>>145 主義に反するが、おっちゃんのために、PDFから証明をアスキー化して、全文を貼るよ（＾＾
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明 ）

＜422 に書いた定理の証明＞
定義1.1 一般に, g : R → R とx ∈ R に対して,
lim sup y→x g(y) := inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ g(y)
と定義される.
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
定理1.3 (X, d) は空でない完備距離空間とする. 高々可算無限個のFi ⊆ X は,
・ 各Fiは閉集合,
・ X ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明はベールのカテゴリ定理から即
座に出る.
系1.4 高々可算無限個のFi ⊆ R は,
・ 各Fiは閉集合,
・ R ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明は前定理からすぐに従う.
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.

つづく