>>82 のヒント

〔補題〕
　(n^n)/n! ≦ e^(n-1),

（略証）
(1 +1/j)^j = Σ[L=1, j] C[j, L](1/j)^L = Σ[L=1, j] (1-1/j)(1-2/j)…(1-(L-1)/j)/L!
はjについて単調増加。
∴　{(j+1)/j}^j = (1 + 1/j)^j < e,
j=1,…,n-1 を入れて掛けると
　(n^n)/n! ≦ e^(n-1),

(別法)
マクローリン展開から
　e^x > x^{n-1} /(n-1)! + (x^n)/n! + x^{n+1} /(n+1)! + x^{n+2} /(n+2)!
　　　= (x^n)/n! {n/x + 1 + x/(n+1) + xx/(n+1)(n+2)},
　e^n > (n^n)/n! {2 + n/(n+1) + nn/(n+1)(n+2)} > (n^n)/n! e,　　　(n≧2)
∴　e^(n-1) > (n^n)/n!,
　n=1 は直接確かめる。 　　(終)

不等式スレ９-724