現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。
定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。
この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、
R−Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f
となるので、
R−B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1)
となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。 >>421-422
あ、まだ詳細な証明を書いて確認してはいなかったんだけど、例えば
f(0)＝f(1)＝1、
任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、
超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a
というようにして区間 [0,1] で定義された実関数 f(x) を考えていたんだけど、x＝0,1 のときはともかく、
x∈(0,1 )が無理数、b＝p/q∈(0,1) が有理数のときも |(f(x)−f(b))/(x−b)|＝1 となって間違いなのか。
3以上の任意の正整数nに対して
|( f(x)−f(b) )/(x−b)|＝|(a−p/q)|/|(a−p/q)|＜1/(q^n|a−p/q|)
を満たす既約分数 b＝p/q∈(0,1) は可算無限個あって
分母の正整数 q＞p も当然可算無限個あるから、直観的に条件を満たしているかと思っていたんだけど、
実際は可算無限個の既約分数 p/q∈(0,1) に対して q^n|a−p/q|＜1 なのか。
だけど正整数 n≧3 を任意に取って a→+∞ としても、q^n|1−p/(aq)|＜1/a を満たす
既約有理数数 b＝p/q∈(0,1) が可算無限個あるというのが何か直観に反するな。
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