【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 01:40:43.02

締切りの過ぎた問題をみんなで議論しましょう。

過去スレ：
1. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/
2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 09:55:34.52

>>21
つーか問題１は一発ネタのような気がするが。
小谷善行先生は不調なのかな？
それとも「存在しない」を証明するのが難しいのか？

「遠山啓先生に敬意を表して、それっぽく説く」
というのもアリな気がするが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 13:10:52.79

>>25
「荒らしに構うのも荒らし」とは云われるが、
いちおう言っとこう。
受験数学より真剣勝負の数学の研究のほうが大変なので、
傾向としては
『エレガントな解答を求む』>『大学への数学』の宿題
だが、エレ解も「いちおう解答は用意されている」し、
たまに「小手試し」的な出題もあるので、
予備校生にとってはエレ解のほうが手ごわいと思う。
まぁ、「お子ちゃまには、エレ解の味はわかんないよな（笑）」
みたいな優越感はあると思われ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 13:16:43.95

ようやく題意がわかったように思う。
「示せ」っつーところに重点があるような気がするので
（「それは、数学的に厳密な証明なのか！？」とか
言われると、数学の博士号を取得していないと
解答できなくなる）、「一般的に納得されやすい証明」と
いうことになろうかと思う。

**Mr.Moto** · 2018/10/12(金) 17:22:58.62

二〇一八年十一月号の問題１について。

四辺形以上の多角形（＝多辺形）については、
凸でない場合があって、「凸多辺形」「凸多角形」という
言葉がある。それはいい。線形計画法なんかでは、
「多凸性」というのは、重要な概念だからな。
同時に、四辺形以上の多辺形については、
「辺が交差する」場合がありうる。このとき、
そういった多辺形を、なんと呼ぶべきか？
たとえばの話、五芒星や六芒星を「多辺形」と
認めるのかどうか？
また、その場合、「面積」について、二つの定義があるうる。
どちらを採用するかについて、「数学的な呼び名」、
あるいは定義というのはあるのだろうか。また、それぞれについて、
「数学的な一般的名称」というものがあるんだろうか。
あるとすれば、それは何に準拠しているのか。

そのあたりの意見を聞きたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 17:49:29.41

エレカ、柏原先生、森重文先生、辻雄先生、神保先生etcも昔解答されておられます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 23:48:09.81

>>30
> 森重文先生、
まじか。出典キボンヌ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 11:31:09.88

森重文先生は、京大時代に解答されておられる。エレガントな解答を求む問題集1集or2集
探してみてください。柏原先生、神保先生、辻先生は３集に、名前残してる。皆数学少年じゃったのじゃよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 11:32:13.28

やっぱ、NOTE掲載を目指そう。
有限体上の楕円曲線研究で。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 11:33:15.57

2018年10月号の講評です：

■出題１：レベル6～7（常連正解率60～80％）
※スツルムの定理不使用の場合レベル10（正解者0～2名）

時弘男塾長の出題。例年通り題材は力学系。
正整数kに対し、P_0＝1, P_1＝x－1, P_n＝x^k * P_{n－1}－P_{n－2}でP_n(x)を定め、
小問(1)x＞0、(2)kを奇数としてx＜0、(3)kを偶数としてx＜－1における零点の個数を求める問題。

彼の問題はいつも難しく2015年は正解者たったの2名（昨年はめずらしく易しかったが）。
今回も『どうやって解くんじゃい…』とまず途方に暮れるところから始まる。

が、本問はスツルムの定理を使えば比較的簡単に解ける。
使わずに解くことを要求しているとすれば難易度はレベル10に跳ね上がる。

■出題２：レベル５（常連正解率95％）

加古先生の出題。
複素数z, w, 実数λに対してF＝sup|λ－z|/|λ－w|（λ∈R）と定めたとき、
Im(w)の絶対値を∞に飛ばすとFはどうなるか？という問題。

・各複素数の実部虚部を適切に限定して、問題をほぐす。
・素直にFの挙動を調べて極限を考える
という正攻法で解けるので難易度は高くない。

エレガントに解くことを至上命題と考えている猛者は腕の見せ所。
いろんな考え方がありそうです（既に本スレでも示されていますが）。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 15:09:38.13

高木寛通先生は、大学への数学の宿題解答者だったみたいだ。
数学少年？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 15:12:12.90

>>32
> 皆数学少年じゃったのじゃよ。
そういえば広中先生も京大なんだよなぁ ……
SSS（新数学者集団）とかの話とか、なんか載ってる本とかない？

自分は東日本なんだけど、遠山さんが東大中退だったりするので、
いまいち「東京」って、狭苦しい感じがある。京都って、数学に
向いてる土地柄なのかもしれない、と思って興味があるんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 15:14:48.59

>>35
そういえば阿部寛も数学少年だったらしいぞ（笑）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 16:58:20.46

ロシアの謎の高校生向け数学物理雑誌、Kvant、レベル高いで。
将来の数学者発掘が目的。ドリンフェルトも愛読？？？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 18:03:14.86

>>38
いや、面白いのは分かるし、たぶん問題の意味もわかるだろうと
思う（数学は世界の共通言語だ）んだけど、
ロシア語とかハンガリー語とかで解答を書けって言われたら、
ちょっと退く部分はある。
まぁ、「やれ」と言われりゃやらんでもないけど、
なんかしらコンピュータ言語とかに落としこんで
貰えれば、そのほうが楽なような気がする（笑）。

**とあるエレ解常連** · 2018/10/14(日) 10:21:10.93

コテを付け忘れてた。コテなんて要らない気もするが
昔コテ付け忘れるなハゲとか罵倒されたので泣く泣く付けた

11月号はいったいどうしたことだ
出題１は文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度
出題２は一昔前の高校教科書の例題レベル
はっきり言おう、糞であると。

今月はp.40の数オリを解いて楽しめということか・・
というわけで数オリを解いているのですが、どれもこれもエレガントな良問ばかりですばらしい
解答もエレガントさ（センスの良さ）を要求しているところがまたすばらしい
易しくてもエレ解難易度6以上といったところ

数オリ開催日にオーバーエイジ枠を同時開催してくれたらいいのに
エレ解常連がチームを組んで戦うのです。萌えますね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 11:59:11.33

エレカも総問題数、1300問になる。
たまには、一休みも必要です。
末永く継続してもらわんといかんからな。
数学者の皆様。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:04:03.84

フィールズﾒﾀﾞﾘｽﾄ、ショルツ先生、ＩＭＯ金メダリストらしいな。
その他のフィールズ受賞者、ネバリンナ受賞者はどうよ。
佐藤ーテイト予想のテイラーもイギリス代表らしい
量子素因数分解のショアもアメリカ代表らしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:56:31.65

IMOはレベル高いのおーーー
谷山ー志村予想のテイラー先生も出場者だったのか。
ピーター　ショアもそうらしい。

学術 · 2018/10/14(日) 13:12:43.13

数学は実戦的だから、スポーツボケを、排除できる司令官に向くだろう。

学術 · 2018/10/14(日) 13:13:20.37

賞をとれることは、戦果として賞金をもらえることだから。結果がよろしい。

学術 · 2018/10/14(日) 13:13:58.01

賞やメダルが、主体的じゃない生き方がおすすめです。若い人は特に。

**Mr.Moto** · 2018/10/14(日) 21:20:04.78

>>40
> はっきり言おう、糞であると。
いや、問題２はともかくも、
問題１はけっこう深いぞ？
あれ、じつは構文解析のアルゴリズムの
計算量とかと関連してくる。
単純に解だけ示すんなら、確かに
「文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度」では
あるのだが、「だったら、なんで自然数限定なのか？」
（べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか
「点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、
考えどころはありそうな気はする。それを考えた上で
「エレガントな解答」を出そうと思うと、
それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 21:37:27.35

>>47
こんばんは。返信どうも
自分はあんまり研究とか発展とか考えずに喋っております
研究肌の方のコメントは深みがありますな

> （べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか

Motoさんだったらどのように実数へ拡張しますか？

> 点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
> その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、

面白いですね。それは考えなかったです
この問題を特にあたっては心配無用なので・・

> それを考えた上で
> 「エレガントな解答」を出そうと思うと、
> それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。

なんか30秒でそれなりにエレガントな解答ができちゃったので、もう今月は羽を伸ばして紅葉にでも行こうかとｗ
でもそれじゃ知的満足が得られないってんで数オリに手をだしたら問題が美しすぎてうっとり
エレ解もこうならんかなと

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 08:33:06.32

>>48
> どのように実数へ拡張しますか？
いや、これは単なる例えとして言ってみただけで、
やっても面白くないと思う。
むしろ、出題者の小谷善行さんは情報工学がご専門なので
有限組合せ問題として考えるのが本筋かな、と。
たとえば、任意の長方形 m × n があったとして、
それに内接する N 角形があったときの最大の N は
いくつかとか、その場合の面積はいくつかとか、
そのあたりの考え方の問題は面白いんじゃないかな、と。
ただ、それをやるとコンピュータによる力業になって
しまいそうなので、エレ解の趣旨から外れる。
問題自体は、もともとプログラミングのほうで
チェッカーボードを使ったパズルがあり、
それがパリティを利用しているので、
「あぁ、それだな」と思った。
それで、ちょっと発展させて、フラクタル図形
とかに向かう方向で、面白い性質が出てくるんじゃ
ないかな、と。あるいは、「1 × 1 の正方形を
辺で接続したときに、頂点の個数と面積と図形の
関係を考える」とか。

**Mr.Moto** · 2018/10/15(月) 09:22:05.84

すまん。大事な条件を見落としていた。
問題１は「辺の長さが順に 1, 2, 3, … N」なんだな。
見た感じ、「魔円陣」（完全ゴロム環）の
バリエーションみたいな感じだ。
例示された図は
４＋６＝８＋２＝１０
５＋３＝７＋１＝８
だ。Nが４以上の偶数だというのは確定だが、
N=４では解がないのので６以上。
で、８のときに解があるのも例で示されている。
エレガントに解こうとすると、けっこう手ごわいぞ、
これ。プログラム書いて数値実験で追っかけまわして
法則性を割り出す、とかやんないとダメかな？

**Mr.Moto** · 2018/10/15(月) 15:23:24.03

>>40
> 出題１は文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度
お互い恥をかいたので許そう(-_-!)。
早とちりはイカン、っちゅーこっちゃね。

**Mr.Moto** · 2018/10/15(月) 15:41:36.89

>>33
「岡、NOTE をねらえ！」

判定の場（court。法廷。「テニスコート」の「コート」も
同義）では誰でも独り独りきり
私の（数学への）愛も私の苦しみも
数セミ読者しかわかってくれない

続きは誰か書いてくれ。

Mb · 2018/10/15(月) 15:56:09.92

言っとくけど、うちの馬鹿（Mr.Moto）は三味線弾いてるっつーか、
「ヒントとか出しているようで、じつは引っ掛け」とかだから、
信用しないように。
「もっと困れ」（by 横井庄一）じゃないけど、
「もっと苦しめ」という助言も上のほうからあったので、
せいぜい苦しんでくれ。

学術 · 2018/10/15(月) 16:03:14.62

エレク　彼岸

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 01:15:32.58

出題１
　解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ…

>>53
「横井庄一のサバイバル極意書～もっと困れ！」小学館 Be-pal books (1984/Jan)
　181p．絶版

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 06:12:26.81

偶数ということくらいしかわからん(;´д｀)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 08:36:55.58

>>56
いや、奇数でないことを示すのが
意外に手ごわいっちゅーかキモっちゅーか。
合計が N (N + 1) / 2 なんで、「N または N + 1 の
どっちかが８の倍数」が必要条件なのは分かるが、
たとえば N ＝ 7 のときの解がないことを
エレガントに示すのに手こずっている。
もう一点は、N が８の倍数のときに、必ず
N 角形が存在することの証明がどう示せるかだ。
１６角形とかいうと、「後戻り」の可能性もあれば
辺が途中で交差してしまうケースも排除せんと
いかんだろうし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 09:43:33.12

>>57
「N角形になる」のであれば N個の頂点で曲がっているはず。（本問では垂直に）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 10:36:10.31

うむ。始点と終点のつながりを考えると、奇数だと明らかに不可。

**Mr.Moto** · 2018/10/16(火) 18:02:53.66

>>59
うむ。確かに「明らか」なんだが、
それを「中学生にもわかる」ように
「示す」のがエレガンスだと思う。
数学マニアにとっての「明らか」さは、
必ずしも数学初心者にとっての
「明らか」さではないところが
悩みどころ。
整数論（というか、自然数論）の範囲内だと、
「古代バビロニア人にも説明できる」くらいまで
ガッチリ組まないといかんと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:07:52.19

・水平な辺
Σ→ + Σ← = 1 + 3 + … + (N-1) = NN/4,
Σ→ = Σ←　　　　　(…閉じる)
∴ 8 | NN
∴ 4 | N
∴ N+2 ≡ 2　(mod 4)

・鉛直な辺
Σ↑ + Σ↓ = 2 + 4 + … + N = N(N+2)/4,
Σ↑ = Σ↓ = (偶数)　　　　(…閉じる)
∴ 16 | N(N+2)
∴ 8 | N

で、この後どうするか。　>>58

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:31:14.99

いいのかな？これくらいなら。
とりあえずN=8,12,16,…くらいで実際できるかできないかやってみるこってすな。
ヒントあるし。
しかし水平は偶数、垂直は奇数???

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 20:34:53.15

>>60
えっ、各頂点の角度が90度または270度の多角形が偶数角形なの、そんなに証明が難しいか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 22:36:54.71

>>61
警告！あなた書き過ぎです

**Mr.Moto** · 2018/10/16(火) 22:41:23.29

>>63
> そんなに証明が難しいか？
「エレガントな解答をもとむ」なんだから、
エレガンスを追求しろと言っている！
『数学セミナー』の創刊者は
遠山啓先生なんだから、「テープ算」みたいな
「中学・高校生にも直観的に理解できるような
シェーマを提示する」っつーのが、
重要なんだよ。エレ解は、「正解すりゃあ入選」みたいな
甘いモンじゃねぇんだぞ？

Mb · 2018/10/16(火) 23:08:53.44

>>64
激しく同意
むしろ引っ掛けとか
誤誘導のほうが
マシ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 00:18:18.38

おはようフェルプス君。
さて、今回の任務は競泳の世界大会で金メダルを取ること…ぢゃなくて、数セミのエレ解問題の正解を応募することだが…
例によって、君あるいは君の仲間達がここのレスを信じて正解を逃したとしても当局は一切関知しないので、そのつもりで。
なお、このレスは自動的には消滅しない。
健闘を祈る。

（かなり古い…）

http://www.youtube.com/watch?v=erUcduVIt2A
http://www.youtube.com/watch?v=8WnNG2XtU8s
http://www.youtube.com/watch?v=TDQ1vwoINo0
http://www.youtube.com/watch?v=4dJ5MVmpjmw

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 09:20:07.50

>>65
ちょっと何言ってるか分からないです

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 09:34:19.98

富澤キタ

**Mr.Moto** · 2018/10/17(水) 17:35:36.08

>>67
安心しろ。『スパイ大作戦』を知らない奴は
多いだろうが、『ミッション・インポッシブル』は
映画でシリーズ続行中だ。
つーか、朝方なにげなく TV をつけてると、
クインシー・ジョーンズの『アイアンサイド』とか
『ミッション・インポッシブル』が、BGM として
流れていたりするので「変わんねぇなぁ ……」と
思う。
まぁ、エレ解スレでするネタじゃねぇとは思うが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 11:04:10.73

1月号のICMレポが楽しみじゃあ。
各種賞受賞者の数オリ出場歴もたのみまっせ！！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 13:14:52.53

以前「幻の0番法」という記事があったのですが
数列の和についての生地だったと思うのですが
どのような内容だったかご存知のかたいるすか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 08:02:16.50

>>72
それ、「エレ数」だったかなぁ ……
共立出版の『bit』で出てきた
「生贄」の話のような気がする。
n = 1 から始まる数列に、
n = 0 の項をつけ加えて一般化するとか。
たとえば「1 から n までの和」だったら、
「0 から n までの和」としてもイコールだから、
「n ×（n + 1）」でいいとか。
「（n + 1）× 1」よりエレガントな
感じがしないか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 08:03:35.49

×「（n + 1）× 1」
〇「（n + 1）× n」
orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 14:42:36.05

>>70
5拍子の曲いいね。

「メリーゴーラウンド」 {大木彩乃：「幻の魚」(1999)}, #2
　http://www.youtube.com/watch?v=0BF4YPjDkZw

「スプリット」{大木彩乃：「屋上遊園地」(2000)}, #10
　
"Wind" {明星: "Stoned Town" (2002)}, #1
"Wind" {Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #1
　http://www.youtube.com/watch?v=SaaRwKlcNaA

「ウタカタ」 {ジムノペディ：「今宵も、うたかた探し」(2004)}, #2
　http://www.youtube.com/watch?v=W3GnrgBAwg0

「神様の舌打ち」{Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #13
　http://www.youtube.com/watch?v=U_3jGtk4l6A

雅楽の夜多羅拍子も。楽典とは何ぞや？

スレ違いだが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 22:45:38.33

>>75
まったくのスレ違いだが、
デイヴ・ブルーベックの
“Take Five” を忘れてはいけない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 23:56:14.17

>>76
スレ違いの極みでござるな。

テイク・ファイヴ {デイヴ・ブルーベック・カルテット：「タイム・アウト」 (1959)}, #3
　http://www.youtube.com/watch?v=966iPSlYj2A

右方舞楽　抜頭（夜多羅拍子） (1943)
　http://www.youtube.com/watch?v=EZc_De09gQo

Mb · 2018/10/23(火) 17:09:09.90

ごめん。今月号（二〇〇八年十一月号）の問題１に関してはパス。
うちの所長が、「パズル懇話会」の会合で小谷先生と二次会で
一緒だったので、結果的にヒントを貰っちゃったので
フェアではない、という話になった。

N ≡ 0 (mod 8) であろうことは、わりと証明が簡単だと
思うけれど（ぶっちゃけ、力業でなんとかなると思う）、
「N ≡ 0 (mod 8) のときに、常に解が存在するか？」を
“エレガント” に証明できるかどうかが問われているような
気がする。

ただし、あくまで「気がする」だけなんで、そこいらは
投稿した結果次第で判断してくれ (-_-)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:43:18.34

一応解は作れたけど、ちゃんと(交わらない)多角形になってるのを証明するのが面倒だなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 22:22:27.01

必要条件の導出のとこもそうだけど、
十分性のとこも腕の見せ所だねぇ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 15:29:13.77

>>79
「少なくとも、一個以上存在する」のを示せばいいんじゃね？
「魔円陣」みたいに、「あると思ったら解がなかった」
みたいな話を排除すりゃいいんだと思われ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 17:57:11.07

解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ…　>>55

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 20:16:00.43

>>82
そうじゃない。
「解がない」ケースは排除できるんだが、
「解がありそうな」ケースにおいて、
具体的な解があることを
証明できるかどうかが問題なんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 19:00:03.20

この中に大学への数学の宿題もやってる人いる？
また、どちらの方が難しい？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 07:53:43.12

宿題コーナー：問題をネット公開してないから、田舎住んでるおいらには情報入手がねっく。
仕事忙しくて、休日も都会に出れない。
しかも、今、免停中。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 11:55:46.85

ICMレポでは受賞者のIMO履歴レポも楽しみにしとります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 13:05:45.93

【え！　総人口２５０万人減少？】　早く移民で水増しないと、■■■が原因だと、無関心層に気づかれる
http://rosie.5ch.net/test/read.cgi/liveplus/1540952533/l50

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 23:33:34.82

>>84
もちろん　数オリです。

[前スレ.543, 554, 566, 577]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 01:10:42.80

>>85
> しかも、今、免停中。

なにしたのｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 07:06:15.14

人引いたっちゃの

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 00:47:10.99

>>84
　そんなこと訊かれちゃ KöMaL なぁ。

[前スレ.581, 592, 960-963]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 19:22:34.74

宿題よりもエレ解の方が遥かに難しい

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/08(木) 09:23:16.64

エレガント問題のネット公開→good　idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続。
数理科学の最新動向を気軽に入手するには必須の雑誌ですからね。
これからも期待してます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/08(木) 10:11:35.27

ICM各種賞の受賞者のIMO出場歴には関心あり。
Hilbert　第１０問題の解決者もIMO金メダリストらしい。
量子素因数分解のショアもメダリストらしい。
計算機科学とIMO（数論、組み合わせmainテーマ）は相性いいみたい。
今回のショルツの数論幾何、ｐ進理論みたいだし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 12:04:27.56

11月号

■出題１

N=8n に限ることは容易に分かると思う。

例の図を見て最初に思いつくのは
　1～2n では ↓，←
　2n+1～6n では ↑，→
　6n+1～8n では ↓，←
というものだろう。

曲線 x = y - √|y| 上に
　P_k (-k(k+1),-kk)　　　k=0～4n
曲線 x = y + √|y| 上に
　Q_k（-k(k+1),-(k+1)^2)　　k=0～4n-1
を取り、
P_0 - Q_0 - P_1 - Q_1 - … - P_4n を結ぶ。

* これらの曲線は、1本の放物線（軸： y=x-1/4）の2本の枝である。

このままでは閉じないから、P_nで180ﾟ折り曲げ、さらに P_3n でも180ﾟ折り曲げよう。
このとき P_n および P_3n の接線を横切るから、N角形は自身と交叉しない。
また P_4n は P_0 と重なる、つまり閉じる。

このN角形の面積は 4(11n+2)n^2
3曲線に囲まれた部分の面積は (4/3)n^3
P_k たちが作る4n角形の面積は (4/3)n^3 + (2/3)n,
らしい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 12:45:24.20

>>95
>
> N=8n に限ることは容易に分かると思う。
>
限らんやろ？

水平 : 1 6 12 と 3 5 11
垂直 : 2 8 10 と 4 7 9

にわけて

→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9

でいけるやん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 13:02:03.68

>>96
辺の長さが順に1～Nになるって問題文の最初に書いてある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 13:06:36.41

今回はみんな問1に興味があるようだね。俺は解けなかったよ。問2だけ応募した。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 15:44:36.63

>>97
え？辺の長さ１～１２になってるけど？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 15:49:07.93

>>99
順に、だよ。
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
は順になってない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 15:53:28.75

>>100
あ、ほんと。失礼しました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 19:49:16.20

実をいうと自分もこの順にというのを見落としていて、だいぶたってから気づいた。
問題文に不備はないけど、これを考慮せずに応募した解答者が何人かは居るような気がする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 20:12:02.08

問題としてはそっちの方が難しくね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 22:34:17.43

12月のエレガントな解答はどうかね。
年末楽しめるぞ。
IMOは格式高いみたいだな。
マチアゼビッチもメダリストなんか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 22:34:36.85

でもまぁ8n+4の場合が増えるだけで自由に並べていいなら十分性のチェックがやや楽になるからなぁ。
どっこいかも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 01:46:12.25

11月号

■出題２
　x = a cosθ + b sinθ,
　y = c cosθ + d sinθ,
　ad-bc ≠ 0,
はxy-平面上の楕円である、を証明する問題

パラメータθを消去するのですが、
　dx-by = (ad-bc)cosθ,
　ay-cx = (ad-bc)sinθ,
からすぐに
　(dx-by)/√(dd+bb) = u,
　(ay-cx)/√(aa+cc) = v,
と置くのは良くない…

θをずらしてから消すのがミソ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 12:11:14.57

>>106
２次曲線は楕円、放物線、双曲線に限るという事を認めてしまえば一瞬だけどそれを証明しなさいというやつなんだよね。
容易”、”自明”で済まされることも高校の教科書レベルで許されるまで下げないといけない。
その前提で楕円、双曲線の定義も “うまく座標をとればAx^2 + By^2 = 1の形になる。”として

x^2+y^2 = 1の像をAx^2+By^2+Cxy=1として
2(Ax^2+By^2+Cxy) = r^2((A-B)cos2θ+ Csin2θ+(A+B))=r^2(Dcos(2θ+α)+E)=2と変形される。
回転させればr^2(cos(2θ)+F)=Gとなる。
変形してr^(2cos^2θ+F-1)=Gだから2x^2 +(F-1)(x^2+y^2)=lであり楕円、直線、又は双曲線となる。
コンパクトなので楕円。

とかでどう？たしか大数はこんな感じの解説だった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 12:48:56.13

18年11月号の講評：

■出題１：レベル４（常連正解率98％）

小谷先生の出題。辺の長さが順に1,2,...,NとなるN角形の存在を問う問題。

必要条件N＝8nを示すのは容易。
問題は十分条件だが、問題文に描かれている8角形の構成をそのまま一般のnに拡張すればよい。
辺が交差しないことを確認する方法は数通りある。
2点の座標を用いて交差条件を不等式で表すという愚直な方法を採れば、
高校数学でさんざんやったXY平面の領域問題に帰着する。

常連にとっては必要性も十分性も解答方針がすぐにピンと来る易問。
十分条件をエレガントに示す楽しみはあるかもしれない。

■出題２：レベル３（大学1年生の正解率95％以上）

岩I先生の出題。
本問は教科書から書き写してきたような一次変換の問題。
どうして本誌名物コーナーにこの問題を出そうと思ったか、理解に苦しむ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 13:27:12.74

確かにIMOは格式高いの。
マチアゼピッチ、ドリンフェルト、ラフォルク、ペレルマン、リチャードテイラー
ショア、皆、メダリストじゃあ。
最も格式高い、理論計算機、数論はメダリスト多し。
今回のフィールズ、ネバリンナはどうかの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 14:07:27.76

12月のエレガントは週明け公表かの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 14:07:37.01

12月のエレガントは週明け公表かの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 16:38:01.74

束の間の静けさ。
今日は、お伊勢参りしちょります。
週明けから、12月号と格闘。
英気を養うべし。

学術 · 2018/11/10(土) 17:45:42.08

数学と　文学と　天文学あわせて、人文科系に新しい天文数学という分野を立ててみたい。

学術 · 2018/11/10(土) 17:46:10.00

星占いのような迷信も取り込んでね。科学的に。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 18:59:47.30

占いや心理学は学問ではない

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 20:58:49.48

来月は京大ガロア祭の問題解説もあるようですね
楽しみです

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 23:20:37.94

>>106
原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
　x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D'･cos(2θ+α) + E',

原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。

番外問題　焦点はOPmax の方向にある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/10(土) 23:57:09.76

>>93
>エレガント問題のネット公開→good　idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続

正解者として名前が載った回の数セミは買って手元に置いておきたい、という読者心理を巧く掴んでいる気がしますね

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 00:01:34.55

12月号はピーターフランクルと岩沢先生の解答号でもあります。楽しみですね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/971

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 10:20:35.92

>>107
それがこの問題の模範解答でしょうね。

個人的には座標変換を記述するのに行列を使うか三角関数を使うかは非常にどうでもよく、従って>>108のような素っ気無いコメントになってしまいました。

たまに大学範囲の簡単な問題に対して「中高生でも分かるような解答」を要求する出題者が居ますが、ああいうのは苦手です。

三角関数を捏ねくり回すよりも、一次変換の基礎を書き下して本質を抉った方がよっぽど中高生のためになるんじゃないかと思ってしまいます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 10:44:02.52

とはいえ10月は忙しかったので問題が簡単で助かりました。

12月号が届くまでの間、束の間の雑談。

10月号の時弘先生の問題>>34が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。

「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 11:10:08.25

皆さん、束の間の紅葉見物でしょうか？
福岡はまだですね。
北海道、東北は終了？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 11:37:17.52

>>122
関東の平地は来月頭にかけてピークですかね。
標高高めのところは今がピークか、終わりかけているところでしょう。
今年は時弘先生が10月号にずれてくれたので旅行の計画に余裕が生まれましたw

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 11:46:55.95

雷山千如寺大悲王院の紅葉
いいですなあ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 12:42:22.93

時弘先生の重量級は旅行シーズンは外してほしいですね。
私は応募しませんでした。
数の幾何学絡みの哲学的問いかけも含んだ深遠な問題待ってます。