>>438 貼り直し(^^

>>432

キーワード: 微分 dini OR ディニ
で検索すると、いろいろヒットするね(^^

下記、斎藤新悟先生のテキストの
”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である.”
などは、おっさんの定理に近いかもな(^^

これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”(>>303)は、えらく強い条件に見えるけどな(^^
おっさん、がんばれよ(^^

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理

x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため,以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える.
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である:
定理 1.2(Denjoy-Young-Saks の定理)
f : [0, 1] ?→ R とする.このとき,ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する:
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R,すなわち f は x で微分可能.
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞.
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞.
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞.
注意 1.3 この定理では,f の連続性や可測性は仮定する必要がない.歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し,次に Young が可測関数にまで拡張し,最後に Saks が
任意の関数について証明した.証明は例えば [2] の §3.5 を参照.
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため,この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる.


系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である.
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う.

つづく