質問です。

f[n](x) = (1/x d/dx)^n exp(-x)/x

とします。

f[0] = exp(-x)/x、f[1] = -(x+1)exp(-x)/x^3、f[2] = (x^2+3x+3)exp(-x)/x^5、
f[3] = -(x^3+6x^2+15x+15)exp(-x)/x^7、f[4] = (x^4+10x^3+45x^2+105x+105)exp(-x)/x^9、…

lim[n→∞] f[n](-1) 2^n n!/(2n)! を求めたいのです。
どうも -1/e に収束するらしいです。
どなたか証明できますか？