高校数学の質問スレPart398
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>>353 ありがとうございます 分からないのは e=lim h→0 (1+h)^(1/h)=lim h→0 (1+h/x)^(x/h) となるところで、自分が何がわからないのかをどうしたら数学的な形に書けるのか考えてみました 例えば、こう書いていいのかわかりませんが、 lim h→0 (1+h)^(1/h) と lim h→0 (1+h/x)^(x/h) をそれぞれ二項定理で展開した場合、xがどんな実数でも本当に同じになるのかな?ということです あと他の言い方をすると y=xとy=1/xのグラフの関係性と y=x/nとy=n/x(nは定数)の関係性を比べると x→∞のときに、yが∞に発散、または0に収束する速さの関係がnの値によって全然違いそう? 発散する速さの関係が全然違うように見えるのにどうして同じeになるのか? というのがわかりません >>354 h/x=tとすると lim h→0 (1+h/x)^(x/h)=lim t→0 (1+t)^(1/t)=lim h→0 (1+h)^(1/h)=eですね >>354 まず、h以外は定数とみるということを忘れているのではないでしょうか? 次に、極限値は最終的に何に近づくかです。 そして各々の収束速度は極限値に影響しません。 lim_(h→0) hとlim_(h→0) 2hという速度は前者が速く後者が遅いと一目でわかる例ですが、 両方とも極限値がゼロになるのでイコールで結べます。 求めるのは極限値であり各々の速度は問題としていないからです。 lim_(x→∞) 1/xとlim_(x→∞) 1/e^xではべき乗関数比べ指数関数の速度は恐ろしく速いということを習ったと思いますし、 実際後者の方がものすごく速くゼロに近づきますが、両方ともゼロに近づくのでこれもイコールで結べます。 一方、lim_(h→0) (2h/h)の極限値はゼロではなく2ですね。 これは速度比を極限値としているためこのような場合は速度を考慮しなければいけないということです。 >>356 なるほど! この場合発散する速さは関係ないんですね ありがとうございます >>356 ちがった!すいません 極限値が同じであればいいということなら (↓書き方が正確じゃないと思いますが) (1+非常に小さい値)の∞乗 という形になればいいということですよね? そうすると例えば、 lim h→0 (1+h/2x)^(x/h)=e でもいいということになってしまいませんか? もしかしてこれでもokですか? これはダメかと思ってたので(先生にそういわれてその時はなにも思わずにそうなんだと流していました)、そうすると (1+m)^n としたときのmとnの関係が同じ形でないといけないのかなと思いまして 自分が極限について同じ条件にするという意味で知っているのが、発散する速さというものだけだったのでそれを比較してみました と書いててようやく自分が何がわからなかったのかわかりました!頭悪くて申し訳ないです mとnが逆数の関係でなければいけないのかということです もし逆数でなければならないのであればそれはなぜでしょうか? h/x=tと置いて、h→0のとき、t→0、1/t→∞なのはわかりますが、同時にt→0、1/(at)→∞(aは定数)ですよね? そうすると極限値が同じであればいいのであれば lim h→0 (1+ah)^(1/bh)=e(aとbは定数) ということですよね?これは正しいのでしょうか? わかりたしあ! eの定義がlim n→0 (1+n)^1/nなので >>356 で教えていただいたように、極限値が同じであれば定義を満たせるので lim n→0 (1+an)^(1/bn) =lim n→0 (1+an)^{(1/an)*a/b} =lim an→0 (1+an)^{(1/an)*a/b} =e^(a/b) こういうことですかね?? >>359 理由が逆で「eの定義(から導かれたもの)と同じ形になるので極限値はeとなる」ですね。 計算も定義(から導かれたもの)と同じ形になっていることが見えにくいので、 lim h→0 (1+ah)^(1/bh) =lim h→0 (1+ah)^{(1/ah)*a/b}=☆ ここでt=ahとおくとh→0でt→0より、 ☆=lim t→0 (1+t)^{(1/t)*a/b} =lim t→0 {(1+t)^(1/t)}^(a/b) ={lim t→0 (1+t)^(1/t)}^(a/b) =e^(a/b) としましょう。 eの定義ですが、高校ではlim h→0 (a^h -1)/h=1を満たすaとなっていることが多い一方で、 一部の高校参考書や大学ではlim n→∞ (1+1/n)^n(nは自然数)とすることも多いので混乱してしまうかもしれませんが、 今、どちらを定義としてどちらを導いたものとしているのかちゃんと意識しておいてください。 >>361 1/zをぐるっと周回積分するとどうなるんですか? 当たりくじが4本入っている10本のくじから同時に3本引いて2本以上当たる確率 の答えが(4C2・6C1)/10C3 + 4C3/10C3 = 1/3なんですが、 当たり2本を引いて残り8本から適当に1本引く (4C2・8C1)/10C3 = 2/5 では間違いな理由を教えていただけませんか? 当たりくじに1,2,3,4と番号を付けたら例えば 1,2を選んでから4を選んだ場合と 1,4を選んでから2を選んだ場合とを重複してカウントしている。 >>363 こたえがないですね わからないんですかね >>365 ようやく理解できました。どうもありがとうございました >>360 みなさん色々教えていただいて ありがとうございました >>369 認めたらどうですか? あなた、複素関数すらわかってませんね? これの2.複素数の三角不等式の証明で www.geocities.jp/ikemath/_userdata/ho_pdf/print/351hozyu.pdf βの共役複素数をβ'と書くとして |Re(αβ')|≦|αβ'| の証明を丁寧に書くとどうなる? 関数f(x)は次の2つの条件を満たす。 (A)0≦x<1のときf(x)=x (B)すべての実数xに対してf(x+1)=-f(x)+1が成り立つ。 この時、方程式f(x)-1/4x-1/2=0の解を求めよ。 この問題、ムズいよな? 大数Cぐらいはあるよな? 前スレ >>978 返信:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/10/18(木) 00:59:28.70 ID:BoJlALsC [1/20] >>977 >より進んだ数学の中には、多項式としては 0 ではないが、それを多項式関数と見た場合は 0 というようなものがある。 ありません 複素関数を考えるにしても、多項式、すなわち連結領域上の正則関数を考えるならば、一致の定理よりある部分で0なら全体で0です 多項式とは有限次元で打ち切りですから、収束半径は無限大、すなわち複素数全体で0となります 前スレ >>979 自分:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/10/18(木) 01:11:11.10 ID:MxKVVcoK [2/4] >>978 標数2の素体上で多項式関数 x^2+x を考えると、これは常に0関数となります。 前スレ >>980 返信:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/10/18(木) 01:13:16.71 ID:BoJlALsC [2/20] >>979 殺す (*≧m≦*)プププw x^2-y^2を因数分解しなさいって問題で x^2-y^2 =(x+y)(x-y) =(√x+i√y)(√x-i√y)(√x-√y)(√x+√y) ※iは虚数 って書いたら不正解だったわ なんで間違ってるの? >>375 でも、あなた複素関数わかりませんよね? >>376 普通因数分解は、多項式の場合を考えますから、√xとか出て来てはダメなんですね a - b - c みたいに、各項が「-」で繋がっている式を何と言いますか? 普通に標数0でないときの話かなって思うよなあ? それを複素関数ってwwwwwwwww どんだけ数学に関する常識に欠けてるのだろうwww 馬鹿丸出し過ぎて痛々しいwwwwwwwwww >>381 複素関数わからない人が何か言ってますね 自然に標数を思いつく常識もなく複素関数という 高専レベルの数学で止まっていることがバレバレwwww こういうバカは永久におもちゃにしてやるからなwww >>384 でもあなた1/zの周回積分できないですよね? ドヤ顔で 複素関数 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwww >>387 でもあなた1/zの周回積分できませんよね? 高専数学で時が止まってしまったのかwwwwwww 憐れwwwwwwww 複素関数ってwwwwwwwwwwwwwwww >>389 でもあなた1/zの周回積分できないですよね? みんなが「あぁ、標数がらみの話か」と納得してるところに 颯爽と出てきて「複素関数では〜」とドヤ顔で講釈ってw 最高のコントだよなwwwwwwww 複素関数すら分からない人が代数なんてわかるんでしょうか? x^2-y^2を因数分解しなさいって問題で x^2-y^2 =(x+y)(x-y) =(√x+i√y)(√x-i√y)(√x+√y)(√x-√y) ※iは虚数 って書いたら不正解だったわ なんで間違ってるの? 前スレ >>978 返信:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/10/18(木) 00:59:28.70 ID:BoJlALsC [1/20] >>977 >より進んだ数学の中には、多項式としては 0 ではないが、それを多項式関数と見た場合は 0 というようなものがある。 ありません 複素関数を考えるにしても、多項式、すなわち連結領域上の正則関数を考えるならば、一致の定理よりある部分で0なら全体で0です 多項式とは有限次元で打ち切りですから、収束半径は無限大、すなわち複素数全体で0となります 前スレ >>979 自分:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/10/18(木) 01:11:11.10 ID:MxKVVcoK [2/4] >>978 標数2の素体上で多項式関数 x^2+x を考えると、これは常に0関数となります。 前スレ >>980 返信:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/10/18(木) 01:13:16.71 ID:BoJlALsC [2/20] >>979 殺す ( ゚,_ゝ゚)バカジャネーノ >>399 複素関数わからない人が何を言っても説得力がないですね 大学で勉強する前に自分で函数論の教科書を買って読んだら 複素積分でテイラー展開するのには感激したな 大学に入った時に買わされた教科書の大部分が不要で返金してもらうのが手間だったけど 数学で「大なりイコール≧」「小なりイコール≦」を表す記号には 2種類ありますよね? LaTeXで表現すると\geqと\geqq, \leqと\leqqです。=の部分が-のもの。 下の棒が1つの場合と2つの場合との間にはどんな違いがありますか。 無限が数じゃないならば、実数だって数じゃないですよねえ? 高校レベルの微分方程式についてですが 質問していいですか? 数学用語で「...で与えられる」は何を意味していますか? >>398 因数分解は整数の範囲内で行うのが暗黙のルール 2の約数(因数)は√2とは言わないでしょう >>412 ふつうに数Vの教科書に載ってるんだけど馬鹿なの? >>413 発展項目として取り上げている教科書もあるだけで現行の指導要領の範囲外ではあるけどな 理数数学は指導要領でも取り上げられているけど教科書がない >>416 お前がね こんなの常識すぎて意味がない >>417 あなたの発言を否定するのには役立ったみたいだけどね 微分方程式の質問をしていいかと尋ねたものです。 話の流れから、質問しても良さそうなので、質問します。 その前に、実は、この問題はここに書く前に、知恵袋に質問した問題です。 2人の方にお答えをいただいたのですが、私の頭が悪いせいで、答えが理解 できず、質問を重ねたら、放置されてしまい、私の中では解決していない問 題です。 そんな事情のある件ですが、お願いします。 問題は 「微分方程式 x(dy/dx)=(x+3)y を解け」です。 テキストに載っている解答の大部分は理解できるのですが、1箇所わか らないところがあります。 解答の流れは (1) y=0 は解である。 (2) y≠0 のとき (1/y)dy=(1+3/x)dx より log|y|=x+3log|x|+C |y|=e^(x+log|x|^3+C) y=±e^C・|x|^3・e^x 質問は、ここからです。 テキストの解答では ±e^C と |x| の絶対値を外して出てくる±をまとめて Aとおいて y=Ax^3e^x を答えにしています。 |x|の絶対値が外れる理由がわかりません。 y=Ax^3e^x をAの値をいろいろ変えてグラフをかくと https://imgur.com/a/6y9l4ck の真ん中の画像のようになります。 一番左の y=x^3e^x のグラフを A倍したものの集まりです。 しかし、この中には |x|の絶対値を外す前で C=0とした y=|x|^3e^x と y=-|x|^3e^x は、入っていません。 一番左のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、 真ん中のグラフには現れません。 つまり、y=Ax^3e^x の Aをどのように選んでも、y=|x|^3e^x は表せません。 y=|x|^3e^x は、この微分方程式の解に入れなくてもいいのでしょうか? よろしくお願いします。 間違えました 誤 >一番左のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、 正 一番右のグラフが、y=|x|^3e^x ですが、このグラフの関数は、 でした。済みません。 x≠0, y≠0のとき以下が成り立つ log|y|=x+3log|x|+C <=> log|y/x^3| = x + C <=> y/x^3 = ±e^C・e^x <=> y = Ax^3・e^x (A = ±e^C) 記述上、複号は任意なんだな。それを全部積分て位数Aに含めている。 >>424 いえ、入ってます。 問題から離れて非常にシンプルな例で考えてみましょう。 y=|x|またはy=−|x|…☆ について、 y=xもy=−xも☆のどちらの一つを表してくれません。 しかし、 y=xまたはy=-x としたとき、☆とグラフは同じですよね。 これと同様に、Aがある値をとったときy=|x|^3e^xを表すものはありません。 しかし、A=1とA=−1でy=|x|^3e^xとy=−|x|^3e^xを表せていませんか? でも、ま、それは当然かな。 暖かく見守ってやらなくちゃね(自明なことを執拗に繰り返さない限りは、だけど)。 >>429 424 です。 早速の返事ありがとうございます。 y=|x|またはy=−|x|…☆ は y=xまたはy=-x とグラフが同じになるので 等しい関数と考えるということですか? ここのところが、腑に落ちません。 例えば、何かの観察をして、この微分方程式ができて、 初期条件 x=0, y=1 から関数を定め、それ以外の x について yを求めようとしたとき、 y=x^3e^x と y=|x|^3e^x では x<0 のとき y の値が違ってしまいますが 問題はないのですか? >>435 そういう微分方程式を解くときは、xの範囲を曖昧にするのが慣習なんです あなたのいうように、どちらも解なわけですが、結局基本はy=Ax^3e^xな訳です 細かい調整は勝手にやってねって感じですね >>424 これ>>424 の疑問はもっともだし、その参考書?の答えの方がおかしいんじゃね? なんて教科書? 3log|x|を左辺に移項してlogをまとめて答を出すと「テキスト」のと同じになるだろ 結果が異なるということは少なくともどっちがか間違ってるということだ いや、違う。 もひ、この問題を大学生以上の人に正しく解説するなら y≠0の時 そのようなx=tの近傍において 中略 y=ax^3e^x 特にt>0のときはx>0に、t<0のときはx<0に一意に拡張される。 逆にa.bを任意に選び y=ax^3 (x>0) . bx^3 (x<0) . 0. (x=0) と定めれば与式を満たす。 故に上式が一般解である。 までやらないと少なくとも数学科では通用しない。 とりあえずy≠0とか仮定して変数分離して局所解出すのはいいけど、大域的につないで行くとき積分定数がずれる事が許される可能性はキチンと精査しないとダメ。 てかこの手の方程式ではかなりのケースでズレる事が許される。 受験数学でこんなのが出るとは思わないし、そもそも範囲外だけど敢えて受験数学の参考書に書くならこういう例出してはダメだ。 高校生に理解させるのはかなりムズイし意味もない。 そう。 これを意味の或る問題とするためには、例えば、 x>0で定義された微分可能なxの関数yは x(dy/dx)=(3+x)y を満たす。 y を求めよ。 但しx=1のときy=eとする。 くらいの制限をつけないとね。 >>435 >とグラフが同じになるので >等しい関数と考えるということですか? 細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、 y=|x|またはy=−|x| も y=xまたはy=-x も2つずつあるので関数の集合ですね。 それと、初期条件x=0, y=1を満たすAもCもありませんので一応。 腑に落ちない理由は ・一般解を求めよという問題と初期値問題を一緒にしていること ・常に一般解に単に初期条件を代入すれば特殊解が出てくると思っていること だと思います。 まず、1つ目の理由について。 一般解を求めよならy=Ax^3e^xでいいのですが、 ある初期値の時の特殊解を求めよという問いのときはこの形にしてだめだということです。 微分方程式の一般解と特殊解という関係でなくても、 ある問題の解答がy=|x|のとき、どんな関数かと訊かれたら、普通はy=|x|と簡潔に答える一方で、 グラフを書くときはxが非負ではy=xでx<0ではy=-xと分けて考えるのと同じです。 つまり、一般解を簡潔な形で書いたために、特殊解は求めにくくなっているということです。 ただ、y=Ax^3e^xは任意のxでなりたつy=f(x)のような統一された一定の関係性よりも 個々のxにyを対応させればそれでよいという現代的な関数の見方である集合論的に関数を見る側面が強い式なので、 こういうことまで高校生に知っていることを前提とするのは無茶だと思います。 次に2つ目の理由についてですが、 y=Ax^3e^xのように一般解を簡潔まとめなくても、例えば一般解はxが正にも負にも存在するのに、 ある初期条件ではxが負ではその特殊解が存在しなくなるため、 ただ単に初期条件を代入すれば良いわけではなく、しっかり考察が必要という場合があります (例:dy/dx=-y/x^2、x=1でy=e)。 そういうことを経験していくと、一般解と特殊解の距離感が見えてくると思いますが、 高校生に、それも微分方程式が範囲外となっている学年に発展事項として出す例としては、 1つ目の理由の中で述べたことも含めあまりに不適切ですね。 高専の数学はここで質問するべきではない よそで聞くか新しく高専数学質問スレを立ててほしい >>435 >とグラフが同じになるので >等しい関数と考えるということですか? 細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、 y=|x|またはy=−|x| も y=xまたはy=-x も2つずつあるので関数の集合ですね。 それと、初期条件x=0, y=1を満たすAもCもありませんので一応。 腑に落ちない理由は ・一般解を求めよという問題と初期値問題を一緒にしていること ・常に一般解に単に初期条件を代入すれば特殊解が出てくると思っていること だと思います。 まず、1つ目の理由について。 一般解を求めよならy=Ax^3e^xでいいのですが、 ある初期値の時の特殊解を求めよという問いのときはこの形にしてだめだということです。 微分方程式の一般解と特殊解という関係でなくても、 ある問題の解答がy=|x|のとき、どんな関数かと訊かれたら、普通はy=|x|と簡潔に答える一方で、 グラフを書くときはxが非負ではy=xでx<0ではy=-xと分けて考えるのと同じです。 つまり、一般解を簡潔な形で書いたために、特殊解は求めにくくなっているということです。 ただ、y=Ax^3e^xは任意のxでなりたつy=f(x)のような統一された一定の関係性よりも 個々のxにyを対応させればそれでよいという現代的な関数の見方である集合論的に関数を見る側面が強い式なので、 こういうことまで高校生に知っていることを前提とするのは無茶だと思います。 次に2つ目の理由についてですが、 y=Ax^3e^xのように一般解を簡潔まとめなくても、例えば一般解はxが正にも負にも存在するのに、 ある初期条件ではxが負ではその特殊解が存在しなくなるため、 ただ単に初期条件を代入すれば良いわけではなく、しっかり考察が必要という場合があります (例:dy/dx=-y/x^2、x=1でy=e)。 そういうことを経験していくと、一般解と特殊解の距離感が見えてくると思いますが、 高校生に、それも微分方程式が範囲外となっている学年に発展事項として出す例としては、 1つ目の理由の中で述べたことも含めあまりに不適切ですね。 すいません二度同じ書き込みをしてしまいました 続きの説明はまた数時間後にします 424 です。 詳しい解説ありがとうございます。 >>とグラフが同じになるので >>等しい関数と考えるということですか? >細かいことですが関数をあるxに対して1つだけyが決まるものと定義すると、 >y=|x|またはy=−|x| >も >y=xまたはy=-x >も2つずつあるので関数の集合ですね。 聞きかじりで「2価関数(? 2値関数?)」なんて単語を聞いた気がしたので y=+|x| , y=±x が 正の値と負の値、2つの値をとる関数と考えるのかな? と、自分の中で理屈をつけました。 初期条件 x=0, y=1 は単純な勘違いです。 おっしゃるとおり、これでは、AもC も決まりませんね。ご指摘ありがとうございました。 まだ、よく理解できない部分もあるので、もう少し自分で考えてから返事をします。 ただ、高専の数学とおっしゃっている方もいますので、 どの本に載っていたかを書きます。 数研出版の 改訂版クリアー数学演習V の169番(1) の問題です。 元の問題は 「微分方程式 x dy/dx=(1+x)y を解け。 (日本工大)」でしたが そのまま質問するのもと思い (1+x) を (x+3) に変えました。 またあとで、よろしくお願いします。 合成数という単語は基本的に受験のときに出ませんよね?出たとしても注釈付きますよね? 10数年ぶりに数学の問題を解く必要が出て、 これが高校数学の範囲なのかもわからないのですが質問させてください。 点Aと点Bを通る円の中心座標を求めたいです。 ただし円の半径はわからず、点Aと点Bの座標、∠AOBの角度はわかっているとします。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.4 2024/05/19 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる