>>1は “式の形からすべての～である～について～が成立する” という数学のロジックにないロジックを使っている。
∀x P(x) の形の命題を導出する唯一の推論則は “普遍汎化” でどうゆう状況で使ってよいか、どのように使うのかについて厳密に定められている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%B1%8E%E5%8C%96

何を公理とするのか？その公理から定理を導出するのにどのような推論則を用いてよいのかについての合意を無視したらもはやそれは数学ではない。
ある一つの変数 pr についてしか証明を与えていない命題

2m+1 = w pr^(qr-cr-1) (∃w : 奇数)

をその “普遍汎化則” にはない

＞bの形から全てのkに対して式⑩が成り立たなければならないのは自明

とか

＞誤解されるレスをしてしまいましたが、正確には、ck<qk-1となる全てのkに対して
＞式⑩が成り立つということです。

とかいう数学には存在しない “独自の普遍汎化推論則を勝手に自作” して他の “pk” について適用してる。
“数学の論文としてどこがまちがってるか” 以前に “数学の論文ですらない” としかいえない。
もし、そうではない、きちんと “普遍汎化推論則” の範囲内で

∀k (ck<qk-1⇒ ∃w : 奇数 2m+1 = w pr^(qr-cr-1) )

が導出できるというなら、実際にそれをやってみせないといけない。
「“bの形から” 普遍汎化できる」などという推論則は数学にはない。