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高校数学の質問スレPart398
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0407１３２人目の素数さん
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2018/11/13(火) 14:42:07.18ID:J2Hn924H
高校レベルの微分方程式についてですが
質問していいですか？
0410１３２人目の素数さん
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2018/11/14(水) 12:39:07.85ID:RTx7laqG
定義と同義
0411１３２人目の素数さん
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2018/11/14(水) 12:42:51.00ID:RTx7laqG
>>398
因数分解は整数の範囲内で行うのが暗黙のルール
2の約数(因数)は√2とは言わないでしょう
0414１３２人目の素数さん
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2018/11/14(水) 17:31:42.97ID:n3fEx9gq
>>413
発展項目として取り上げている教科書もあるだけで現行の指導要領の範囲外ではあるけどな
理数数学は指導要領でも取り上げられているけど教科書がない
0422１３２人目の素数さん
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2018/11/15(木) 17:35:05.60ID:GWRwjBVf
キムチとか何言ってんの？
複素関数馬鹿すぎだろ
0424１３２人目の素数さん
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2018/11/15(木) 22:09:32.97ID:mSpb/gLd
微分方程式の質問をしていいかと尋ねたものです。
話の流れから、質問しても良さそうなので、質問します。

その前に、実は、この問題はここに書く前に、知恵袋に質問した問題です。
2人の方にお答えをいただいたのですが、私の頭が悪いせいで、答えが理解
できず、質問を重ねたら、放置されてしまい、私の中では解決していない問
題です。

そんな事情のある件ですが、お願いします。

問題は　「微分方程式 x(dy/dx)=(x+3)y を解け」です。
テキストに載っている解答の大部分は理解できるのですが、1箇所わか
らないところがあります。

解答の流れは　
(1) y=0 は解である。
(2) y≠0 のとき
　　(1/y)dy=(1+3/x)dx より
　　log|y|=x+3log|x|+C
|y|=e^(x+log|x|^3+C)
　 y=±e^C・|x|^3・e^x
質問は、ここからです。
テキストの解答では
　±e^C と |x| の絶対値を外して出てくる±をまとめて
Aとおいて y=Ax^3e^x を答えにしています。

|x|の絶対値が外れる理由がわかりません。

y=Ax^3e^x をAの値をいろいろ変えてグラフをかくと

https://imgur.com/a/6y9l4ck

の真ん中の画像のようになります。
一番左の y=x^3e^x のグラフを A倍したものの集まりです。

しかし、この中には
|x|の絶対値を外す前で C=0とした y=|x|^3e^x と y=-|x|^3e^x
は、入っていません。
一番左のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、
真ん中のグラフには現れません。
つまり、y=Ax^3e^x の Aをどのように選んでも、y=|x|^3e^x は表せません。

y=|x|^3e^x は、この微分方程式の解に入れなくてもいいのでしょうか？

よろしくお願いします。
0425１３２人目の素数さん
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2018/11/15(木) 22:11:19.59ID:mSpb/gLd
間違えました
誤　＞一番左のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、
正　　一番右のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、

でした。済みません。
0426１３２人目の素数さん
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2018/11/15(木) 23:17:46.64ID:m+e3TG2J
x≠0, y≠0のとき以下が成り立つ
log|y|=x+3log|x|+C
<=>
log|y/x^3| = x + C
<=>
y/x^3 = ±e^C･e^x
<=>
y = Ax^3･e^x　(A = ±e^C)
0428１３２人目の素数さん
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2018/11/15(木) 23:27:03.76ID:/f6XkmRd
記述上、複号は任意なんだな。それを全部積分て位数Aに含めている。
0429１３２人目の素数さん
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2018/11/15(木) 23:43:20.71ID:6uANSJfR
>>424
いえ、入ってます。

問題から離れて非常にシンプルな例で考えてみましょう。

y=|x|またはy=－|x|…☆
について、
y=xもy=－xも☆のどちらの一つを表してくれません。
しかし、
y=xまたはy=-x
としたとき、☆とグラフは同じですよね。

これと同様に、Aがある値をとったときy=|x|^3e^xを表すものはありません。
しかし、A=1とA=－1でy=|x|^3e^xとy=－|x|^3e^xを表せていませんか？
0432１３２人目の素数さん
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2018/11/16(金) 00:29:33.24ID:LBn7birX
でも、ま、それは当然かな。
暖かく見守ってやらなくちゃね（自明なことを執拗に繰り返さない限りは、だけど）。
0435１３２人目の素数さん
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2018/11/16(金) 22:22:03.88ID:aU4CKq6X
>>429
424 です。
早速の返事ありがとうございます。

y=|x|またはy=－|x|…☆
は
y=xまたはy=-x
とグラフが同じになるので
等しい関数と考えるということですか？

ここのところが、腑に落ちません。
例えば、何かの観察をして、この微分方程式ができて、
初期条件 x=0, y=1　から関数を定め、それ以外の x について
ｙを求めようとしたとき、
y=x^3e^x
と
y=|x|^3e^x
では x<0 のとき y の値が違ってしまいますが
問題はないのですか？
0436１３２人目の素数さん
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2018/11/16(金) 23:58:36.08ID:RfAFNBlC
>>435
そういう微分方程式を解くときは、xの範囲を曖昧にするのが慣習なんです
あなたのいうように、どちらも解なわけですが、結局基本はy=Ax^3e^xな訳です
細かい調整は勝手にやってねって感じですね
0438１３２人目の素数さん
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2018/11/17(土) 00:54:45.61ID:7QGQU0he
3log|x|を左辺に移項してlogをまとめて答を出すと「テキスト」のと同じになるだろ

結果が異なるということは少なくともどっちがか間違ってるということだ
0440１３２人目の素数さん
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2018/11/17(土) 01:15:28.46ID:A1Nd7rYy
いや、違う。
もひ、この問題を大学生以上の人に正しく解説するなら

y≠0の時
そのようなx=tの近傍において
中略
y=ax^3e^x
特にt>0のときはx>0に、t<0のときはx<0に一意に拡張される。
逆にa.bを任意に選び

y=ax^3 (x>0)
. bx^3 (x<0)
. 0. (x=0)

と定めれば与式を満たす。
故に上式が一般解である。

までやらないと少なくとも数学科では通用しない。
とりあえずy≠0とか仮定して変数分離して局所解出すのはいいけど、大域的につないで行くとき積分定数がずれる事が許される可能性はキチンと精査しないとダメ。
てかこの手の方程式ではかなりのケースでズレる事が許される。
受験数学でこんなのが出るとは思わないし、そもそも範囲外だけど敢えて受験数学の参考書に書くならこういう例出してはダメだ。
高校生に理解させるのはかなりムズイし意味もない。
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 01:26:57.64ID:CC4o2O/6
そう。
これを意味の或る問題とするためには、例えば、
x＞0で定義された微分可能なxの関数yは　x(dy/dx)=(3+x)y を満たす。
y　を求めよ。　但しx=1のときy=eとする。
くらいの制限をつけないとね。　
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 11:29:46.58ID:EmyQfxMk
>>435
>とグラフが同じになるので
>等しい関数と考えるということですか？
細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、
y=|x|またはy=－|x|
も
y=xまたはy=-x
も2つずつあるので関数の集合ですね。
それと、初期条件x=0, y=1を満たすAもCもありませんので一応。

腑に落ちない理由は
・一般解を求めよという問題と初期値問題を一緒にしていること
・常に一般解に単に初期条件を代入すれば特殊解が出てくると思っていること
だと思います。

まず、1つ目の理由について。
一般解を求めよならy=Ax^3e^xでいいのですが、
ある初期値の時の特殊解を求めよという問いのときはこの形にしてだめだということです。
微分方程式の一般解と特殊解という関係でなくても、
ある問題の解答がy=|x|のとき、どんな関数かと訊かれたら、普通はy=|x|と簡潔に答える一方で、
グラフを書くときはxが非負ではy=xでx<0ではy=-xと分けて考えるのと同じです。
つまり、一般解を簡潔な形で書いたために、特殊解は求めにくくなっているということです。
ただ、y=Ax^3e^xは任意のxでなりたつy=f(x)のような統一された一定の関係性よりも
個々のxにyを対応させればそれでよいという現代的な関数の見方である集合論的に関数を見る側面が強い式なので、
こういうことまで高校生に知っていることを前提とするのは無茶だと思います。

次に2つ目の理由についてですが、
y=Ax^3e^xのように一般解を簡潔まとめなくても、例えば一般解はxが正にも負にも存在するのに、
ある初期条件ではxが負ではその特殊解が存在しなくなるため、
ただ単に初期条件を代入すれば良いわけではなく、しっかり考察が必要という場合があります
（例：dy/dx=-y/x^2、x=1でy=e）。
そういうことを経験していくと、一般解と特殊解の距離感が見えてくると思いますが、
高校生に、それも微分方程式が範囲外となっている学年に発展事項として出す例としては、
1つ目の理由の中で述べたことも含めあまりに不適切ですね。
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 11:39:23.56ID:3iQTC1A6
高専の数学はここで質問するべきではない
よそで聞くか新しく高専数学質問スレを立ててほしい
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 13:53:33.90ID:edRAjYQe
>>435
>とグラフが同じになるので
>等しい関数と考えるということですか？
細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、
y=|x|またはy=－|x|
も
y=xまたはy=-x
も2つずつあるので関数の集合ですね。
それと、初期条件x=0, y=1を満たすAもCもありませんので一応。

腑に落ちない理由は
・一般解を求めよという問題と初期値問題を一緒にしていること
・常に一般解に単に初期条件を代入すれば特殊解が出てくると思っていること
だと思います。

まず、1つ目の理由について。
一般解を求めよならy=Ax^3e^xでいいのですが、
ある初期値の時の特殊解を求めよという問いのときはこの形にしてだめだということです。
微分方程式の一般解と特殊解という関係でなくても、
ある問題の解答がy=|x|のとき、どんな関数かと訊かれたら、普通はy=|x|と簡潔に答える一方で、
グラフを書くときはxが非負ではy=xでx<0ではy=-xと分けて考えるのと同じです。
つまり、一般解を簡潔な形で書いたために、特殊解は求めにくくなっているということです。
ただ、y=Ax^3e^xは任意のxでなりたつy=f(x)のような統一された一定の関係性よりも
個々のxにyを対応させればそれでよいという現代的な関数の見方である集合論的に関数を見る側面が強い式なので、
こういうことまで高校生に知っていることを前提とするのは無茶だと思います。

次に2つ目の理由についてですが、
y=Ax^3e^xのように一般解を簡潔まとめなくても、例えば一般解はxが正にも負にも存在するのに、
ある初期条件ではxが負ではその特殊解が存在しなくなるため、
ただ単に初期条件を代入すれば良いわけではなく、しっかり考察が必要という場合があります
（例：dy/dx=-y/x^2、x=1でy=e）。
そういうことを経験していくと、一般解と特殊解の距離感が見えてくると思いますが、
高校生に、それも微分方程式が範囲外となっている学年に発展事項として出す例としては、
1つ目の理由の中で述べたことも含めあまりに不適切ですね。
0447１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 13:54:11.69ID:edRAjYQe
すいません二度同じ書き込みをしてしまいました
続きの説明はまた数時間後にします
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 14:34:17.46ID:lj0Tffmu
>>447
なりすまし乙
0449１３２人目の素数さん
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2018/11/17(土) 22:03:02.39ID:5gybjYJI
424 です。

詳しい解説ありがとうございます。
＞>とグラフが同じになるので
＞>等しい関数と考えるということですか？
＞細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、
＞y=|x|またはy=－|x|
＞も
＞y=xまたはy=-x
＞も2つずつあるので関数の集合ですね。

聞きかじりで「2価関数（？ 2値関数？）」なんて単語を聞いた気がしたので
y=＋|x| ,　y=±ｘ が 正の値と負の値、２つの値をとる関数と考えるのかな？
と、自分の中で理屈をつけました。

初期条件　x=0, y=1 は単純な勘違いです。 おっしゃるとおり、これでは、AもC
も決まりませんね。ご指摘ありがとうございました。

まだ、よく理解できない部分もあるので、もう少し自分で考えてから返事をします。

ただ、高専の数学とおっしゃっている方もいますので、
どの本に載っていたかを書きます。
数研出版の　改訂版クリアー数学演習Ⅲ の169番(1) の問題です。
元の問題は 「微分方程式 x dy/dx=(1+x)y を解け。 (日本工大)」でしたが
そのまま質問するのもと思い (1+x) を (x+3) に変えました。

またあとで、よろしくお願いします。
0450１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/18(日) 00:09:31.32ID:LN3kEmqf
合成数という単語は基本的に受験のときに出ませんよね？出たとしても注釈付きますよね？
0452１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 10:35:14.68ID:NCkGhwP6
10数年ぶりに数学の問題を解く必要が出て、
これが高校数学の範囲なのかもわからないのですが質問させてください。
点Aと点Bを通る円の中心座標を求めたいです。
ただし円の半径はわからず、点Aと点Bの座標、∠AOBの角度はわかっているとします。
0454１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 12:44:18.50ID:jJSARdgV
>>452
円の中心はAとBの垂直二等分線上
△AOBは二等辺三角形だから頂角から底角が分かる
0455１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/20(火) 12:17:37.76ID:dYNrvfcy
>>451
10年前の数学Bの「統計とコンピュータ」の分野で初めて使われていました
自分は数学は二次試験で使ったのでそこそこ勉強したのですが，この前合成数という単語を知ったばかりなので，マイナーな単語なのかと思いました
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/21(水) 21:07:31.55ID:dHQK+vft
y=－2x+3(-1≦x≦3)
関数の値を求め、最大値、最小値も求めよ
1次関数y=-2x+3のグラフでは傾きが-2、y切片が3の直線で
x=-1のときy=5
x=3のときy=-3

傾き-2とは何か、y切片とは何か
また、y=5とy=-3はどういった求め方をしたのかお教えください。　初歩の初歩の初歩だと思いますが調べ方が悪いのか出てきませんのでご質問させていただきました。
0458１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/21(水) 22:52:02.79ID:/DfEl35Q
全部教科書に書かれているようなこと。
中学校の数学教科書を買い求めて読み直すことをすすめる。
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/21(水) 23:58:57.28ID:rNlpHuHw
>>457
そんなくだらねー長文を書けるなら
いくらでも検索できるだろーが

ぐだぐだ書いてねーでさっさと検索しろ
できねーなら数学やめて一生ドカタでもやってろ
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/22(木) 01:14:05.52ID:vHjTHXzK
>>457
中学数学の質問は中学数学の質問スレでしましょう
ないなら作ってください
0462１３２人目の素数さん
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2018/11/22(木) 08:35:14.49ID:u35YF95+
はじめてボードゲームを作ってはじめてゲームマーケットに出店した ので、ひとり反省会をしてみる。
http://datecocco.hatenablog.com/entry/2015/11/26/000000
はじめて作ったボードゲームを売った話
http://nrmgoraku.hateblo.jp/entry/2017/05/17/210000
ボードゲームイベント「ゲームマーケット」から業界が見えた！
https://entertainmentstation.jp/61107
ゲームマーケットに挑む人向けガイド
http://spa-game.com/?p=4830
ボードゲームはどう作るのか、自分なりに考えた
http://roy.hatenablog.com/entry/2014/07/09/124824
オトナも遊べるボードゲーム！自作するといくらになるのか
http://www.d-laboweb.jp/special/sp312/
自作ボードゲーム販売への道・販売場所編
https://kdsn.xyz/create_game_selling_area/
はじめての同人ボードゲーム作り
https://ameblo.jp/subuta96/entry-11932093993.html
アナログゲーム市場が「クラウドファンディング」で盛り上がるワケ
https://www.sbbit.jp/article/cont1/34394
0463イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2018/11/22(木) 09:28:03.31ID:clfmGu1j
>>457まずは平仮名か片仮名で書いて音で覚えてみな。教科書なんか見たらかえってこんがらがる。今はただこの問題に集中しろ。その前にまず音を入れろ。頭の中で発声できたらすぐ解ける。
傾き=(えっくすのぞうかりょうぶんのわいのぞうかりょう)ｴｯｸｽﾉｿﾞｰｶﾘｮｰﾌﾞﾝﾉﾜｲﾉｿﾞｰｶﾘｮｰ
=(-3-5)/{3-(-1)}
=-8/4
=-2
y切片=(えっくすがぜろのときのわいのあたい)ｴｯｸｽｶﾞｾﾞﾛﾉﾄｷﾉﾜｲﾉｱﾀｲ
－2･0+3
=3

な。

x=-1のとき、
y=-2(-1)+3
=2+3
=5

x=3のとき、
y=-2･3+3
=-6+3
y=-3
0465１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/28(水) 20:53:13.77ID:PRB6hL9Y
たまに見るラングレーの四角形みたいな簡単な手法しか使わずに解ける難問
あのような問題を解けるようになるには訓練ですか？才能ですか？
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/28(水) 21:15:23.15ID:K+uyze2n
数学は暗記です
英単語をどうやって思いつくのですか？と聞いてるのと同じことですよ

覚えないと始まりません
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 12:59:37.96ID:UhBVoviO
回答がないですね

数学は暗記ではない、ということを暗記しているのではないかと疑ってしまいます
0474１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 14:01:02.28ID:z9HbvmeF
>>469に答えられないから、論理的な意味をなさない>>470のような質問をして煙に巻こうとしてるのではないかと疑ってしまいます
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 16:00:00.23ID:oR9StL5D
自分で発明できるのは一部の天才だけです

他の99.9%の凡人は覚えるしかありません

実際あなたも何も実績ないわけです
0476１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 16:12:01.65ID:BzcP1L68
2次元の直線がsin波と最初に交わる位置を知りたいんですがどう計算したらいいでしょうか？
0477１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 16:15:04.79ID:z9HbvmeF
何も新しいことができないようなら数学やるだけ無駄ですね
そういう方は数学ではなく英単語でも覚えてたらいいんじゃないですか？
0478１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 18:08:16.00ID:oR9StL5D
ですから、あなたはどんな新しいことをしたのかと聞いてるんですが
0479１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 18:37:31.77ID:RoA+JXB5
今でもませマティかってあるのかな
式を入力すると計算してくれる奴
グラフも書いてくれていろいろ遊んだな
0481１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/29(木) 20:55:08.64ID:oR9StL5D
答えがないですね

答えがないのは答えられないからです

自分は新しい発見してないのに随分と偉そうですね
0484１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/30(金) 13:23:13.74ID:vuC9tH8N
同じ円すい2つを底面同士でくっつけた図形の名前ってありますか？
分かる方いれば教えて下さい
0486１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/30(金) 14:07:09.81ID:tOMA1TvE
人間は自分で考え出せる事しか理解できない
教えられて理解できたなら、それはヒントをもらって創造したと言う事
何かを理解してる人は全部発明してると言える
0489１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 13:56:56.69ID:Hf08r5NV
交換法則
A+B=B+A
A×B=B×A

が、自然数だけでなくすべての整数や有理数で成り立つ証明方法を教えてください
サイト漁っても自然数しか見つかりませんでした
0491１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 21:22:55.09ID:F+hKtjU9
必要条件と十分条件について教えてください

数学の先生が授業で、
「AとBがケンカしているとする。ここで AがBを殴ったならもうAにとっては十分だ。Bは殴られたので殴り返すことが必要だ。こうやって憶えればいい」
とAB間に矢印を引きながら言われました。

必要条件と十分条件の定義は頭では分かるのですが、上の説明を理解することがどうしてもできません。
0492１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 21:54:46.84ID:AhE2xERd
>>491
その説明は語呂合わせレベルの記憶術にすぎないので、
ちゃんと定義が理解できる人には向かないと思う。

「A ⇒ B (が真)」であるとは

「条件Aが真の時、 常に 条件B が真になる」「Aならば、Bである必要がある」
イコール「Aにとって B は "必要な" 条件」である.

「より緩い条件Cが真の時でも 条件B が真になるかもしれないが、
条件B にとって 条件Aであれば十分である (もしかしたら無駄があるかもしれない) 」
イコール「BにとってAは "十分な" 条件」

これでも過剰に意味を持たせすぎだと思うけど、語呂合わせよりはマシ。
0493１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:09:48.98ID:ZjBwCovU
>>491
くだらないことですよ

Aは殴ってスッキリ=十分,満腹

Bは殴られて悔しい=必要(仕返しが)
0494１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:13:34.67ID:F+hKtjU9
>>492
丁寧に説明していただいてありがとうございます
自分は ベン図でイメージしてるんですが、逆にそれ以外のイメージが全く湧かなくて、ケンカで殴ったから十分だとか言われても入ってこないんです
でも先生の言うことだし、気になって仕方ありません
0497１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:18:17.49ID:w0Te3aPR
>>491
それって、単に→のどっち側が十分条件／必要条件に
なるかの記憶法でしょ。→を殴る方向だと考えて。
0499１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:31:44.14ID:w0Te3aPR
>>494
先生は、なぜ十分条件とか必要条件と言えるのかという説明を
しているんじゃなくて、単に、→で結ばれた命題のどっち側を
どう呼ぶかという記憶法を教えてるだけだと思うよ。
0500１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:31:44.24ID:F+hKtjU9
>>497
そうなんですねありがとうございます
まだ自分の基礎的な理解が足りないみたいです
理系の才能が全くないので、ひとつひとつはまり込んでしまって進みません

みなさんありがとうございました！
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:43:01.18ID:w0Te3aPR
A→Ｂが真であるためには、
１）Ａが真であれば、Ｂが真であることが必要な条件となる。
２）Ｂが真であれば、Ａは真でも偽でも十分である。
　（あるいは、Ｂがなんであろうと、Ａが偽であれば十分）。

実際のところ、どういう理由で必要条件とか十分条件とか
呼ばれるようになったのかは知らんよ。今思いついたデタラメｗ
0503１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:49:09.99ID:F+hKtjU9
>>501
あ いや、すみません無視したというのか、先生の説明とほぼ同じことを書いてくださってたので・・
その くだらないこと、と書いてくださっていた部分こそ理解できずにいたので、どう反応していいか分かりませんでした

>>493 さんも、語呂合わせとか、>>499 さんのようなことを教えて下さってたんですね！
丁寧に教えて下さってありがとうございました！
0504１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 22:52:51.58ID:w0Te3aPR
どうして必要条件、十分条件と呼ぶのか、気になってきた。
チコちゃんに手紙だして尋ねてみようかな。
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