面白い問題おしえて〜な 27問目
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m=nの場合はある本に載ってた。
ほとんどそのままの論法でいけた。 >>73
> ある本に載ってた。
構わん、続けたまえ！ zi=z1+‥+zi、wj=y1+‥+yj とする。
zn≦wmとしてよい。
各1≦i≦nに対して
y j(i-1)＜xi≦yj(i)
をみたすj(i)がとれる。
この時各iに対し0≦y(j(i))-xi≦n-1である。
=0が成立するiがあるときには、主張は正しいから≠0とする。
このときyj(1)〜yj(n)は全て1〜n-1であるから相異なるi1、i2でyj(i1)=yj(i2)となるものがとれる。以下ry >>68圧倒的多数らしい右のハサミが大きい(左利き？)シオマネキのオスを、分岐点が正五角形の下方に水平に並ぶように描きました。
前>>67分岐点の角度を120°にするという発想は当初なかったんですが、前スレの左右対称のカブトガニのような図を見て、(最小値は0.89……)分岐点については理にかなってると考えを改めざるをえませんでした。
左右非対称だというヒントで、シオマネキのオスの形を描きなおしました。
正五角形の中に正六角形の半分を描きます。シオマネキの胴体です。分岐点の角度を120°にしたということは正六角形なんで辺の長さは同じ。
分岐点と分岐点の距離は正五角形の対角線(正六角形を二分する線)の半分です。
分岐点から下方の頂点に引いた短い線は、右下か左下にこの短い線の正三角形ができるように平行線を描くことで、
(1-対角線の半分)
と直感しました。
∴1+(対角線の半分)×3+(1-対角線の半分)×2
=1+(3/4)(1+√5)(1/2)(3-√5)
=(13+√5)/4 >>75の後半ことごとくzとwがxとyになってる。
エスパーしてちょ 次の方程式が持つ整数解の個数は有限か、無限か。
1 + 3x^2 + 4y^3 - 108z^6 = 0 >>79
(x,y,z) = (0,3t^2,t)が解だから無限個。 >>55
a_n=a，b_n=b と略す。
{1,2,…,b} のb個のうち {a_k} に含まれるものの数は [(b+1)/√2] 個
{1,2,…,b-1} のb-1個のうち {a_k} に含まれるものの数は [b/√2] 個
∴ [b/√2] = [(b+1)/√2] = n-b,
n-b ≦ b/√2， (b+1)/√2 < n-b+1,
n - (1 -1/√2) < (1 -1/√2)b ≦ n,
(2+√2) を掛けると題意から
n(2+√2) -1 < b ≦ n(2+√2),
一方、定義から
-n√2 ≦ -a < -n√2 +1,
辺々たして
2n-1 < b-a < 2n+1
∴ b-a = 2n. >>83 訂正
∴ [b/√2] = [(b+1)/√2] = b-n, >>79
(|x|，y，|z|) = (5，2，1) (1，-1，0)
有限っぽい… 学部1〜2年レベル置いとく
⑴V,Wを有限次元K線形空間とする。f:V→Wの基底ℬ,ℬ'に関する表現行列がAである時、fの双対f *の基底ℬ'*,ℬ*に関する表現行列を求めよ
⑵任意の対称形式b:V×V→Kに対し
て、Kの標数が2でなければ直交基底が存在する事を示せ
⑶L^p[0,1]をp乗可積分な関数全体とする。この時、||f||={∫[0,1]|f|^pdx}^(1/p)でノルムを入れる。このノルムによる単位球面S={f:||f||=1}はコンパクトではない事を示せ。
但し、ここでいう積分は全てリーマン積分で考える １＋３（６ｚ＾２−１）＾２＋４（３ｚ＾２−１）＾３−１０８ｚ＾６＝０。 >>87
正解です。
abc conjecture のちょっとした一般化に n conjecture なるものがあるのですが、
この式のzに何を代入しても良いことから、強い方の n conjecture の反例"に近いもの"（
すなわち和が0になるような整数の四つ組であって、どの二つ組の最大公約数も高々4であるもの）がいくらでも構成できます。
この最大公約数の最大を4から1にできないかなとは考えてるけどこれがなかなか難しい… >>86
(3)正の整数nに対して f_n(x) の値を
2^n (2^(-n+1) - 2^(-pn) < x < 2^(-n+1) の時)
0 (それ以外)
と定めたら、f_n∈S かつ ||f_n-f_m||=2 となるので、
{f_n}_n=1,2,… のどの部分列も収束しない。
したがってSは点列コンパクトでないためコンパクトでない。 数値ちがう。
そもそも最小性の証明出来てないから話にならん。 aを1でない実数とする。
[tan(log|log√√√√‥√a|]
において√の数を変化させるとき上式は全ての実数値を取りうることを示せ。 >>92
え？これが出来たら自然数から実数への全射が出来ることにならない？ 濃度に反するんだが
稠密の間違いじゃないの？ カッコが対応してないのも気になるが、
一番外側のカッコがガウス記号のつもりなら、「全ての実数値」は「全ての整数値」の間違いだったりするのかな？ >>93
×すべての実数値
○すべての整数値
orz >>79
1 + 3x^2 + (1/2)(x-1)^3 - (1/2)(x+1)^3 = 0,
1 + 3x^2 + 4{(x-1)/2}^3 - 108{(x+1)/6}^3 = 0, >>92 >>95
a>0，a≠1，√がn個あるとする。
log|log(√√√√…√a)| = log|(1/2^n)log(a)|
= log|log(a)| - log(2^n)
= log|log(a)| - n･log(2),
これはnの等差数列である。
次は tan だから mod π で考えよう。
上式にπ/2 を加えてπで割った ( log|log(a)| - n･log(2) + π/2)/πの小数部分を c_n とおく。
任意の有限区間（α，β）内に或る c_n が存在することを示そう。
〔補題〕
0≦α<β≦1 に対し、α < c_n < β をみたす自然数nが存在する。
(略証)
[ 1/(β-α) ] + 1 = m とおくと、β-α > 1/m
鳩ノ巣原理により
c_1，c_2，…，c_{m+1} の中に |c_i - c_j| < 1/m となる i<j がある。
n を j-i ずつ増減すれば、c_n はある公差（<1/m）で増減する。
∴ m/2回以内にc_nは区間 (α，β) に到達し、補題が成立する。(終) >>97
正解です。いろいろ問題文不備あったけどエスパーしていただいて申し訳ない。
問題は
an = -n (log2)/π + (log | loga |)/πの小数部
がどうなるか？
です。
用意した解答。
――
はLindemannの定理から(log2)/π は無理数。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
よってWeylの一様分布定理
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/07/30/140137
により任意の0≦α<β≦1に対し
lim[n→∞] #{n | α < an < β} /n = 1/(β - α)
が成立することから主張が成立。
――
ホントは上のサイトで紹介されているKroneckerの定理でも証明できるのですが、なんといってもWeylの発見したワイルの基準(Weyl's criterion)が美しく素晴らしい。
はじめて見たときはちょっと感動しました。 >>98
訂正
× lim[n→∞] #{n | α < an < β} /n = 1/(β - α)
○ lim[N→∞] #{n | α < an < β , n≦N }/N = 1/(β - α) >>97
鳩ノ巣原理のところを、
０ ＜ |c_i - c_j| < 1/m となる i≠j がある。
と訂正。
Lindemann により log(2)/π が無理数だから。 カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路の値を確認した。
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.89115682……
前>>90 1-6, 2-5, 3-4が向かい合った, 1〜6までの各数を揃えた6面サイコロを作る.
サイコロの1つの角c_nを共有する3面の数を合計した数をS_nとする.
(1)1つの角を共有する3面の数の組合せは何通り取れるか？
(2)S_nの最小値, 最大値を求めよ.
又サイコロを如何に作れど, S_nが最小値, 最大値を取る組み合わせの3面が必ず存在することを示せ. >>102
(1) 8通り
(2) ８つの角に現れる数はいかなるサイコロでも８つの角それぞれの計は
1+2+3=6、 1+2+4=7、 1+5+3=9、 1+5+4=10、
6+2+3=11、6+2+4=12、6+5+3=14、6+5+4=15。
最小値は６，最大値は１５。 >>103
正解です.
(ii)は鳩ノ巣原理使った解答想定していたけど, 8通りだと書き出す方が確かに早かった. >>97 >>98
〔Kroneckerの稠密定理〕
c を無理数とする。
0≦α<β≦1 である任意の区間（α，β） に対して α< {nc} <β を満たす自然数nが存在する。
http://mathtrain.jp/kronecker a[1]=1/2
a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2
で与えられる数列について、
（1）極限値lim[n→∞] na[n] を求めよ。
（2）次の極限が0でない有限値に収束するような正の有理数pの値を求めよ。
lim[n→∞] {a[n]-(1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n])}*(n^p) >>106
(2)解無しになるんじゃないの？
(1)は数値実験で1/2っぽいけど、だとすると a[n] 〜 1/(2n) で (1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n]) 〜 (log n)/(2n) にならない？ >>107
（1）は確かに1/2だが証明を与えてほしい
（2）は解無しもありだが本当にそうなのかを説明してほしい
大学入試問題からヒントを得た問題だが高校生には難しすぎるだろうと思ってここに出してみた (1)
lim a[n] = 0 は容易。
e>0 に対しa[n] < e (∀n ≧ N)であるNをとって
1/a[n+1] = 1/a[n] + 2 + a[n]
1/a[n] + 2 < 1/a[n+1] <1/a[n] + 2 + e
∴ 2(n - N) + 1/a[N] < 1/a[n] < (2+e)(n-N) + 1/a[N]
∴ 2 ≦ liminf 1/(na[n]) ≦ limsup 1/(na[n]) ≦ 2 + e
eは任意であったから主張は示された。
(2)
(1)と同様にe,Nをとって
Σ[k:N〜n]1/((2+e)(n-N) + 1/a[N]) ≦ Σ[k:N〜n]a[k] ≦ Σ[k:N〜n] 1/((2+e)(n-N) + 1/a[N])
より
1/(2+e) ≦ liminf Σ[k:1〜n]a[k]/log n ≦ limsup Σ[k:1〜n]a[k]/log n ≦ 1/2
eは任意であったから
lim Σ[k:1〜n]a[k]/log n = 1/2。
∴解無し。 R^nの凸集合A,Bについて，A⊂Bならば Aの境界の表面積≦Bの境界の表面積 となることを証明せよ >>110
以下凸体Vに対しその表面積をS(V)と書く。
e>0をとる。
Aにふくまれる凸多面体A'でS(A)<S(A') + eなるものをとる。
A'の各面Fに対しFを底面とする柱で側面が底面と垂直であり、A'の外側に伸びるものをC_Fとする。
C_Fが切り取るBの表面をT_Fとする。
このとき
S(A) - e ≦ S(A') = Σ (Area of F) ≦ Σ (Area of T_F) ≦ S(B)。
eは任意であったから S(A) ≦ SI(B)。 >>111
なるほど
想定していた解答はガウスの発散定理を使うものでしたがこれでも完璧ですね
正解です >>112
あざっす。想定解面白そう。教えて下さい。 >>109
訂正
(2)
e>0をとる。
(1)よりn≧Nにたいして(2-e)/n ≦ a[n] ≦ (2+e)/nを満たすNをとる。
Σ[i:1〜N]a[i] = Sとおけば
S+(2-e)(log n - log N -1/n) ≦ Σ[i:1〜n]a[i] ≦ S+(2+e)(log n - log N)。
2-e ≦ liminf Σ[i:1〜n] a[i]/log n ≦ liminf Σ[i:1〜n]a[i]/log n ≦ 2+e。
eは任意であったからlim Σ[i:1〜n] a[i]/log n = 2。
∴解無し。 >>113
以下想定解答です
Aは滑らかとして十分(軟化などをする)
dを∂Aに対する符号付き距離関数,すなわち
d(x):=dist(x,∂A) (=inf{dist(x,y) | y∈∂A}) (x∈A) , -dist(x,∂A) (x∈A^c) とする
x∈∂Aのとき，∇d(x)は∂Aの外向き単位法線ベクトルとなる
また，∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率となる
また,Aは凸より,任意のt<0に対して,{x∈R^n | d(x)=t}も凸
滑らかな凸集合の平均曲率は正より，△d(x)≧0 (x∈A-B)
A⊂Bより,0≦∫_(B-A) △d(x) dx=∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx
ガウスの発散定理より n_S(x)をSの外向き単位法線べクトルとすれば,
∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx=∫_(∂B) ∇d(x)・n_(∂B)(x) dS-∫_(∂A) ∇d(x)・n_(∂A)(x) dS
≦S(∂B)-S(∂A) (∵∇d(x)・n_(∂A)(x)=n_(∂A)(x)・n_(∂A)(x)=1 (x∈∂A) ,∇d(x)・n_(∂B)(x)≦|∇d(x)||n_(∂B)(x)|≦1 (x∈∂B))
よってS(∂A)≦S(∂B) >>116
なるへそ。
{x∈R^n | d(x)≦t}が凸。なので△d(x)≧0 (foy x not in A)。
こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。 この>>116
>∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率
とかの周辺の話って勉強できるおすすめの教科書ってありますか？ なるへそ。有向距離d(x)を
d(x) = (x〜∂A の最短距離), x∈A
=−(x〜∂A の最短距離), x∈A^c
= 0 x∈∂A
とおく。
∇d(x) = (∂Aの外向き法線単位ベクトル), x∈∂A
∇･∇d(x) = (∂Aの平均曲率), x∈∂A
等距離面 {x∈Ｒ^n | d(x)=t} も凸
滑らかで凸 ⇒ (∂Aの平均曲率) = ∇･∇d(x) ≧ 0, (x∈A でない)
こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。 ∂Aが滑らかで凸 ⇒ 等距離面も滑らかで凸 ⇒ (等距離面の平均曲率) = ∇･∇d(x) ≧ 0， (x∈A でない) >>117
あーごめん間違いをエスパーしてくれてありがとう
そうだね{d≦t}とB-A上だね
>>118
うーんちょっと洋書で申し訳ないんだけど
Carlo MantegazzaのLecture Notes on Mean Curvature Flowなんかには詳しく載ってるよ A：単位球（半径=1)
B_n：Aに外接する正n面体
とすると
S(∂A) = 4π,
S(∂B_4) = (√3)(L_4)^2 = 24√3, (L_4 = 2√6)
S(∂B_6) = 6(L_6)^2 = 24, (L_6 = 2)
S(∂B_8) = (2√3)(L_8)^2 = 12√3 = 20.7846097 (L_8 = √6)
S(∂B_12) = 3√(25+10√5)(L_12)^2 = 16.650873 (L_12 = 0.898056)
S(∂B_20) = (5√3)(L_20)^2 = (60√3)/φ^4 = 15.16216843 (L_20 = (2√3)/φ^2 = 1.323169)
π < 3.7905421 >>124
単位円と、それに外接する正n角形の面積を比べた方がいいな…
n=6 正6角形
π < 6 tan(π/6) = 2√3 = 3.4641016
n=8 正8角形
π < 8 tan(π/8) = 8(√2 -1) = 3.3137085
n=12 正12角形
π < 12tan(π/12) = 12(2-√3) = 3.2153903 球に外接する多面体のデータなら前スレ642にあるな
数値の信憑性は定かではないが……。 女体信仰から始まったのか？モノに執着もあるし、怖い自然もある。異種と出会うこともまれながら、愛した思い出もある。 円に内接する正三角形ABCと劣弧AB上の点PについてAP+BP=CPを示せ。
http://imgur.com/FmNSVHK.gif >>129
トレミーの定理より
AP・BC + BP・AC = CP・AB。
∴ AP+BP=CP。 >>130
正解（想定解）
>>131
正三角形CPDを描くと、∠CPB=∠CAB=∠60°だからBは辺PD上
二辺夾角相等より△CAP≡△CBD
AP+BP=BD+BP=DP=CP
正解 別スレで出題したのですがこちらの方が適当かなと思いまして、こちらで出題します。
「問題」
2つの円CとDは相異なる2点で交わっている。これによりCとDの和集合である領域は、CおよびDの円弧により3つの領域に分割される。
すなわち、
Cの内部かつDの外部である領域P、
Cの内部かつDの内部である領域Q、
Cの外部かつDの内部である領域R、
に分割される。
このとき、CとDがどのような交わり方をしていても、次の（条件）を満たすような直線lが必ず存在するか。
（条件）
・lは領域P、Q、Rのどの内部も通る。
・lの領域Kに含まれる部分の長さをL[K]とおくとき、次の等式が成り立つ。
L[P]=L[Q]=L[R] いくつかの赤玉と白玉の入った袋がある。
以下の試行(T)を繰り返す
(T) : 無作為に玉を一つ取り出し赤玉ならその玉と白玉一個を追加して袋にもどし、白玉ならそのまま取り除く。
この試行をn回行った後の白玉の個数をXnとする。
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)を求めよ。
――
別スレの問題を改題。
とりあえずいろいろ収束すると仮定すればlim[n→∞] E(Xn)はさらっと求まりますが、収束証明が難しい。
私、出来なくて知ってる限りのそ関連ありそうな単語でいろいろググったらやっと出きた。 >>134
訂正
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)+ E(X(n+1))を求めよ。 >>134
赤玉の個数は永遠に変わらないa個のまま
Xnの時点で
赤がでる確率a/(Xn+a)
Xn+1=Xn+1
白がでる確率Xn/(Xn+a)
Xn+1=Xn-1
E=lim E(Xn)が存在すれば
E=(E+1)a/(E+a)+(E-1)E/(E+a)=(E^2+(a-1)E+a)/(E+a)=E-(E-a)/(E+a)
E=a >>134
最初の時点での白玉の個数をb個とする
n回の試行中x回赤玉がy回白玉がでているときn=x+yで
Xn=b+x-y
しかし
(x,y)→(x+1,y)と遷移する確率はa/(a+b+x-y)
(x,y)→(x,y+1)と遷移する確率は(b+x-y)/(a+b+x-y)
Xn≧0よりy≦x+b
またもちろん0≦x,y ｎ次行列値関数 A(t)、B(t) が、dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t) をみたすとき、
tr(A^k) はtに依らない定数であることを示せ。ただしkは自然数とする。 >>134
数値実験結果(赤玉３個、白玉０個から始めた場合の n :１００１〜１０１０の E(Xn))。
http://codepad.org/TRA2Qa3r
1001 : 6.501239
1002 : 6.498761
1003 : 6.501239
1004 : 6.498761
1005 : 6.501239
1006 : 6.498761
1007 : 6.501239
1008 : 6.498761
1009 : 6.501239
1010 : 6.498761 >>138
dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t)
の両辺のtraceをとって
d/dt trA(t) = tr (A(t)B(t)-B(t)A(t)) = 0。 >>140
訂正。
これは玉の総数の期待値。つまりE(赤玉の個数+X_n)でした。 >>138
dA(t)/dt = A(t)B(t) - B(t)A(t),
d/dt {A(t)^k} = Σ[j=1,k] A(t)^(j-1) {A(t)B(t) - B(t)A(t)} A(t)^(k-j)
= Σ[j=1,k] A(t)^j･B(t)･A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)･B(t)･A(t)^(k+1-j)
= A(t)^k･B(t) - B(t)･A(t)^k,
∴ 任意の多項式 P(x) について
d/dt P(A(t)) = P(A(t))B(t) - B(t)P(A(t)),
∴ tr{P(A(t))} は一定。 〔問題670〕
nを自然数、xを実数とするとき
[nx] ≧ Σ(k=1,n) [kx]/k
を示せ。ただし [x] はガウス記号である。
[前スレ.670，680+684+717] >>144
[a+b] = [a] + [b] + [{a}+{b}] ≧ [a] + [b],
j≧2 のとき
S_j = (j-1)･[jx] - 2Σ(k=1,j-1) [kx]
= Σ(k=1,j-1) ( [jx] - [kx] - [(j-k)x] )
≧ 0,
f(x) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k
= Σ(j=2,n-1) (1/j - 1/(j+1))･S_j + (1/n)･S_n
≧ 0, g:ℤ →ℤとして,
∀n; g(g(g(g(n))))=2n
を満足するg(n)を挙げよ.
gは一意的だろうか. f=gg
ffn=2n
f2n=fffn=2fn
f(2n+1)を任意に選ぶと
f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
gg2^k(2n+1)=2^kgg(2n+1) >>146
奇素数pを任意に固定する。
f(0)=0 とし、 0 でない整数 n = m･p^k (mはpと互いに素な整数) に対して f(n) の値を
2n/(p^3) (kが4で割って3余る時)
pn (それ以外)
と定めれば、f は満たすべき性質を満たす。
また、奇素数 p は任意であったから、一意的ではない。 >>146
Sを1と素数の集合し、S=∪Tiを4元ずつのdisjoint unionとする。T={a,b,c,d}をそのうちの一つとして
f(a2^i)=b2^i、f(b2^i)=c2^i、f(c2^i)=d2^i、f(d2^i)=a2^(I+1)、f(0)=0
とすれば良い。 0337 卵の名無しさん 2018/08/12 08:03:01
数学板にあった問題をこのスレの趣旨に合わせて改変。
あるド底辺シリツ医に
学力考査で入学した学生（学力学生）と任意の寄付や縁故による加点で入学した学生（裏口学生）がいるとする。
無作為に一人選んで調査して以下の「浄化操作」をする。
・調査対象の学生が裏口学生なら退学させる。
・調査対象の学力学生ならそのまま在籍させて裏口学生を一人追加入学させる。
この「浄化操作」を n 回行った後の裏口学生の人数を Un とする。
最初に学力学生１０人、裏口学生９０人がいるとしてn→∞としたときの Un の期待値を求めよ。 >>141
意味不明。
>>143
> = Σ[j=1,k] A(t)^j･B(t)･A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)･B(t)･A(t)^(k+1-j)
> = A(t)^k･B(t) - B(t)･A(t)^k,
一般にA(t)とB(t)は可換でない。 >>147
一瞬グラフみて「え？10.5近辺に収束するはずなんだけど」と思ってあせりました。
グラフ下の方切れてるんですね。
赤１０，白９０からスタートした場合のCでの数値実験。
http://codepad.org/ALVNXu5t
――
1001 : 10.500000
1002 : 10.500000
1003 : 10.500000
1004 : 10.500000
1005 : 10.500000
1006 : 10.500000
1007 : 10.500000
1008 : 10.500000
1009 : 10.500000
1010 : 10.500000
――
ちなみに収束してるようにみえますが±1/(2 exp 20)の幅で奇数項と偶数項で振動するはずです。
しかし奇数項＋偶数項は収束します。
収束性を仮定すると赤１０の場合なぜ奇数項＋偶数項が２１に収束するかは割と簡単に示せると思います。 >>154 (下)
意味不明。
(t) を略して書くと、
= Σ[j=1,k] {A^j･B･A^(k-j) - A^(j-1)･B･A^(k+1-j)}
= {A^k･B - A^(k-1)･BA} + {A^(k-1)･BA - A^(k-2)･BAA} + ……
+ {AAB･A^(k-2) - AB･A^(k-1)} + {AB･A^(k-1) - B･A^k}
= A^k･B - B･A^k,
一般にA(t)とB(t)は可換でない。 (1)
d/dt tr A(t) = tr d/dt A(t)
を示せ。
(2)
tr AB = tr BA
を示せ。 >>135
EXn+EXn+1は振動しない？
EX2n+E2n+1とかではなくて？ >>159
振動しません。
十分大きいｎでは
……x,y,x,y,x,y,x,y……
のような形になるので。
振動幅ごくわずかですけど。
もっというなら各 i に対し
lim P(X_{2n-1} = i)、lim P(X_{2n} = i)
はすべて収束します。
それを使えば >>135 の答えは割と簡単。
問題は収束性。
ネットで調べまくって、いや〜偉い人は偉いなぁとしみじみ思いました。 行列の成分表示を使わない trace って、どう定義されるんだっけ？
つまり、-(固有値の総和）のことなんだけど、これを一次変換の変換の性質を表す言葉を使った定義。 >>161
射影変換の場合はその階数だと思うけど…
一般の場合はどうするか？ 数列{a[n]}は上に有界かつ単調増加である。
この数列の極限値をαとするとき、同じ極限値に収束する定数でない数列{b[n]}で、以下の性質を持つものを考える。
(A)ある自然数kが存在し、m>kであるすべての自然数mに対して、|b[m]-α| < |a[m]-α| が成り立つ。
(B)ある2次多項式f(x)が存在し（2次の係数は0でない）、b[n]=f(a[n])と表される。
（1）性質(A)を持つ{b(n)}が存在することを示せ。
（2）性質(A),(B)をいずれも持つような{b(n)}は存在するか。 >>155
これは lim[n→∞] E(Xn)のグラフ。 >>163
・f(α) = α
・a1≦x<αにおいてfは単調増加、x<f(x)<α
であるfをとれば良い。 >>155
赤１０，白９０からスタートして
ｎ回試行後のXnの期待値X[n]は
X[0]=90
red=10
X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)
で１０に収束するように思えるんだけど。
> Xn <- function(n,red=10,white=90){
+ X=numeric()
+ X[1]=white
+ for(i in 1:n){
+ X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)
+ }
+ return(X[n+1])
+ }
> sapply(c(100,200,300,400,500),Xn)
[1] 24.22034 10.17547 10.00105 10.00001 10.00000 >>166
その漸化式がおかしい。
X(0) = 90、X(1) = 992/10
までは正しくでるけどその漸化式では
X(2) = 54809 / 620。
でも正しくは
P(２回目で玉98個) = 89/110、
P(２回目で玉100個) = 2011/1111、
P(２回目で玉102個) = 1/101
なので
X(2) = 546621/5555。 訂正
P(２回目で玉100個) = 2011/11110、 >>145
[nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k = Σ(j=2,n) c_j・S_j
とおく。c_2 〜 c_n は定数。
まず [nx] を含むのは S_n だけ。
1 - 1/n = (n-1)c_n,
c_n = 1/n,
次に [(n-1)x] を含むのは S_n と S_{n-1}.
-1/(n-1) = (n-2)c_{n-1} - 2c_n,
c_{n-1} = 1/(n-1) - 1/n,
さらに [jx] を含むのは S_n 〜 S_j.
-1/j = (j-1)c_j - 2(c_{j+1} + … + c_n)
= (j-1)c_j - 2/(j+1),
c_j = 1/j - 1/(j+1), (2≦j<n) >>148
>f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
ff(2n+1)=2(2n+1)
f(2n+1)=2^k(2m+1)とすると
ff(2n+1)=f2^k(2m+1)=2^kf(2m+1)=2(2n+1)より
k=1,f(2m+1)=2n+1
または
k=0,f(2m+1)=2(2n+1)
そこで
A={2m+1|f(2m+1)が奇数}
B={2n+1|f(2n+1)が奇数の2倍}
と定めるとABは可算集合ですべての奇数はどちらか一方のみに所属
逆に奇数をどちらも可算のA,Bに分けて
h:A→B:isoを任意に取り
2m+1∈Aに対してf(2m+1)=h(2m+1)=2n+1,f(2n+1)=2(2m+1)と定義し2べき倍に拡張すれば
fは所定の性質ffn=2nを持つ
しかし
gg(2n+1)=2(2m+1)
gg(2m+1)=2n+1
および
gg2n=2ggn ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
