分からない問題はここに書いてね443

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/04(金) 23:15:16.29

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね442
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1522418128/

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 01:58:52.74

>>251
恥を知らないのですねｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 02:09:45.41

>>256
それもそうでした！
ありがとうございます！

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 02:52:46.02

>>259
試しにやってみたらこれ問題間違ってないか？
出せなくはないけど(0,1,tan 75°)が全然行きてない。
頂点が(0,0,0)でCとC’の境目がz=0ならちょっといい感じだけど。
z座標の設定変えてAの座標とか境目の座標そのままにしちゃったんじゃない？
２円錐の共通域出すだけのしょうもない作業のわりには数値うるさすぎて下らない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 02:56:42.81

>>4

nが奇数のとき
　f(x) = {x(1-x)}^{(n-1)/2} (2x-1),
　Max{ |f(x)| ； 0≦x≦1 } = (1/2)^(n-1) √{(n-1)^(n-1) / (n^n)}，　x = 1/2 ± 1/(2√n),

nが偶数（n≧4）のとき
　f(x) = {x(1-x)}^(n/2 -1) (2x-1)^2,
　Max{ f(x) ； 0≦x≦1 } = (1/2)^(n-3) √{(n-2)^(n-2) / (n^n)}，　x = 1/2 ± 1/√(2n),

nが偶数(n≦4）のとき
　f(x) = {x(1-x)}^(n/2),
　Max{ f(x) ； 0≦x≦1 } = (1/2)^n，　x = 1/2,

エレガントな解答スレ２-813

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 05:27:32.19

1,2,3 の各数字が1つだけ書かれたカードが袋の中に大量にある。
袋からカードを1枚引き、そのカードに書かれた数字を記録する操作を繰り返す。どの数字のカードを引くかは同様に確からしいとする。
kを自然数とする。

（1）操作を繰り返し、記録された数字の和がちょうどkになるか、k+1またはk+2になった時点で操作を終了する。和がkになる確率P(k)をkで表せ。

（2）lim[k→∞] P(k)　を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 05:46:15.31

Gを位数nの有限群、dをnの約数とするとき、x^d=1をみたすxがd個より多くなる例を教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 07:57:55.69

>>264
(1)
p(-2) = p(-1) = 0, p(0) = 1と定めておいて
p(k+3) = (1/3((p(k+2)+p(k+1)+p(k))
(2)
1/3

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 08:00:35.82

>>265
Gを位数2の巡回群の２個の直積として
位数が2の約数の元の数=4>2

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 08:38:00.31

>>266
1/6 orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 08:47:41.18

>>266
1/2 orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 10:03:17.57

最小二乗法について教えてください。

(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)とする、n個のxとｙの値が分かっているペアがあります。これらが以下の方程式

y = a * {sinh(bx)}^c

を満たす場合、最小二乗法を使って係数a, b, cを求めたいです。

どうにもうまく求められなかったため、分かる方求め方を教えてください。

また、最小二乗法ではない方法でなら求められるのであれば、その方法でもokです。

よろしくおねがいします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 10:56:45.38

正方形ABCDがあり、4点A,B,C,Dはこの順に反時計回りに並んでいる。
辺CDを1:3に内分する点をE、線分EAを1:4に内分する点をF、BCの中点をMとする。
このとき、∠MAE=∠FOEを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 11:07:17.86

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 11:12:12.65

>>271
訂正
O→M

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 12:13:20.86

>>271 >>273

AB：BM = MC:CE
∠B = ∠C = 90°
∴ ⊿MAB ∽ ⊿EMC
MA：ME = AB：MC = BM：CE = 2：1
∠AME = 90°
Mから対辺AEに垂線MHを下す。
⊿MEH ∽ ⊿AMH ∽ ⊿AEM
∴ AH：HM = HM：HE = AM：ME = 2：1
∴ AH：HE = 4：1
∴ H = F
∴ ∠MAE = ∠HME = ∠FME

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 12:15:34.32

>>266
>p(k+3) = (1/3((p(k+2)+p(k+1)+p(k))
q(k+2)=p(k+3)-p(k+2)=-2/3(p(k+2)-p(k+1))-1/3(p(k+1)-p(k))=-2/3q(k+1)-1/3q(k)
3q(k+2)+2q(k+1)+q(k)=0
3t^2+2t+1=0
t=(-1±i√2)/3=t±
q(k)=A(t+)^k+B(t-)^k
p(k)-p(0)=A(1-(t+)^(k+1))/(1-t+)+B(1-(t-)^(k+1))/(1-t-)
p(∞)-1=A/(1-t+)+B/(1-t-)=A/(5/3+t-)+B/(5/3+t+)=(A(5/3+t+)+B(5/3+t-))/(5/35/3+(t++t-)+t+t-)=(5/3q(0)+q(1))/(25/9-2/3+1/3)=(5/3(p(1)-p(0))+(p(2)-p(1)))/(22/9)=(p(2)+2/3p(1)-5/3p(0))/(22/9)=(4/9+2/31/3-5/3)/(22/9)=(4+2-15)/22=-9/22
p(∞)=1-9/22=11/22=1/2

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 12:16:38.80

>>275
>p(∞)=1-9/22=11/22=1/2
p(∞)=13/22

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 12:34:54.03

>>267
　Klein の vierer Gruppe（V)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 12:37:29.56

>>275
>(5/35/3+(t++t-)+t+t-)=
(5/35/3+5/3(t++t-)+t+t-)=2
p(∞)=1-9/2222/91/2=1/2

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 12:39:56.60

>>269
むしろなぜこの値なのか
簡単な理由がありそうな

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 12:53:34.46

>>271
△ABMと△MCDが相似で相似比は2:1。
MからAEに垂線の足Gを下ろしたとき△AME、△AGM、△EGMは相似で辺の比は1:2:√5。特にAG:GE=4:1でF=G。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 13:20:40.90

xy平面の点A(1,1)を通る直線と円C:x^2+y^2=1が交点を持つとき、その交点のAに近い方をPとする（ただ一つの交点を持つ場合はそれをPとする）
また、この直線上のAから見てPの側に点Qをとり、AP・AQ=kとなるようにする。ここでkは正の定数である。

（1）点Qが動いてできる曲線Kにより、円Cの内部が面積が等しいように二分される場合のkの値を求めよ。

（2）（1）のとき、KとCとの2交点をそれぞれS,Tとする。sin(∠SAT)≧(i/10)となる最大の整数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 13:56:16.96

0.999…=1 の説明ってさ、「実数は連続であるから」でいいよね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 14:18:16.41

連続をどのような意味で使っているか、疑問ではあるが、一言で言うなら、小数の表現の性質。
同じ値に対し、複数の表現方法があるのに、この事実を知らず、不思議がっている人がいるだけ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 14:40:09.37

まずは無限小数の定義を考えるところから
それさえわかれば上に有界な単調増加だから収束することは実数の連続性
収束値が1になることは明らか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 16:08:15.61

>>283
10進法で1を表現する方法は1と0.9999...以外にありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 16:55:37.57

>>285
ない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 17:02:04.33

1.0000... は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 17:03:43.23

0.111111111111111111111111111111111111111111111111・・・・・・・・・・・・・・X9

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 17:17:53.34

>>287
それ許すなら無限にあるわけだが

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 17:40:44.73

>>289
形式的計算で　2-0.99999…=1.00000…　だから
0.99999…と1.00000…はそれぞれ下からと上から近づく2パターンの表現
それ以外の無数の表現の例はどんなのがあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 17:52:41.25

1.0

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 17:53:24.41

>>290
>上から近づく
？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 18:01:06.42

>>292
0.999…=lim[ε→-0](1+ε)
1.000…=lim[ε→+0](1+ε)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 18:20:06.25

>>291
例ありがとう。

でも有限で０が終わったら厳密に1に等しいけど
無限に０が続く場合それが1に等しいことは自明ではない気がする

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 18:34:16.99

次の性質（A）を持つ立体は存在しないことを示せ。

（A）どのような平面で切っても、切断面の面積は常に同じ値をとる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 18:36:47.36

>>293
何それ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 18:37:30.46

>>294
>無限に０が続く場合
とはどういう定義か考えてないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 18:50:56.10

z＝cosθ+i sinθのとき
⑴2cosθ＝z+1/zを示せ
⑵2 cosnθ＝z^n+1/z^nを示せ（分母にだけn)
⑶3z^4-z^3+2z^2-z+3=0のとき
　a, 6cos2θ-2cosθ+2＝0
b. 方程式の4つの実数ではない解を示せ

この問題たちがわからない、だれか部分部分でもいいので教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 19:12:07.48

>>298
3.(a)意味ぷー
(b)3z^4-z^3+2z^2-z+3=(3z^2-4z+3)(z^2+z+1)と２次の判別式。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 19:25:43.07

>>299 thx ごめん、3のaは3z^4-z^3+2z^2-z+3=0を6cos2θ-2cosθ+2＝0の形に変形できることを示せ、でしたm(_ _)m

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 19:53:28.92

>>300
そんなこと成り立たんでしょ？3z^2-4z+3=0の解は
z=(1/3)(2±√5i)なので絶対値は１とは限らん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 19:54:31.64

(1)オイラーの公式
(2)オイラーの公式

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 21:13:45.97

>>300>>301
寝ぼけてた。>>301
>z=(1/3)(2±√5i)
これ絶対値１やね。でも絶対値が全部１であること示すよりz+1/z=tとおいて
与式⇔3(t^2-2)-t+2=0⇔t=4/3,-1
を出してz+1/z=-1とz+1/z=4/3とく方が早い。誘導どうりやった方がしんどいクソ誘導は無視すべし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 21:36:55.44

>>298 >>300

(b) 3zz -z +2 -1/z +3/zz = 3(z+1/z)^2 - (z+1/z) - 4 = {3(z+1/z) -4} {(z+1/z) +1},

　z+1/z = -1　から　z = (-1±i√3)/2 = e^(±ｉ(2π/3)),

　z+1/z = 4/3　から　z = (2±i√5)/3,

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:10:09.98

https://i.imgur.com/Bebbdo4.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:13:38.70

>>267
>>277
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:14:59.96

もう一つ質問なのですが整域上の次数nの多項式で根をn個以上持つものはありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:25:51.14

>>256
ちなみにですけど、この無限級数がπcoth(πa)の形で表される事ってどのように導出しましたか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:31:49.43

>>307
四元数でx^2=-1とか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:41:46.40

整域上のn次多項式は、その整域の商体上のn次多項式

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:42:29.22

>>307>>309
整域って言ったら普通は可換性を仮定すると思う。
そうすると存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:44:19.98

>>281

交点のAから遠いほうの交点を P~ とする（ただ一つの交点を持つ場合はそれを P=P~ とする。)
方べきの定理より、AP・AP~ = 1,
題意より、AQ = k･AP~
∴ Kは、円C（x>0 かつ y>0 の部分を除く）を、Aを中心としてk倍したもの。
∴ Kは、中心が (1-k，1-k) 半径がkの円（x>1-k かつ y>1-k の部分を除く）
　(x-1+k)^2 + (y-1+k)^2 = k^2,

(1)　k = 0.728967367687286

(2)　∠SOT /2 = α とおく。
　cosα = (3-k)/√8 = 0.802931287302128
　sinα = 0.596071596262855
　tan(∠SAT /2) = sinα・(√8)/(1+k)
　∠SAT = 1.54560093958281 < π/2
　sin(∠SAT) = 0.99968261302211979

相変わらずセンスのない作問者…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:47:19.25

ありがとうございます
では整域を可換環に置き換えると存在するでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:57:39.14

線形代数ってなんですか？
何が線形なんですか？
a11 a12
a21 a22
☝これの何が線形なんですか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 00:57:47.28

>>313
Z/(4)上の2x^2+2x=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 01:05:05.51

>>314
難しいこと考える前に計算できるようにしときましょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 01:10:24.42

>>314
一次方程式の解法理論を整理したものが線形代数の始まり。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 01:10:49.92

>>315
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 01:38:22.71

零因子のある可換環で多項式関数値が零因子になるような理論はまだ未整備か？
>>315では　x^2+x　の　x　に対象としている環のどの元を代入しても零因子、もしくは0になる例

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 02:03:39.99

>>312
数値汚くて計算するだけだった？
すまん

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 02:19:05.29

>>305
これどこの問題？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 02:19:57.04

>>320
自作問題はよそでやってくれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 02:34:46.08

6^10,000の頭16桁の数字を教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 02:38:15.96

1つの群には複数の環構造が入りますか？
つまりA,Bを環としてAとBが加法群として同型でも環としては同型でないことはありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 02:44:07.84

そんな程度なら、片一方を0環にすればいいだけの話だろ。
も少し建設的な問題を設定せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 03:26:12.87

>>323
3254646585493662

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 04:45:06.25

>>319
ありがとうございます
最近勉強を始めたばかりで殆ど何も知りません
それについて詳しく書かれている本はありますか？(もしくは通常数行で済ませてしまうようなことでしょうか？)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 04:54:51.17

>>325
環は単位的なものを想定していました

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 10:04:11.06

自分で作った問題で自分で解けないときならスレ違いではないと思うけどそれならそれでその旨は書いといてほしい。
そういうのは解けない、解けるにしてもドエライ解になってしまうかもしれないから。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 10:10:40.17

>>305
左辺を微分すると↓
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d(integrate%5B(x-t)+f(t),%7Bt,pi%2F2,x%7D%5D)%2Fdx
この式で x = Π/2 とすればもちろん値は 0 となるが
右辺を微分した式で x = Π/2 としても 0 にはならない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 10:34:40.92

wolfram間違ってない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 10:43:53.74

さすがのwolframも未定の関数が入ってる式は処理できないんだなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 12:02:55.53

>>326
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 15:06:51.16

日本民法の父、穂積陳重の『法窓夜話』を現代語に完全改訳

法律エッセイの古典的名著が短編×１００話で気軽に読めます
リライト本です。「なか見検索」で立ち読み頂けます。原版は
国立国会図書館デジタルコレクションで無料で読めます

法窓夜話私家版（原版初版1916.1.25）
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https://www.amazon.co.jp/dp/B07BP9CP5V

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 16:04:25.17

あるところを境に全てが0になる規則性をもった数列って存在しますか？
あるとしたらどんな一般項になるんでしょう
一応自分が考えた案としては、前の項＋前の項×なんらかの数列(例えばマイナスから始まる奇数項)なんですが、これの一般項の求め方がわかりません
教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 16:46:26.29

東京大学理学部数学科に入りたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 18:12:16.53

すみません、わからない問題というか、質問なんだけど

「あなたは自分にとって∫f(x)dxにおけるdxだ」

と言われた場合のdxって何ですか？
たぶん告白だろうとは思うんですが、きちんと意味をつかんでから返事がしたいので
文系の自分にはさっぱりです

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 19:12:06.43

>>337
つ
まらん

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 19:28:25.94

>>317
ああ、それはそうですね
寝ぼけたこと書いてました

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 19:39:16.54

>>335
a1が非負
a_(n+1)=a_(n)-[√(a_n)]

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 20:39:16.96

質問です。
任意の自然数nに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
2^(n＋2)>n^2
という問題なのですがこれって任意の自然数じゃなくてn≧3のときですよね？

**270** · 2018/05/14(月) 20:39:23.72

>>270もお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 20:40:53.69

>>341

いや、どう見てもn=1, n=2でも成り立つだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 21:06:09.18

>>343
すいません。解けましたありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 22:26:03.02

⑴zとwが複素数(x+yi)で、w＝1/1-z, (絶対値z)^2＝1のとき、wの実数部分xを求めよ
⑵zがcisθのときz^2-1/z^2+1＝i tanθを証明せよ
誰かこの二つお願いm(_ _)m
cisはr (cosθ+i sinθ)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 22:34:06.26

>>345
zに代入して実部と虚部を計算するだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 22:58:14.28

>>345
(2)何かおかしいね。z^2-1/z^2が純虚数でそこに1足して純虚数になるはずない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 23:12:49.35

>>308
お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 23:18:34.60

タイラー天気じゃないのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 23:22:48.86

この問題を間違えたんですけど質問です
https://i.imgur.com/8KiXbIT.jpg

cos45°=1／√2のはずですけど（Googleを信用するなら）回答ではcos45°=√2／2と実質なっています
https://i.imgur.com/PSQ7V7y.jpg

一体なにが間違ってるんでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 23:35:38.99

間違ってません

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 23:35:47.06

>>348
一般にはHadamardの因数分解定理だけど三角関数とかだと初等的な証明もある。Wikipediaにも載ってるはず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 00:01:14.07

>>331-332
手計算でも同じ式になるが

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 00:49:59.50

>>345 >>347
(z^2-1)/(z^2+1)だな

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 01:27:17.00

>>308 >>348

無限乗積表示（オイラー）：
　sinh(πa) = πa･Π[n=1，∞] {1 + (a/n)^2} = πa･Π[n=1，∞] {1 + (a/n)i}{1 - (a/n)i},
対数をとってaで微分する。
　π coth(πa) = 1/a + Σ[n=1，∞] 2a/(aa+nn) = 1/a + Σ[n=1，∞] {1/(a-in) + 1/(a+in)},

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 02:23:17.12

zは複素数で、複素数平面上の単位円上を動く。
複素数wをw=z+(z")^2+2z"とするとき、wが動いてできる曲線で囲まれる領域の面積をSとする。
（zの共役複素数をz"と表した）

（1）S≧nをみたす最大の非負整数nを求めよ。

（2）nは（1）で求めた値とする。
S≧n+(i/4)をみたす最大の非負整数iを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 02:29:40.74

天上神と東大史上最高の天才はどっちの方が賢いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 02:49:14.33

>>356
複素数の問題で虚数単位以外の意味で使う i が同時に出てきたらあかんだろ
そして出題したいだけならよそにスレを立ててやってくれ
その方があとで参照するときにも都合がよい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 03:31:19.89

>>348 >>308

おそらく最も単純な方法：f(z)=πcot(πz)/(z^2+a^2)と置いて留数定理を用いると目的の級数が得られる。

おそらく最も初等的な方法：三角関数の2N倍角の公式と根と係数の関係より
cot(x) = (1/(2N))Σ[n=0,2N-1]cot((x+πn)/(2N))
= (1/(2N))[cot(x/(2N)) + Σ[n=1,N-1]{cot((x+πn)/(2N)) - cot((-x+πn)/(2N))}]
が成り立ち、N→∞とすると和のペア部はO(1/n^2)で絶対収束するので極限の交換ができて
cot(x) = 1/x + Σ[n=1,∞]{1/(πn+x) - 1/(πn-x)}
そしてx=aπiと置くと目的の級数が得られる。