現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） 準備
>>191 修正再録
http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
|f(x)-f(y)|<= k|x-y|
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
|f(x)=f(y)/(x-y)| <= k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり) 準備追加
（>>13より）f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
(引用終り)
「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」は、
下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
P220のパラグラフ5.3.6に４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り) 準備追加2
(>>169 追加引用)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
定義[編集]
連続関数 f: R → R の上側ディニ微分（しばしば右上微分とも呼ばれる[1]）は、
f'_{+}(t) def＝ limsup _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで limsup は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は
f'_{-}(t) def＝ liminf _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで liminf は下極限を表す。
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や -∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
D 記法と追加の定義
しばしば f'_{+}(t) の代わりに D^{+}f(t), f'_{-}(t)の代わりに D_{+}f(t) が記号として用いられ[1]、また
D^{-}f(t) def＝limsup _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h, D_{-}f(t) def＝liminf _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h
が定義される。
つまり、ディニ微分の「D 記法」は、プラスかマイナスかの符号によってそれぞれ左側、右側からの微分を表し、その符号の位置が上か下かによってそれぞれ上極限、下極限を表すのである。
(引用終り) 余談だが、投稿前に５CHバカ板で使えない文字をチェックする機能はないのかね〜？
wikipediaのマイナス記号が化けるなど、ちょっと数学板とはしては、困ったものです（＾＾ >>199-202 の準備で何をしたかったのかというと
１．ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見ようとしたわけだ
２．まず、「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」から、４つのディニ微分がいずれも有限値だと
それは、即ちリプシッツ連続だということだ
３．逆もまた言えるわけだ。
リプシッツ連続だと、４つのディニ微分がいずれも有限値であると
そして、４つのディニ微分がいずれも有限値だと、「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」だと
（この部分は、ディニ微分を介さずとも、直接
”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞” が見易いかと思う）
つづく >>204 つづき
１．まず、リプシッツ連続”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”
の方が分かりやすいので、ここからいくと
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
で、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
f はある開区間の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”である
が言える
２．つまり、定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）
３．繰り返すが、定理1.7が成り立つ場合は、補集合R−Bfが稠密ではない（∵開区間が存在するため）という結論になる
つづく >>205 つづき
１．さて、もう一つの下記
a) lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
↓
b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる
２．また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
以上 補足
なにが、自明（トリビア）かは、人によると思うが
”ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見”ると（>>204）
定理1.7の構造がよく見えるだろうと
以上 >>197-198
この例は、諸刃の剣というやつでしょ(>>190)
>>204より
リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
↓↑
im sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
が言えるから、リプシッツ連続を否定する例を作ると、自分に跳ね返って、
”im sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”が、否定されるってことでしょ >>210 補足
定理1.7の証明を読んだが
（なお、定理1.7が分からない人は>>15-17ご参照）
１）
・f : R → R で Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍（x0 - δ、x0 + δ）を取って
・近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }を満たす
↓
近傍（x0 - δ、x0 + δ）内に、リプシッツ連続な開区間 （x0 - δ’、x0 + δ’）が取れるという
証明のストーリーと読みました
２）が、それ、暗黙に、”近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }を満たす”を使っていますね？
３）その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
この点を補足しておきます。
なお、>>205も再度強調しておきます。
以上 >>206
> a) lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
> ↓
> b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
まず
もう少し正確な表現で描き直した上で証明をしてください
（成り立たない例は件の証明を書いた人が挙げていますよ？） >>211
>３）その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります
あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
説得力は皆無ですよ >>212
ご苦労さまです
少々ご猶予を（＾＾
なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
といって、定理1.7のようにPDFをアップロードするつもりなく
まあ、分かりやすい証明を考えますよ（＾＾ >>213
ご苦労さまです
（引用）
「> ３）その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります」
(引用終わり)
いやいや、流石にそれは強引な主張では？（下記ご参照）
>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>説得力は皆無ですよ
私の主張は逆で、
定理1.7で、補集合R−BfがR中稠密な場合は、
きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
以前も書いたように
ケース１
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの連続な点の集合で、補集合R−Bfが不連続な点の集合の場合
ケース２（上記の逆で）
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの不連続な点の集合で、補集合R−Bfが連続な点の集合の場合
この２つの場合で
ケース１では、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在します。例としては、トマエ関数です
ケース２では、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在しせん。理由は、下記の”不連続性の分類”をご参照ください
なので、問題の定理1.7のR−BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく）
そして、
ケース１のように、そのような「関数ｆ」が存在するなら、系1.8へ定理1.7を適用して矛盾を導くことはできません
ケース２のように、そのような「関数ｆ」が存在しないなら、系1.8の証明は、開区間の存在を経由することはありません
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終わり)
以上 >>200 補足
この
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
は、定理1.7を書いた人から、教えてもらったテキストです
一言補足です 再録
スレ48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/439
439 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む 2017/12/23(土) 10:37:20.53
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点における Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] → R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成立する：
(1) D^+f(x) = D+f(x) = D^-f(x) = D-f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D^+f(x) = D-f(x) ∈ R, D^-f(x) = ∞, D+f(x) = -∞．
(3) D^-f(x) = D+f(x) ∈ R, D^+f(x) = ∞, D-f(x) = -∞．
(4) D^±f(x) = ∞, D±f(x) = -∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] → R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも成立しないことから系が従う．
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授
(抜粋)
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
(引用終り)
（追加）
https://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Young%E2%80%93Saks_theorem
Denjoy?Young?Saks theorem
以上 おっちゃんです。
背理法のからくり。
基本的に、背理法で示せる命題は、有限回の推論で矛盾を導くことで示せるようになっている。
Pを仮定、Qを結論とする。P、Qが両方共に真或いは偽のどちらか一方になるのときの命題 P→Q を示すことを考える。
命題 P→Q を背理法で示すとする。Qを否定する。その上で元の仮定のPも仮定する。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方だから、命題 P∧ ¬Q を偽と仮定したことになる。
そして、偽の命題 P∧ ¬Q から始めて、有限回の推論で、背理法で示すべき命題 P→Q を示すことになる。
これを行うにあたり、Qの否定 ¬Q からいえることだけを適用して有限回の推論で矛盾を導けて P→Q を導けるとする。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方で、示すべき命題 P→Q は元々真だから、
仮定のPを任意の(Pとは異なる他の)仮定 P' で置き換えて P'→Q を背理法で示せることになる。
つまり、一般論として、結論Qが与えられた上で、任意の仮定 P' に対して、命題 P'→Q を背理法で示せることがいえる。
だが、これはあり得ない。有限回の推論の過程においてこのあり得ない事柄を導いて矛盾を得られた原因は、
背理法で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ¬Q から推論を始めて、
¬Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導けたことにある。
従って、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すにあたり、命題 P∧ ¬Q を偽と仮定して、
¬Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて P→Q を導いてはならない。
だから、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すには、単に ¬Q からいえることだけではなく、
元の仮定Pに含まれているすべての事柄から行える推論に基づくことも適用して有限回の推論で矛盾を導いて命題 P→Q を示さないといけない。 (>>218の続き)
そうして背理法の枠組みの中で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ¬Q を仮定して、
有限回の推論で矛盾を導くと、矛盾を導けた原因は偽の命題 P∧ ¬Q を仮定したことにあるから、
命題 P→Q を示すにあたり仮定した偽の命題 P∧ ¬Q は否定されることになる。
そうすると、背理法の推論の過程では P∧ ¬Q を否定した命題 ¬(P∧ ¬Q)＝¬P ∨ ¬¬Q＝¬P ∨Q が得られることになる。
つまり、Pでない または Qである といえることになる。示すべき命題 P→Q を背理法で示すにあたり、
仮定のPは元から仮定されているから、Pであることがいえて、「Pでない」ということはあり得ない。
だから、「Qである」ことがいえる。つまり結論Qが得られる。
そのようにして、命題 P→Q を背理法で示すようになる。背理法の推論の仕組みとしては、そのようになっている。
スレ主は、今回の場合、仮定のPにあたる定理1.7の「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用していない。
それ故に、背理法を正しく適用出来ていないことになる。 まあ、>>219の
>命題 ¬(P∧ ¬Q)＝¬P ∨ ¬¬Q＝¬P ∨Q
は正しくは
>命題 ¬(P∧ ¬Q)≡¬P ∨ ¬¬Q≡¬P ∨Q
である。スレ主に、今回の背理法による推論のからくりは教えた。
だが、定理1.7を背理法で示すにあたり、
「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用するには ε-δ だけでなく
最低でも位相空間は必要だな。 >>215
＞定理1.7で、補集合R−BfがR中稠密な場合は、
＞きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
＞それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
＞
＞なので、問題の定理1.7のR−BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく）
その屁理屈は聞き飽きた。同じ屁理屈を 定理C に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C で、「 f が原点で不連続」な場合は、きちんと条件設定 "f は原点で不連続" を
付加したうえで、そういう関数ｆが存在しないというなら、それを筋道立てて、証明すべきであると。
それをやらないと説得力なしです。 なので、問題の定理Cの「 f が原点で不連続な場合」は、
きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の 定理C の証明でなく）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ここでスレ主は、定理C のときだけは、次のような別の屁理屈を繰り出すのである。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cの場合は、f が原点で不連続という場合分けは存在しない。
なぜなら、f が微分可能なら f は原点で連続になるからだ。
なぜそうなるかって？定理Cにそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈を定理1.7にも適用すれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7 の場合は、R−B_f が R の中で稠密という場合分けは存在しない。
なぜなら、R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続だからだ。
なぜそうなるかって？定理1.7 にそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――――
結局、スレ主とかいうゴミクズの屁理屈は、どちらに転んでも自爆に終わるのである。 >>204
＞２．まず、「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」から、４つのディニ微分がいずれも有限値だと
＞ それは、即ちリプシッツ連続だということだ
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
お前の屁理屈を適用すると、
「 Af(x) が各点で有限値なら、f はどの区間の上でもリプシッツ連続だ 」
ということになる。しかし、既に見た
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という関数が反例であると何度も言っている。この f は原点の近傍でリプシッツ連続にならないのである。
任意の点で A_f(x) が有限値であるにも関わらずな。
>>206
＞１．さて、もう一つの下記
＞ a) lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
＞ b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
＞ を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる
(a)と(b)は同値にならない。理由は上に同じ。上で挙げた関数 f について、
A_f(x) は任意の点で有限値であるが、この f は原点の近傍でリプシッツ連続ではない。 >>205
＞２．また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
＞ a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
まさしく「息をするように間違えるゴミクズ」。
上記の関数 f について、B_f＝R が成り立つので、(a,b)⊂B_fなる開区間は取り放題である。
特に (−1, 1)⊂B_f という開区間を取ってみよう。すると、お前が言うところの
＞「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
を適用すれば、f は (−1, 1) 全体でリプシッツ連続ということになるが、
しかし f は (−1, 1) 上ではリプシッツ連続にならない。 >>208
＞この例は、諸刃の剣というやつでしょ
原理的には諸刃の剣であることは俺も理解している。しかし、
「 >>110により、そのような関数は存在しない 」
と何度も添えているので、実際には俺の方は無傷なのである。一方で、お前はノーダメージとはいかない。
なぜなら、>>190のような関数が存在しないことを>>110を経由せずに自明に証明できなければ、
「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」
というお前の直観が破壊されるからである。
というか、今までのお前の立場を考慮すると、お前の方から自発的に
>>190のような関数の有無に拘るべきなのである。にも関わらず、お前には
「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」
というアホな "思い込み" があるので、お前は上記のような考察をせず、
なぜか俺の方から そのような考察をするという逆転した状況になっているのであるｗ >>211
＞・f : R → R で Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
＞・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍（x0 - δ、x0 + δ）を取って
＞・近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }を満たす
＞ 近傍（x0 - δ、x0 + δ）内に、リプシッツ連続な開区間 （x0 - δ’、x0 + δ’）が取れるという
＞ 証明のストーリーと読みました
微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを言っている。
・ ある B_{N,M} に対して、(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する
・ この開区間の中にリプシッツ連続な区間が取れる
このように、B_f ではなく B_{N,M} 内に開区間が取れると言っている。
これは、B_f の中に開区間が取れることよりも遥かに強い条件になっている。
なぜなら、既に述べたように、B_f の各点xでは A_f(x) がただ単に有限値であるにすぎないのに対して、
B_{N,M} 上では一様に A_f(x)≦N が成り立つからだ。
＞２）が、それ、暗黙に、”近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、
＞すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }を満たす”を使っていますね？
微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを使っている。上で述べたように、
「ある B_{N,M} が (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間を含む」ということを使っている。
この場合、(a,b)内の各点 x に対して Af(x)≦N が成り立つことになる。
そのような強い条件を使っているのである。
[続く] [続き]
＞３）その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
使える。なぜなら、R−B_f が第一類集合なら、ベールのカテゴリ定理より、ある B_{N,M} に対して
(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在するからだ。すなわち、「 R−B_f が第一類集合 」という条件は
「 ある B_{N,M} に対して (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する 」
という滅茶苦茶に強い条件を暗黙のうちに含意しているのである。
特に、R−B_f が第一類集合なら、R−B_f は R の中で稠密になりえないのである。
そういう「なりえない条件」を最初から付け加えたところで、仮定が偽になるだけである。
お前の屁理屈を使えば、
「そのような場合分けは存在しない」
のである。文句があるなら「ベールのカテゴリ定理」を批判したまえ。 というか、何のための「第一類集合」だと思っているのだ。一般に、A ⊂ R が
「 R−A は第一類集合 」
という条件を満たすならば、A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を
任意に取るとき、ベールのカテゴリ定理により、ある F_k は内点を持つことになる。
すなわち、(a,b)⊂F_k なる開区間が取れることになる。大事なことなのでもう一度言う。
――――――――――――――――――――――――――――――
R−A が第一類集合ならば、「 A 」の方については、
A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
――――――――――――――――――――――――――――――
すなわち、R−A が第一類集合ならば、「 A 」の方は非常に強い性質を持っているのである。
にも関わらず、お前はこのことをずっと無視しつづけており、機械的に「第一類集合」という言葉を
振り回すだけで、第一類集合から導かれる上記の「強い」性質を全く視野に入れていない。
「 A 」が非常に強い性質を持つならば、その性質から暗黙のうちに含意される
様々な派生の性質があるはずで、それらの性質に矛盾するような条件は、お前から言わせれば
条件として追加できないはずであり、「場合分けとして存在しない」はずなのである。
しかし、お前は機械的に「第一類集合」という言葉を振り回すだけで、この条件から
何が言えるのか全く考慮してないために、お前が思いついた場合分けは何でも可能だと
思い込んでいる。いや、実際にはどんな場合分けも可能(おかしな場合分けは仮定が偽になるだけで、
場合分け自体は可能)なのだが、お前に言わせれば、「矛盾する場合分けは最初から
場合分けとして存在しない」はずである。にも関わらず、お前は追加した条件が
矛盾しているかどうかを全く考慮していないのである。やってることに一貫性がなくて滅茶苦茶。 とりあえず、これだけは言っておこう。
R−B_f は第一類集合とする。このとき、「 B_f 」の方は次の性質を満たす。
――――――――――――――――――――――――――――――――
B_f ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
――――――――――――――――――――――――――――――――
↑お前は今までずっとこの性質を無視し続けてきたので、これからはこの性質を使いたまえ。 あと、定理1.7とは違う話になるが、練習問題も出しておく。
以下、f：R→R に対して、f の不連続点全体の集合を E_f と書くことにする。
連続点ではなく、「不連続点」の集合な。
このとき、次の定理が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理E：
R−E_f が第一類集合ならば、(a,b) ⊂ E_f を満たすa,bが存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――――
↑この 定理E は正しい定理である。スレ主にはその理由が分かるかな？ >>215
>いやいや、流石にそれは強引な主張では？（下記ご参照）
強引ではありませんよ
P->Q
と
P∧¬Q->矛盾 （もしくはP∧¬Qは偽）
は同値だからです
この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
ｆにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね 結局
>>131
にはお答えいただけないようですね >>231
お前だって質問に答えないだろうがw
人には厳しいのね ぷ ＞なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
と、教科書を読まない主義、勉強をしない主義のバカが申しております >>215
>きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
P->Q
が真である場合
A->¬Q
が真であっても（なくても）
P∧A->Q
も真ですよ
また
A->¬Q
が真である場合
P∧A->Q∧¬Q
も真となりますので
P∧Aは偽
ということです
ここで
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
A:R-BfがRで稠密
を想定してください >>215
>>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>>説得力は皆無ですよ
>
>私の主張は逆で、
>定理1.7で、補集合R−BfがR中稠密な場合は、
>きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
背理法を理解していないことが納得がいかない元凶です
また
あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
``間違っている''という主張を取り下げた上で``間違っていそうな気がする''程度であれば
数学的に間違ったことを主張しているということでの批判はされはしないでしょう あなたの主張の1つは``時枝戦略は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありませんよ >>236
``間違っていそうな気がする''
程度であってもバカにされることを気にするかも知れませんね
証明を読んで納得することが肝要ですよ >>236-238
>あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
>間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
えらく根源的なレベルまで、話が戻っていますかね？
私の主張は、数学の理論というのは、定理：P→Q で、
定理が成立するというのは、P真→Q真が成り立っていて、命題PからQがきちんと導かれる（＝証明がつけられる）
べし だと
そうして、定理の連鎖による数学の理論体系を構築する。定理：P→Q、定理：Q→R、・・・と続いて連鎖と理論体系を成すべし
その中に、「実は、P偽→Q偽で、命題自身は真なのですが・・」なんてのを、混ぜたら、みんなズッコケでしょう？
つづく >>239 つづき
これを定理1.7に見るに（>>13より）
命題P中 「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」を、普通に場合分けすると
（>>23より）
１）R中稠密でない場合、
２）R中稠密な場合
に、二分でき
１）の場合について、
命題P’1：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
となる
そこで
>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）」
なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2（稠密で開区間なし）と、 結論：ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと
そして、「証明が正しいから、これで良いのだ」と仰るが、それはおかしい
繰り返すが、本来、定理の命題と証明は分離されるべきもので、例えば、定理が正しければ、元の証明以外の別証明もありうるわけだし
数学の定理の命題は、上記のように数学の理論体系の一部をなすべきものであるから、
命題の論理の連鎖がつながるように、最低限の体裁を整えないといけませんね
２）の場合について、
命題P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
しかし、
「結論：ある開区間がリプシッツ連続」
で、この場合は空集合で、条件が偽です。
「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
では、まずいと思いますよ
以上 >>237
時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
それが反例ですが、その理解が難しいんでしょうね
なお、ここらは、日本の伊藤清先生らの系譜で、日本数学の伝統の分野です >>240 補足
系1.8については、別の理論で証明されています。それは既述の通りです。多分、ここは合意でしょう。
そして、背理法は系1.8の部分です。
問題は、定理1.7です。
ここは、背理法以前です。
定理1.7で、上記>>240 ２）の場合について、
命題P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
が、本当に空集合になるのかどうか？ それは知りません
おそらく、空ではなく、反例として存在するのではないかと思っています
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R−Bf が、不連続に相当しGδだろうと
残念ながら、そういう理論の論文は見つかりませんでした
そして、これも残念ながら、リプシッツ連続や上記のBfと R−Bf とについて
「Fσ vs Gδ」理論を構築するような”かしこい頭”は、私にはありません（＾＾
どなたか、これに関する文献などあれば、ご紹介ください
「そんなこと簡単にできるよ」と、どなたか実行して頂ければ、さらに幸甚です（＾＾
以上
追伸
命題の仮定と結論レベルで矛盾している定理を、「証明しました」というのは、普通は「？」ですよ >>218
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです
>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて
数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか？
>>219
定理1.7は、背理法ではありませんよ
だから問題なんです
系1.8は、背理法です。
>>220
「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ？ 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます
以上 >>231
>>>131
>にはお答えいただけないようですね
なんども同じことを書いていますが
>>239-240 & >>242 をご参照ください >>244 補足
(>>240より)
仮定P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
は、証明可能かもしれません。（定理1.7の証明で、「自動的に証明できている」という主張は無茶では？）
しかし
仮定P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
結論： f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
（>>205より）
ですから、繰り返しますが
仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
結論は、Bfは開区間を持つ
です
だから、仮定から結論は、導けない。
この証明は不可能でしょう
だから、
仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
から出発して
結論(A)：そのようなｆは空集合（存在しない）
結論(B)：そのようなｆは存在し、反例になる
このように、結論(A)か結論(B)か、どちらかをきちんと証明すべきです
（繰り返すが、仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない だから、結論が、Bf内に開区間あり は、まずいよと）
以上 >>235
>P->Q
>が真である場合
１）
P：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」（>>245）
Q：「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」
↓
f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
ですから、P→Q（”Bf内に開区間あり”）です
２）
一方で、”Bfの補集合が、R中稠密”ですから、Bf内に（Bfのみの）開区間なし（必ずBfの補集合R−Bfがその開区間に交じります）
ですから、P→¬Qです
３）
P→QとP→¬Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→¬Qは”R中稠密”から自明ですので、P→Qを捨てることになります。
以上 >>230
引用
「この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
ｆにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね」
(引用終わり)
ここは、>>246ご参照
”P→QとP→¬Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→¬Qは”R中稠密”から自明に成立ですので、P→Qを捨てることになります。”ってことです
背理法とは、明白に異なっています
以上 >>214 補足
>まあ、分かりやすい証明を考えますよ（＾＾
＜経過報告＞
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
まあ、命題３つとも全部”有限からみ”で、特に”２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）”を中心にして、１）２）３）が全て同値が言えるのえではというのがそもそもの発想です
１）と２）が同値であることは、>>200 テキスト Fundamentals of Real Analysis のP220 で終わっていると思う
３）が見かけ一番強い条件で、３）→１）を見るのは易しい（>>205に書いた）
だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
仮定は１）の”lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するだから
この開区間が存在する仮定のもとで、→（この区間内で）”リプシッツ連続”が言えれば良い
まあ、この程度の話だから、すでにどこかのテキストに同じ命題か類似命題があるのでは・・、その方が説得力もあるので探しているところ
無ければ、それこそ背理法を使って
”lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するにも拘わらず
この開区間内に、”リプシッツ不連続”な点（k 無限大発散）
として、矛盾を導く（例えば、”リプシッツ不連続”（k 無限大発散）な点では、４つのDini微分のどれかが無限大になる）
方針で、証明することになるだろう
（まあ、なにかテキストを見つけて読んだ方が勉強になるので、いま模索＆思案中です・・（＾＾ ）
以上 >>240
＞そこで
＞>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
＞ だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）」
＞なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2（稠密で開区間なし）と、
＞結論：ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
＞従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと
同じ屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cが成り立つと、f が原点で微分可能なら、f は原点で連続である。だから、
定理Cが成り立つと、f は原点で不連続になりえないという結論になる。なので、
(1) f が原点で連続である場合 (2) f が原点で不連続である場合
と場合分けしたときの (2) の場合については、仮定(2)と結論とが
矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、お前は定理Cについて「(1),(2)のケースに場合分けしなければならない」と
ほざいているのである。 >>240
＞２）の場合について、
＞命題P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
＞ ↓
＞結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
＞という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
＞しかし、
＞「結論：ある開区間がリプシッツ連続」
＞で、この場合は空集合で、条件が偽です。
＞「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
＞では、まずいと思いますよ
同じ屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――
「(2) f は原点で不連続」の場合について、
命題：f は原点で微分可能で、fは原点で不連続とする。
↓
結論：この場合は、f は空集合(存在しない)
という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
しかし、
「結論：f は原点で連続」
で、この場合は空集合で、条件が偽です。
「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
では、まずいと思いますよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、お前は定理Cについて「定理Cの記述のままでは まずいと思いますよ」と
ほざいているのである。 しかし、スレ主は定理Cに対しては次のような屁理屈を繰り出すのだった。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cの場合は、「(2) f が原点で不連続」という場合分けは存在しない。
なぜなら、f が微分可能なら f は原点で連続になるからだ。
なぜそうなるかって？定理Cにそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈を定理1.7にも適用すれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7 の場合は、「 R−B_f が R の中で稠密」という場合分けは存在しない。
なぜなら、R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続だからだ。
なぜそうなるかって？定理1.7 にそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――――
結局、スレ主とかいうゴミクズの屁理屈は、どちらに転んでも自爆に終わるのである。 >>245
＞ですから、繰り返しますが
＞仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
＞結論は、Bfは開区間を持つ
＞です
＞
＞だから、仮定から結論は、導けない。
＞この証明は不可能でしょう
>>142-143で論破済み。示すべきは
・「P → Q 」が真であることを証明すること
なのであって、「 P という仮定のもとで絶対に Q を導かなければ証明にならない 」
というわけではない。P が偽であることが示せたなら、その時点で
「P → Q 」は真だと確定するので、もはや Q に言及する必要は
どこにもなく、証明は終わっている。
どうしても Q を導出したければ、>>143に書いたように、
「矛盾した命題からは何でも導出できるので〜」という論法を使って
「 Q 」を導出すればよい。今回の場合は、仮定が矛盾していることを導いた後、
―――――――――――――――――――――――――
矛盾した命題からは任意の命題を導出してよいので、
特に「Bfは開区間を持つ」という命題を導出してよい。
よって、Bfは開区間を持つ。
―――――――――――――――――――――――――
と書けばよい。これできちんと結論が導出できている。
いずれにしても、お前がそこで書いていることは>>142-143で論破済み。 >>248
＞だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
言えないよ。もしそこが言えたら、
(★) (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f は (a,b) 全体でリプシッツ連続である
ということが示せることになってしまうが、既に見たように
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が(★)の反例になっている。この例では、(−1,1)⊂B_f が成り立つにも関わらず、
f は (−1,1) 上ではリプシッツ連続になってない。
つまり、お前の方針は自動的に失敗する。 >>242
＞つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
＞補集合 R−Bf が、不連続に相当しGδだろうと
バカだな。一般に、次の 定理F が成り立つことに注意せよ。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
よって、もし Bf が Fσ 集合ならば、R−B_f が第一類集合のときには
(a,b)⊂B_f なる開区間が必ず取れることが即座に確定する。
このことは、定理1.7を経由することで既に確定しているが、
上記の 定理F により、さらに直接的に確定するのである。
つまり、Bf が Fσ 集合ならば、R−B_f が第一類集合のときに
「 R−B_f は R の中で稠密 」
なんてのは最初から起こりようが無いのである。
スレ主の屁理屈によれば、"R の中で稠密" なんていう場合分けは存在しないのである。
つまり、お前が「 Bf は Fσ 集合であろう」と予想するなら、お前は自分自身の手で
墓穴を掘っていることになるのだ。
ちなみに、Bf は実際に Fσ 集合である。例の pdf のままではそのことは証明できないが、
手元にはその証明がある。そして、そのことを使っても定理1.7が証明できる。
なんなら、うｐろだに上げてもよい。 >>241
＞時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
アホ丸出しｗ 数学用語はリズムが合わないな。脚韻とかそっちの文学世界の方が楽しい。 時枝氏の議論はもう置いておこう。なんの話しか分からなくなる。
スレ主も「時枝」を議論したいなら専用スレ作ることを提案する。貴重な議論が「時枝」ですぐ乱れる。数学ネタをココから少々拾う身としては辛い。
専用スレ作っても意味無いかも知れぬが。 >>257
> 貴重な議論が「時枝」ですぐ乱れる。
貴重ですかねコレ
あまりに馬鹿馬鹿しい議論だと思いますが
証明読めば分かるのに難癖つけまくってるだけですよね
懇切丁寧に説明しても一向に分からないスレ主
時枝も同じですよ
問題を読み違えている人とか、まったく分かってない人とか
確率0とかねｗ
読み違えを指摘されても全く答えない ぷ氏 ＞時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
そこまで言うなら、数列の実例を挙げて当てられないことを証明しては？
時枝解法のどこが破綻するのか具体的に示してね おっちゃんです。
>>243
＞>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて
＞
＞数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか？
これも有限回の推論になる。 >>243
＞>>219
＞定理1.7は、背理法ではありませんよ
＞だから問題なんです
>>218-219の補足だが、命題 P→Q を示すにあたり、背理法で
命題 P∧ ¬Q を偽と仮定したことは、Pであって かつ Qでない ことを仮定したことになる。
これは定理1.7でいうと、 「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来」て
かつ 「f ：R→R は如何なる開区間の上でもリプシッツ連続ではない」ことを仮定したことになる。
つまり、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来」て かつ
「f ：R→R は如何なる開区間の上でも微分不可能 または fが或る開区間上微分可能だとしても導関数 f' は不連続である」
ことを仮定したことになる。これは、スレ主に従うと、そのままスレ主の主張に当てはまることになる。
そして、>>218-219の>>218で書いたことの一部と似たような内容になるが、定理1.7を偽として真の命題である系1.8を導く証明が正しいとする。
そうすると出だしの定理1.7が偽だから、定理1.7とは違う他の命題 P' で任意に置き換えて、命題 P' から系1.8が導けることになる。
だが、このようなことはあり得ない。だから、定理1.7を偽として真の命題である系1.8を導く証明は正しくない。
だから、定理1.7を真として真の命題である系1.8を導く証明をすることになる。
それ故、このように、スレ主の主張に対して>>218-219の内容に似たことが適用されることになる。 >>243
＞>>220
＞「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ？ 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます
一部の使用だけだと、使った部分のみを仮定とする命題を示したことになる。
理由はやはり>>218-219の>>218の一部の内容に似たことが適用されることになる。
>>261の「>>218で書いたことの一部」やこのレスでいう「>>218の一部」とは、具体的には
>これを行うにあたり、Qの否定 ¬Q からいえることだけを適用して有限回の推論で矛盾を導けて P→Q を導けるとする。
>そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方で、示すべき命題 P→Q は元々真だから、
>仮定のPを任意の(Pとは異なる他の)仮定 P' で置き換えて P'→Q を背理法で示せることになる。
>つまり、一般論として、結論Qが与えられた上で、任意の仮定 P' に対して、命題 P'→Q を背理法で示せることがいえる。
>だが、これはあり得ない。
の部分のこと。 >>248 準備
＜リプシッツ連続まとめ＞
１）いろいろ調べているが、文献が多いのは、圧倒的に”リプシッツ連続”に関すること
２）次が、ディニ微分。ディニ微分に関する和文の文献は数えるほどだ。英文はかなりあるが、本格的な論文か、出版された実解析の教科書がほとんどだな
３）”定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）”は、あまりなさそう。まあ、名前もついていないしね
４）で、”リプシッツ連続”が下記だが、「連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数」で
５）上記１）〜３）は、どれも、「連続的微分可能以上、α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1)以下」ってことなので、実関数の同じような性質（傾きがある有限値）を規定しているってことですな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」
（あるいは一様連続度（英語版））
https://en.wikipedia.org/wiki/modulus_of_continuity
と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである[1]。
微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール-リンデレフの定理（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Lindel%C3%B6f_theorem
の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:
連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数.
また、
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
も成り立つ。
つづく >>263 つづき
例 （主にリプシッツ連続でない）
連続だが（大域的）リプシッツ連続でない
・閉区間 [0,?1] 上定義された函数 f(x) = √x はリプシッツ連続でない。この函数は x → 0 の極限で、導函数が無限大に発散するから、いくらでも傾きが急になる。にも拘らずこの函数は一様連続[3]であり、かつ α <= 1/2 に対して C0,α-級ヘルダー連続である。
可微分だが（大域）リプシッツ連続でない
・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,?1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
解析的だが（大域）リプシッツでない
・指数函数は x → ∞ でいくらでも傾きがおおきくなるから、大域リプシッツ函数とはならないが、それにもかかわらず解析函数になる。
・実数全体で定義された函数 f(x) = x^2 はリプシッツでない（x → ∞ でいくらでも傾きが大きくなる）。しかしこれは局所リプシッツである。
つづく >>264 つづき
性質
・リプシッツ函数 g: R → R は絶対連続であり、したがって殆ど至る所微分可能（つまりルベーグ測度 0 の集合の外側の任意の点で微分可能）である。その導函数は絶対値がリプシッツ定数を本質的上界として本質的有界（英語版）である。また、a < b に対して、差分 g(b) ? g(a) は導函数 g' の区間 [a,?b] 上の積分に等しい。
・逆に、f: I → R が絶対連続、従って殆ど至る所微分可能であるとし、|f'(x)| ? K (a.a. x ∈ I) を満たすならば、f はリプシッツ定数が高々 K のリプシッツ連続である。
・共通のリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数の族 fα に対し、函数 supα ?fα および infα?fα は、それが少なくとも一点において有限な値をとるならば、また同じリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数となる。
(引用終り)
つづく >>266 つづき
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6067684.html
微分方程式の一意性 質問者：foriver7質問日時：2010/07/27
(抜粋)
No.3 回答者： 178-tall 回答日時：2010/07/27 13:50
リプシッツ不連続でよく出される例みたいですね。
↓ 参考URL
>3.1.3 解の一意性
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf
(引用終り)
（参考）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/
内藤 久資（ないとう ひさし） 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科・理学部数理学科
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/
２００２年度前期「微分方程式」 （理学部数理学科３年）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf
解の一意性とリプシッツ連続性 単独１階常微分方程式 (5) ６回目講義レジュメ 微分方程式 2002
(引用終り)
以上 >>260-262
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです！（＾＾ 今日は、ダブル羽生でいそがしい日だな
藤井聡太−羽生戦は、藤井聡太勝ちで、朝日杯決勝進出だ >>254
引用
"一般に、次の 定理F が成り立つことに注意せよ。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
よって、もし Bf が Fσ 集合ならば、R−B_f が第一類集合のときには
(a,b)⊂B_f なる開区間が必ず取れることが即座に確定する。"
(引用終り)
？
なんだ？
おれもバカだね。一杯食わされていたのか？（下記スレ49）
(引用開始)
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
13 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/27(水) 23:36:31.32 ID:hLkm2n+q [1/3]
(抜粋)
例の定理の仮定は「 R−B_f は第一類集合である 」というものである。
もちろん、例の定理の証明は この仮定のもとで進められる。
(引用終り)
だったよね。
というか、あなた、混乱してないか？
つづく >>276 つづき
１）
要は、第一類集合 → 疎集合 → nowhere dense set → 補集合が開区間を含む（例えば下記渕野「ポーランドとチェコへの数学の旅」”全疎”定義1b)ご参照）ってこと
で、日本語では”疎集合”の用法が混乱していて、使い方が”meagre set” と ”nowhere dense”と、二つの用法あるという（下記 wikipedia 疎集合 注釈 [* 1] ご参照）
そして、同じくwikipedia 疎集合より
「R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。」とあります
wikipedia 疎集合より
「実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。」とあります
つまり、第一類集合は、”meagre set”です。なお、ベール空間wikipedia 歴史的定義ご参照
２）
定理1.7”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”（>>13）だった。
「高々可算和」を場合分けすると（＾＾
１．有限
２．可算無限だが稠密でない（例 整数）
３．可算無限で稠密（例 有理数、代数的数）
の３つ分けられる
１．と２．とが、”nowhere dense”で、渕野流”全疎”、wikipedia流 ”疎集合”
３．が、ベール空間 歴史的定義の”第一類 (first category) または痩せている (meagre) ”であって、”nowhere dense”ではない。
（上記のように、有理数の全体 Q は R において第一類であり、補集合の無理数のみの開区間はとれない）
だから、定理F不成立と思うよ
以上
つづく >>277 つづき
（参考）
http://fuchino.ddo.jp/articles/winterreise2016ex.pdf
冬の旅 ? ポーランドとチェコへの数学の旅11 渕野昌 201712
(抜粋)
（以下の文章は，『数学セミナー』2016 年6 月号に掲載された同名の記事の拡張版です．）
P23
ポーランド学派の研究での一つの中心主題は実
数全体R の構造の研究であった． そして，彼らの研究では，測度とカテゴリーに関する
考察が重要な役割を果たしていた． (ただし，ここで言うカテゴリーとは，カテゴリー理
論のそれではなく，第１種(first category) および第２種(second category) の集合に関す
る議論のことである．) 測度とカテゴリーは，多くの場合，大変似た振舞をすることが知
られていて，連続体仮説，あるいは，もう少し一般的に，例えば，マルティンの公理の下
では，実際に，強い形の双対性が測度とカテゴリーの間に成り立っていることが知られて
いる(定理A.3 )．また，フビニの定理とウラム- クラトウスキーの定理，コルモゴロフの
０ - １則とそれに相当するベールの性質を持つ集合に関する定理など，連続体仮説などの
仮定なしに集合論の枠組みの中で既に証明できるもので，測度とカテゴリーに関して対に
なっている定理が多く見られる．これらのことは，例えば[3] に詳しい．
定義1
b) R の部分集合X は，任意の実数上の区間I に対し，I ＼ X が空でない開区間を含むと
き，全疎であるという．R の部分集合X は，全疎集合の可算和として表されるとき，
第１類の集合と呼ばれる．
(引用終り)
つづく >>278 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%96%8E%E9%9B%86%E5%90%88
疎集合
(抜粋)
数学の分野における、位相空間内の疎集合（そしゅうごう、英語: nowhere dense set）[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル（無視可能な集合（英語版）に関する適正な概念）を形成する。
可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない（したがって、疎集合は必ずしもσ-イデアル（英語版）を形成しない）。そのような合併はやせた集合（英語版）[* 1]あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。
開と閉
・ある集合が疎集合であることと、その閉包が疎集合であることは必要十分である。
・閉疎集合の補集合は稠密な開集合であり、したがって、疎集合の補集合は稠密な内部を持つ集合である。
・開集合の境界は、閉疎集合である。
・すべての閉疎集合は、ある開集合の境界である。
注釈
[* 1]^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
(引用終り)
つづく >>279 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間
(抜粋)
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。
位相空間 X の部分集合が、
・X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
・X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
・X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。
これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる：「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ＼ A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。
例
・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}（これは内点を持たない閉集合になっている）の合併として書けることによる。
ベールの範疇定理
詳細は「ベールの範疇定理」https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86 を参照
(引用終り)
以上
追記
「無理数の全体 P」とあるね（＾＾ >>253
(引用開始)
「>>248
＞だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
言えないよ。もしそこが言えたら、
(★) (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f は (a,b) 全体でリプシッツ連続である
ということが示せることになってしまうが、既に見たように
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が(★)の反例になっている。この例では、(−1,1)⊂B_f が成り立つにも関わらず、
f は (−1,1) 上ではリプシッツ連続になってない。
つまり、お前の方針は自動的に失敗する。」
(引用終り)
えーと
（>>13）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
(引用終り)
いいかな
１）Bfの条件は、下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が有限値で収まることを意味している。（下記a)）
２）ディニ微分は、もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。（下記b)）
３）函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。（下記c)）
４）従って、この例は、lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜も、有界でない
５）要するに、 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞と、リプシッツ連続（＝有限なリプシッツ定数を持つ）は、同じことを言っていると思うよ
つづく >>281 つづき
a)
（>>200）
「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」は、
下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
P220のパラグラフ5.3.6に４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り)
b)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
注意
もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)
c)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
例
可微分だが（大域）リプシッツ連続でない
・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
(引用終り)
以上 >>277
＞だから、定理F不成立と思うよ
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：
A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A_f ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R−A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R−E_f ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) ということになる。
続く 続き
STEP2：
A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) から、
ベールのカテゴリ定理が使えて、ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。
F_k は内点を持たないのだから、ある A_k が内点を持つしかない。
そのような A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。
上記の証明により、定理F は確実に正しい。
掲示板だと読みにくいとか文句をつけず、この程度の証明は今すぐ読んで理解してくれ。 補足：
Fσ集合の補集合はGδ集合であり、逆も然りであるから、定理Fは次のようにも書ける。
定理F1：
A ⊂ R は、R−A がGδ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
実は、より強く次の定理も証明できる。
定理F2：
A ⊂ R は、R−A がGδ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
R−A は nowhere dense である。
ここまで来ると、「 R−A 」を1つの塊で1文字にした方がキレイなので、そのように書くと、次のようになる。
定理F3：
A ⊂ R は、A がGδ集合とする。このとき、もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。
このことに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
ttp://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf
＞ Observe that ∩[m＝1〜∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
＞ easily seen to be nowhere dense.
このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。 >>281
＞４）従って、この例は、lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜も、有界でない
＞５）要するに、 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞と、
＞リプシッツ連続（＝有限なリプシッツ定数を持つ）は、同じことを言っていると思うよ
間違っている。A_f(x)＜＋∞ という条件は、あくまでも
「その点 x において Af(x) は有限値である」
ということを言っているに過ぎない。一方で、お前が言っている「有界でない」とは、
「ある開区間 (a,b) を取ったときに、max_{x∈(a,b)} Af(x) もしくは sup_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値に収まらない」
ということである。明らかに、両者は全く意味が違う。そして、お前は両者を混同している。
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という関数の場合、各点 x で Af(x) は有限値である。実際、x≠0 のときは、
Af(x) は x ごとに明らかに有限値である。また、x＝0 のときは
Af(0)＝0
であることが計算できる。従って、Af(x) は x＝0 のときも やはり有限値である。
しかし、max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。 >>254
>お前が「 Bf は Fσ 集合であろう」と予想するなら、お前は自分自身の手で
>墓穴を掘っていることになるのだ。
>ちなみに、Bf は実際に Fσ 集合である。
下記、Gδ集合wikipediaで
”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
とあるでしょ？ 開集合が取れる？ 無理だろ
ここ
f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
↓
f は A に属する点のみにおいてリプシッツ連続となるようにすることができる。
にできるかどうかだ
なお、また、”基本的な性質 Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。”も指摘しておく
なので墓穴でもなんでもないだろ
つづく >>288 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4%E9%9B%86%E5%90%88
Gδ集合
(抜粋)
数学の一分野、位相空間論における Gδ-集合あるいは内極限集合 (inner limiting set) とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。
由来については、G というのが開集合を意味するドイツ語の Gebiet から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の Durchschnitt からそれぞれとられたものである。
Gδ-集合（およびその双対であるFσ-集合）は、ボレル階層（英語版）において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π^0_2-階集合である。
例と反例
・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。
・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。
・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。
実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は（Q が R において稠密ゆえ）何れも R において稠密でなければならないが、上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。
つづく >>289 つづき
性質
距離空間（および位相空間）における Gδ-集合の概念は、ベールの範疇定理と同様に距離空間の完備性の概念と強く関係する。このことは、マズルキェヴィチの定理として述べられる。
定理 (Mazurkiewicz)
(X, ρ) を完備距離空間とするとき、部分集合 A ⊂ X について次は同値である。
１．A が X の Gδ-集合であること
２．A 上の距離函数 σ で ρ|A（X の距離函数 ρ の A への制限）と（位相に関する意味で）同値であるようなものが存在して、(A, σ) がふたたび完備距離空間となること
Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π^0_2-式で定義されることによる。
実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。
基本的な性質
・Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。
・可算個の Gδ-集合の交わりはやはり Gδ-集合である。また、有限個の Gδ-集合の合併はふたたび Gδ-集合となる（可算個の Gδ-集合の合併は Gδσ-集合と呼ばれる）。
・距離化可能空間において、任意の閉集合は Gδ-集合であり、双対的に任意の開集合は Fσ-集合になる。
・稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は残留的 (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の生成的性質（英語版）を定義するのに用いられる。
(引用終り)
以上 つまり、
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という関数について、次のような性質が成り立っているわけである。
・ 各点 x で Af(x)＜＋∞ である。すなわち、各点 x で Af(x) は有限値である( Af(0)＝0 に注意せよ)。
・ max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。
・ f は (−1, 1) 上ではリプシッツ連続ではない。
これらのことから、お前が言っている
＞５）要するに、 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞と、
＞リプシッツ連続（＝有限なリプシッツ定数を持つ）は、同じことを言っていると思うよ
という主張は自動的に間違いだと分かるし、お前の稚拙な方針は自動的に失敗に終わる。 >>274
おつです
それ面白いね
ゆとり世代の
さらにゆとりで、超ゆとり？ >>272
C++さん、あんまりマネしないように
理想は、良い仲間や指導者が身近にいること
独学というより、自分の努力と言い換えた方が良い
それと、楽しめること
独学というのは、良い仲間や指導者が身近にいないときの代案だろう
１．努力、２．良い仲間や指導者
の順だろう >>288
＞下記、Gδ集合wikipediaで
＞”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、
＞f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
＞このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する
＞（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
＞とあるでしょ？ 開集合が取れる？ 無理だろ
論理が滅茶苦茶。
トマエ関数は R−B_f が第一類集合になってないので、開集合が取れなくても何の不思議もない。
お前が墓穴を掘っているのは、次のような意味においてである。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
B_f が Fσ 集合であることを認めるなら、R−B_f が第一類集合であるときには
定理F によって (a,b)⊂B_f なる開区間が取れてしまうので、R−B_f は
R の中で稠密に分布できないことが即座に確定する。
すなわち、R−B_f が第一類集合であるとしつつも「Rの中で稠密」なんていう
アホな場合分けをしたがっているお前にとって、「 Bf は Fσ集合である」
という性質はむしろ邪魔な性質なのである。にも関わらず、お前は
「 Bf は Fσ集合である」と予想しているのである(そして、実際に Bf は Fσ 集合である)。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑このような意味において、お前は墓穴を掘っているのである。
そして、トマエ関数は R−B_f が第一類集合になってないので、
上記の話題の出発点に立っておらず、何の意味も成さない。問題外。 女子高校生に
e^iπ＋1＝0
と
i^i＝1/√(e^π)
を説明したら感動してもらえて数学は芸術の一部だと気づいてもらえた >>282 追加参考
「微分不可能関数への招待」LipschitzとDini方向微係数、ご参照
これは、普通のDini微分の変形版のようだ
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_article/ - char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_pdf/ - char/ja
微分不可能関数への招待 石塚 陽（上智大学） 計測と制御 1998
(抜粋)
4. Lipschitz関数の一般方向微係数と一般勾配
ここでは簡単のために,関数fは注目している点xの近傍でLipschitzであるとする.
すなわち,以下をみたすx の近傍N(x)と正の数Kが存在するものとする.
｜f(x1) - f(x2)|≦K｜x1 - x2｜for all x1,x2∈N(x)
このとき,fはxの近くでは連続かつほとんどすべての点
で微分可能であり,関数値の変化率は有限で(Kを超えることはない),
以下の2つの値が必ず存在する.
D^+ f(x~;u)=lim t→0 sup{f(x~+tu) - f(x)}/t
D - f(x~;u)=lim t→0 inf{f(x~+tu) - f(x)}/t
これらをそれぞれ,
上方Dini方向微係数(upper Dini directional derivative),
下方Dini方向微係数(lower Dini directional derivative)
という.
これらの定義式中で,
lim t→0+ sup(lim t→0 - inf)は,正の方からtをゼロに近づけていっ
た時の差商{f(x~+tu) - f(x~)}/tの極限は一般にtのゼロ
への近づき方によっていろいろな値をとりうるので,それ
らの中で最大(最小)のものをとることを意味している.
(引用終り)
石塚陽先生は、亡くなられているようです。合掌
http://sikyo.net/ - /1086773
(抜粋)
石塚陽
いしづか よう
1958 - 2003
上智大教授 システム最適化理論 新潟県
亡くなってから14年233日過ぎました。
45歳で亡くなりました。もし現在も生きていたら60歳です。
1958年に誕生、2003年06月30日に亡くなりました。
(引用終り) 前スレ >>632の 追加
以前、スレ48のNo 140でも紹介したが、再録しておきます
”位相空間”は、図が多いのがいいね。位相入門を併読すると良さそう
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
川崎徹郎 学習院
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/html-17isou-nyuumon-enshuu.html
位相入門テキスト(演習問題) 解答例 (章別)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/17isou-nyuumon-text.pdf
位相入門 川崎徹郎 学習院 2017
現代数学の系譜 ガロア理論 位相空間 川崎徹郎 学習院 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
