現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>590
関連
http://www.geocities.co.jp/tsure2gusa/melmag/013.html
ゆったり楽しむ高等数学【第13回】リプシッツ条件
http://www.geocities.co.jp/tsure2gusa/melmag/075.html
ゆったり楽しむ高等数学【第75回】ド・ラームコホモロジー
追記
リプシッツ条件は、いまリプシッツ連続を扱っているので、その関連
ド・ラームコホモロジーは、今回には関係ないが、ちょっと面白いと思ったので >>318
>ベールのカテゴリ定理
ベールのカテゴリ定理については、下記が分り易いね
（”∞?n=1 An”みたいなアスキー表現がわからんと思うが、これ上付き下付きの添え字を、アスキーにした（なった）んだが、原文見てね（＾＾ ）
それでね、稠密との関係で言えば、実数R中の有理数Qと無理数Pとの関係みたいなときは、
ベールのカテゴリ定理については、その適用をよく注意しないといけないってことなんだね（＾＾
http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/funkcionala-analitiko/index.html.ja
極私的関数解析 MARUYAMA Satosi
http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/funkcionala-analitiko/kategorio.html.ja
極私的関数解析：ベールの範疇定理 MARUYAMA Satosi 作成日：2013-01-23 最終更新日：2018-05-05
(抜粋)
範疇とはなんぞや
区分する対象は空間である。どんな空間かというと、
(X,d) を完備な距離空間としたときの X の部分集合 A 、すなわち、A⊂X である。
この A をある基準で分類すると 2 種類しかないというのがベールの範疇定理である。
どのような基準かはすぐ後で述べる。
さて、ベールの範疇定理は数学的には次のように表される。
(X,d) を完備な距離空間とし、A⊂X とする。 まず用語を定義する。
A の閉包が内点をもたないとき、A は X のなかで疎な集合（または希薄な集合、粗な集合）と呼ばれる。
可算無限個の疎集合 An(n=1,2,・・・) があり、A⊂∞?n=1 An とあらわされるとする。
このような A は (X の) 第 1 類集合（または痩せた集合）と呼ばれる。
第 1 類集合ではない A は (X の) 第 2 類集合とよばれる。
この第 1 類か 第 2 類かという類を気にすることが、範疇（カテゴリー）の名前のいわれである。
ベールの範疇定理
(X,d) を完備距離空間とする。
第1類集合と第2類集合という名称を用いた言い方は次のとおりである。
X の第 1 類集合は内点を持たない。
特に空でない完備距離空間は第 2 類集合である。
一方、第1類集合と第2類集合を用いない言い方は次のとおりである。
可算個の閉集合 Fn⊂X(n=1,2,・・・) を用いて、
空でない集合 X が
X=∞?n=1 Fn （０）
と表されたならば、Fn のうちの少なくとも一つは内点を含む。
つづく >>592
つづき
ベールの範疇定理からは、関数解析学における重要な定理である一様有界性定理や開写像定理、 閉グラフ定理などが導かれる。
定理の証明
（略）
(引用終り)
以上
細かいことは後で（＾＾ >>593
さて
定理1.7（>>558より）の類似で
定理1.7’（連続・不連続版）
f：R → R とする
条件節 A： Bf :={x ∈ R ｜ Rで連続 } と置く。
もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B： f はある開区間の上で連続である
とする
ここで、例として、下記のトマエ関数の簡略版を考える
１）トマエ関数の整数版
・f(x)n = 1 (x ∈ N ), 0 (x ∈ R ＼ N )
・この関数では、各整数点で不連続（リプシッツ連続でもなく）、
開区間(n, n+1)(nは整数)で連続（リプシッツ連続でもある）
・なので、定理1.7’で、R−Bf ＝N、Bf＝ R ＼ N となる
（ここで、Bf＝∪ n=-∞〜+∞ (n, n+1) である）
２）トマエ関数の分母有限分数版
・f(x)m ＝ 1/q (x ∈ Qm ), 0 (x ∈ R ＼ Qm )
ここに、Qm ＝｛ x ｜ x＝p/q 但し、p,qは整数で互いに素で、qは1以上である有限の正整数値m以下（1 <= q <= m ）とする｝
・この関数では、各分母有限の分数点で不連続（リプシッツ連続でもなく）、
開区間例えば(n/m, (n+1)/m)(nは整数)で連続（リプシッツ連続でもある）
・なので、定理1.7’で、R−Bf ＝Qm、Bf＝ R ＼ Qm となる
（ここで、Bf＝∪ n=-∞〜+∞ (n/m, (n+1)/m) である）
つづく >>594
つづき
３）上記２）においてm→∞ の極限として、トマエ関数を見ると
・トマエ関数の定義は下記引用の通りであるが
・上記２）において、mを大きくして、m→∞の極限として、Qm ＝Q（有理数）になったと考えることができる
・下記トマエ関数の性質、「有理数で不連続、無理数で連続」は既知とする
（なので、Bf＝ R ＼ Q ＝ P（無理数））
・そうすると、この場合、上記２）で可能だった開区間は、潰れて取れないのだ
・これは、Q（有理数）がR中稠密という性質が表れているからと、考えられる
４）上記１）から３）まで、全て定理1.7’の条件「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」を満たす
だが、３）のQ（有理数）がR中稠密では、「結論 B：f はある開区間の上で連続である」は不成立
よって、Q（有理数）のようにR中稠密の場合は、定理1.7’の条件節 Aにおいて、これを除外しておかなければならない
（参考）
http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に 「コロちゃんぬ」 2017-10-24
(抜粋)
トマエ関数(Thomae's function,ドイツの数学者Carl Johannes Thomaeに因む)とは、
実数x ∈ R に対して
f(x)=1/q (x=p/q ∈ Q ,p,qは互いに素な整数,q>0 ), 0 (x ∈ R ＼ Q )
(Q は有理数全体の成す集合)
トマエ関数の性質
トマエ関数にとても惹かれる理由は何といっても次の性質です。
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
・有理数で不連続
・無理数で連続．
有理数で不連続なのはポツンと浮いているので明らかだと思います。しかし、無理数で連続なのは意外だったのではと思います。
(引用終り)
つづく >>595
つづき
さて、
定理1.7（>>541より）
f：R → R とする
条件節 A：Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く。
もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
(引用終わり)
を考える
この定理の証明中で、
「定理1.3 (X, d) は空でない完備距離空間とする。 高々可算無限個のFi ⊂＝ X は、
各Fiは閉集合、
X ⊂＝ ∪iFi
を満たすとする。 このとき、 あるi に対して、 Fiは内点を持つ。
証明はベールのカテゴリ定理から即座に出る。」
（ 上記定理1.3は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 No.178 より）
を使っている
これは、>>592の「ベールの範疇定理」と同じ記述だ
つづく >>596
つづき
で、これを、上記の１）２）のについて見ると、Bfは開区間の集合和である
各開区間に、区間の端点を追加することで、例えば、[n/m, (n+1)/m]など、閉区間にできる
その閉区間の内点では、「連続（リプシッツ連続でもある）」が成り立つ
同じことを、上記３）の場合について考察すると
この場合、無理数で連続だが、有理数で不連続であり、連続な開区間はもちろん、閉区間も取れない
だから、ベールのカテゴリ定理の「各Fiは閉集合」が取れないということになる
なので、３）の場合のような、R−Bf がR中で稠密な集合を含む場合には
「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」としても
”「各Fiは閉集合」が取れない”のだから、定理1.3は使えない
だから、証明も不成立なのだ
だから、R−Bf が有理数Qを含む場合（系1.8）は、定理1.7では扱えない
繰返すが
（>>541より）
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
で、R−Bf が有理数の集合Qを含むから、定理1.7は使えない
言いたいことは、以上です >>597
追加
こんなことは、定理の証明の内部を見なくても
>>596 定理1.7 結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
を見るだけで、ほとんど同じことが言えるよ
というのが
従来の私の主張です 親切な指導者を呆れ去らせたほどのアホに主張する権利は無い
これ以上の主張は悪意の実施と見做す
sage でコピペだけしてなさい 定義1.1のg : R → Rというのは「Rからそれ自身への恒等写像」という意味なのかな？ >>596
補足
さて、
定理1.7（>>541より）
f：R → R とする
条件節 A：Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く。
もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
(引用終わり)
ここ、
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置くで
これが、ほぼリプシッツ連続な集合なわけです(正確に等価だと思うが、説明するのが面倒なのでスルーした)
で、R−Bfというリプシッツ連続な集合の補集合（リプシッツ連続でない集合）の性質で、
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」という条件をおいて
「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論を導こうという定理なんだが
それは、リプシッツ連続とリプシッツ不連続（含む連続・不連続）を考えた関数では、自由度（任意度）が高くて
補集合側で多少なにか規定したところで、リプシッツ連続側にはなんの関係もないという数学的構造なのです
（上下に有界関数な関数を考えた場合は、特にそうなる）
だから、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論を得ようとおもったら
補集合 R−Bf がR中で稠密でない
としないといけない
ところで、「補集合 R−Bf がR中で稠密でない」を言い換えると、「どこかに、補集合 R−Bfの要素が存在しない内点を持つ区間がある」となる
それは、開区間なら結論は自明に成立。閉区間なら、閉区間の内部に開区間を取り直せば、結論が成立する
なので、この定理1.7で、数学的に最も面白いのは、
補集合 R−Bf がR中で稠密な場合なんだ
補集合 R−Bf がR中で稠密な場合を外したら、定理1.7なんて、なんの面白みもないし
補集合 R−Bf がR中で稠密な場合を外したら、系1.8の証明にも使えないってこと >>601
>運営とは？
私が思っているのは、下記みたいな人です
数学知識ゼロで、あおりでスレを伸ばすことのみを考えている人だと
（https: //kase URLが通らないので消す、キーワード検索の方が良いだろう）
2018.04.27 2018.09.18
HOMEま と め サ イ ト ( 5 c h) ま と め サ イ トの仕組みや収入について運営経験を元に解説
(抜粋)
ま と め サ イ トは稼げるのか
初めは全然稼げませんが、アクセスを大量に集めることに成功すれば月１００万以上を稼ぐことも可能です。
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ま と め サ イ トが大変な理由
2chには膨大な量のスレッドが日々立っていますが、人気で勢いのあるスレッドはみんなが狙っているので、記事が他のサイトと被ることが多々あります。というか、必ずどこかのサイトと被ります。
その為、ま と め サ イ トの運営は記事の更新数と、どの位丁寧にま と めるのかという勝負になり、更新を辞めた時点でアクセスは下がり始めます。
(引用終り) >>602
>定義1.1のg : R → Rというのは「Rからそれ自身への恒等写像」という意味なのかな？
えーと、これか
私の解釈は、f : R → R と書いてもいいのだろうが、あとでfを連発するので、避けたものと思う
そして、g : R → R は、普通の一変数一価実関数ｇ（ｘ）と同じ意味で
単に、lim sup の定義を確認しておきたいために書いたと思う
その定義は、ごく一般的と思うよ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
178 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金)
(抜粋)
＜422 に書いた定理の証明＞
定義1.1 一般に, g : R → R とx ∈ R に対して,
lim sup y→x g(y) := inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ g(y)
と定義される.
(引用終り) 何でg(y)なんだろうね。y→xなんだから普通g(x)じゃね >>606
>何でg(y)なんだろうね。y→xなんだから普通g(x)じゃね
当時、同じことを思ったね
いまの場合、ｘを固定しているんだ
だから、定数aを使って
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)
と定義される.”
と書くのが、普通の数学の書き方だと思った
なお
lim sup については、下記を併読してもらうのがいいだろう
（あるいは検索すれば、もっと分り易いものが見つかるだろう）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90
上極限と下極限 >>605
えーと、最初は下記引用の話からスタートしたのだがね
まあ、彼は背理法被害者でしょう
証明の細部は、素晴らしくレベル高いと思う
但し、定理の立て方が、いかにも背理法狙いで、かつ定理の持つ意味を深く考えていないことが大問題だね
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422-423
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46
(抜粋)
422 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK [2/4]
>>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。
定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。
この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、
R−Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f
となるので、
R−B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1)
となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。
423 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/20(月) 18:28:51.02 ID:Brtx3QWc [3/5]
>>421-422
あ、まだ詳細な証明を書いて確認してはいなかったんだけど、例えば
f(0)＝f(1)＝1、
任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、
超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a
というようにして区間 [0,1] で定義された実関数 f(x) を考えていたんだけど、x＝0,1 のときはともかく、
x∈(0,1 )が無理数、b＝p/q∈(0,1) が有理数のときも |(f(x)−f(b))/(x−b)|＝1 となって間違いなのか。
(引用終り) >>610 補足
失敗は成功の母
http://kotowaza-allguide.com/si/shippaiseikounohaha.html
故事ことわざ辞典
レベルの高さは感じるよ
ものすごく高いレベルに行っていると思うので、どんどん進んで行って欲しいね
まあ、独学ではなく、プロレベルの相談相手か指導者を探した方がいいだろう
教訓としては、証明を読む前に、少し定理の意味を考えることだろうね >>611
細かいけど、下記引用の”straddle lemma”の話ね
考えてみると、”y とz を「x をまたぐように取る」”のは良いのだが
補集合が稠密な場合、「x をまたぐように取る」だったら、そこにリプシッツ連続でない点も入ってくる
それを含めたら開区間になる
だから、BN,Mというのは、デジタル写真みたいなもので
実物は、稠密に入り交じった対象だが、
デジタル写真は分解能が画素の大きさで平均化されて、
実物の微細構造が見えなくなったってことだろう
本当は、系1.8の対象は稠密なんだから、
それを強く意識しないといけない
背理法に意識がいって、
対象は稠密という意識が薄くなったと思うよ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/186
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
(抜粋)
186 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金)
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)] }
と置けば希望が見えてくる. そして, これで実際に上手く行くのだった. ちなみに, 自分が(＊) の計
算に辿り着いたのは元ネタがある. それは, 次のような補題である.
補題(straddle lemma)
f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ.
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R
[ x − δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) − f(y) − f’(x)(z − y)｜ <= ε(z − y) ] .
この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」
からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない.
結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる.
(引用終り) >>554
訂正
誤
B_fL ⊂ B_fが成り立つ
補集合を取ると
R - B_fL ⊂ R - B_fが成り立つ
↓
正
B_fL ⊂ B_fが成り立つ
補集合を取ると
R - B_fL ⊃ R - B_fが成り立つ
（注：補集合の集合の包含関係式の間違い。コピーしたら、直し忘れだった（＾＾ ）
つづいて
”ここで、リプシッツ連続でない点の集合 R - B_fL が、有理数Qだったとしょう
Q ⊂ R - B_f となる”
と書いたんだが、これは
このロジックでは言えないね
が、まあそこはスルーしてもらって
とにかく、「Q ⊂ R - B_f 」を考えることにしてください（＾＾； 久し振りに見に来たおっちゃんです。
pdf の定理 1.7 の証明は読んでいないが、有理数か無理数とかはどうでもよくて、
背理法での証明で大事なのは、実数直線R上で G_δ集合 と F_δ集合 を考えていて、
G_δ集合 が F_δ集合の補集合になっていることだと思われる。
スレを見ると激しい論争になったようだが、背理法も全体集合を直線Rとして
R上で G_δ集合 と F_δ集合 を意識して使っていると思われる。 スレ主は一致の定理が成り立つことを否定したのか。
それじゃ、ここ最近一日中計算して手が疲れているから、おっちゃんもう寝る。 >>604
数学の知識ゼロの荒らしってお前のことか >>621
さあ？ 数学は、各人がそれぞれに正しい判断をすべきと思いますよ（＾＾ 仮想数学者はオワコン
そんなこと西洋生成術や錬金術があると言われてた時代から言われてることだぞ
証明とは真、偽を明らかにする事であって各個人が解釈する事じゃないから。解釈がとか言うならそれはただの落ち度 スレ主逃げたか
それならそれでいい、もう戻って来るなよ 喜べスレ主よ
今年の ますらぼ は、確率論に詳しい東大生がいるようだぞ
配布している冊子が足りなくなったらしく、
電子版の冊子がますらぼのツイッター上で無料公開されている
そこに確率論への招待という記事があるから、この人は確率論に詳しいだろう
祭りは日曜日まであるから、お忍びで行ってくるんだな DAT落ちしたか
いま、出来ないが
数日で、つぎ立てるわ
ちょっと待って(^w^) 芽（数学）の同値類を、考えると
時枝が、面白そうです
後日に 間違いを認めるか、ここから消え去るか
どちらか一つだ スレ主が勝手に粋がるのはいいが何も知らない新しい人に困るので
名前が「現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む」になってるレスは
数学的には嘘八百なので信じないように
とは絶えず書き込んでおく必要がある ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
