＞4b(x/h-1)=c(p^(2x)-1)
＞となりますが、wolframさんによりますとこれには不適にならない整数解はありません。
そんな自由変数の多い方程式をwolframにかけたところで解の有無がわかるわけがなかろう。

pr=x/h, p=2pr-1なので、最初の式は
4b(pr-1)=c((2(pr-1)+1)^(2hpr)-1)
(2(pr-1)+1)^(2hpr)-1 は明らかに 4(pr-1) の倍数だから、この式に解があっても矛盾しない。