ZF と ZFC では、集合を作るために使える手段が異なる。
ZFC では、選択公理という手段があるために、よりたくさんの集合が作れるが、
ZF では選択公理がないので、集合を作る手段が制限されており、
ZFC では到達できた集合が ZF では到達できない、ということが起こりえる。
つまり、感覚的には、

・ ZF で作れる集合は ZFC でも作れる
　(ZF で作れる集合は選択公理を使ってないので、同じことを ZFC でマネすれば、ZFC 版の同じ構造の集合が得られる)

・ ZFC で作れる集合は必ずしも ZF では作れない
　(選択公理を使った集合は、ZF ではマネできない可能性がある)

ということになる(あくまでも感覚的には)。