面白い問題おしえて〜な 27問目
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>>241 正解 分母がkの分数で、値がπに最も近いものは、[kπ]/k か [kπ+1]/k のどちらか。([x]はガウス記号) kを1から変化させながら、この近似分数を発生させ、誤差を計る。 最小誤差が更新したときに、出力するようにしたのが、次のプログラム。 http://codepad.org/uDLvmZr4 出力結果から分かるように、 52163/16604 が答。 355/113 が桁数のわりに異常に精度が高いことが確認できると思う。 >>234 2π-355/113から355/113の間にある分数を虱潰しに探させて最初に見つかった分数を出してみた。 options(digits=16) a=355 b=113 (U=a/b) # 3.141592 92 (L=2*pi-a/b) # 3.141592 39 f <- function(n){ m=0 x=m/n while(x<U){ if(L<x) return(m-1) x=m/n m=m+1 } return(NULL) } n=1 while(is.null(f(n))){ if( !is.null(f(n)) ) break n=n+1 } cat(f(n),'/',n,'\n') f(n)/n > cat(f(n),'/',n,'\n') 52163 / 16604 > f(n)/n [1] 3.141592387376536 3 + 16/113 - π = 2.667641890624223・10^(-7) 3 + 2351/16604 - π = -2.6621325746395047764・10^(-7) 相加平均すると 3 + 531327/(2・113・16604) - π = 2.75465799235917364424・10^(-10) >>242 正解の出し方ありがとうございました。 Rにはガウス記号にあたるfloorという関数があるのでこれでやってみました。 a=355 b=113 f <- function(k){ dk=abs(floor(k*pi)/k-pi) dk1=abs(floor(k*pi+1)/k-pi) min(dk,dk1) } d=abs(a/b-pi) k=1 while(f(k)>=d){ if(f(k)<d) break k=k+1 } k > k [1] 16604 虱潰しと違って瞬時に答がでました。 問題読み間違えた orz http://codepad.org/GHLm2A9a main = do print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ floor $ y*pi, x/y > 2*pi -355/113] print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ ceiling $ y*pi, x/y < 355/113] (16604,52163.0,16604.0) (33215,104348.0,33215.0) >>242 [kπ-1]/k は 考えなくていい? 二項係数 nCr を C[n,r] で表すとき、 Σ[k=0 to 2n] C[2(n-k),n-k]*C[2k,k] = 4^n を証明せよ。 f(x)=1/√(1-x)を二項展開してf(x)^2=1/(1-x)の係数比較。 >>248 Lv.1:計算で証明 Lv.2:組合せの考え方で証明 >>247 kπ に一番近い整数を求めたい訳ですが、数直線上に kπ を印し、そこから左に進んで 最初に見つかる整数か、そこから、右に進んで最初に見つかる整数 のどちらかです。 ガウス記号を使うと、前者は、[kπ]で表せるし、後者は、[kπ+1]です。 切り捨て関数といえるガウス記号を使う限りでは、[kπ-1]は考慮する必要がありません。 もし、ガウス記号ではなく、四捨五入関数を使うのであれば、それに放り込んだものが、最も近い整数だし、 切り上げ関数Ceil()を使うのであれば、Ceil(kπ)か、Ceil(kπ-1)のどちらかということになります。 >>243 アイデアを拝借して、プログラムを組んでみました。 分数の目標となる範囲をあらかじめ設定し、仮に設定した分数の値が大きすぎれば、分母を大きくし、 小さすぎれば、分子を大きくし、...を繰り返し、範囲に収まる分数を探すという方法です。 http://codepad.org/JrigZqIn 242の方法は、分母 n までチェックする場合、2n の候補を調べていましたが、 この方法は、あと、もう一工夫入れることで、(3/2)n 位の候補のチェックで済みそうで、 よりよいアルゴリズムだと思います。 >>251 初歩的な質問にご丁寧に解説いただいてありがとうございました。 >>251 虱潰し解の過程でに少数表示から分数表示に変換するスクリプトを書いてみた。 LU2fra <- function(L,U){ f <- function(n){ m=0 x=m/n while(x<U){ if(L<x) return(m-1) x=m/n m=m+1 } return(NULL) } n=1 while(is.null(f(n))){ if( !is.null(f(n)) ) break n=n+1 } cat(f(n),'/',n,'\n') f(n)/n } dec2fra <- function(digit,precision=1e-3){ L=digit*(1-precision) U=digit*(1+precision) LU2fra(L,U) } 走らせてみた。 > dec2fra(0.3333) 1 / 3 [1] 0.333333333 > dec2fra(0.1538) 2 / 13 [1] 0.153846154 > dec2fra(0.2040) 10 / 49 [1] 0.204081633 > dec2fra(pi,1e-5) 355 / 113 [1] 3.14159292 そこそこ使える。 等面四面体の切断面の面積をできる限り手間なく求める方法はないでしょうか。 直方体に埋め込んでもかなりの計算量で困っています。 >>256 埋め込んで座標設定しても計算が面倒というなら統一的なうまい方法はないんじゃね >>256 三点の座標を入力したら三角形の面積を計算するプログラム組めばいんじゃない? Rで書くとこんな感じ area3 <- function(A,B,C){ a=sqrt(sum((B-C)^2)) b=sqrt(sum((C-A)^2)) c=sqrt(sum((A-B)^2)) s=(a+b+c)/2 return(sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))) } 2以上の自然数nに対して、 1+2^(1/2)+3^(1/3)+...+n^(1/n) は無理数であることを証明せよ >>262 チェビシェフの定理からn/2 より大きく、n以外である素数pがとれる。 KをQにi^(1/i)(1 ≦i≦ n 、i ≠p)を添加して得られる体のガロア閉包、MをQにp^(1/p)を加えたガロア閉包、L=KMとするとGal(K/Q)の位数はpを割らないのでp^(1/p)はKにはふくまれない。 ここで tr[L/M](2^(1/2)+‥n^(1/n) はp^(1/p)[L:K] であるから主張は示された。 >>216 >>218 >>225 Wolfram先生に訊きました。 K(a) = { (x,y,z) | (xx+1)(yy+1)(zz+1)≦a}, V(a) = 8∫[0,√(a-1)]∫[0,√(a-1)] √{[ a/(xx+1)(yy+1) - 1]/2 + | a/(xx+1)(yy+1) - 1 |/2} dx dy, V(125) = 479.663 V(8) = 33.657 辺々引いて V(125) - V(8) = 446.006 >>262 最小多項式は P_1(x) = x -1, P_2(x) = x^2 -2x -1, P_3(x) = x^6 -6x^5 +9x^4 -2x^3 +9x^2 -60x +50, P_n(x) = P(x-a) P(x-aω) P(x-aω^2) …… P(x-aω^{n-1}), ただし P(x) = P_{n-1}(x), a=n^(1/n), ω = exp(2πi/n). 空間の原点をO、点(10,0,0)をAとする。 Oからの距離が1以上2以下の点全体からなる領域をD、aを正の数としてAからの距離がa以上(a+1)以下の点全体からなる領域をD_aとおく。 DとD_aとの共通部分の体積が最大となるとき、[a]を求めよ。 ただし[x]でxを超えない最大の整数を表す。 共通部分はxy平面で切った図形の回転体だから、7≦a≦9と10≦a≦12の場合の面積(それぞれa=8,a=11で最大)を比較すればいいが ちょっとめんどくさい >>266 たとえばn=4のとき4^(1/4)=2^(1/2)になるから、それ一般にQ上規約にならんでしょ? >>267 (1,2)と(a,a+1)が一致するときじゃないのか? >>267 O (0,0,0) A (L,0,0) Aからの距離がa以下、Oからの距離がb以下 である点全体からなる領域の体積をV(a,b) とする。 ・a+b ≦ L のとき V(a,b) = 0 ・|a-b| ≧ L のとき V(a,b) = (4π/3)・min{a,b}^3 ・|a-b| ≦ L ≦ a+b (△条件)のとき 2球面の交差円を含む平面を x=c とすると c = (LL-aa+bb)/2L, L-c = (LL+aa-bb)/2L, V(a,b) = (π/3)(2a+L-c)(a-L+c)^2 + (π/3)(2b+c)(b-c)^2 = (π/12L)(a+b-L)^2 {(a+b+L)^2 -4aa +4ab -4bb)}. >>267 DとD_aとの共通部分の体積は V(a+1,2) - V(a,2) - V(a+1,1) + V(a,1) 質問スレの問題 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1534342085/374 くじ引きと料金に関する質問です 1)30%で当たる1回300円のくじ引き 2)60%で当たる1回800円のくじ引き くじ引きは毎回戻して同じ確率で引く 当たりは一度だけ引けば良い場合 どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか? を少し変えてみた。 くじ引きと料金に関する質問です 1)100本中30本当たりの1回1000円のくじ引き 2) 50本中30本当たりの1回2000円のくじ引き くじ引きは戻さないで次のくじを引く どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか? 4チームで総当たり戦を行う。引き分けは無いとすると、 (1) 結果は何通りあるか? (2) そのうち上位2チームが決まらないものは何通りあるか? (3) アジア大会の野球競技ではSuper Roundが行われており、日本はあと1勝でもすれば決勝進出、2戦とも負けても台湾が全勝かつ中国が韓国に勝てば同率2位である。 現時点での各チームの勝敗はどうなっているか? ごめん、(3)訂正 アジア大会の野球競技ではSuper Roundが行われており、日本は次の試合を勝てば決勝進出、負けても台湾が全勝かつ中国が韓国に勝てば同率2位である。 現時点での各チームの勝敗はどうなっているか? 試合が終わったので解答 (1) 「勝数の合計は必ず6になる」という必要条件を考慮して数え上げると 勝-敗 A:3-0, B:2-1, C:1-2, D:0-3 24通り A:3-0, B:1-2, C:1-2, D:1-2 4通り ★ A:2-1, B:2-1, C:2-1, D:0-3 4通り ★ A:2-1, B:2-1, C:1-2, D:1-2 6通り 計38通り (2) ★をつけた8通り (3) 日○-●中 台○-●韓 韓○-●日 なお、さっき台湾vs中国の試合が終わり 台○-●中 >>271 >>272 V(a,2) - V(a,1) = 0 (a≦L-2) = (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)} (L-2≦a≦L-1) = (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)} - (π/12L)(a+1-L)^2 {(a+1+L)^2 -4(aa -a +1)} (L-1≦a≦L+1) = (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)} - (4π/3) (L+1≦a≦L+2) = 0 (L+2≦a) a = 10.1267741 のとき V(a+1,2) - V(a+1,1) - V(a,2) + V(a,1) = 9.9571649074689 (最大) V(a+1,2) - V(a+1,1) = 24.6422247200042 V(a,2) - V(a,1) = 14.6850598125353 V(a+1,2) = 28.8310149247906 V(a+1,1) = 4.1887902047864 = 4π/3, V(a,2) = 17.0995582899984 V(a,1) = 2.4144984774631 >>267 [a] = 10 >>276 4チームの勝数で区別したとき、 3210 24通り 3111 8通り 2220 8通り 2211 24通り の合計64通りとカウントすべき 合計6試合あり、それぞれ二通りのパターンがあるから、2^6で64通り。38通りな訳がない。 3111or2220の8通りは、どのチームが全勝or全敗するかで4通り、 残り三チームの三すくみが右回りか左回りかで2通りあり、合計8通り 2211の24通りは、3210型の結果において、1位のチームと4位のチームの対戦の結果が ひっくり返った場合に相当するので、3210型と同じ24通りになります。 △ABCの各頂点から対辺に下ろした垂線の足をS,T,Uとする。 AS+BT+CU=AS・BT・CUとなる三角形の形状を決定せよ。 >>280 なんか問題変じゃね? 外接円の半径をRとして AS = 2R sin B sin C、 BT = 2R sin C sin A、 CU = 2R sin A sin B だから 与式 ⇔ (sin B sin C + sin C sin A + sin A sin B)/(sin A sin B sin C)^2 = 4R^2 A,B,Cに何入れても与式を成立せしめる R が存在して形状なんか決定できない希ガス。 >>260 4点の座標を入力したらそれらを結ぶ四面体の体積を求めるRのスクリプトを書いてみた。 但し、高さの算出は近似計算 改造歓迎 library(nleqslv) Tetra <- function(O=c(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)),A=c(0,0,0),B=c(1,0,0),C=c(cos(pi/3),sin(pi/3),0)){ fn <- function(x,O,A,B,C){ AO=A-O BO=B-O CO=C-O HO=x[1]*AO+x[2]*BO+(1-x[1]-x[2])*CO # H on triangle ABC AB=B-A AC=C-A c(HO%*%AB,HO%*%AC) # HO vertial to AB and AC } fn1 <- function(x) fn(x,O,A,B,C) x=nleqslv::nleqslv(c(1/3,1/3),fn1)$'x' AO=A-O BO=B-O CO=C-O HO=x[1]*AO+x[2]*BO+(1-x[1]-x[2])*CO h=sqrt(sum(HO^2)) a=sqrt(sum((B-C)^2)) b=sqrt(sum((C-A)^2)) c=sqrt(sum((A-B)^2)) s=(a+b+c)/2 base=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) V=1/3*base*h return(V) } >>280 AS=1、BT=x、CU=yとおくと、題意より、 1+x+y=xy y=(x+1)/(x-1) ‖∩∩‖∩∩ ‖∴ ( (`)(^o^))‖x>1 (っ[ ̄]っц)‖y>1 「 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄]‖即ち □/_UU__UU□‖ △ABCは鈍角三角形 次の条件を満たす関数f(x)が存在すればそれを求め 存在しなければそれを証明せよ (1) 実数全体で微分可能 (2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)=f(x) (3) f(1)=1 >>284 f '(x)/f(x) = 1/xx, log f(x) = c - 1/x, f(x) = e^(c -1/x), f(1)=1 より c=1 f(x) = e^(1 -1/x) x=0 で微分可能ではないだろうな。 >>282 4点の座標が判っているなら、ベクトルの三重積(の絶対値の1/6)で体積求まりますよ。 つまり、一つの点が原点になる様に平行移動して、残り三点を (x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3) としたら、 V=(1/6) | x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1 | >>287 ありがとう御座います。スクリプトの検証に使わせていただきます。 >>287 ご教示の通りにスクリプトを書いたら僅か4行で済みました。 ありがとうございました。 tetrahedron <- function(O=c(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)),A=c(0,0,0),B=c(1,0,0),C=c(cos(pi/3),sin(pi/3),0)){ AO=A-O BO=B-O CO=C-O as.numeric(abs(pracma::cross(AO,BO) %*% CO)/6) } どれも一致しました。 > sqrt(2)/12 [1] 0.1178511301977579 > Tetra() [1] 0.1178511301977579 > tetrahedron() [1] 0.1178511301977579 前>>283 AS=1 BT=x>1 CU=y>x>1 とすると、 1+x+y=xy y=(x+1)/(x-1) =1+2/(x-1)>1 y-x=(x+1)/(x-1)-x ={(x+1)-x(x-1)}/(x-1) =(1+2x-x^2)/(x-1)>0 1+2x-x^2>0 1<x<1+√2 x=1.1のときy=21 x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2 1<x<1+√2<y 三つの垂線の大小を、 AS<BT<CUとすると、 AS<BT<AS+√2<CU 前>>290 AS=1 BT=x>1 CU=y>x>1 とすると、 1+x+y=xy y=(x+1)/(x-1) =1+2/(x-1)>1 y-x=(x+1)/(x-1)-x ={(x+1)-x(x-1)}/(x-1) =(1+2x-x^2)/(x-1)>0 1+2x-x^2>0 1<x<1+√2 x=1.1のときy=21 x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2 1<x<1+√2<y 直角三角形の相似かな。 鋭角三角形でも可能なような。 >>284 f(x)の値を e^(1-1/x) (x>0 の時) 0 (x≦0 の時) と定めればこのfは条件を満たす。 >>292 まったりと地雷踏んでくれてありがとう。 そう定義すると x=0 に対しても x^2 f ’(x) = f(x) が成り立ってしまうから。 >>293 成り立っていると、どうししてダメなの? 高校数学でつ。 nは自然数とする。1から5nまでの数字がそれぞれ書かれた5n枚のカードから2枚選んでその数字をx、yとする。 x^2+y^2 の一の位が7となる確率をPnとするとき、極限値 lim(n→∞)(25Pn/2)⁵ⁿ を求めよ。 >>299 xx+yy の一の位が 7 ⇔ xx, yy の一の位が {1,6} または {6,1} ⇔ x, yの一の位が {1または9, 4または6} または {4または6, 1または9} 5n枚のカードのうち、一の位が 1または9 のものは n枚。 一の位が 4または6 のものは n枚。 Pn = 2/25. 1. >>296 >>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。 >>284 (2) が 任意の実数 x に対して x^2 f ’(x)=f(x) だっから >>292 で正解だが… >>301 > >>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。 バカバカしい。 >>301 君、命題の裏が恒真だと思ってる? 高校数学からやり直した方がいいよ >>299 カードは戻すの?戻さないの? あと極限の式を正確に書け ただの宿題なら質問スレへ >>299 1枚目のカードを戻さない場合は Pn = 2nn/{5n(5n-1)}, (25/2)Pn = 1/(1 - 1/5n) lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(-5n) = lim(n→∞) (1 - 1/5n)^(5n) = 1/e, lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(5n) = e, f'(x)が全実数で定義できるが0で連続じゃないって相当性質悪い関数しかなさそうだが x=0 でも成立つのに、わざわざ「x≠0 なる任意の実数xに対して」と言うところがキモ。 緩めても他の解が出てくるわけぢゃないし。 >>301 例えば、(リーマン)積分では有界閉区間上の連続関数f:[a,b]→Rを扱うけど、このときfは[a,b]以外では定義されてたら(もしくは連続だと)駄目なんですね? 群準同型f:G→Hの定義にf(e)=eという条件があるけど、これはg∈Gについて「g=eならばf(g)=e」という条件だから、g≠eのときf(g)=eとなったら駄目なんですね? つまりker(f)={e}となって、群準同型は常に単射になるんですね? ……アホか >>305 指摘ありがとう 二枚のカードは同時に取り出します 自作問題なんです気を付けます、、、 >>306 正解です あるチームスポーツの世界大会は次のフォーマットで行われる。 総当たり戦では必ず順位が定まるとする。 nは2以上の整数とする。 @参加チーム4nを2nずつの2組に分け、各組で総当たり戦を行う。 A各組の上位nチームが勝者リーグへ、下位nチームが敗者リーグへ回り、各リーグで総当たり戦を行う。ただし、@で同組だったチーム同士の試合は再び行わずに@の成績を持ち越す。 B勝者リーグの3位と4位で三位決定戦を、1位と2位で決勝を行う。 総試合数を求めよ。 ちなみに 全チーム総当たり形式の場合、(4n-1)*(4n)/2=8n^2-2n試合 トーナメント形式の場合、4n-1試合 >>301 x≠0で云々、というのは、x=0のときについては何も言ってないよね? 確かに一般的な感覚とはずれてますが >>308 同じ結果我得られるなら仮定はできるだけ緩くするのは当然だろ 何いってんの >>308 緩めて他の解がでてこないなら益々あかんやろ。 出てくるなら ”それは解を尽くせてないからダメ” といえなくはないけど。 (正解) @ … 2*{(2n-1)*(2n)/2} = 4n^2-2n 試合 A … 2*{n^2} = 2n^2 試合 B … 2 試合 総試合数は 6n^2-2n+2 試合 (別解1) A組上位とB組下位、B組上位とA組下位の間の試合( 2n^2 試合)が省略、三決と決勝が追加されると考えて、 8n^2-2n-2n^2+2 = 6n^2-2n+2 試合 (別解2) @とAで各チーム必ず (2n-1)+n = 3n-1 回戦うから (3n-1)*4n/2 = 6n^2-2n 試合 Bの2試合を足して 6n^2-2n+2 試合 今年の大会だと U12アジア選手権 4n = 8 22 試合 U-15野球W杯 4n = 12 50 試合 U18アジア選手権 4n = 8 22 試合(予定) U-23野球W杯 4n = ? ?? 試合(未定) アジア競技大会 野球 4n = 8 22 試合(ただし3チームが最後の1枠を争う予選が3試合あった) 女子野球W杯 4n = 12 50 試合 10人を空部屋なしで5部屋を割り当てる、但し、各部屋の定員は3人とする。割り当て方は何通りあるか。 (10!/(2!2!2!2!2!)/5! + 10!/(3!2!2!2!1!)/3! + 10!/(3!3!2!1!1!)/2!/2! ) * C[10,5] まちがえた (10!/(2!2!2!2!2!)/5! + 10!/(3!2!2!2!1!)/3! + 10!/(3!3!2!1!1!)/2!/2! ) * P[10,5] (10!/(2!2!2!2!2!)) /5! = 945, (10!/(3!2!2!2!1!)) /3! = 12600, (10!/(3!3!2!1!1!)) /(2!2!) = 12600, 945 + 12600 + 12600 = 26145, 26145 * 5! = 3137400, >>316 各部屋に一人ずつ5人入れると、その入れ方は5!=120通り。 あとから入る5人の入れ方は、 1、1、1、1、1が1通り 2、1、1、1、0が5×4=20通り 2、2、1、0、0が5×(4C2)=5×4!/2!=30通り だが、だれがどの部屋に入るか公平に決めないといけないから、 1、1、1、1、1が5!=120通り 2、1、1、1、0が20×(5C2)×3!=1200通り 2、2、1、0、0が30×5×(4C2)=900通り 合計2220通り 先に入るかあとから入るかは確率1/2だから二倍すると、 (120+2220)×2=4680通り 先に入るかあとから入るかで公平さは変わらない。 前>>320 結果的にその部屋に決まるなら、先に入ろうがあとから入ろうが同じ。 2340通り まず初めに最初に部屋に入る人を選ばないといけないから、 (10C5)×2340 =10×9×8×7×6×2340 =70761600 前>>321 部屋に名前をつけて検証する。部屋を(北西)(北)(西)(中央)(東南の角部屋)の五つとする。 人に@〜Iの番号を振る。(北西)(北) ┏━━┳━━┓ ┃@ ┃A ┃ ┃ ┃EC┃ ┣━━╋━━╋━━┓ ┃B ┃DH┃FI┃ ┃ ┃G ┃ ┃ ┗━━┻━━┻━━┛ (西)(中央)(東南の角部屋) 試しに@〜Iの被験者に順に部屋に入ってもらった。このとき、@〜Eまではどこでも入れたんですんなり入ってくれたが、Fが困った。一部屋いっぱいで。つまり(北)が。つまり4択という不公平感。Iにいたっては3択だった。 5^6×4^3×3=300万通り 一回の施行で少なくともこれだけある。何千通りじゃ足りない。 前>>325 一回の施行というか試行で300万通りという値を得たが、少なくとも300万通りあるんであって、実際はもう少し変わった部屋割りが可能だから増えると感じた。つまり二人部屋を多くしたりとかほかのパターンがある。 >>319 この値は信憑性がある。 >>134 >>135 解答です。 ネットで見つけた素晴らしいNoteに依ります。 ---- 解答例 ---- 以下では初期配置における玉の総数が偶数である場合を考える。 奇数の場合はE(X[2n])とE(X[2n-1])の結論が逆となるだけである。 自然数 j で玉が j 個ある状態を表すとする。系を HMC([1]、p3) と考える。 まず不変分布 π[n] ([1]、p11)を求める。 π[n] = aπ[n-1]/(n-1+0) + (n+1-a)π[n+1]/(n+1+0) である。ただしp/(q+0) = lim[ε→0]p/(q+ε)である。 f(x) = Σπ[n]x^n、g(x) = Σπ[n]/(n+0)x^nとおけば (x−1)g′(x)=a x−x g(x) となり、これを解いてg(x) = Ax^ae^(ax) を得る。よって f(x) = xg′(x) = Aa(x + 1)x^ae^(ax) である。 ここで f(1) = 1 により f(x) = (x+1)x^ae^(ax) / (2e^a) を得る。以上によりこの HMC は π[n] = f (1) < ∞ を満たす不変分布を持つから、正再帰的 HMC ([1]、p13)である。 また p_{aa}^(2) > 0、奇数 n に対して p_{aa}^(n) = 0 で あるから周期は 2 である。([1]、p5) 以上により初期の玉の総数が偶数であることから lim[n→∞]E(X[2n]) = f′(1) + f′(−1) = 1 {e^a +2a+2a+(−1)^ae^(−a)}/(2e^a) = 2a + 1/2 + (−1)^a/(2e^a) lim[n→∞]E(X[2n-1]) = f′(1) - f′(−1) = 1 {e^a +2a+2a-(−1)^ae^(−a)}/(2e^a) = 2a + 1/2 - (−1)^a/(2e^a) である。([1]、p19) ref. [1] マルコフ連鎖、https://www.komazawa-u.ac.jp/ ~toshi/teaching/TIT/note1.pdf [2] a=10、玉の総数が100の場合、>>182 、 ---- どうも東大の講師の方の講義のレジュメのようです。 収束証明とか感動的です。 カップリングとか言われたらわかるけど、こんなん絶対思いつかん。 しまった。リンクまちがった。 赤10、白90のより精密な数値シュミレーション例>>181 。 1001 : 0000020.50000000103057681723857863179375573 1002 : 0000020.49999999896942319451989818931917708 1003 : 0000020.50000000103057681669136956653754163 1004 : 0000020.49999999896942319399815481629102060 1005 : 0000020.50000000103057681619390677994098141 1006 : 0000020.49999999896942319352384265899269428 1007 : 0000020.50000000103057681574166788303501812 1008 : 0000020.49999999896942319309264978872148864 1009 : 0000020.50000000103057681533054161312050221 1010 : 0000020.49999999896942319270065627029311700 ちなみに 1/(2e^10) = 1.030576811219279e-9 >>330 さらに訂正。 lim[n→∞]E(X[2n]) = f′(1) + f′(−1) = {e^a +2ae^a+2ae^a+(−1)^ae^(−a)}/(2e^a) = 2a + 1/2 + (−1)^a/(2e^a) lim[n→∞]E(X[2n-1]) = f′(1) - f′(−1) = {e^a +2ae^a+2ae^a-(−1)^ae^(−a)}/(2e^a) = 2a + 1/2 - (−1)^a/(2e^a) まだあるかもだけどエスパーしてちょ。 (北西)(北) 前>>329 ┏━━┳━━┓部屋割り ┃@A┃CD┃ だな。 ┃B ┃E ┃ ┣━━╋━━╋━━┓ ┃FG┃H ┃I ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┗━━┻━━┻━━┛ (西)(中央)(東南の角部屋) 「奥から詰めてください」学級委員の指示で北西と北が三人部屋になった。「空き部屋を作らないように」 FとGは仲良しだから喜んだ。 F「どの部屋を選ぶか最初の奴らは5通りだが、俺ら入るときは三人部屋ができてて3通りしかないだろ」 G「不公平だな。部屋の決め方がまず5!通りある。あとは5部屋をそれぞれ何人ずつにするか」 F「今回は3、3、2、1、1だ」 G「ほかに3、2、2、2、1と2、2、2、2、2があるな」紙に書きながら言う。 H「俺が計算してやろうか」襖をあけたHが言った。 F「入ってくるなよ」これを拒んだ。 H「おお」うなずいて、「人数変わってデータが狂うからな」手をのばし、Gから紙を受けとると、なにか書いた。 『(10!/3!・3!・2!・1!・1!・2!・2! +10!/3!・2!・2!・2!・1!・3! +10!/2!・2!・2!・2!・2!・5!)×5! ={(10×9×8×7×6×5)/(3×2×2)+(10×9×8×7×6×5)/(2×3×2)+(10×9×8×7×6×5×4×3)/(2×2×2×2×5!)}×5! ={(5040/4)×2+(5040×90)/(2×2×5!)}×5! ={2520+(2520×9)/24}×5! ={2520+(2520×3)/8}×5! =2520×(11/8)×5! =2520×11×5×3 =12600×33 =330000+66000+18000+1800 =396000+19800 =415200 あれ、計算間違いかな? (シッピン)(グニ) 41も52も吉数なんだが。 Prelude> let fact x = product [1..x] Prelude> (* (fact 5)) $ sum [div (fact 10) (product $ map fact a) | a<-[[2,2,2,2,2,5],[3,2,2,2,1,3],[3,3,2,1,1,2,2]]] 3137400 前>>333 計算間違いだ。 『(10!/3!・3!・2!・1!・1!・2!・2! +10!/3!・2!・2!・2!・1!・3! +10!/2!・2!・2!・2!・2!・5!)×5! ={(10×9×8×7×6×5)/(3×2×2)+(10×9×8×7×6×5)/(2×3×2)+(10×9×8×7×6×5×4×3)/(2×2×2×2×5!)}×5! ={(10×9×4×7×5)×2+(10×9×7×3)/2}×5! ={25200+945)×5! =26145×5×4×3×2 =26145×120 =2614500+522900 =3137400(通り) コンピュータに数えさせました。 library(gtools) n=5 r=10 c=3 perm=permutations(n,r,rep=T) tail(perm) g <- function(x) all(1:n %in% x) system.time(g(perm[1:1e6,])) # fast i=which(apply(perm,1,g)) # lengthy perm5=perm[i,] tail(perm5) j=length(i)/factorial(5) h <- function(x) max(table(x)) <= c k=which(apply(perm5[1:j,],1,h)) length(k) length(k)*factorial(5) l=which(apply(perm5,1,h)) # lengthy length(l) 答は>319の通り > length(l) [1] 3137400 >>336 最初と最後を書くとこんな感じ > head(perm53) ;tail(perm53) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 [2,] 1 1 1 2 2 2 3 3 5 4 [3,] 1 1 1 2 2 2 3 4 3 5 [4,] 1 1 1 2 2 2 3 4 4 5 [5,] 1 1 1 2 2 2 3 4 5 3 [6,] 1 1 1 2 2 2 3 4 5 4 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [3137395,] 5 5 5 4 4 4 3 2 1 2 [3137396,] 5 5 5 4 4 4 3 2 1 3 [3137397,] 5 5 5 4 4 4 3 2 2 1 [3137398,] 5 5 5 4 4 4 3 2 3 1 [3137399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 1 2 [3137400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 1 10人を5部屋に割り当てるときに空室があってもよいが1部屋の定員は3とすると 4229400通り数えられた。 library(gtools) n=5 r=10 c=3 perm=permutations(n,r,rep=T) tail(perm) h <- function(x) max(tabulate(x))<=c idx3=which(apply(perm,1,h)) perm3=perm[idx3,] tail(perm3) # 定員3空室可 > tail(perm3) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [4229398,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 3 [4229399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 3 1 [4229400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 > g <- function(x) all(1:n %in% x) system.time(apply(perm3[1:1e5,],1,g)) # fast idx35=which(apply(perm3,1,g)) perm35=perm3[idx35,] tail(perm35) # 定員3空室不可 > tail(perm35) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [3137398,] 5 5 5 4 4 4 3 2 3 1 [3137399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 1 2 [3137400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 1 g <- function(x) all(1:n %in% x) # system.time(apply(perm[1:1e5,],1,g)) # fast i=which(apply(perm,1,g)) # lengthy perm5=perm[i,] #定員なし空室不可 > tail(perm5) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [5102998,] 5 5 5 5 5 5 4 2 3 1 [5102999,] 5 5 5 5 5 5 4 3 1 2 [5103000,] 5 5 5 5 5 5 4 3 2 1 今回はこれぐらいにしといてやる。前>>335 口ほどにもない易問やったなぁ。 ((-.-) (っц)~ 「 ̄ ̄ ̄]台風も最大いうほどたいしたことないし。もうそろそろ日本海か。 ○田くん、さびしなったはんのかな。知り合いも知り合いやよな。敵に言わんといて言うたはんのにや。頼れるもんなくなっていくんはきついやろで。でも記録は記録なんやろ。逃走の。 ニュー速+でみつけた問題 男が90人女は10人、医学部を受験しました。学力は同程度だと仮定します。合格できるのは10人です。 では女の合格率が男と同程度以上になる確率はいくらでしょう? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる