区間 (a, b) で連続な関数 f(x) に対して

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

が存在するならば

(4.35) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

と定義する。ここで(4.35)は任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε)
が定まって、 b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば

| ∫_{a}^{b} f(x) dx - ∫_{s}^{t} f(x) dx | < ε

となることを意味するが、点 c, a < c < b, を一つ定めれば

∫_{s}^{t} f(x) dx = ∫_{s}^{c} f(x) dx + ∫_{c}^{t} f(x) dx

であるから

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

=

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,

したがって(4.35)は

∫_{a}^{b} f(x) dx

=

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx

とも書かれる。