことを経験していくと、一般解と特殊解の距離感が見えてくると思いますが、 高校生に、それも微分方程式が範囲外となっている学年に発展事項として出す例としては、 1つ目の理由の中で述べたことも含めあまりに不適切ですね。 高専の数学はここで質問するべきではない よそで聞くか新しく高専数学質問スレを立ててほしい >>435 >とグラフが同じになるので >等しい関数と考えるということですか? 細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、 y=|x|またはy=−|x| も y=xまたはy=-x も2つずつあるので関数の集合ですね。 それと、初期条件x=0, y=1を満たすAもCもありませんので一応。 腑に落ちない理由は ・一般解を求めよという問題と初期値問題を一緒にしていること ・常に一般解に単に初期条件を代入すれば特殊解が出てくると思っていること だと思います。 まず、1つ目の理由について。 一般解を求めよならy=Ax^3e^xでいいのですが、 ある初期値の時の特殊解を求めよという問いのときはこの形にしてだめだということです。 微分方程式の一般解と特殊解という関係でなくても、 ある問題の解答がy=|x|のとき、どんな関数かと訊かれたら、普通はy=|x|と簡潔に答える一方で、 グラフを書くときはxが非負ではy=xでx<0ではy=-xと分けて考えるのと同じです。 つまり、一般解を簡潔な形で書いたために、特殊解は求めにくくなっているということです。 ただ、y=Ax^3e^xは任意のxでなりたつy=f(x)のような統一された一定の関係性よりも 個々のxにyを対応させればそれでよいという現代的な関数の見方である集合論的に関数を見る側面が強い式なので、 こういうことまで高校生に知っていることを前提とするのは無茶だと思います。 次に2つ目の理由についてですが、 y=Ax^3e^xのように一般解を簡潔まとめなくても、例えば一般解はxが正にも負にも存在するのに、 ある初期条件ではxが負ではその特殊解が存在しなくなるため、 ただ単に初期条件を代入すれば良いわけではなく、しっかり考察が必要という場合があります (例:dy/dx=-y/x^2、x=1でy=e)。 そういうことを経験していくと、一般解と特殊解の距離感が見えてくると思いますが、 高校生に、それも微分方程式が範囲外となっている学年に発展事項として出す例としては、 1つ目の理由の中で述べたことも含めあまりに不適切ですね。 すいません二度同じ書き込みをしてしまいました 続きの説明はまた数時間後にします 424 です。 詳しい解説ありがとうございます。 >>とグラフが同じになるので >>等しい関数と考えるということですか? >細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、 >y=|x|またはy=−|x| >も >y=xまたはy=-x >も2つずつあるので関数の集合ですね。 聞きかじりで「2価関数(? 2値関数?)」なんて単語を聞いた気がしたので y=+|x| , y=±x が 正の値と負の値、2つの値をとる関数と考えるのかな? と、自分の中で理屈をつけました。 初期条件 x=0, y=1 は単純な勘違いです。 おっしゃるとおり、これでは、AもC も決まりませんね。ご指摘ありがとうございました。 まだ、よく理解できない部分もあるので、もう少し自分で考えてから返事をします。 ただ、高専の数学とおっしゃっている方もいますので、 どの本に載っていたかを書きます。 数研出版の 改訂版クリアー数学演習V の169番(1) の問題です。 元の問題は 「微分方程式 x dy/dx=(1+x)y を解け。 (日本工大)」でしたが そのまま質問するのもと思い (1+x) を (x+3) に変えました。 またあとで、よろしくお願いします。 合成数という単語は基本的に受験のときに出ませんよね?出たとしても注釈付きますよね? 10数年ぶりに数学の問題を解く必要が出て、 これが高校数学の範囲なのかもわからないのですが質問させてください。 点Aと点Bを通る円の中心座標を求めたいです。 ただし円の半径はわからず、点Aと点Bの座標、∠AOBの角度はわかっているとします。 >>452 円の中心はAとBの垂直二等分線上 △AOBは二等辺三角形だから頂角から底角が分かる >>451 10年前の数学Bの「統計とコンピュータ」の分野で初めて使われていました 自分は数学は二次試験で使ったのでそこそこ勉強したのですが,この前合成数という単語を知ったばかりなので,マイナーな単語なのかと思いました y=−2x+3(-1≦x≦3) 関数の値を求め、最大値、最小値も求めよ 1次関数y=-2x+3のグラフでは傾きが-2、y切片が3の直線で x=-1のときy=5 x=3のときy=-3 傾き-2とは何か、y切片とは何か また、y=5とy=-3はどういった求め方をしたのかお教えください。 初歩の初歩の初歩だと思いますが調べ方が悪いのか出てきませんのでご質問させていただきました。 全部教科書に書かれているようなこと。 中学校の数学教科書を買い求めて読み直すことをすすめる。 >>457 そんなくだらねー長文を書けるなら いくらでも検索できるだろーが ぐだぐだ書いてねーでさっさと検索しろ できねーなら数学やめて一生ドカタでもやってろ >>457 中学数学の質問は中学数学の質問スレでしましょう ないなら作ってください >>457 まずは平仮名か片仮名で書いて音で覚えてみな。教科書なんか見たらかえってこんがらがる。今はただこの問題に集中しろ。その前にまず音を入れろ。頭の中で発声できたらすぐ解ける。 傾き=(えっくすのぞうかりょうぶんのわいのぞうかりょう)エックスノゾーカリョーブンノワイノゾーカリョー =(-3-5)/{3-(-1)} =-8/4 =-2 y切片=(えっくすがぜろのときのわいのあたい)エックスガゼロノトキノワイノアタイ −2・0+3 =3 な。 x=-1のとき、 y=-2(-1)+3 =2+3 =5 x=3のとき、 y=-2・3+3 =-6+3 y=-3 たまに見るラングレーの四角形みたいな簡単な手法しか使わずに解ける難問 あのような問題を解けるようになるには訓練ですか?才能ですか? 数学は暗記です 英単語をどうやって思いつくのですか?と聞いてるのと同じことですよ 覚えないと始まりません 大学数学でもそうですよ どれだけ知ってるかが大事です じゃあ初めて何かを示した人はどこで知ったんでしょうね? 数学で暗記は袋小路 受験で終わり実用も学習も不可能にする 回答がないですね 数学は暗記ではない、ということを暗記しているのではないかと疑ってしまいます >>469 に答えられないから、論理的な意味をなさない>>470 のような質問をして煙に巻こうとしてるのではないかと疑ってしまいます 自分で発明できるのは一部の天才だけです 他の99.9%の凡人は覚えるしかありません 実際あなたも何も実績ないわけです 2次元の直線がsin波と最初に交わる位置を知りたいんですがどう計算したらいいでしょうか? 何も新しいことができないようなら数学やるだけ無駄ですね そういう方は数学ではなく英単語でも覚えてたらいいんじゃないですか? ですから、あなたはどんな新しいことをしたのかと聞いてるんですが 今でもませマティかってあるのかな 式を入力すると計算してくれる奴 グラフも書いてくれていろいろ遊んだな 答えがないですね 答えがないのは答えられないからです 自分は新しい発見してないのに随分と偉そうですね 同じ円すい2つを底面同士でくっつけた図形の名前ってありますか? 分かる方いれば教えて下さい 人間は自分で考え出せる事しか理解できない 教えられて理解できたなら、それはヒントをもらって創造したと言う事 何かを理解してる人は全部発明してると言える 交換法則 A+B=B+A A×B=B×A が、自然数だけでなくすべての整数や有理数で成り立つ証明方法を教えてください サイト漁っても自然数しか見つかりませんでした 自然数から拡大時に成り立つままって事くらい見つかるだろ 必要条件と十分条件について教えてください 数学の先生が授業で、 「AとBがケンカしているとする。ここで AがBを殴ったならもうAにとっては十分だ。Bは殴られたので殴り返すことが必要だ。こうやって憶えればいい」 とAB間に矢印を引きながら言われました。 必要条件と十分条件の定義は頭では分かるのですが、上の説明を理解することがどうしてもできません。 >>491 その説明は語呂合わせレベルの記憶術にすぎないので、 ちゃんと定義が理解できる人には向かないと思う。 「A ⇒ B (が真)」であるとは 「条件Aが真の時、 常に 条件B が真になる」「Aならば、Bである必要がある」 イコール「Aにとって B は "必要な" 条件」である. 「より緩い条件Cが真の時でも 条件B が真になるかもしれないが、 条件B にとって 条件Aであれば十分である (もしかしたら無駄があるかもしれない) 」 イコール「BにとってAは "十分な" 条件」 これでも過剰に意味を持たせすぎだと思うけど、語呂合わせよりはマシ。 >>491 くだらないことですよ Aは殴ってスッキリ=十分,満腹 Bは殴られて悔しい=必要(仕返しが) >>492 丁寧に説明していただいてありがとうございます 自分は ベン図でイメージしてるんですが、逆にそれ以外のイメージが全く湧かなくて、ケンカで殴ったから十分だとか言われても入ってこないんです でも先生の言うことだし、気になって仕方ありません a→bというのは、aが真でbが偽の時だけ偽になる命題のことやで >>491 それって、単に→のどっち側が十分条件/必要条件に なるかの記憶法でしょ。→を殴る方向だと考えて。 >>494 先生は、なぜ十分条件とか必要条件と言えるのかという説明を しているんじゃなくて、単に、→で結ばれた命題のどっち側を どう呼ぶかという記憶法を教えてるだけだと思うよ。 >>497 そうなんですねありがとうございます まだ自分の基礎的な理解が足りないみたいです 理系の才能が全くないので、ひとつひとつはまり込んでしまって進みません みなさんありがとうございました! >>498 >>493 を無視するのはなぜですか? これは数学的な話ではなく、単なる語呂合わせなんですよ A→Bが真であるためには、 1)Aが真であれば、Bが真であることが必要な条件となる。 2)Bが真であれば、Aは真でも偽でも十分である。 (あるいは、Bがなんであろうと、Aが偽であれば十分)。 実際のところ、どういう理由で必要条件とか十分条件とか 呼ばれるようになったのかは知らんよ。今思いついたデタラメw >>501 あ いや、すみません無視したというのか、先生の説明とほぼ同じことを書いてくださってたので・・ その くだらないこと、と書いてくださっていた部分こそ理解できずにいたので、どう反応していいか分かりませんでした >>493 さんも、語呂合わせとか、>>499 さんのようなことを教えて下さってたんですね! 丁寧に教えて下さってありがとうございました! どうして必要条件、十分条件と呼ぶのか、気になってきた。 チコちゃんに手紙だして尋ねてみようかな。 こんなレベル低い質問に答えてくださって皆さんありがとうございました! 先生なりに 文系のバカの頭に合わせて教えてくださってただけなんですねスッキリしました そんなんで充分なんでしょうねえ 単純に憶える数こなすイメージするとかが大事なんだろうし、 文系が理解とか考えだしたら変な方向にいくってのは分かってるつもりなんだけどな 数学ってほんと難しい 受験理系が暗記とか言い出すほうがちゃんちゃらおかしい 必要十分は論理の話ですから理系文系関係ないですよ 頑張りましょう バカなりに頑張ります! 自分のせいで 前にされてた質問がだいぶ流れてしまいました 申しわけないです・・ 消えます ありがとうございました >>502 に書いてあるのは恒真式A→(B→A)のことだから少し違う 高校数学ではないかもしれんけど、教えて欲しい 通常の速度の70%の速さでプレイした動画を編集しているのだけど、 それを通常の速さに編集したい 速さを何%にすれば本来のゲーム速度と同じ動画になるだろうか? 50%で遊んだなら単純に200%に編集すればいいのはわかるんだが… ごめんこういうスレがあったのでこちらに書きました マルチになってすまない、取り消します 分からない問題はここに書いてね449 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1543158054/ >>507 論理の話は意味を考えちゃうと混乱するからね。 太陽が西から昇るならば犬は植物である、の真偽とかw A→Bの真理値表がなぜ真→偽のときだけ偽でそれ以外 は真になるのかとか、考えだしたら頭が痛くなる。 とりあえず、そういう定義から始まると思ってやるのが いいのかも。割り算の筆算でなぜ正しい答えが導かれるのか なんて考えずに覚えるのと同じで。 天才的な先人達が長い時間をかけて辿りついた結果を、時短で 活用してると思えばいいんじゃないかな。それでも記憶すべき ことは、他の学問分野に比べれば遙かに少ないわけで。 >>514 そうですよね 先生には、数学が苦手なのは仕方ないって言われました でも ものの考え方には矛盾や破綻がないようにするのが大事で、ツボを見極めて論理的に物事や考えを整理できることは これから先ぜったい必要だって言われたんですよね 何をどう勉強したらいいかは分からないんですけど、そんな感じです >>515 高校数学は論理ではなくパズルなんですよね 基本的に 自分で全部考えるんではなく、どう組み合わせればよいのか、これも論理の一つの形だということをわかりましょう >>516 パズルと思って取り組めるレベルまで行けるように勉強します ありがとうございました すまん 平面立体に関わらず、2つの点の最短距離が直線である理由を教えてくれるとありがたい 母親に中学数学を教えていた際にそれを質問されて全く答えられなかった >>519 ピタゴラスの定理でどうかな。直角三角形の斜辺の長さは 他の2辺の長さより長い。 二点ABを結ぶ任意の曲線を、線分ABに垂直な多数の直線L1,L2,,,,で切って 細かく分割してやると、それらの破片の長さはL1,L2,...の間隔より長くなる (破片を平行移動させて、ABとLとで直角三角形を作れば、破片は斜辺に なるので)。よって、曲線の長さ(=破片の長さの和)は線分ABの長さを 越える。 三角形ABCで sinA : sinB : sinC の比としてありうるのは、正弦定理から 三角形の辺の条件(任意の二辺の和>残る辺)を満たす場合で 例えば sinA : sinB : sinC = 1:2:5 などはありえません。 では、cosA : cosB : cosC の比は、どのような条件を満たせばありうるでしょうか。 >>523 まず補題として 0<a,b<πのとき a+b≧π⇔ cos a + cos b ≦ 0 は和積公式つかってすぐ言えるのでよいとして p:q:r = cos A : cos B :cos C, (∃A+B+C = π) ⇔ p+q>0, q+r>0, r+p>0 ⇒は補題から自明。 右の条件を仮定する。ただし p≦q≦r とする。 f(x) = acos(px) + acos(qx) + acos(rx) (0≦x≦1/r) を考える。ただし acos(t)は-1≦t≦1において-π≦acos(θ)≦πをとるとする。 条件より 0≦x≦1/r において px,qx,rx はすべて[-1,1]に値をとるのでwell-defined。 f(0) = 3π/2は自明。 f(1/r) = acos(p/r) + acos(q/r) ≧ πと仮定すると補題によりp/r+q/r≦0となり条件に反する。 ∴ f(1/r)<π よってf(x) = πとなるxが0<x<1/rにとれるが、以下ry ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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