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分からない問題はここに書いてね444
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0504１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 01:02:42.49ID:CyuQ8jcF
>>477
一応真面目に書いておこう。
日本人口は有限なのでいつかは4種類揃う。
必要な人数が最も多い状況は、AB型以外を全員選んでからAB型を１人選ぶ場合。
この場合、人数は (日本人口)*0.9+1 となる。
よって、(日本人口)*0.9+1 人選べば必ず4種類揃う。

ただし、上の結果は >>477 の割合が正確であると仮定した場合のものである。
割合がおおよそのものであれば、どの程度「おおよそ」なのかが分からなければ正確な値は出せない。
0505１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 01:48:05.55ID:PKlduf9+
こういう問題だったらどうだろう

いわゆるコンプガチャ問題。
Ａ,Ｏ,Ｂ,ＡＢのカードが比率４：３：２：１で排出されるガチャがあり、カードの枚数に上限はなく、何度引いても排出比率は変わらない

すべての種類のカードが1枚以上出るまで引き続ける場合、引く枚数の平均値(期待値)は何枚か？
0506１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 02:06:17.91ID:fCwJ+x1N
>>503
そんな簡単なものなのでしょうか？
0508１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 02:42:25.96ID:IhBrEldX
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d

カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。

M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)

同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
　　　　　 + 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。

a=1/10, b=2/10, c=3/10, d=4/10 を代入すると
M(A,B,C,D)
　= 10/1 + 10/2 + 10/3 + 10/4 - 10/3 - 10/4 - 10/5 - 10/5 - 10/6 - 10/7 + 10/6 + 10/7 + 10/8 + 10/9 - 10/10
　= 445/36 (= 12 + 13/36)
0509１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 03:22:51.68ID:rGTqtFTX
>>485むずい。もちろん収束すととすれば1/log3なんだけど収束証明ができん。
誰かできません？
0510１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 03:37:12.38ID:Hc322z0M
BNFとグレゴリー・ペレルマンはどっちの方が頭が良いですか？
0512１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 04:58:14.06ID:ehf+dOAU
>>508
>477です。
詳細な投稿ありがとうございました。
シミュレーション結果とも一致しました。
0513１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 05:06:20.50ID:ehf+dOAU
応用問題

日本人の血液型はＡ,Ｏ,Ｂ,ＡＢの比率が４：３：２：１であるという。
それぞれの血液型の人を最低でも１０、１０、５、２人集めたいとする。
平均して何人必要か？
0515１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 06:02:29.55ID:lmv1fokQ
>>494
４角錐O-ABCDで、４つの側面のなす角が全部鈍角だったと仮定する。
このとき、任意の切断面に現れる４角形の内角は４つとも鈍角となる。
これは４角形の内角の和が360°であることと矛盾する。
∴ そのような４角錐は存在しない…
0516１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 06:33:13.37ID:FeP/HZwm
>>515
底面がxy平面の|x|,|y|≦100で頂点が(0,0,1)なら４面のなす外向き法線ベクトルは
(1,0,100), (0,1,100),(-1,0,100),(0,-1,100)
で隣り合う平面のなす角がarccos(10000/10001)で鋭角だからなす角は鈍角になる希ガス。
0517１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 06:36:22.90ID:FeP/HZwm
あ、でも>>494は証明になってないね。撤回します。
どうせ存在しないと思って甘くみてた。orz
0518１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 06:48:01.63ID:FeP/HZwm
>>483
再挑戦。
Oが頂角、ABCDが底面とする。
底面はすべて長方形でないひし形にとり、４側面と底面のなす角はすべて鋭角であるものをとる。
(1)の証明から切断でできる４角形の頂点がOA,OB,OC,ODからなるものはすべて相似とわかる。
よってその場合の切断面の４角形は長方形でない。
４頂点が底面の周上であるときはそこでの角は鋭角となるので長方形でない。
0519１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 06:57:17.38ID:lmv1fokQ
>>494

> 切断面がOA〜ODとまじわってできる角は平面のなす角以上

これが意味不明。

稜線上に２点A、Bをとって Bを両側にずらした点をC1、C2とする。
∠C1-A-C2 は小さくできる。
3点 C1、A、C2 をとおる平面で切る。
0520１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 06:57:49.81ID:Kfh2SqaS
うんこぶりぶり。

これを数式で表すとどうなりますか？
0521１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 06:59:28.02ID:FeP/HZwm
>>520
そう、そこ間違った。一般にできる角は２平面のなす角より大きくなると間違えた。なす角より小さくなるが正解ですね。
0522１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 07:09:39.22ID:lmv1fokQ
>>514 より
Σ[k=4，n] k･(4/10)･(6/10)^(k-1) = (11/2)･(6/10)^3 - (n + 10/4)･(6/10)^n → (11/2)･(6/10)^3
Σ[k=4，n] k･(3/10)･(7/10)^(k-1) = (19/3)･(7/10)^3 - (n + 10/3)･(7/10)^n → (19/3)･(7/10)^3
Σ[k=4，n] k･(2/10)･(8/10)^(k-1) = 8･(8/10)^3 - (n + 10/2)･(8/10)^n → 8･(8/10)^3
Σ[k=4，n] k･(1/10)･(9/10)^(k-1) = 13･(9/10)^3 - (n + 10)･(9/10)^n → 13･(9/10)^3

　(11/2)･(6/10)^3 + (19/3)･(7/10)^3 + 8･(8/10)^3 + 13･(9/10)^3 = 254/15,　　　>>289
0523１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 07:16:01.56ID:lmv1fokQ
>>521

> なす角より小さくなるが正解ですね。

これも意味不明。

稜線上に3点 B1、A、B2 をとって B1を一方ずらした点をC1、B2を反対側にずらした点をC2とする。
∠C1-A-C2 は大きくできる。
3点 C1、A、C2 をとおる平面で切る。
0524１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 07:16:59.89ID:Kfh2SqaS
ジョン・フォン・ノイマンとシュリニヴァーサ・ラマヌジャンはどっちの方が天才ですか？
0525１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 07:25:09.63ID:FeP/HZwm
>>523
え？どうしてですかz軸が稜線としてxy平面上にAB, z軸上にPがあるとき
∠APBは∠AOB以下じゃないですか？
vec(AP)・vec(BP) = vec(AO)・vec(BO) + OP^2 ≧ vec(AO)・vec(BO)
|AP|・|BP| ≧ |AO|・|BO|
より
cos ∠APB ≧ cos ∠AOB
なので∠APB ≦ ∠AOB。
等号成立はP=Oのとき。
でいいと思いますけど？
0526１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 07:29:32.04ID:FeP/HZwm
もしかして “２平面のなす角” の語を稜線に垂直な２半直線のなす角にとってくれてない？
これは流石に説明なしで許してくれると思うけど……
0527１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 07:39:39.36ID:FeP/HZwm
あ、証明うそ書いてる。割り算とこ不等号メチャメチャ。
やり直します。
0528１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 07:45:40.12ID:lmv1fokQ
>>525

> xy平面上にABがあるとき

切断面の向きによっては、xy平面上で２つの面と交わらないこともある…
（AまたはBが存在しない。）
0529１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 08:03:41.79ID:FeP/HZwm
>>483
再挑戦。
Oが頂角、ABCDが底面とする。
底面はすべて長方形でないひし形にとる。
切り口が長方形となるのは>>518と同じ議論で２頂点が四角形ABCD上にあるときにかぎられる。
長方形PQRSの頂点がそれぞれOA,OB,BC,DA上にあるとする。
切断面がABと平行でなければ直線PQと直線RSは切断面と直線ABの交点で交わるから矛盾。
よってPQ‖RS‖AB。
このときCDSRは平行四辺形であるからRS=CD。
よってPQ=RS=CD=AB。よってP=A, Q=Bとなり四角形PQRSと四角形ABCDは一致する。
しかしABCDは長方形でないように取っているので矛盾。

なんか一番しょうもないやつにてこずってるなぁ。
0530１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 08:15:10.56ID:lmv1fokQ
a=1/10, b=2/10, c=3/10, d=4/10 とおくと、>>514 より
Σ[k=4，n] k･a･(1-a)^(k-1) = (3 + 1/a)･(1-a)^3 - (n + 1/a)･(1-a)^n,
Σ[k=4，n] k･b･(1-b)^(k-1) = (3 + 1/b)･(1-b)^3 - (n + 1/b)･(1-b)^n,
Σ[k=4，n] k･c･(1-c)^(k-1) = (3 + 1/c)･(1-c)^3 - (n + 1/c)･(1-c)^n,
Σ[k=4，n] k･d･(1-d)^(k-1) = (3 + 1/d)･(1-d)^3 - (n + 1/d)･(1-d)^n,

n→∞ のとき　 (3 + 1/a)･(1-a)^3 + (3 + 1/b)･(1-b)^3 + (3 + 1/c)･(1-c)^3 + (3 + 1/d)･(1-d)^3
0531１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 08:16:54.28ID:AQe/Ijjh
E,Fを体
Eの拡大体E'の元a(∉E)を付加した体をE(a)とする
f,gをE(a)からFへの準同型でf(a)=g(a)ならf=g

これは成り立ちますか？
また成り立つなら証明を教えてください
0532１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 08:19:11.83ID:AQe/Ijjh
>>531
F,E(a)をE-代数としてf,gはE-代数の準同型でお願いします
0534１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 08:42:02.58ID:lKZ40MJL
Two sides of a triangle are x = 3 and y = 4, and the included angle is θ = π/3.
To a small change in which of these three variables is the area of the triangle
most sensitive? Why?
0535１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 08:58:35.25ID:lmv1fokQ
>>482
A，Bは xx -(2/p)x +(qq-r)/pp = 0　の根
C_n は
C_0 = 0,
C_1 = (2/p)√r,
C_2 = (4q/pp)√r,
C_{n+2} = (2/p)C_{n+1} - {(qq-r)/pp}C_n,
を満たす。
C_n･p^n / √r は整数だが…

>>487
J = (1/2)eπ erfc(1)
　= 0.671646710823367585218561797205294889161414783565
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 09:00:08.60ID:f79gd0NI
>>531
成り立つ。

E(a) の任意の元は a の E 係数有理式で書けるから、それを f,g で送ってみればよい。
0537１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 09:28:01.49ID:Hlhw82VA
超準解析とは簡単に言うと「無限に大きい」「無限に
小さい」「無限に近い」という直観的な概念が論理的
に定義される超実数の世界における解析学で位相空間
の部分集合Aを超準解析の世界に写したものを*Aとす
るときAがコンパクトであることは任意の点x∈*Aに対
しxに無限に近いAの点が存在することに同値。*Aは部
分集合Aを超準解析の世界から広く見た集合でいわば
「Aを含んでいる」Aの拡張のような集合であり*Aの
任意の点に必ず無限に近いAの点が存在するというこ
とはAの外の点でAと遠い点は全てAを広く見た*Aに属
し得ないからAはあまり大きくない閉じた集合という
ことがわかる。まさにAはコンパクトだ。
0538１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 09:55:31.33ID:UKiGMRx6
>>537
位相空間の超準解析って
距離ないと駄目とか無いの？
それとも開集合の包含による族にうまく同値関係入れて拡張するのかしら
0540１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 10:30:13.66ID:UKiGMRx6
たとえば
A={0,1}
で位相を
O={{},{0},{0,1}}
と入れたとして
これを超準解析で*Aにしたらどうなるの？
0541１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 10:43:19.00ID:UKiGMRx6
この場合はさすがに*A=Aかな
じゃあ
A={1/n|n∈N}⊂R
とかなら？
0542１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 10:43:48.88ID:J4XM0V7p
I上の超フィルターをFとして、写像f,g:I→2^Aに対して次の同値関係を定めます
f〜g⇔f=g a.e. ⇔∀x∈F f(x)=g(x)

a∈Aとf(x)=a (x∈I)を同一視して、a*を次でさだめます
a*={f:I→2^A|f〜a}

このとき、Aを次でさだめます
A*={a*|a∈A}

確かこんな感じです、多分
0544１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 10:58:37.87ID:UKiGMRx6
これもさすがに
*A=A∪{正の無限小超実数}
かなあ
じゃあ
周期1の周期関数の全体に適当なノルム入れて
{0,1}係数の三角関数の和の全体とかだったら？
0545１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:02:44.95ID:UKiGMRx6
>>542
なるほど
ここのIは適当な区間たとえばI=[0,1]でいいのですか？あるいは別に区間で無くてよくて適当な集合Iとその上の超フィルターで考えるということでしょうか？
0546１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:05:46.41ID:J4XM0V7p
任意の集合で良いです

でも>>542はちょっと違うと思うんですけど、イメージ的にはこんな感じで任意の上部構造に対して超準個体が定義されるはずです
0547１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:10:06.96ID:UKiGMRx6
>>544
何を考えているのかというと
離散・有界だけどいくらでも近い２点がありそうなときどうなっちゃうかなと
>>542
>a∈Aとf(x)=a (x∈I)を同一視して、a*を次でさだめます
これだとf:I→A？f:I→2^Aというのならf(x)={a}ですか？
0549１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:12:17.23ID:UKiGMRx6
>>546
なるほど
でも
f:I→2^A
に制限がないとするならAの位相って関係なくないですか？
それとも2^Aの内のたとえば開集合族に限定とか？
0551１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:23:18.81ID:J4XM0V7p
そっかこれは標準固体から超準固体への対応を考えたわけで、純粋な超準領域内の対象の定義にはなってませんね


なんか混乱して来たのでもう少し勉強して来ます
0553１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:34:59.81ID:UKiGMRx6
なるほど
O*がA*の位相になるのかな？
O*の元を2つ取ってきて
f,g:I→2^O
f〜f',g〜g'
として
f∩g(x)=f(x)∩g(x)
f'∩g'(x)=f'(x)∩g'(x)
{x|f(x)∩g(x)=f'(x)∩g'(x)}⊃{x|f(x)=f'(x)}∩{x|g(x)=g'(x)}
Fがフィルターだから
f∩g〜f'∩g'
O*の元を任意個持ってきて
fα:I→2^O
fα〜gα
として
(∪fα)(x)=∪(fα(x))
(∪gα)(x)=∪(gα(x))
{x|∪(fα(x))=∪(gα(x))}⊃∩{x|fα(x)=gα(x)}
ここはどうするのですか？フィルターは有限交差性しかないけれど超フィルターは任意個で良かったんでしたっけ？
0555１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:39:11.43ID:J4XM0V7p
てかウォッシュの定理より、標準域で成り立つことは、超準域でも成り立つんですけど？

でもその超準域の定義がおかしいんでしたね


早く頭いい人正しい超準域の定義を書いてあげてください
わからないんですか？
0556１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:41:51.77ID:UKiGMRx6
あとやっぱ最初の
A={0,1}
O={{},{0},{01}}
のとき
A*とO*がどうなるのか知りたいです
A*=Aだろうかと思ったのは
O'={{},{0},{1},{0,1}}
ならRの離散部分集合で
たしか離散なZのZ*ってZ∪{無限大超整数}でしたよね？
Z*にたしか無限小は含まれてなかったと思ったから
それに類する結果になるかなと思ったからですが
ホントにそうなるかなあ
0557１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:42:11.96ID:J4XM0V7p
>>556
てかウォッシュの定理より、標準域で成り立つことは、超準域でも成り立つんですけど？

わからないんですか？
0560１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:54:00.09ID:UKiGMRx6
>>555
>てかウォッシュの定理より、標準域で成り立つことは、超準域でも成り立つんですけど？
そこなんですけど
αは任意個じゃないですか
だから{α}も{α}*であれば成り立つてことないですか？
A={α}として
Uα∈Oていう開集合族を取って
∪[α∈A]Uα∈O
が成り立つから
Uα* ∈* O*　[α* ∈* A*]
については
U[α* ∈* A*] Uα* ∈* O*
が成り立つことは言えるんでしょうが
普通の意味でO*がA*の位相と言えるのは
Uα∈* O* [α ∈ A]
に対して
U[α∈A] Uα ∈* O*
が言えないとダメじゃないかと思ったんです
何て言うか
A*とO*の関係は位相じゃなくて位相*みたいなものじゃなくないですか？
0561１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:54:36.36ID:J4XM0V7p
>>560
ウォッシュの定理より標準域で成り立つことは超準域でも成り立つんですけど？

わからないんですか？
0562１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:56:58.47ID:UKiGMRx6
>>557
何を聞かれているのかよく分からないんですが
具体的に
A={0,1}
O={{},{0},{0,1}}
のときに
A*とO*がどうなるのかが知りたいです
Iとしてはたとえば自然数全体Nでどうでしょうか？
0563１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 11:58:04.96ID:J4XM0V7p
>>562
てかウォッシュの定理より、標準域で成り立つことは、超準域でも成り立つんですけど？

わからないんですか？
0564１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 12:02:27.90ID:UKiGMRx6
>>563
あなたの書いていることが私の疑問>562への答えとは思えません
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/30(土) 12:05:18.63ID:uF5pSWLR
超マジメに質問してる ID:UKiGMRx6 に対して、
返答に窮して自分の至らなさに耐え切れなくなった ID:J4XM0V7p が
いつものごとく発狂を始めるという構図。

普段なら、俺のような煽りレスに対して発狂する ID:J4XM0V7p だが、
今回は何1つとして悪いことをしていない ID:UKiGMRx6 に対して発狂し出すという
ゴミクズっぷりを発揮している。
0567１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 12:55:45.61ID:TPGPfb/C
高校数学です
ゲロ吐くほど苦悩してます

分かりやすい解き方を教えてもらえると嬉しいです

https://i.imgur.com/F12mez1.png
0569１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 13:05:07.67ID:TPGPfb/C
模範解答だとキレイな変形でπ×円の面積を出す積分に帰着させられて解けるのですが天下り的な感じがして納得行かないです
高校数学の範囲でゴリ押しで解く方法って無いですかね？
0571１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 13:10:41.62ID:qXvTW2KB
ベゾフ空間と斉次ベゾフ空間に加法群の準同型定理を当てはめることができた。準同型定理により同型と言える。これで斉次ベゾフ空間を定義したら何が起こるんだろう。ベゾフ空間の理論を代数的に観たら何が分かるんだろう。
ベゾフ空間は指数を自由自在に調整して適材適所で使える。しかも量子力学だけではなく表現論で常用されているL^2空間に指数を調整すれば等しくなる。
0572１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 13:41:59.19ID:ieMudksX
>>567
まず領域を図示する。微分するだけだからこれは簡単
次に回転させるわけだが、立体の概形はドーナツ状。これをy軸と直交する平面で切って積分。積分計算は容易。
求積する上で立体の形状把握は不要だが、領域の図示と断面の図示は必要。
0575１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 14:02:18.99ID:TPGPfb/C
>>572
y=-x^4+x^2-aのグラフの、yの根号を取ったグラフを書いて回転させるわけですよね？
第一象限の部分だけ考えても、1つのyに対して2つxの値があると思うんですが、
ゴリ押しで書くととても積分できる形になるとは思えないのですが
どういう形に変形できるんでしょうか？

>>573
合っています。
0576１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 14:04:12.19ID:lKZ40MJL
>>567

(x^2)^2 - x^2 + y^2 + a = 0 を x^2 について解くと、

x^2 = [1 - sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2 or [1 + sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2

となる。

求める体積 V は、

V

=

∫ π * [1 + sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2 dy from y = -sqrt(1/4 - a) to y = sqrt(1/4 - a)

-

∫ π * [1 - sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2 dy from y = -sqrt(1/4 - a) to y = sqrt(1/4 - a)

=

∫ π * [1 + sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2 dy from y = -sqrt(1/4 - a) to y = sqrt(1/4 - a)
0577１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 14:04:47.72ID:lKZ40MJL
訂正します：

>>567

(x^2)^2 - x^2 + y^2 + a = 0 を x^2 について解くと、

x^2 = [1 - sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2 or [1 + sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2

となる。

求める体積 V は、

V

=

∫ π * [1 + sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2 dy from y = -sqrt(1/4 - a) to y = sqrt(1/4 - a)

-

∫ π * [1 - sqrt(1 - 4*(y^2+a))] /2 dy from y = -sqrt(1/4 - a) to y = sqrt(1/4 - a)

=

[(1 - 4*a) / 4] * π^2
0579１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 14:32:43.19ID:TPGPfb/C
>>577
ありがとうございます。
積分範囲の変形についてなんか色々勘違いしてました・・・
0580１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 15:01:49.95ID:ieMudksX
>>575
y軸周りに回転させた立体の断面積を求めるところで二乗するから、被積分関数はきれいな形になって計算は容易だよ
特に技巧は必要ないと思うけどな
0581１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 16:26:17.40ID:ieMudksX
座標空間の3点A(0,0,1),B(1,0,2),C(3,6,5)を頂点とする、光を通さない三角形の板が固定されている。
z座標が5より大きい点Pが光を放つとき、三角形の板によって平面z=0上に影ができる。その影が△ABCと相似になるようなPの位置はどのようであるか、述べよ。
0583１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 17:01:42.61ID:fCwJ+x1N
時間の関数として変化している位置ベクトルRp(t)が、その大きさ一定で変化しない場合、即ち|Rp(t)|=C(一定値)のとき、その速度ベクトルVp(t)=d/dt Rp(t)とRp(t)と直交することを証明せよ。
やっぱりよくわからないです
0585１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 17:50:58.13ID:TPGPfb/C
高校数学の問題です。
C:y=x^2とl:y=mx(m>0)で囲まれた領域をlを軸として回転させた場合の体積を求めよという問題です
lに沿って数直線を取ってゴリ押しで解くとこういう積分になる、これも自力で試してみろと言われたんですが
これってほんとうに高校数学の範囲で積分できるんでしょうか？

https://i.imgur.com/ETqX85R.png
0586１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 17:58:45.67ID:3QKFP042
wolframalpha に不定積分を計算させる
それで原始関数がわかったらその関数を微分すればヒントが得られる
0587１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 18:00:44.33ID:56g4j5qP
>>585
wolfram先生でもいいけど、Ｓ以外のごちゃごちゃしたものを整理したら、結局(1+ax)^(1/2)の積分じゃん
0589１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 18:07:50.07ID:lKZ40MJL
∫ 1 dx
∫ x dx
∫ x^2 dx
∫ sqrt(a + b*x) dx
∫ x * sqrt(a + b*x) dx

全部高校数学の範囲で積分できると思います。
0590１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 18:08:31.76ID:56g4j5qP
>>585
やっぱり適当に整理してごちゃごちゃしたものを適当に置き換えていけば
ややこしそうなのは、x(a+x)^(1/2)と(a+x)^(1/2)の積分計算くらいじゃない？
0591１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 18:11:52.49ID:lKZ40MJL
PQ = a * (b * sqrt(c + d * x) + e * x + f)

a, b, c, d, e, f は定数

という形をしています。

∫ PQ^2 dx は、

c1 * ∫ 1 dx
c2 * ∫ x dx
c3 * ∫ x^2 dx
c4 * ∫ sqrt(a + b*x) dx
c5 * ∫ x * sqrt(a + b*x) dx

という積分の和になります。
0592１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 18:36:26.43ID:lKZ40MJL
>>585

まず、 PQ の式が間違っています。

s = 0 のとき明らかに PQ = 0 でなければなりませんが、

>>585

の式だと 0 になりません。
0593１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 18:40:35.10ID:lKZ40MJL
>>592

あ、あってるみたいですね。
0594１３２人目の素数さん
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2018/06/30(土) 23:11:41.39ID:UKiGMRx6
>>582
ありがとうございました
もしご存じなら教えてください
可算無限のたとえばZやQをZ*やQ*にした場合は
どのような位相空間になるんでしょうか？
そもそも位相空間になるということが
どう証明できるのかよく分かってないんですが･･･
0596１３２人目の素数さん
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2018/07/01(日) 00:45:56.27ID:o+nodY1/
>>567 >>569

x^2 = X とおけば与式は
　(X - 1/2)^2 + y^2 ≦ 1/4 -a = rr,
という円Cになる。これを
　X_min(y) ≦ X ≦ X_max(y)
と表わすと
　V = π∫_C {X_max(y) - X_min(y)} dy
　　= π･{Xy-平面(右)でのCの面積}　　　…　公式
0598１３２人目の素数さん
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2018/07/01(日) 01:34:20.06ID:tOu7EWTH
xの関数
f(x)=(1-x)(1+e^x)+ax^2
が最小値を持つように、実数aの範囲を定めよ。
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