面白い問題おしえて～な 27問目
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次の条件を満たす関数f(x)が存在すればそれを求め
存在しなければそれを証明せよ
(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3) f(1)＝1 >>284
f '(x)/f(x) = 1/xx,
log f(x) = c - 1/x,
f(x) = e^(c -1/x),
f(1)=1 より c=1
f(x) = e^(1 -1/x)
x=0 で微分可能ではないだろうな。 >>282
4点の座標が判っているなら、ベクトルの三重積(の絶対値の1/6)で体積求まりますよ。
つまり、一つの点が原点になる様に平行移動して、残り三点を
(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3) としたら、
V=(1/6) | x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1 | >>287
ありがとう御座います。スクリプトの検証に使わせていただきます。 >>287
ご教示の通りにスクリプトを書いたら僅か４行で済みました。
ありがとうございました。
tetrahedron <- function(O=c(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)),A=c(0,0,0),B=c(1,0,0),C=c(cos(pi/3),sin(pi/3),0)){
AO=A-O
BO=B-O
CO=C-O
as.numeric(abs(pracma::cross(AO,BO) %*% CO)/6)
}
どれも一致しました。
> sqrt(2)/12
[1] 0.1178511301977579
> Tetra()
[1] 0.1178511301977579
> tetrahedron()
[1] 0.1178511301977579 前>>283
AS=1
BT=x>1
CU=y>x>1
とすると、
1+x+y=xy
y=(x+1)/(x-1)
=1+2/(x-1)>1
y-x=(x+1)/(x-1)-x
={(x+1)-x(x-1)}/(x-1)
=(1+2x-x^2)/(x-1)>0
1+2x-x^2>0
1<x<1+√2
x=1.1のときy=21
x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2
1<x<1+√2<y
三つの垂線の大小を、
AS<BT<CUとすると、
AS<BT<AS+√2<CU 前>>290
AS=1
BT=x>1
CU=y>x>1
とすると、
1+x+y=xy
y=(x+1)/(x-1)
=1+2/(x-1)>1
y-x=(x+1)/(x-1)-x
={(x+1)-x(x-1)}/(x-1)
=(1+2x-x^2)/(x-1)>0
1+2x-x^2>0
1<x<1+√2
x=1.1のときy=21
x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2
1<x<1+√2<y
直角三角形の相似かな。
鋭角三角形でも可能なような。 >>284
f(x)の値を
e^(1-1/x) (x>0 の時)
0 (x≦0 の時)
と定めればこのfは条件を満たす。 >>292
まったりと地雷踏んでくれてありがとう。
そう定義すると
x=0 に対しても x^2 f ’(x) = f(x)
が成り立ってしまうから。 >>293
成り立っていると、どうししてダメなの？ 高校数学でつ。
nは自然数とする。1から5nまでの数字がそれぞれ書かれた5n枚のカードから2枚選んでその数字をx、yとする。
x^2+y^2
の一の位が7となる確率をPnとするとき、極限値
lim(n→∞)(25Pn/2)⁵ⁿ
を求めよ。 >>299
xx+yy の一の位が 7
⇔ xx, yy の一の位が {1,6} または {6,1}
⇔ x, yの一の位が {1または9, 4または6} または {4または6, 1または9}
5n枚のカードのうち、一の位が 1または9 のものは n枚。
一の位が 4または6 のものは n枚。
Pn = 2/25.
1. >>296
>>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。
>>284 (2) が
任意の実数 x に対して x^2 f ’(x)＝f(x)
だっから >>292 で正解だが… >>301
> >>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。
バカバカしい。 >>301
君、命題の裏が恒真だと思ってる？
高校数学からやり直した方がいいよ >>299
カードは戻すの？戻さないの？
あと極限の式を正確に書け
ただの宿題なら質問スレへ >>299
1枚目のカードを戻さない場合は
Pn = 2nn/{5n(5n-1)},
(25/2)Pn = 1/(1 - 1/5n)
lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(-5n) = lim(n→∞) (1 - 1/5n)^(5n) = 1/e,
lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(5n) = e, f'(x)が全実数で定義できるが0で連続じゃないって相当性質悪い関数しかなさそうだが x=0 でも成立つのに、わざわざ「ｘ≠0 なる任意の実数xに対して」と言うところがキモ。
緩めても他の解が出てくるわけぢゃないし。 >>301
例えば、(リーマン)積分では有界閉区間上の連続関数f:[a,b]→Rを扱うけど、このときfは[a,b]以外では定義されてたら(もしくは連続だと)駄目なんですね？
群準同型f:G→Hの定義にf(e)=eという条件があるけど、これはg∈Gについて「g=eならばf(g)=e」という条件だから、g≠eのときf(g)=eとなったら駄目なんですね？
つまりker(f)={e}となって、群準同型は常に単射になるんですね？
……アホか >>305
指摘ありがとう
二枚のカードは同時に取り出します
自作問題なんです気を付けます、、、
>>306
正解です あるチームスポーツの世界大会は次のフォーマットで行われる。
総当たり戦では必ず順位が定まるとする。
nは2以上の整数とする。
①参加チーム4nを2nずつの2組に分け、各組で総当たり戦を行う。
②各組の上位nチームが勝者リーグへ、下位nチームが敗者リーグへ回り、各リーグで総当たり戦を行う。ただし、①で同組だったチーム同士の試合は再び行わずに①の成績を持ち越す。
③勝者リーグの3位と4位で三位決定戦を、1位と2位で決勝を行う。
総試合数を求めよ。
ちなみに
全チーム総当たり形式の場合、(4n-1)*(4n)/2=8n^2-2n試合
トーナメント形式の場合、4n-1試合 >>301
x≠0で云々、というのは、x=0のときについては何も言ってないよね？
確かに一般的な感覚とはずれてますが >>308
同じ結果我得られるなら仮定はできるだけ緩くするのは当然だろ
何いってんの >>308
緩めて他の解がでてこないなら益々あかんやろ。
出てくるなら ”それは解を尽くせてないからダメ” といえなくはないけど。 （正解）
① … 2*{(2n-1)*(2n)/2} = 4n^2-2n 試合
② … 2*{n^2} = 2n^2 試合
③ … 2 試合
総試合数は 6n^2-2n+2 試合
（別解1）
A組上位とB組下位、B組上位とA組下位の間の試合（ 2n^2 試合）が省略、三決と決勝が追加されると考えて、
8n^2-2n-2n^2+2 = 6n^2-2n+2 試合
（別解2）
①と②で各チーム必ず (2n-1)+n = 3n-1 回戦うから (3n-1)*4n/2 = 6n^2-2n 試合
③の2試合を足して 6n^2-2n+2 試合
今年の大会だと
U12アジア選手権 4n = 8 22 試合
U-15野球W杯 4n = 12 50 試合
U18アジア選手権 4n = 8 22 試合（予定）
U-23野球W杯 4n = ? ?? 試合（未定）
アジア競技大会 野球 4n = 8 22 試合（ただし3チームが最後の1枠を争う予選が3試合あった）
女子野球W杯 4n = 12 50 試合 10人を空部屋なしで5部屋を割り当てる、但し、各部屋の定員は3人とする。割り当て方は何通りあるか。 (10!/(2!2!2!2!2!)/5! + 10!/(3!2!2!2!1!)/3! + 10!/(3!3!2!1!1!)/2!/2! ) * C[10,5] まちがえた
(10!/(2!2!2!2!2!)/5! + 10!/(3!2!2!2!1!)/3! + 10!/(3!3!2!1!1!)/2!/2! ) * P[10,5] (10!/(2!2!2!2!2!)) /5! = 945,
(10!/(3!2!2!2!1!)) /3! = 12600,
(10!/(3!3!2!1!1!)) /(2!2!) = 12600,
945 + 12600 + 12600 = 26145,
26145 * 5! = 3137400, >>316
各部屋に一人ずつ5人入れると、その入れ方は5!=120通り。
あとから入る5人の入れ方は、
1､1､1､1､1が1通り
2､1､1､1､0が5×4=20通り
2､2､1､0､0が5×(4Ｃ2)=5×4!/2!=30通り
だが、だれがどの部屋に入るか公平に決めないといけないから、
1､1､1､1､1が5!=120通り
2､1､1､1､0が20×(5Ｃ2)×3!=1200通り
2､2､1､0､0が30×5×(4Ｃ2)=900通り
合計2220通り
先に入るかあとから入るかは確率1/2だから二倍すると、
(120+2220)×2=4680通り 先に入るかあとから入るかで公平さは変わらない。
前>>320
結果的にその部屋に決まるなら、先に入ろうがあとから入ろうが同じ。
2340通り まず初めに最初に部屋に入る人を選ばないといけないから、
(10Ｃ5)×2340
=10×9×8×7×6×2340
=70761600
前>>321
部屋に名前をつけて検証する。部屋を(北西)(北)(西)(中央)(東南の角部屋)の五つとする。
人に①～⑩の番号を振る。(北西)(北)
┏━━┳━━┓
┃① ┃② ┃
┃ ┃⑥④┃
┣━━╋━━╋━━┓
┃③ ┃⑤⑨┃⑦⑩┃
┃ ┃⑧ ┃ ┃
┗━━┻━━┻━━┛
(西)(中央)(東南の角部屋)
試しに①～⑩の被験者に順に部屋に入ってもらった。このとき、①～⑥まではどこでも入れたんですんなり入ってくれたが、⑦が困った。一部屋いっぱいで。つまり(北)が。つまり4択という不公平感。⑩にいたっては3択だった。
5^6×4^3×3=300万通り
一回の施行で少なくともこれだけある。何千通りじゃ足りない。 前>>325
一回の施行というか試行で300万通りという値を得たが、少なくとも300万通りあるんであって、実際はもう少し変わった部屋割りが可能だから増えると感じた。つまり二人部屋を多くしたりとかほかのパターンがある。
>>319この値は信憑性がある。 >>134>>135
解答です。
ネットで見つけた素晴らしいNoteに依ります。
---- 解答例 ----
以下では初期配置における玉の総数が偶数である場合を考える。
奇数の場合はE(X[2n])とE(X[2n-1])の結論が逆となるだけである。
自然数 j で玉が j 個ある状態を表すとする。系を HMC([1]、p3) と考える。
まず不変分布 π[n] ([1]、p11)を求める。
π[n] = aπ[n-1]/(n-1+0) + (n+1-a)π[n+1]/(n+1+0)
である。ただしp/(q+0) = lim[ε→0]p/(q+ε)である。
f(x) = Σπ[n]x^n、g(x) = Σπ[n]/(n+0)x^nとおけば
(x－1)g′(x)=a x－x g(x)
となり、これを解いてg(x) = Ax^ae^(ax) を得る。よって
f(x) = xg′(x) = Aa(x + 1)x^ae^(ax) である。
ここで f(1) = 1 により
f(x) = (x+1)x^ae^(ax) / (2e^a)
を得る。以上によりこの HMC は π[n] = f (1) < ∞ を満たす不変分布を持つから、正再帰的 HMC ([1]、p13)である。
また p_{aa}^(2) > 0、奇数 n に対して p_{aa}^(n) = 0 で あるから周期は 2 である。([1]、p5)
以上により初期の玉の総数が偶数であることから
lim[n→∞]E(X[2n])
= f′(1) + f′(－1)
= 1 {e^a +2a+2a+(－1)^ae^(－a)}/(2e^a)
= 2a + 1/2 + (－1)^a/(2e^a)
lim[n→∞]E(X[2n-1])
= f′(1) - f′(－1)
= 1 {e^a +2a+2a-(－1)^ae^(－a)}/(2e^a)
= 2a + 1/2 - (－1)^a/(2e^a)
である。([1]、p19)
ref.
[1] マルコフ連鎖、https://www.komazawa-u.ac.jp/~toshi/teaching/TIT/note1.pdf
[2] a=10、玉の総数が100の場合、>>182、
----
どうも東大の講師の方の講義のレジュメのようです。
収束証明とか感動的です。
カップリングとか言われたらわかるけど、こんなん絶対思いつかん。 しまった。リンクまちがった。
赤10、白９０のより精密な数値シュミレーション例>>181。
1001 : 0000020.50000000103057681723857863179375573
1002 : 0000020.49999999896942319451989818931917708
1003 : 0000020.50000000103057681669136956653754163
1004 : 0000020.49999999896942319399815481629102060
1005 : 0000020.50000000103057681619390677994098141
1006 : 0000020.49999999896942319352384265899269428
1007 : 0000020.50000000103057681574166788303501812
1008 : 0000020.49999999896942319309264978872148864
1009 : 0000020.50000000103057681533054161312050221
1010 : 0000020.49999999896942319270065627029311700
ちなみに
1/(2e^10) = 1.030576811219279e-9 >>330
さらに訂正。
lim[n→∞]E(X[2n])
= f′(1) + f′(－1)
= {e^a +2ae^a+2ae^a+(－1)^ae^(－a)}/(2e^a)
= 2a + 1/2 + (－1)^a/(2e^a)
lim[n→∞]E(X[2n-1])
= f′(1) - f′(－1)
= {e^a +2ae^a+2ae^a-(－1)^ae^(－a)}/(2e^a)
= 2a + 1/2 - (－1)^a/(2e^a)
まだあるかもだけどエスパーしてちょ。 (北西)(北) 前>>329
┏━━┳━━┓部屋割り
┃①②┃④⑤┃ だな。
┃③ ┃⑥ ┃
┣━━╋━━╋━━┓
┃⑦⑧┃⑨ ┃⑩ ┃
┃ ┃ ┃ ┃
┗━━┻━━┻━━┛
(西)(中央)(東南の角部屋)
「奥から詰めてください」学級委員の指示で北西と北が三人部屋になった。「空き部屋を作らないように」
⑦と⑧は仲良しだから喜んだ。
⑦「どの部屋を選ぶか最初の奴らは5通りだが、俺ら入るときは三人部屋ができてて3通りしかないだろ」
⑧「不公平だな。部屋の決め方がまず5!通りある。あとは5部屋をそれぞれ何人ずつにするか」
⑦「今回は3､3､2､1､1だ」
⑧「ほかに3､2､2､2､1と2､2､2､2､2があるな」紙に書きながら言う。
⑨「俺が計算してやろうか」襖をあけた⑨が言った。
⑦「入ってくるなよ」これを拒んだ。
⑨「おお」うなずいて、「人数変わってデータが狂うからな」手をのばし、⑧から紙を受けとると、なにか書いた。
『(10!/3!･3!･2!･1!･1!･2!･2!
+10!/3!･2!･2!･2!･1!･3!
+10!/2!･2!･2!･2!･2!･5!)×5!
={(10×9×8×7×6×5)/(3×2×2)+(10×9×8×7×6×5)/(2×3×2)+(10×9×8×7×6×5×4×3)/(2×2×2×2×5!)}×5!
={(5040/4)×2+(5040×90)/(2×2×5!)}×5!
={2520+(2520×9)/24}×5!
={2520+(2520×3)/8}×5!
=2520×(11/8)×5!
=2520×11×5×3
=12600×33
=330000+66000+18000+1800
=396000+19800
=415200
あれ、計算間違いかな？
(ｼｯﾋﾟﾝ)(ｸﾞﾆ)
41も52も吉数なんだが。 Prelude> let fact x = product [1..x]
Prelude> (* (fact 5)) $ sum [div (fact 10) (product $ map fact a) | a<-[[2,2,2,2,2,5],[3,2,2,2,1,3],[3,3,2,1,1,2,2]]]
3137400 前>>333計算間違いだ。
『(10!/3!･3!･2!･1!･1!･2!･2!
+10!/3!･2!･2!･2!･1!･3!
+10!/2!･2!･2!･2!･2!･5!)×5!
={(10×9×8×7×6×5)/(3×2×2)+(10×9×8×7×6×5)/(2×3×2)+(10×9×8×7×6×5×4×3)/(2×2×2×2×5!)}×5!
={(10×9×4×7×5)×2+(10×9×7×3)/2}×5! ={25200+945)×5!
=26145×5×4×3×2
=26145×120
=2614500+522900
=3137400(通り) コンピュータに数えさせました。
library(gtools)
n=5
r=10
c=3
perm=permutations(n,r,rep=T)
tail(perm)
g <- function(x) all(1:n %in% x)
system.time(g(perm[1:1e6,])) # fast
i=which(apply(perm,1,g)) # lengthy
perm5=perm[i,]
tail(perm5)
j=length(i)/factorial(5)
h <- function(x) max(table(x)) <= c
k=which(apply(perm5[1:j,],1,h))
length(k)
length(k)*factorial(5)
l=which(apply(perm5,1,h)) # lengthy
length(l)
答は>319の通り
> length(l)
[1] 3137400 >>336
最初と最後を書くとこんな感じ
> head(perm53) ;tail(perm53)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5
[2,] 1 1 1 2 2 2 3 3 5 4
[3,] 1 1 1 2 2 2 3 4 3 5
[4,] 1 1 1 2 2 2 3 4 4 5
[5,] 1 1 1 2 2 2 3 4 5 3
[6,] 1 1 1 2 2 2 3 4 5 4
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[3137395,] 5 5 5 4 4 4 3 2 1 2
[3137396,] 5 5 5 4 4 4 3 2 1 3
[3137397,] 5 5 5 4 4 4 3 2 2 1
[3137398,] 5 5 5 4 4 4 3 2 3 1
[3137399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 1 2
[3137400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 1 １０人を５部屋に割り当てるときに空室があってもよいが１部屋の定員は３とすると 4229400通り数えられた。
library(gtools)
n=5
r=10
c=3
perm=permutations(n,r,rep=T)
tail(perm)
h <- function(x) max(tabulate(x))<=c
idx3=which(apply(perm,1,h))
perm3=perm[idx3,]
tail(perm3) # 定員３空室可
> tail(perm3)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[4229398,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 3
[4229399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 3 1
[4229400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2
>
g <- function(x) all(1:n %in% x)
system.time(apply(perm3[1:1e5,],1,g)) # fast
idx35=which(apply(perm3,1,g))
perm35=perm3[idx35,]
tail(perm35) # 定員３空室不可
> tail(perm35)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[3137398,] 5 5 5 4 4 4 3 2 3 1
[3137399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 1 2
[3137400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 1
g <- function(x) all(1:n %in% x) #
system.time(apply(perm[1:1e5,],1,g)) # fast
i=which(apply(perm,1,g)) # lengthy
perm5=perm[i,] #定員なし空室不可
> tail(perm5)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[5102998,] 5 5 5 5 5 5 4 2 3 1
[5102999,] 5 5 5 5 5 5 4 3 1 2
[5103000,] 5 5 5 5 5 5 4 3 2 1 今回はこれぐらいにしといてやる。前>>335口ほどにもない易問やったなぁ。
（(-.-)
（っц)~
｢￣￣￣]台風も最大いうほどたいしたことないし。もうそろそろ日本海か。
○田くん、さびしなったはんのかな。知り合いも知り合いやよな。敵に言わんといて言うたはんのにや。頼れるもんなくなっていくんはきついやろで。でも記録は記録なんやろ。逃走の。 ニュー速＋でみつけた問題
男が90人女は10人、医学部を受験しました。学力は同程度だと仮定します。合格できるのは10人です。
では女の合格率が男と同程度以上になる確率はいくらでしょう？ 女子が1人以上合格すると(女子の合格率)≧(男子の合格率)となる
女子が1人も合格しない確率は(1/2)^10=1/1024
求める確率は1-1/1024=1023/1024 >>341
man=90
woman=10
pass=10
total=man+woman
p=pass/total
i=0:10
#
女子＞男子
> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman > (pass-i)/man))
[1] 0.2615285
女子＝男子
> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman == (pass-i)/man))
[1] 0.4079953
女子＜男子
> sum((choose(man,i)*choose(woman,pass-i)/choose(total,pass))*(i/man > (pass-i)/woman))
[1] 0.3304762 ＿＿＿＿＿＿｣｜
（ -~-) ｜
＿'``'＿＿＿_」
￣￣￣￣￣￣￣今宵は嵐じゃ。あしたは暑くなる。寝るぞ。前>>341すでに同程度言うたはるやろ。同程度以上になる確率は1/2(二分の一)や。不正はあかん。公平やないと。それが試験ちゅうもんや。 男子９００人受験、女子１００人受験、定員１００人のときはこうなった。
> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman > (pass-i)/man))
[1] 0.4160339
> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman == (pass-i)/man))
[1] 0.1389853
> sum((choose(man,i)*choose(woman,pass-i)/choose(total,pass))*(i/man > (pass-i)/woman))
[1] 0.4449808 >>344
コインを４回投げて表が必ず２回でなくちゃ不正なのか？
３回だったらどうすんの？ >>346
コインを３回投げたら１回表、１回裏、残りはコインが立たなくちゃ不正なのか？ >>341
興味が湧いたので
定員１０人受験生１００人でそのうち女子の数が変化したときに
男女の合格率のどちらが高くなるかの確率をグラフにしてみた。
http://i.imgur.com/O2aa5Pg.png ＿＿＿＿＿＿｣｜
（-ﾟ- ) ｜
＿'``'＿＿＿_」
￣￣￣￣￣￣￣アンカー間違えた。前々>>344前>>340合格率が同じってことは男10人女1人だ。同程度以上になる確率が1/2、同程度未満になる確率が1/2、あわせて1。これが公平ってことだ。
が実際には片寄りが出る。なぜなら男女別で審査してないから。同じ問題を同じ条件で解くと同程度になるはずだが実際はやってみないとわからない。
ただ男から10人、女から1人を選ぶような条件付きの試験じゃないってことだ。男が11人受かることもあれば、女が2人受かることもある。 前>>349違うな。訂正。
男が10人受かることもあれば、女が2人受かることもある。 以前は、このスレだけは多少なりとも参加する価値があったんだがな。
この惨状。
数学板だから、空気が読めなくても数学ができれば別にいいんだが
空気が読めなくてバカでコテハンでイキリ厨房っていうね… >>344
たまーに まともなことも言う。
製造業、建設業、商業… 世に職業はいろいろあるが、大学の売り物は公正さぐらいしかない。
それを損なっては、仕事のないトクニンの溜まり場でしかなくなる。
自分らの値打ちを自ら下げてどうする。
学生は、くれぐれもこういう真似をしないように。 では問題です。[前スレ>>535]
〔問題100〕
a, b, c, d が正のとき
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+ (b-c)(b-d)/(b+c+d)
+ (c-d)(c-a)/(c+d+a)
+ (d-a)(d-b)/(d+a+b)
≧ 0,
を示せ。
IMO-2008 Short list A.7
不等式bot（@inequalitybot） [100] ☆12 まぁこの手の問題はアルゴリズムが発見されてるからなぁ。 >>354
[前スレ.961]
煩雑で汚い解答の例
(1) まづ a-c, b-d の斉２次式で表わす。
2 (左辺) = F (a-c)^2 + H (a-c)(b-d) + G (b-d)^2,
ここに
F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c),
G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b),
H = 3{ -(a+c)/(c+d+a)(a+b+c) + (b+d)/(d+a+b)(b+c+d)},
とおいた。この斉２次式が正定値となる条件は、
(判別式) = HH - 4FG < 0,
(2) F, G, H を評価する。
相加-調和平均で
F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c) ≧ 4/{2(a+c)+(b+d)},
G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b) ≧ 4/{(a+c)+2(b+d)},
∴ FG ≧ 16/{2(a+c)^2＋5(a+c)(b+d)＋2(b+d)^2} ≧ 16/{(9/4)(a+b+c+d)^2} > 7/(a+b+c+d)^2,
0 < (a+c)/(c+d+a)(a+b+c) = (a+c)/{(a+c)(a+b+c+d)+bd} < 1/(a+b+c+d)、
0 < (b+d)/(b+c+d)(c+d+a) = (b+d)/{(b+d)(a+b+c+d)+ac} < 1/(a+b+c+d)、
∴|H| < 3/(a+b+c+d)、
よって (判別式) = HH - 4FG < 0,
∴ 左辺は正定値。 じゃあ関連して
（問題）
有理係数の多項式 P(x1,…,xn) が与えられた時、∀x1…xn P(x1,…,xn) ≧ 0 ならその証明を、そうでないならその反例を与えるアルゴリズムが存在することを示せ。 男子90n人、女子10n人、定員10n人 とする。
・女子＞男子
Σ[n < k ≦10n] C[90n,10n-k] C[10n,k] / C[100n,10n]
・女子＝男子
C[90n,9n] C[10n,n] / C[100n,10n]
・女子＜男子
Σ[0≦ k < n] C[90n,10n-k] C[10n,k] / C[100n,10n]
n=1 のとき >>343
＞ 0.2615284665839845
＝ 0.4079953223292903
＜ 0.3304762110867252
n=10 のとき >>345
＞ 0.41603390750170235
＝ 0.13898526767704465
＜ 0.4449808248212530 >>360
n→∞ のとき正規分布に近づく（？）
＞ 1/2,
＝ (5/9)√(2/πn) = 0.4432692/√n,
＜ 1/2, >>360 >>361
Stirling の近似式
log(m!) ≒ (m+1/2)log(m) -m +(1/2)log(2π) +1/(12m),
を使えば
log(C[10m,m]) ≒ b m - (1/2) log(m) + (1/2) log(5/9π) - c/12m,
ここに
b = 10 log(10) - 9 log(9) = 3.250829734
c = 1 + 1/9 -1/10 = 91/90,
＝ となる確率は
(5/9)√(2/πn) exp(cc/12n),
= (0.443269200446/√n) exp(0.085195473251/n) >>339
r人をn部屋に割り当てるときに（n=5, r=10) 各部屋の定員がc人だとする。
・定員c=3、空室可
(r!/(3!3!2!2!0!)) /(2!2!) = 6300,
(r!/(3!3!3!1!0!)) /3! = 2800,
を含めて
26145 + 6300 + 2800 = 35245,
35245 * n! = 4229400,
・定員なし、空室不可
(r!/(4!2!2!1!1!)) /(2!2!) = 9450,
(r!/(4!3!1!1!1!)) /3! = 4200,
(r!/(5!2!1!1!1!)) /3! = 2520,
(r!/(6!1!1!1!1!)) /4! = 210,
を含めて
26145 + 9450 + 4200 + 2520 + 210 = 42525,
42525 * n! = 5103000,
・定員なし、空室可
5^r = 9765625,
(内訳)
空室0 … C[n,0] (5^r - 5･4^r + 10･3^r - 10･2^r + 5･1^r) = 5103000,
空室1 … C[n,1] (4^r - 4･3^r + 6･2^r -4･1^r) = 4092600,
空室2 … C[n,2] (3^r - 3･2^r + 3･1^r) = 559800,
空室3 … C[n,3] (2^r - 2･1^r) = 10220,
空室4 … C[n,4] (1^r) = 5, 男子5人女子5人を空室なし男女混合なしで5部屋に割り当てる方法は何通りあるか？ >>365
(C[5,1]×(C[1,0]1^5 - C[1,1]0^5)×(C[4,0]4^5 - C[4,1]3^5 + C[4,2]2^5 + C[4,3]1^5 + C[4,4]0^5)
+C[5,2]×(C[2,0]2^5 - C[2,1]1^5 + C[2,2]0^5)×(C[3,0]3^5 - C[3,1]2^5 + C[3,2]1^5 + C[3,3]0^5))×2 >>>365
(C[5,1]×(C[1,0]1^5 - C[1,1]0^5)×(C[4,0]4^5 - C[4,1]3^5 + C[4,2]2^5 - C[4,3]1^5 + C[4,4]0^5)
+C[5,2]×(C[2,0]2^5 - C[2,1]1^5 + C[2,2]0^5)×(C[3,0]3^5 - C[3,1]2^5 + C[3,2]1^5 - C[3,3]0^5))×2 >>367
お見事です。
コンピュータのカウントと合致。
> tail(perm5[m,])
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[92395,] 5 5 5 5 5 4 4 1 2 3
[92396,] 5 5 5 5 5 4 4 1 3 2
[92397,] 5 5 5 5 5 4 4 2 1 3
[92398,] 5 5 5 5 5 4 4 2 3 1
[92399,] 5 5 5 5 5 4 4 3 1 2
[92400,] 5 5 5 5 5 4 4 3 2 1
次はこんな問題かな。
男子5人女子5人を空室なし男女混合なしで定員3の5部屋に割り当てる方法は何通りあるか？ 部屋分け
（１） ３ ：男（３，２）、女（３，１，１）または（２，２，１）
（２） １： 男（３，１，１）、女（３，２）
（３） １： 男（２，２，１）、女（３，２）
３＋１＋１＝５通りかな？
簡単すぎ？ ↑
（１） 2 ：男（３，２）、女（３，１，１）または（２，２，１）
（２） １： 男（３，１，１）、女（３，２）
（３） １： 男（２，２，１）、女（３，２）
２＋１＋１＝４通りかな？
ほかのことをしていた。注意しませう 部屋を１～5と命名すると
定員３で男女混合にならない部屋割はこんな感じ
男1 男2 男3 男4 男5 女1 女2 女3 女4 女5
[1,] 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5
[2,] 1 1 1 2 2 3 3 3 5 4
[3,] 1 1 1 2 2 3 3 4 3 5
[4,] 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5
[5,] 1 1 1 2 2 3 3 4 5 3
[6,] 1 1 1 2 2 3 3 4 5 4 >>371
いみがわからねえ
[1,] 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5 の意味は
男３人、男二人、
女三人、女二人
４部屋しか使っていないからXじゃないの
男（３，２）、女（３，１，１）または（２，２，１）
とは意味が違うね 収容人数がそれぞれa,b,c,d+p人の部屋A,B,C,Dに、ちょうど(a+b+c+d)人を割り振る。
そのような方法は何通りあるか。
ただしa,b,c,dは自然数、pは非負整数とする。 >>372
男1 男2 男3 男4 男5 女1 女2 女3 女4 女5
[1,] 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5
は
男1男2男3は部屋1に
男4男5は部屋2に
女1女2女3は部屋3
女4 は部屋4
女5は部屋5
に割り当てるという意味。 ４人部屋の空床が５部屋あるとする。
男５人女５人の入院予約を受けた。
空室ができてもよいが男女混合部屋は不可とするとき
部屋割の方法は何通りあるか。
これ男性部屋の個数と収容人数で場合分けして数えたけど
もっと効率の良い数え方ってあるでしょうか？ >>375
つまり
男（３，２）、女（３，１，１）というわけですね r人をちょうどn部屋に（定員なしで）割り当てる方法は、
A[r,n] = n^r - C[n,1](n-1)^r + C[n,2](n-2)^r - … + (-1)^(n-1) C[n,n-1] 1^r
= Σ[k=0,n-1] (-1)^k C[n,k] (n-k)^r,
r=5 のとき
A[r,1] = 1^r = 1,
A[r,2] = 2^r -2 = 30,
A[r,3] = 3^r -3･2^r +3･1^r = 150,
A[r,4] = 4^r -4･3^r +6･2^r -4･1^r = 240,
>>365-368
r = 5,
部屋の数が (男1,女4) (男2,女3) (男3,女2) (男4,女1)
C[5,1] A[r,1] A[r,4] + C[5,2] A[r,2] A[r,3] + C[5,3] A[r,3] A[r,2] + C[5,4] A[r,4] A[r,1]
= 5･1･240 + 10･30･150 + 10･１50･30 + 5･240・1
= 92400, 男子5人女子5人を5部屋割り当てる。
部屋に定員はなし、空室があってもよい。
割り当てた部屋を全て男女混合にする方法は何通りあるか。 男(5) 女(2,1,1,1) (5!/5!) (5!/(2!1!1!1!))/3! = 10,
男(2,1,1,1) 女(5) (5!/(2!1!1!1!))/3! (5!/5!) = 10,
男(4,1) 女(3,1,1) (5!/(4!1!)) (5!/(3!1!1!))/2! = 50,
男(3,1,1) 女(4,1) (5!/(3!1!1!))/2! (5!/(4!1!)) = 50,
男(4,1) 女(2,2,1) (5!/(4!1!)) (5!/(2!2!1!))/2! = 75,
男(2,2,1) 女(4,1) (5!/(2!2!1!))/2! (5!/(4!1!)) = 75,
男(3,2) 女(3,1,1) (5!/(3!2!)) (5!/(3!1!1!))/2! = 100,
男(3,1,1) 女(3,2) (5!/(3!1!1!))/2! (5!/(3!2!)) = 100,
男(3,2) 女(2,2,1) (5!/(3!2!)) (5!/(2!2!1!))/2! = 150,
男(2,2,1) 女(3,2) (5!/(2!2!1!))/2! (5!/(3!2!)) = 150,
定員c=3 のとき
(100+100+150+150) * 5! = 60000, >>368
定員c=4 のとき
(50+50+75+75 + 100+100+150+150) * 5! = 90000,
定員c≧5（なし）のとき
(10+10 + 5+50+75+75 + 100+100+150+150) * 5! = 92400, >>365 >>381
整理されてわかりやすい解答ありがとうございました。 有理数の集合は可算個の開集合の共通部として表せないことを証明せよ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
