面白い問題おしえて〜な 27問目
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
>>823
12C2 = 12! / (2! x 10!) = 12x11 / 2 = 66 >>825
俺の頭が湧いてるのか?
12x11/2 = 11x11=121 わからない、教えて
抽選ボックスが2つ、どちらかから1つからボールを1つだけ引き当選の有無を確認する。
抽選ボックスAはボールが3コ、ボックスBは7コ。
一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。
この時どちらのボックスを引くのが良いか?または同じか? >>828
> 一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。
コレは
X : Aに一等1.二等2.Bは全部ハズレ
Y : Bに一等1,二等2,ハズレ4,Aは全部ハズレ
のいずれかであるという意味?
XとYが同様に確からしいとか、なんか条件ないと答えでないんじゃね?
同様に確からしいなら明らかに Aの方がお得だけど。 >>829
同様に確かと言えるのは3/10が当たりということとどちらかに偏ることは確かだとしか聞いてない
A:1/2 ×3/10=3/20
B:1/2 ×3/7/10=5/7
でBの方がお得になるんだけど感覚として
Aは1/2 ×1/3=1/6で当たり引けるから混乱してる ランダムに分けるんだけど結果偏っていたという場合の考察
全ての分け方: 10C3通り
うちAに当たりが偏った分け方 : 1通り
うちBに当たりが偏った分け方 : 7C3通り >>830
>A:1/2 ×3/10=3/20
この10はどこから出てきたw >>832
10個からボール1つを選ぶけどAは3個しかない (a) A に偏っている場合
3つのボックスのどれかを開ければ1/3の確率で1等、2/3の確率で2等
1等、2等のいずれかが当たる確率は100%
(b) B に偏っている場合
7つのボックスのどれかを開ければ1/7の確率で1等、2/7の確率で2等
1 等、2等のいずれかが当たる確率は3/7≒43%
Aに偏っているかBに偏っているかが同様に確からしい
(それぞれ1/2の確率)ならA の箱を開ければ1/2の確率で当たりをひける。
じゃなくて「ランダムに分けたんだけどなんか偏っちゃった!」だと
そもそもAに偏ってる(=当たりが入っている)確率自体がとても低いのでAを選ぶのは危険 >>834
そうかー
そのランダムなんだけどAってどれくらいの確率なの? 1/10c3か?そりゃ低いや
大きい箱の方に引っ張られるのかね ボックスAに一等が入っているなら
ボックスBに二等が二つ
ボックスBに一等が入っているなら
ボックスAに二等が二つ入っている
という意味だよ ごちゃごちゃする前に出題者です。
たとえ話でその後の回答ないので私の方から回答しに来ました。
一般的な確率でなくLOTOを計算しております。
10個のボールの中で前提が1等が1個だけで抽選をし、1等の箱が決まった時点でその箱の中で2等が決まるため同じ箱に偏るとしました。
なので834さんがお答えの通りかなり低いです。1等が3つのボールの箱に入らなければ2等はありませんから。
箱自体に当たりのある確率で30:70です。 >>824
正解です。素晴らしい。
ちなみに用意の解答
―-
f(n,x) = (-1/x d/dx)^n (exp x/x)
とおけば
x^2 f(n,x) = (2n-1)f(n-1,x) + f(n-2,x)。
とくに p[n] = f(n,1)、q[n] = f(n,-1)とおけば
p[n] = (2n-1)p[n-1] + p[n-2]、q[n] = (2n-1)q[n-1] + q[n-2]。
これとp[1] = 0、p[2] = e、q[1] = -2/e、q[2] = -7/eにより
c[n] = p[n]/e、d[n] = (-7p[n]/e + 2e q[n])2。
一方で (-1/x d/dx)^n (exp x/x)をマクローリン展開して lim[n→∞] f(n,±1)/(2n)!! = ±1。
以上により
lim[n→∞] c[n]/(2n)!! = 1/e、lim[n→∞] d[n]/(2n)!! = (-7/e+e)/2。
―
前わかスレに出てた変形ベッセル関数による表示を利用しています。
(本来のベッセル関数だとx=-1を代入できないのでちょっと一工夫してますが。) それなら
Aに1等が入っている確率3/10
Aから選んで1等を当てる確率3/10x1/3=1/10、2等になる確率3/10x2/3=2/10
Bに1等が入っている確率7/10
Bから選んで1等を当てる確率7/10x1/7=1/10、2等になる確率7/10x2/7=2/10
となるからA、Bのどちらの箱を開けても損得はない
偏りがある。当たる確率は1/10。
流石LOTOどちらも満たしてるね。 あ、>>839の分母の (2n)!! の所 (2n-1)!! です。 >>838
>>840
回答ありがとうございます。納得しました
あー確率的に同じで偏りがあるから低くなるのか ・a[1]=2
・a[n+1]=a[n]/(1+a[1]+a[2]+…+a[n])
・b[1]=2
・b[n+1]=b[n]/{a[n]+(b[1]+b[2]+…+b[n])/n}
である数列{a[n]}および{b[n]}について以下の問いに答えよ。
(1)極限 lim[n→∞] a[n] を求めよ。
(2)極限 lim[n→∞] b[n] を求めよ。 (1)
エジプトのシエネという町では、年に一度、夏至の日の正午にだけ深い井戸の底まで太陽の光が差し込む。
シエネの北緯は何度か。
hint: 地球の自転軸は公転軸から 23.4°傾いている。
(2)
エジプト第2の都市アレキサンドリアはシエネのほぼ北にあり、その距離は 925 km である。
天文観測から、緯度の差が約 7.2°と分かった。
地球の半径(m)を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。
(実際のアレキサンドリアの緯度 31.22゚N、緯度の差 7.82°)
(距離の単位は スタジア = 185 m が使われていた。)
(3)
司天台(浅草天文台)は伊能忠敬の住居(隠宅)のほぼ北にあり、その距離を測量したところ 2482 m だった。
天文観測から、2ヵ所の緯度の差は 約0.025°であることが分かった。
地球の半径(m)を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。
(実際の緯度差は 0.02690°、距離は 3025 m、方位角 9.4゚W)
(距離の単位は 町、間が使われている。) >>844
伊能忠敬の住居(隠宅)は
〒135-0048 江東区門前仲町1丁目18-3先
緯度 35.67452゚N
経度 139.79422゚E
司天台(浅草天文台)は
〒111-0053 台東区浅草橋3丁目20-12
緯度 35.70142゚N
経度 139.78876゚E
にあった。
・おもしろ地図と測量
http://www5a.biglobe.ne.jp/kaempfer/ac-main.htm → 史跡所在リスト
(4) 地球を「GRS80楕円体」として、この2ヵ所の距離と方位角を計算せよ。
・GRS80楕円体
長半径(赤道半径)a = 6378137(m)
扁平率 f = 1/298.257222101
・測量計算(距離と方位角の計算)- 国土地理院
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/surveycalc/bl2stf.html → 十進法度単位 そうだったのか…
伊能氏が身を削るようにして日本各地の正確な緯度・経度を決めていったのは
地面が曲がっている影響を補正することで、天文予測の精度を画期的に向上するためだった。
日本地図はオマケだった。 >>795
この問題でQの方が有利になるならば、横長い形をしたマス目のうち2マスに宝を埋めた場合縦に沿って探すより横に沿って探した方が勝ちやすいことが一般の場合にも言えるであろうことが容易に想像出来るわけだけど、その証明は出来るだろうか? 高校数学で解けるであろう問題を2つほど
次の定理を示せ
1. 任意の正の整数は連続しない(則ち,項番号が隣りあわない)フィボナッチ数の和として一意的に表される
2. L_(n+2)=L_(n+1)+L_n, L₁=1, L₂=3
を満たす数列(L_n)は任意の素数pに対してL_p≡1 modpを満たす
序でに1問目は「ゼッケンドルフの定理」,又2問目に出てくる数列は「フィボナッチ数列に付随するリュカ数列」(「ルカス数列」「ルーカス数列とも云う)なる名前が付いているらしい >>843
S = 1 + Σ(k=1,∞) a[n] = 3.91202535564143
(1)
a[n] 〜 11.12728469988 / S^n → 0 (n→∞)
(2)
b[n+1] ≒ n・b[n]/{b[1]+b[2]+…+b[n]} → 1, >>795
シミュレーションしてみた。
1万回からPの方が先に見つける頻度を出すのを1万回繰り返したときの確率は
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.3749 0.3906 0.3939 0.3939 0.3972 0.4132
となって0.5より小さいのでQの方が有利という結果になった
Rでのスクリプトはこれ
x=c(1,1,rep(0,10))
is.P1st <- function(){
Q=sample(x)
z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
P=as.vector(z)
which.max(P) < which.max(Q)
}
re=replicate(1e4,mean(replicate(1e4,is.P1st())))
summary(re) >>852
シミュレーションにバグがある。
同時に見つける場合を考えてなかったわ >>853
シミュレーションしたら >822の通リになりました。
> x=c(1,1,rep(0,10))
> PQ <- function(){
+ Q=sample(x)
+ z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
+ P=as.vector(z)
+ c( even=which.max(P) == which.max(Q),
+ p1st=which.max(P) < which.max(Q),
+ q1st=which.max(P) > which.max(Q))
+
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,PQ())
> mean(re['even',]) ; 13/(26+27+13)
[1] 0.197025
[1] 0.1969697
> mean(re['p1st',]) ; 26/(26+27+13)
[1] 0.393803
[1] 0.3939394
> mean(re['q1st',]) ; 27/(26+27+13)
[1] 0.409172
[1] 0.4090909 >795
縦mマス、横nマスのm*nマスのうちランダムに選ばれたkマスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利?
という風に一般化してみた。
>822のカウントをRでやってみた。
例えば
縦5マス、横10マス、宝3マスだと
P1st Q1st even
8832 9142 1626
(P1stはPが先に宝を発見する宝の配置の数)
Rのコードはここにおいた
Executeのクリックで実行(数値を変えて実行も可能)
http://tpcg.io/Ejjcs2 ある中学入試の問題だけど
方程式なしで小学生はどうやって解くのだろう?
ある牧場では100頭の羊を放すと15日間で牧草がなくなり、120頭の羊を放すと10日間で牧草が食べつくされました。
この牧場で80頭の羊を10日間放した後、さらに何頭xかの羊を加えたところ、加えてから4日間で牧草は食べつくされました。 後から加えた羊は何頭ですか。
ただし、牧草は1日に一定量a生え、また、どの羊も1日で同じ量uの牧草を食べるものとします。
方程式を立てていいなら
1500u=15a + b
1200u=10a + b
a=60u
b=600u
80*14u + 4xu = 14a + b =14*60u + 600u
x=(14*60+600-14*80)/4
で俺でも答えられる。 >>856
線分図の左がはじめの草の量、
右がそれぞれ14回、9回分増えた草の量
(○の中の数字は1日に草の増える量)
(a) 100頭15日(のべ1500匹)├───┼─────┤M増える
(b) 120頭10日(のべ1200匹)├───┼───┤H増える
するとのべ300匹でDだけの草を食べることができる
草を@だけ食べるには60匹必要
(b)を使うと、のべ1200匹が食べた草の総量は1200÷60でSと求まる
よってはじめの草の量はJ
(c) 80頭10日(のべ800匹)├───┼───┤H増える
このうち、10日経った時点で(800/60)=(40/3)食べられるので
残りはS-(40/3)=(20/3)
あと4日間で全体は(20/3)+C=(32/3)になるので
これを食べるには、4日間でのべ60×32/3=640頭必要
1日あたり160頭必要ということだから、160-80=80頭増やしたことになる >>857
前日まで生えた分だけでなくその日にリアルタイムで生えているのも食べるから増えるのは15日と10日分では? >>858
確かに
MはNに、HはIに訂正すると
はじめの草の量はIになって、あとは大丈夫そうですね >>859
(800/60)=(40/3)は80頭が10日で食べた量は40/3(13.33)日で生えた
草の量だがS-(40/3)=(20/3)の意味不明。
はじめあった草の量Iも出てこないし。 >>860
(c)の図(10日目が終わった時点)で
はじめの草の量Iに、10日間で増える草の量Iを加えてS
80頭の羊はそのうち(40/3)を食べてるので、
10日目が終わった時点で残りの草の量は(20/3)
という意味です >>861
理解できました。
一匹の羊が1日に食べる量を1unitとして考えた方が易しくないかな。分数も出てこないし。
1日に60unit草が生える、最初の草量は600unit。 (100×15-120×10)/5 = 60 だからこの牧場はストック0でも自然増加分で60頭の羊が賄える。
最初のストックは容量を120-60=60頭超過した時10日で食い尽くす量だから600頭日分。
容量超過が80-60=20頭の時10日で減らしたストックは200頭日分だから残りストックは400頭日分。
それを4日で食べ尽くしたので最後の4日の容量超過は100頭。
増えた羊は80頭。 大量に入荷したアルヨ
ε ⌒ヘ⌒ヽフ
( ( ・ω・)
ε ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヽフ
( ( ・ω・) ω・)
ε ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヽフ
( ( ・ω・) ( ・ω・)ω・)
ε ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヘ⌒ヽフヘ⌒ヽフ⌒ヽフ
( ( ・ω・) ( ・ω・) ・ω・)ω・)
しー し─Jしー し─J し─J ─J ■最初からある草の量をbとおく
15a+b=1500u……@
10a+b=1200u……A
Aからb=1200u−10aこれを@に代入して
15a+1200u−10a=1500u
5a=300u
a=60u
b=600u
80頭の羊はx頭の羊を加えられた後も牧草を
食べつづけるので 80x14u
x頭の羊は4日間牧草を食べるので 4xu
14日間で消費される牧草の量は 14a+b
80x14u+4xu=14a+b
4xu=14a+b−80x14u
=14x60u+600u−80x14u
=840u+600u−1120u
=1440u−1120u
=320u
∴x=320u/4u=80 >>865
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞw 数字の1と2だけを使って整数を作り、小さい方から並べます。1,2,11,12,21,22・・・このとき、次の問に答えなさい。
(1)1212121212は小さい方から数えて何番目ですか。 任意の自然数nに対して、2005^n が、互いに素な2つの整数の平方和で表せることを示せ。 >>867
1364番め
digi = function(x){ # 1000 -> 4 , 999 -> 3
n=ceiling(log10(x))
ifelse(10^n==x,n+1,n)
}
n2a <- function(num){ # nmu to array 122 -> c(1,2,2)
N=10
r=num%%N
q=num%/%N
while(q>0){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
}
return(r)
}
one2n <- function(x){ # 121 -> 13
a=n2a(x)
k=digi(x)
p=2^((k-1):0)
sum(a*p)
}
x=1212121212
> one2n(x)
[1] 1364 >>867
(2)1000番目にくる数は何ですか? Prelude Data.List> let xs = concat $ iterate (¥x->[1:n| n<-x] ++ [2:n|n<-x]) [[1],[2]]
Prelude Data.List> xs !! 999
[2,2,2,2,1,2,1,1,2] >>868
2005 = (20^2 + 1)(2^2 + 1) = 41^2 + 18^2 = 39^2 + 22^2,
下の公式により 2005^n は2つの平方の和。
互いに素となるかどうか…
〔公式〕
(aa+bb)(t+dd) = (ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 = (ad+bc)^2 + (ac-bd)^2,
http://www.quora.com/How-can-I-prove-that-a-2+b-2-c-2+d-2-ad-bc-2-+-ac+bd-2 >>870
library(gtools)
perm=permutations(2,9,v=1:2,rep=T)
onetwo=function(x){
n=length(x)
sum(x*2^((n-1):0))
}
perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]
> perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]
[1] 2 2 2 2 1 2 1 1 2
と総当たりで出すには出せるが、全くエレガントでない :( >>868
N(a+bi) = a^2 + b^2 として ((20+i)(2+i))^n = u + vi とおけば
2005^n = (N(20 + i)N(2+i))^n = N(((20+i)(2+i))^n) = u^2 + v^2
ここで (u,v) のZ[i] における素因子 p + qi をとれば p - qi | (u,v) | u + vi でもある。
しかし Z[i] は UFD だから p+qi = (20+i)i^e、(2+i)i^e とおける。
このときいずれにせよ p - qi = (20-i)(-i)^e、(2-i)(-i)^e は u + vi の素因子でないので矛盾。 >>850
(1)
正整数nについての帰納法で。
・n≦3 のとき
1 = F_2、2 = F_3、3 = F_4
* 「和」は1項だけの場合もある。
・n>3 のとき
nを超えない最大のフィボナッチ数を F_m とする。 F_m ≦ n < F_{m+1}
もしも和が F_m を含まないなら、
Σ(k=0,[(m-2)/2]) F_{m-1-2k} = Σ(k=0,[(m-2)/2]) ( F_{m-2k} - F_{m-2k-2} ) = F_m - 1 < F_m ≦ n,
となり矛盾する。 よって、和は F_m を含む。
帰納法の仮定により、n - F_m は連続しないフィボナッチ数の和である。
n - F_m < F_{m+1} - F_m = F_{m-1}
∴ n - F_m に対する和は F_{m-1} を含まないから F_m と連続しない。
∴ nについても命題が成立する。 >>867
その数列において、k桁の整数は2^k個含まれる
1212121212は10桁だが、1桁から9桁のすべての数の項数はΣ[j=1,9]2^j=1022
11********台は2^8=256個
1211******台は2^6=64個
121211****台は2^4=16個
12121211**台は2^2=4個
よって
1212121212は1022+256+64+16+4+2=1364項目
>>870
1022項目が222222222なので、これの22項前を考える
2222*****台が32項あるので、
222211111は第991(=1022-32+1)項となる
222211222が第998項なので、第1000項は222212112 >>867
> 1,2,11,12,21,22・・・
10, 11, 100, 101, 110, 111,...
1→0, 2→1 と置き換え、左端に1を付け加えたものを2進数とみなすと
順序を含め2以上の整数と一対一に対応する。
1212121212 → 10101010101(2) = 1365 であるから、1212121212は1364番目。
>>870
1001 = 1111101001(2) であるから、1000番目にくる数は 222212112。 >>879
お見事です。
2進法に似ているのは気づいたのですが
>左端に1を付け加えたもの
ってどういうとこから思いつくのでしょうか? >>879
お知恵を拝借して 1億個めと1兆個めを計算してみました。
> digit12(10^8) # 1億め
12222212122221111211111112
> digit12(10^12) # 1兆め
221211122121211212112121112111111111112
Rのコードはここ
http://tpcg.io/D2sseW >>882
dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub
where sub 0 = []
sub num = mod num n : sub (div num n)
main = do
let n=2
putStr "Input integer : "
str <- getLine
let num = read str
putStrLn $ dec2n n num
Haskellだと一京一も2進数にしてくれた。
Prelude> main
Input integer : 10000000000000001
100011100001101111001001101111110000010000000000000001
ゆえに一京めは
11122211112212222112112212222221111121111111111111112 f 1 =[1]
f n = reverse $ f' (n-1) 2 0 1
f' 0 _ _ _ = []
f' n k j i | n `mod` k == j = 1: f' (n-j) (k*2) k (k*2)
| otherwise = 2: f' (n-i) (k*2) k (k*2)
f (10^8)
[1,2,2,2,2,2,1,2,1,2,2,2,2,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,2] >>883
10の68乗を無量大数というらしい
無量大数+1を2進数表示できるかやってみた。
Prelude> :main
Input integer : 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
1110110101100011101000100011000111010100110001001111101100100111010011001010011110101010101010000110001111101110010010111101110101001000010101101100010111000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
さすが不定長整数を扱えるHaskell。 >>880
> >左端に1を付け加えたもの
> ってどういうとこから思いつくのでしょうか?
思いつくのは無意識の過程で分からないから、それまでに考えていたことをいうと
1と2の二つの文字 → 2進数に関連か? → 2進数に対応させよう
・1→0, 2→1 と置き換えるだけでは 0,00,000などが重なる → 区別するには? → (区別のためのマーカーがあればいい)
・問題の数字列は1桁では2つ、2桁では4つ、n桁では2^n個 → 2進数では? → (左端の1を除いてn桁で2^n個)
⇒左端に1を付け加えればいいかも? → あとは検証
()内はそのとき無意識には考えていたかもしれないけど、意識したのは検証時だったこと。
その前に「左端に1を…」を思いついた。でも無意識でも必要なことだったと思う。 >>886
Wikipediaによると10の372183838819776444413065976878496481295乗とのこと
Prelude> dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub where sub 0 = [] ; sub num = mod num n : sub (div num n)
Prelude> putStrLn $ dec2n 2 (100*10^372183838819776444413065976878496481295)
只今、計算中。フリーズするだろうな。
>>887
解説ありがとうございました。その才能は羨ましい限りです。 >>888
残念ながら予想どおり
GNU MP: Cannot allocate memory (size=4204265496)
のエラーメッセージがでて終了しました。 これも中学入試の問題
x/6=(510+x)/21で解けるけど
方程式なしだとどうする?
ある列車が510mの鉄橋を渡るのに21秒かかりました。また、線路のすぐそばで見ていたA子さんの前を列車が通るのに6秒かかりました。 この列車の長さを求めなさい。ただし、列車は鉄橋を渡るときも、A子さんの前を通るときも同じ一定の速度で走ったとものとします。 これも中学入試
A君、B君、C君の3人である作業をすると、終わるまで10日かかります。A君、B君の2人で同じ作業をすると、終わるまで15日かかります。このとき次の問に答えなさい。
(1)C君1人で同じ作業をすると、終わるまで何日かかりますか。
(2)B君、C君の2人で同じ作業を5日間して、残りをA君が1人ですると、さらに17日かかりました。同じ作業をB君1人ですると 何日かかりますか。
方程式を使ってよければ
全作業量をu(適当な単位で30単位とすると計算が楽)として
(a+b)+c)=u/10
(a+b)=u/15
からu/c=30日
5(b+c)+17a=u
5(b+u/30)+17(u/15-b)=uから
u/b=40日
と出せる。
学習塾での特殊訓練も方程式もなしで解く小学生は凄いなと思う。 『列車が鉄橋を渡る』とは何か?
鉄橋の始点をa、終点をbとすると
列車の先頭がaを通過してから列車の最後部がbを
通過するまでである
区間[a,b]に列車の長さxを足したものを
通過時間で割ると (510+x)/21……@
xが点Aを通過する時間でxを割ると x/6……A
列車は@とAを同じ速度で走るので
(510+x)/21=x/6
6(510+x)=21x
3060+6x−21x=0
15x=3060
∴x=204 >>893
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞw >>890
列車が鉄橋を渡り終わるのは、
鉄橋と自分の長さを合わせた距離を走ったとき
自分の長さは6秒で走れるので、鉄橋の長さ510mは21-6=15秒で走ることができる
よって列車の速さは510/15=34(m/s)
ゆえに列車の長さは34×6=204(m) 列車の長さxは6秒、鉄橋の長さ+xは21秒で通過する
つまり、鉄橋の長さは15秒で通過する
15/6=2.5なので鉄橋の長さは列車の長さの2.5倍
すなわち、鉄橋の長さ510mの2.5分の1が列車の長さ
∴x=510/2.5=204 これも中学の入試問題
図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり, OAの中点をMとする。点Aを中心として点Mを通る円をかき, 円Aとする。円Oの周上に点B, Pが, 円Aの周上に点Qがあり, 次の条件をみたしている。
・∠AOB=45°
・BQと円Aは接している
・OPとBQは平行
このとき, 直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。円周率は3.14とする。
図1 https://i.imgur.com/uYNULrq.jpg
図2 https://i.imgur.com/s7n55LS.jpg >>898
>・∠AOB=45°
てか、あれ?こんな条件あったのか?見落としてた……orz Qの位置とPの位置の組合せで
全部で4パターンあるのかな >>898
これ大人気なく三角比使えば綺麗に解けるね。
どこの問題ですか?
これ中学入試ってすごいなぁ。 >>795
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う
最初に探す方向を i
行または列が変わる時を j として
P君とQ君のうちどちらが先に宝を見つけるのかという
事象Aと事象Bを考える.
A={(i,j)| i または j が宝}
B={(i,j)| i または j が宝}
縦方向の探査をn、横方向の探査をn+1とすると
調査する全範囲はn(n+1)
Ω={n(n+1)|(n≧1)}
■縦方向に探査をするP君の確率空間は
Ω={(i,j)|1≦i≦n,1≦j≦n(n+1)}から
#A=n^2(n+1)−{n(n+1)−1}(n−1)
=n^2(n+1)−{n(n^2−1)−(n−1)}
=n^3+n^2−n^3+n+n−1
=n^2+2n−1
#Aは事象Aに含まれる要素の個数
■横方向に探査をするQ君の確率空間は
Ω={(i,j)|1≦i≦n+1,1≦j≦n(n+1)}から
#B=n(n+1)^2−n{n(n+1)−1}
=n(n^2+2n+1)−n(n^2+n−1)
=n^3+2n^2+n−n^3−n^2+n
=n^2+2n
#Bは事象Bに含まれる要素の個数
∴P(A)={(n+1)^2−2}/{n^2(n+1)}
∴P(B)={(n+1)^2−1}/{n(n+1)^2} >>907
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。 >>907
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
n=2
> ((n+1)^2-2)/(n^2*(n+1)) + ((n+1)^2-1)/(n*(n+1)^2)
[1] 1.027778
確率が1を超えてるじゃん。 (1)|α|≠r>0を満たす複素数の定数αと実定数rをとる。
|z-α|=rを満たす全てのzについて1/(z')を複素数平面上にとったとき、その図形を求めよ。ただしx'とはxの複素共役である。
(2)xy平面内部に直線x=-1, x=1をとる。
また、点(1/2, 0)または(-1/2, 0)を中心とし、原点を通る円のうちy≧0の部分をそれぞれC_a, C_bと定める。
また単位円のうちy≧0の部分をC_0とする。
任意の自然数kについて、
C_(k-1)とC_aとC_bに同時に接する円のうち中心がx=0かつy>0の領域にあるものをC_kとする。
自然数nについてC_nを求めよ。 >>909
事象Aと事象Bで別々に確率空間が設定されているのに
何で足す必要がある? >>898
円Oの半径は、
oa=ob=oc=od=2√2
円Oの円周は、
2×3.14×2√2=(12.56)√2
AB=(45/360)×(12.56)√2
=(1.57)√2
OAB=OA×OB×(1/2)
=2√2×(1.57)√2×(1/2)
=2×1.57
=3.14
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、面積は、
3.14×(1/2)=1.57(cu)
または、
3.14×(3/2)=4.71(cu) 前>>912修正。
円Oの半径は、
oa=ob=oc=od=2√2
円Oの円周は、
2×3.14×2√2=(12.56)√2
AB=(45/360)×(12.56)√2
=(1.57)√2
OAB=OA×AB×(1/2)
=2√2×(1.57)√2×(1/2)
=2×1.57
=3.14
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、面積は、
3.14×(1/2)=1.57(cu)
または
3.14×(3/2)=4.71(cu) >>911
P君とQ君のうちどちらが先に宝を見つけるか、を足した確率がなんで1を超えるんだよ? >>911
> n=1
> ((n+1)^2-2)/(n^2*(n+1))
[1] 1 前>>913訂正。
円Oの半径は、2つ掛けあわせて2になる数を○2とすると、
oa=ob=oc=od=2○2
円Oの円周は、
2×3.14×2○2=(12.56)○2
AB=(45/360)×(12.56)○2
=(1.57)○2
OAB=OA×AB×(1/2)
=2√2×(1.57)○2×(1/2)
=2×1.57
=3.14
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、面積は、
3.14×(1/2)=1.57(cu)
または
3.14×(3/2)=4.71(cu) >>917
書き方ではなくて概念の話。中学受験なら平方根の概念を用いずに解けるはず。 書き方の問題じゃない。
そもそも間違ってる。
扇型の面積 r^2π/8 の1/2倍とか3/2倍になるはずないやん。 とりあえず>>898の大人げない解答。
∠AOB = 2θ、OA = r、AM = s、∠ABQ = α とおく。
座標をA(-rsinθ,-rcosθ)、B(rsinθ,-rcosθ)とおく。
Pの座標は(±rcosα,±rsinα)の4通りのいずれか。
このときsinα = s/(2rsinθ)であるから
△PAB
= 1/2 2rsinθ (rcosθ± rsinα)
= 1/2 2rsinθ (rcosθ± rs/(2rsinθ))
= 1/2 (r^2sinθcosθ ± rs)
弦ABと弧ABで囲まれる部分
=1/2 r^2 2θ - 1/2 r^2 sinθcosθ。
∴求める面積
=1/2(r^2 2θ ± rs)
で中学受験に通用するように焼き直せば一応解答は作れる。 >>921
焼き直し例
Oを通りABに平行な直線におろしたPの足をHとおく。
求める面積 - 扇型OAB = △PAB - △OAB = ±1/2 AB・PH。
ここで△OPH∽△BAQによりOP:PH = BA:AQ。
∴1/2 AB・PH = 1/2 OP・AQ。
∴ 求める面積 = 扇型OAB ± 1/2 OP・AQ。 >>921,922
なるほど、見事
ABを底辺と見たときの高さの差に気づくことができれば、
点Hを考えるのは自然ですね 前>>917もっと近い値がみつかった。(問題>>898)
ひとまず2個かけあわせて2になる数を√2と書くものとする。
円Oの半径は、
oa=ob=oc=od=2√2(p)
円Oの円周は、
2×3.14×2√2=(12.56)√2(p)
弧A⌒B=(45/360)×(12.56)√2
=(1.57)√2(p)
△OAB=OA×弧A⌒B×(1/2)
=2√2×(1.57)√2×(1/2)
=2×1.57
=3.14(cu)
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、扇形ABPの面積は大きいほうが、
3.14+2√2≒3.14+2×1.41421356
=5.96842712(cu)
扇形ABPの小さいほうが、
3.14×2-2√2×2√2÷2-(3.14-2√2)
=3.14+2√2-4
≒1.96842712(cu) レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。