>>575
f がどんな関数でもいいとすると、多分収拾がつかなくなる。
とりあえず f は微分可能としておくと、

・f(x,y,z)=c となるような R^3 の部分集合が空でない。
・各点で、∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z の少なくとも一つが 0 でない。

が成り立てば、普通にイメージする「曲面」になると思う。（陰関数定理より）

曲面の定義についてはいろいろとややこしい話があって、俺もよく分かってない

>>578
それだと例えば１点集合も含まれてしまう