>>246 の考えを少し進めて、奇素数pを与えたとき、σ(q^e)がpの倍数となるような奇素数qを求める方法について考察してみました。
この問題の場合、特にeが偶数のときが興味の対象となると思います。

i) e=2 のとき: σ(q^2)≡0 (mod p)
q^2+q+1≡0 (mod p) これは、p と 4 が互いに素なので、以下と同値
4q^2+4q+4≡0 (mod p)
(2q+1)^2≡-3 (mod p) ここで S^2≡-3 (mod p) となる S があると仮定すると（p によっては存在しない可能性あり）
2q+1≡±S (mod p)
つまり、S^2≡-3 (mod p) となる S が存在するとき、S が奇数ならば q≡(-1±S)/2 (mod p), S が偶数ならば q≡(-1±S+p)/2 (mod p) となる q を求めるとよい。
(-1±S)/2, (-1±S+p)/2 が p の倍数でなければ、Dirichlet の算術級数定理より、素数となる q は必ず存在する。
(-1±S)/2, (-1±S+p)/2 が p の倍数であれば、p も qも素数なので、q=p が解である。

ii) e=4 のとき: σ(q^4)≡0 (mod p)
q^4+q^3+q^2+q+1≡0 (mod p)
4q^4+4q^3+9q^2+4q+4≡5q^2 (mod p) ここで S^2≡5 (mod p) となる S があると仮定すると（存在しない可能性あり）
(2q^2+q+2)^2≡(Sq)^2 (mod p)
2q^2+q+2≡Sq (mod p) (複号省略)
2q^2+(1-S)q+2≡0 (mod p)
16q^2+8(1-S)q+16≡0 (mod p)
16q^2+8(1-S)q+(1-S)^2≡(1-S)^2-16 (mod p)
(4q+1-S)^2≡1-2S+S^2-16≡-2S-10 (mod p) ここで T^2≡-2S-10 (mod p) となる T があると仮定すると（同上）
4q+1-S≡±T (mod p)
q≡(-1+S±T+kp)/4 (mod p) （-1+S±T+kp が 4 の倍数になるように整数 k を選ぶ）

この方針の問題点は、S^2≡-3 (mod p) を解くときに必要な奇素数 p を法とした開平の簡単な方法が思いつかないことと、
e が大きくなると代数的に解けない可能性があるという点です。