面白い問題おしえて～な 27問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/29(日) 01:01:12.73

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/18(土) 22:48:16.80

>>208
出題者ですか？出展は何？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/18(土) 23:33:37.30

>>209
そうです、ごめんなさいオリジナルなんです
最近数オリとかの関数方程式にはまってて自分も何か作ってみようかと思って色々いじってたら、
整数値しかとれない制約をつけた時に思いの外難易度が上がったので、試しにと思いついた二乗関連の恒等式から１つ作ってみたものです

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/18(土) 23:46:58.33

>>210
おお、まじっすか？すばらしい！

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/19(日) 01:07:42.09

問題をコピペしてくるしか能が無い出題者は悔い改めて（クソデカブーメラン）

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/19(日) 04:25:51.57

連続した2018個の正整数の和として表され、かつ連続した2018個の正整数の積としても表される整数は存在するか。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/19(日) 05:10:40.08

>>213存在しないんじゃないの。前>>206

和より積のほうが圧倒的に大きい。

1+2+3+……+2018=2019×1009=2019000+18171=2037171＜1000･1001･1002＜1･2･3･……･2018

2+3+……+2018+2019=2021×1009=2021000+18189=2039189＜1001･1002･1003＜2･3･……･2019
和より積のほうが圧倒的に大きい。宇宙のように膨張する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/19(日) 05:29:40.82

>>203
　自然数という用語が問題なのではなく、平然と拡大解釈(誤用)して改めない人たちが問題では？（特に一部の某基礎論…）

>>207
　それで用は足りますね。

>>213
連続した2018個の正整数の和は、1009個の奇数を含むから、奇数。
連続した2018個の正整数の積は偶数。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/19(日) 20:59:34.95

空間において次の不等式を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。
8≦(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦125

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/20(月) 01:27:50.42

>>216
0≦x、0≦y、0≦zの領域の体積を８倍する。
キッチンのコーナーからゴキブリが顔を出すぐらいのスペースをあけてモルタルを満遍なくなめらかに塗るか蜘蛛の巣を張るイメージ。
y=0のとき、
(7-x^2)/(1+x^2)≦z^2≦(124-x^2)/(1+x^2)
x軸、y軸、z軸近辺は、√7から2√31の領域が題意を満たす。
点(1,1,1)と点(2,2,2)のあいだの領域が題意を満たす。
y=tのとき、
(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)≦z^2≦(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)
今0≦zなので、
√{(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}≦z≦√{(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}
lim(t=0→∞)Σ(x=0~∞)√{(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}-√{(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}
パス。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 02:38:11.43

>>218
K(a) = {(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦a}、R(a,t) = K(a) ∩ {z=t}
とおく。
Area of R(a,t)
= Area of {(1+x^2)(1+y^2) ≦ a/(1+t^2)}
= Area of {1+r^2 + (1/4)r^2sin 2θ ≦ a/(1+t^2)}
= (a/(1+t^2) - 1)/2∫[θ]1/(1+(1/4)sin2θ)dθ
= 2π(a/(1+t^2) - 1)/√5
∴ Vokume of V(a) = 2∫[0,√(a-1)] 2π(a/(1+t^2) - 1)/√5 dt = …
∴ V(125) - V(8) = …

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 03:15:39.45

>>218
撤回

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 03:16:11.73

>>214
2組の「連続した2018個の正整数」が同じとは限らないよ。

>>218
(1+xｘ)(1+yｙ)
　= 1 + rr + (xy)^2
　= 1 + rr + {(1/2)ｒr sin(2θ)}^2
　= 1 + rr + (1/8)ｒ＾４ {1-cos(4θ)},

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 03:29:02.87

>>198
n(n+3) = (nn+3n+1) - 1,
(n+1)(n+2) = (nn+3n+1) + 1,
辺々掛ける

>>220 下
撤回

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 03:45:58.06

>>208 >>210
　7つとも実の整数解。（とくに周期解は {-1,0,1}のどれか）
　複素数を持ち出す理由ないんぢゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 10:54:33.09

>>194
今回はl,mの交点Pを通る任意の直線がlとmの定数倍の和で表せる事を示したいです。つまりPを通る任意の直線l'に対してある実数s,tが存在してl'=sl+tmとなる事を示せば良いです。
なのでまずPを通る任意の直線l'を一つとってきてl'=sl+tmを満たす実数s,tの存在を示す…というのがオーソドックスな解法だと私は思いました

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 12:03:22.68

>>218
a/(1+tt) = 1+1/kk (k>0) とおくと

Area of R(a,t)
　= Area of {(1+xx)(1+yy) ≦ 1+1/kk }
　= 4∫[0,1/k] √{(1+1/kk)/(1+xx) - 1} dx
　= -i(4/k) Ｅ(i･arcsinh(1/k) ； -kk)
　= -i(4/k) Ｅ(i･log[1/k + √(1+1/kk)] ； -kk)
　= ?
ここに
Ｅ(φ ； kk) = ∫[0，φ] √{1 - kk･(sinθ)^2} dθ
は第二種の楕円積分

Ｅ(iφ ； -kk) = i∫[0，φ] √{1 + kk･(sin(iθ))^2} dθ
　　= i∫[0，φ] √{1 - kk･(sinhθ)^2} dθ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 13:42:10.32

>>216 の近似値

V(125) = 479.6672

V(8) = 33.6566

V(125) - V(8) = 446.0106

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 15:24:12.58

>>223
まず、等式　l'=sl+tm　が何を表す式なのかをはっきりさせないと、誰も答えてくれないだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 16:30:56.17

（1）{}内はある無限小数において循環する部分を表す。0.{14159}を互いに素な正整数p,qを用いてq/pの形で表せ。
またその場合のpの桁数Nを求めよ。
（2）分母がN桁の整数である既約分数全体の集合をSとする。Sの要素で|3+r-π|を最小にする有理数rは（1）のq/pかどうか判定せよ。π=3.14159265358979...は既知としてよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/20(月) 19:03:03.28

Prelude Data.Ratio> (atan 1)*4 - (fromRational $ 208341 % 66317)
1.2235634727630895e-10

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 01:28:29.64

>>227

(1) p=99999，q=14159，N=5

(2) 3+(q/p)-π= -1.237675634×10^(-6)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 11:41:48.66

行列の指数関数に対して、以下は成り立つか？成り立たないなら反例を挙げよ。
(1) e^A e^B = e^B e^A ならば、AB = BA.
(2) e^A e^B = e^B e^A ならば、e^(A+B) = e^A e^B.

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 12:21:53.39

0.1415926535…を連分数展開すると
[0;7,15,1,292,1,1,1,2,…]
深いところで打ち切るほど、より近似的な規約分数を与える

[0;7,15,1]=16/113=0.1415929…
[0;7,15,1,292]=4687/33102=0.1415926530…
[0;7,15,1,292,1]=4703/33215=0.1415926539…
[0;7,15,1,292,1,1]=9390/66317=0.1415926534…
[0;7,15,1,292,1,1,1]=14093/99532=0.1415926536…
[0;7,15,1,292,1,1,1,2]=37576/265381=0.141592653581…

特に|3+14093/99532-π|=2.9…*10^-11

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/21(火) 14:51:01.42

>>231
素晴らしい解答です。14159/99999から平均を使って一回だけ近似する方法を考えていましたが、鮮やかです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/22(水) 13:11:26.71

3 + 14159/99999 - π = -1.23767563409687122747・10^(-6)　　　>>229

3 + 9390/66317 - π = -1.22356532942188597930・10^(-10)　　　>>228

3 + 14093/99532 - π = 2.91433849348569181311・10^(-11)　　　>>231

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 06:05:47.86

円周率の近似値として355/113より誤差が小さい分数の中で、最も分母が小さいものは何か？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 06:22:20.29

*Main> sort [(b,a,abs $ pi - a/b) | a<-[1..400],b<-[1..113],(abs $ pi-a/b) <= (abs $ pi - 355/113)]
[(113.0,355.0,2.667641894049666e-7)]

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 14:25:52.00

3 + 16/113 - π = 2.667641890624223・10^(-7)

3 + 4495/31746 - π = -1.1997151645821・10^(-8)

3 + 4703/33215 -π = 3.3162780624607・10^(-10)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 15:01:28.60

>>236
99733/31746　ではありません。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/23(木) 15:58:03.67

34906588/11111111

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/23(木) 16:10:46.77

34906585/11111111
≒3.14159268
π≒3.14159265
前>>238

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 19:25:50.18

! Fortran 95
program pi
implicit none
integer :: p,q
real(8) :: a,b,r,s
a=dacos(-1D0)
b=dabs(a-355D0/113D0)
do p=1,40000
do q=1,p
r=3D0+dble(q)/dble(p)
s=dabs(a-r)
if (s<b) then
write(*,*) 3*p+q,"/",p,"=",r,s
stop
end if
end do
end do
stop
end program pi

出力 · 2018/08/23(木) 19:26:25.55

52163 / 16604 = 3.1415923873765359 2.6621325721620792E-007

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 19:43:37.30

>>241
正解
分母がkの分数で、値がπに最も近いものは、[kπ]/k　か　[kπ+1]/k　のどちらか。([x]はガウス記号)
kを1から変化させながら、この近似分数を発生させ、誤差を計る。
最小誤差が更新したときに、出力するようにしたのが、次のプログラム。

http://codepad.org/uDLvmZr4

出力結果から分かるように、　52163/16604　が答。
355/113　が桁数のわりに異常に精度が高いことが確認できると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 20:39:33.38

>>234
2π-355/113から355/113の間にある分数を虱潰しに探させて最初に見つかった分数を出してみた。

options(digits=16)

a=355
b=113
(U=a/b) # 3.141592 92
(L=2*pi-a/b) # 3.141592 39

f <- function(n){
m=0
x=m/n
while(x<U){
if(L<x) return(m-1)
x=m/n
m=m+1
}
return(NULL)
}

n=1
while(is.null(f(n))){
if( !is.null(f(n)) ) break
n=n+1
}
cat(f(n),'/',n,'\n')
f(n)/n

> cat(f(n),'/',n,'\n')
52163 / 16604
> f(n)/n
[1] 3.141592387376536

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/23(木) 22:55:30.81

3 + 16/113 - π = 2.667641890624223・10^(-7)

3 + 2351/16604 - π = -2.6621325746395047764・10^(-7)

相加平均すると

3 + 531327/(2･113･16604) - π = 2.75465799235917364424・10^(-10)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 07:50:15.84

>>242
正解の出し方ありがとうございました。

Rにはガウス記号にあたるfloorという関数があるのでこれでやってみました。

a=355
b=113
f <- function(k){
dk=abs(floor(k*pi)/k-pi)
dk1=abs(floor(k*pi+1)/k-pi)
min(dk,dk1)
}
d=abs(a/b-pi)
k=1
while(f(k)>=d){
if(f(k)<d) break
k=k+1
}
k

> k
[1] 16604

虱潰しと違って瞬時に答がでました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 09:00:39.75

問題読み間違えた orz
http://codepad.org/GHLm2A9a
main = do
print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ floor $ y*pi, x/y > 2*pi -355/113]
print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ ceiling $ y*pi, x/y < 355/113]
(16604,52163.0,16604.0)
(33215,104348.0,33215.0)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 12:25:56.70

>>242
　[kπ-1]/k は　考えなくていい？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 15:30:38.06

二項係数 nCr を C[n,r] で表すとき、
Σ[k=0 to 2n] C[2(n-k),n-k]*C[2k,k] = 4^n を証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 16:23:36.35

f(x)=1/√(1-x)を二項展開してf(x)^2=1/(1-x)の係数比較。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 16:46:34.01

>>248
Lv.1：計算で証明
Lv.2：組合せの考え方で証明

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 17:17:37.52

>>247
kπ に一番近い整数を求めたい訳ですが、数直線上に kπ を印し、そこから左に進んで
最初に見つかる整数か、そこから、右に進んで最初に見つかる整数　のどちらかです。
ガウス記号を使うと、前者は、[kπ]で表せるし、後者は、[kπ+1]です。
切り捨て関数といえるガウス記号を使う限りでは、[kπ-1]は考慮する必要がありません。

もし、ガウス記号ではなく、四捨五入関数を使うのであれば、それに放り込んだものが、最も近い整数だし、
切り上げ関数Ceil()を使うのであれば、Ceil(kπ)か、Ceil(kπ-1)のどちらかということになります。

>>243
アイデアを拝借して、プログラムを組んでみました。
分数の目標となる範囲をあらかじめ設定し、仮に設定した分数の値が大きすぎれば、分母を大きくし、
小さすぎれば、分子を大きくし、．．．を繰り返し、範囲に収まる分数を探すという方法です。

http://codepad.org/JrigZqIn

242の方法は、分母 n までチェックする場合、2n の候補を調べていましたが、
この方法は、あと、もう一工夫入れることで、(3/2)n 位の候補のチェックで済みそうで、
よりよいアルゴリズムだと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 18:32:28.24

>>251
初歩的な質問にご丁寧に解説いただいてありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/24(金) 20:00:04.56

floor(x+1/2).

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/25(土) 00:08:37.01

Haskell、テメーはダメだ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/25(土) 05:19:28.97

>>251
虱潰し解の過程でに少数表示から分数表示に変換するスクリプトを書いてみた。

LU2fra <- function(L,U){
f <- function(n){
m=0
x=m/n
while(x<U){
if(L<x) return(m-1)
x=m/n
m=m+1
}
return(NULL)
}

n=1
while(is.null(f(n))){
if( !is.null(f(n)) ) break
n=n+1
}
cat(f(n),'/',n,'\n')
f(n)/n
}

dec2fra <- function(digit,precision=1e-3){
L=digit*(1-precision)
U=digit*(1+precision)
LU2fra(L,U)
}

走らせてみた。

> dec2fra(0.3333)
1 / 3
[1] 0.333333333
> dec2fra(0.1538)
2 / 13
[1] 0.153846154
> dec2fra(0.2040)
10 / 49
[1] 0.204081633
> dec2fra(pi,1e-5)
355 / 113
[1] 3.14159292

そこそこ使える。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/25(土) 20:13:13.75

等面四面体の切断面の面積をできる限り手間なく求める方法はないでしょうか。
直方体に埋め込んでもかなりの計算量で困っています。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/25(土) 20:27:41.39

>>256
埋め込んで座標設定しても計算が面倒というなら統一的なうまい方法はないんじゃね

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/25(土) 22:49:26.02

当面はない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/26(日) 07:04:18.35

>>256
三点の座標を入力したら三角形の面積を計算するプログラム組めばいんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/26(日) 07:14:03.46

Rで書くとこんな感じ

area3 <- function(A,B,C){
a=sqrt(sum((B-C)^2))
b=sqrt(sum((C-A)^2))
c=sqrt(sum((A-B)^2))
s=(a+b+c)/2
return(sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)))
}

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/27(月) 18:43:17.97

いい加減飽きたわ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/27(月) 19:08:54.16

2以上の自然数nに対して、
1+2^(1/2)+3^(1/3)+...+n^(1/n)
は無理数であることを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/27(月) 19:33:24.86

>>262
チェビシェフの定理からn/2 より大きく、n以外である素数pがとれる。
KをQにi^(1/i)(1 ≦i≦ n 、i ≠p)を添加して得られる体のガロア閉包、MをQにp^(1/p)を加えたガロア閉包、L=KMとするとGal(K/Q)の位数はpを割らないのでp^(1/p)はKにはふくまれない。
ここで tr[L/M](2^(1/2)+‥n^(1/n) はp^(1/p)[L:K] であるから主張は示された。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/27(月) 19:56:02.46

>>263
最後の７文字だけ理解できた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/28(火) 00:11:59.49

>>216 >>218 >>225
Wolfram先生に訊きました。

K(a) = { (x,y,z) | (xx+1)(yy+1)(zz+1)≦a},

V(a) = 8∫[0，√(a-1)]∫[0，√(a-1)] √{[ a/(xx+1)(yy+1) - 1]/2 + | a/(xx+1)(yy+1) - 1 |/2} dx dy,

V(125) = 479.663
V(8) = 33.657
辺々引いて
V(125) - V(8) = 446.006

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 03:22:32.89

>>262
最小多項式は
P_1(x) = x -1,
P_2(x) = x^2 -2x -1,
P_3(x) = x^6 -6x^5 +9x^4 -2x^3 +9x^2 -60x +50,
P_n(x) = P(x-a) P(x-aω) P(x-aω^2) …… P(x-aω^{n-1}),
　ただし　P(x) = P_{n-1}(x),　a=n^(1/n),　ω = exp(2πi/n).

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 04:08:39.23

空間の原点をO、点(10,0,0)をAとする。
Oからの距離が1以上2以下の点全体からなる領域をD、aを正の数としてAからの距離がa以上(a+1)以下の点全体からなる領域をD_aとおく。
DとD_aとの共通部分の体積が最大となるとき、[a]を求めよ。
ただし[x]でxを超えない最大の整数を表す。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 06:30:54.14

共通部分はxy平面で切った図形の回転体だから、7≦a≦9と10≦a≦12の場合の面積（それぞれa=8,a=11で最大）を比較すればいいが
ちょっとめんどくさい

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 08:40:23.79

>>266
たとえばn=4のとき4^(1/4)=2^(1/2)になるから、それ一般にQ上規約にならんでしょ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 18:15:10.16

>>267
(1,2)と(a,a+1)が一致するときじゃないのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 18:35:56.47

>>267
O (0,0,0)
A (L,0,0)

　Aからの距離がa以下、Oからの距離がb以下である点全体からなる領域の体積をV(a,b) とする。

・a+b ≦ L のとき　V(a,b) = 0

・|a-b| ≧ L のとき　V(a,b) = (4π/3)･min{a,b}^3

・|a-b| ≦ L ≦ a+b　（△条件）のとき
　2球面の交差円を含む平面を x=c とすると
　c = (LL-aa+bb)/2L,
　L-c = (LL+aa-bb)/2L,
　V(a,b) = (π/3)(2a+L-c)(a-L+c)^2 + (π/3)(2b+c)(b-c)^2
　 = (π/12L)(a+b-L)^2 {(a+b+L)^2 -4aa +4ab -4bb)}.

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 23:24:13.11

>>267

DとD_aとの共通部分の体積は　V(a+1,2) - V(a,2) - V(a+1,1) + V(a,1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/30(木) 17:26:38.43

質問スレの問題

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1534342085/374

くじ引きと料金に関する質問です
1)30%で当たる１回300円のくじ引き
2)60%で当たる１回800円のくじ引き

くじ引きは毎回戻して同じ確率で引く
当たりは一度だけ引けば良い場合
どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか？

を少し変えてみた。

くじ引きと料金に関する質問です
1)１００本中３０本当たりの１回1000円のくじ引き
2)　５０本中３０本当たりの１回2000円のくじ引き

くじ引きは戻さないで次のくじを引く
どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/30(木) 19:03:16.28

4チームで総当たり戦を行う。引き分けは無いとすると、
(1)　結果は何通りあるか？
(2)　そのうち上位2チームが決まらないものは何通りあるか？
(3)
アジア大会の野球競技ではSuper Roundが行われており、日本はあと1勝でもすれば決勝進出、2戦とも負けても台湾が全勝かつ中国が韓国に勝てば同率2位である。
現時点での各チームの勝敗はどうなっているか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/30(木) 19:06:03.11

ごめん、(3)訂正

アジア大会の野球競技ではSuper Roundが行われており、日本は次の試合を勝てば決勝進出、負けても台湾が全勝かつ中国が韓国に勝てば同率2位である。
現時点での各チームの勝敗はどうなっているか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/30(木) 23:14:27.67

試合が終わったので解答

(1)
「勝数の合計は必ず6になる」という必要条件を考慮して数え上げると
勝-敗
A:3-0, B:2-1, C:1-2, D:0-3　24通り
A:3-0, B:1-2, C:1-2, D:1-2　4通り　★
A:2-1, B:2-1, C:2-1, D:0-3　4通り　★
A:2-1, B:2-1, C:1-2, D:1-2　6通り
計38通り

(2)
★をつけた8通り

(3)
日○-●中
台○-●韓
韓○-●日
なお、さっき台湾vs中国の試合が終わり
台○-●中

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/30(木) 23:54:37.86

>>271 >>272

V(a,2) - V(a,1)
　= 0　　(a≦L-2)
　= (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)}　　(L-2≦a≦L-1)
　= (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)}
　　 - (π/12L)(a+1-L)^2 {(a+1+L)^2 -4(aa -a +1)}　　(L-1≦a≦L+1)
　= (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)} - (4π/3)　　(L+1≦a≦L+2)
　= 0　　(L+2≦a)

a = 10.1267741 のとき
　V(a+1,2) - V(a+1,1) - V(a,2) + V(a,1) = 9.9571649074689　(最大)

　V(a+1,2) - V(a+1,1) = 24.6422247200042
　V(a,2) - V(a,1) = 14.6850598125353
　V(a+1,2) = 28.8310149247906
　V(a+1,1) = 4.1887902047864 = 4π/3,
　V(a,2) = 17.0995582899984
　V(a,1) = 2.4144984774631

>>267
[a] = 10

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/31(金) 00:03:07.28

>>267

計算の練習ですな。数学とはいえない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/31(金) 03:29:49.41

>>276
４チームの勝数で区別したとき、
3210　24通り
3111　8通り
2220　8通り
2211　24通り　の合計64通りとカウントすべき
合計6試合あり、それぞれ二通りのパターンがあるから、2^6で64通り。38通りな訳がない。

3111or2220の8通りは、どのチームが全勝or全敗するかで4通り、
残り三チームの三すくみが右回りか左回りかで2通りあり、合計8通り

2211の24通りは、3210型の結果において、1位のチームと4位のチームの対戦の結果が
ひっくり返った場合に相当するので、3210型と同じ24通りになります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/31(金) 20:20:48.68

△ABCの各頂点から対辺に下ろした垂線の足をS,T,Uとする。
AS+BT+CU=AS・BT・CUとなる三角形の形状を決定せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/31(金) 21:47:57.17

>>280
なんか問題変じゃね？
外接円の半径をRとして
AS = 2R sin B sin C、
BT = 2R sin C sin A、
CU = 2R sin A sin B
だから
与式 ⇔ (sin B sin C + sin C sin A + sin A sin B)/(sin A sin B sin C)^2 = 4R^2
A,B,Cに何入れても与式を成立せしめる R が存在して形状なんか決定できない希ガス。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/31(金) 22:52:06.37

>>260
４点の座標を入力したらそれらを結ぶ四面体の体積を求めるRのスクリプトを書いてみた。
但し、高さの算出は近似計算
改造歓迎

library(nleqslv)
Tetra <- function(O=c(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)),A=c(0,0,0),B=c(1,0,0),C=c(cos(pi/3),sin(pi/3),0)){
fn <- function(x,O,A,B,C){
AO=A-O
BO=B-O
CO=C-O
HO=x[1]*AO+x[2]*BO+(1-x[1]-x[2])*CO # H on triangle ABC
AB=B-A
AC=C-A
c(HO%*%AB,HO%*%AC) # HO vertial to AB and AC
}
fn1 <- function(x) fn(x,O,A,B,C)
x=nleqslv::nleqslv(c(1/3,1/3),fn1)$'x'
AO=A-O
BO=B-O
CO=C-O
HO=x[1]*AO+x[2]*BO+(1-x[1]-x[2])*CO
h=sqrt(sum(HO^2))
a=sqrt(sum((B-C)^2))
b=sqrt(sum((C-A)^2))
c=sqrt(sum((A-B)^2))
s=(a+b+c)/2
base=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
V=1/3*base*h
return(V)
}

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/08/31(金) 23:05:30.97

>>280 AS=1、BT=x、CU=yとおくと、題意より、
1+x+y=xy
　　y=(x+1)/(x-1)
∥∩∩∥∩∩ ∥∴
（　(`)(^o^))∥x>1
（っ[￣]っц)∥y>1
「￣￣￣￣￣]∥即ち
□/_UU_＿UU□∥ △ABCは鈍角三角形

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/31(金) 23:43:22.19

次の条件を満たす関数f(x)が存在すればそれを求め
存在しなければそれを証明せよ

(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3) f(1)＝1

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/01(土) 00:03:17.58

>>284
　f '(x)/f(x) = 1/xx,
　log f(x) = c - 1/x,
　f(x) = e^(c -1/x),
　f(1)=1 より　c=1
　f(x) = e^(1 -1/x)
x=0 で微分可能ではないだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/01(土) 00:05:44.56

早速地雷踏んでくれて有り難う
間違いですわ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/01(土) 00:16:23.33

>>282
4点の座標が判っているなら、ベクトルの三重積(の絶対値の1/6)で体積求まりますよ。

つまり、一つの点が原点になる様に平行移動して、残り三点を
(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)　としたら、

V=(1/6) | x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1 |

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/01(土) 00:53:56.74

>>287
ありがとう御座います。スクリプトの検証に使わせていただきます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/01(土) 01:24:38.36

>>287
ご教示の通りにスクリプトを書いたら僅か４行で済みました。
ありがとうございました。

tetrahedron <- function(O=c(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)),A=c(0,0,0),B=c(1,0,0),C=c(cos(pi/3),sin(pi/3),0)){
AO=A-O
BO=B-O
CO=C-O
as.numeric(abs(pracma::cross(AO,BO) %*% CO)/6)
}

どれも一致しました。

> sqrt(2)/12
[1] 0.1178511301977579
> Tetra()
[1] 0.1178511301977579
> tetrahedron()
[1] 0.1178511301977579

【凶】 · 2018/09/02(日) 00:15:54.07

前>>283
AS=1
BT=x>1
CU=y>x>1
とすると、
1+x+y=xy
y=(x+1)/(x-1)
=1+2/(x-1)>1
y-x=(x+1)/(x-1)-x
={(x+1)-x(x-1)}/(x-1)
=(1+2x-x^2)/(x-1)>0
1+2x-x^2>0
1<x<1+√2

x=1.1のときy=21
x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2
1<x<1+√2<y

三つの垂線の大小を、
AS<BT<CUとすると、
AS<BT<AS+√2<CU

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/09/02(日) 00:24:17.72

前>>290
AS=1
BT=x>1
CU=y>x>1
とすると、
1+x+y=xy
y=(x+1)/(x-1)
=1+2/(x-1)>1
y-x=(x+1)/(x-1)-x
={(x+1)-x(x-1)}/(x-1)
=(1+2x-x^2)/(x-1)>0
1+2x-x^2>0
1<x<1+√2

x=1.1のときy=21
x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2
1<x<1+√2<y

直角三角形の相似かな。
鋭角三角形でも可能なような。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 00:35:32.53

>>284
f(x)の値を
e^(1-1/x) (x>0 の時)
0 (x≦0 の時)
と定めればこのfは条件を満たす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 02:09:18.38

>>292
まったりと地雷踏んでくれてありがとう。
そう定義すると
x=0 に対しても x^2 f ’(x) = f(x)
が成り立ってしまうから。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 02:11:04.45

ガイジ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 02:17:40.47

図形問題とかエレガントで綺麗な答えでないかのう

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 03:29:15.13

>>293
成り立っていると、どうししてダメなの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 06:31:28.57

>>292
答だけ書かれてもなあ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 09:11:41.03

うむ、まったくだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 23:21:59.05

高校数学でつ。

nは自然数とする。1から5nまでの数字がそれぞれ書かれた5n枚のカードから2枚選んでその数字をx、yとする。
x^2+y^2
の一の位が7となる確率をPnとするとき、極限値
lim(n→∞)(25Pn/2)⁵ⁿ
を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/02(日) 23:59:29.84

>>299

xx+yy の一の位が 7
　⇔　xx, yy の一の位が {1,6} または {6,1}
　⇔　x, yの一の位が {1または9, 4または6} または {4または6, 1または9}

5n枚のカードのうち、一の位が　1または9　のものは n枚。
　一の位が　4または6　のものは n枚。

Pn = 2/25.

1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 00:11:00.36

>>296

>>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。

>>284 (2) が
　任意の実数 x に対して x^2 f ’(x)＝f(x)
だっから >>292 で正解だが…

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 00:50:18.66

>>301
> >>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。

バカバカしい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 01:13:46.43

おれも>>301はあかんにｲﾋﾟｮ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 02:40:55.29

>>301
君、命題の裏が恒真だと思ってる？
高校数学からやり直した方がいいよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 02:52:15.87

>>299
カードは戻すの？戻さないの？
あと極限の式を正確に書け
ただの宿題なら質問スレへ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 03:19:20.10

>>299
1枚目のカードを戻さない場合は
Pn = 2nn/{5n(5n-1)},

(25/2)Pn = 1/(1 - 1/5n)

lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(-5n) = lim(n→∞) (1 - 1/5n)^(5n) = 1/e,

lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(5n) = e,

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 03:39:35.51

f'(x)が全実数で定義できるが0で連続じゃないって相当性質悪い関数しかなさそうだが

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/03(月) 03:59:03.74

x=0 でも成立つのに、わざわざ「ｘ≠0 なる任意の実数xに対して」と言うところがキモ。
緩めても他の解が出てくるわけぢゃないし。