0312現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
2018/01/09(火) 21:01:39.68ID:Xw3gWI4SR−Bf側の検討が是非必要と思うんだよね〜(^^
ちょっと自分の頭の整理を兼ねて書くと・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0 トマエ関数
で、(>>81より)
fν(x) =0 if x ∈ R \ Q,
or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.
ここで、ν=1が、トマエ関数。ν=0で ”=1 if x = p/q ∈ Q”で、ディリクレの関数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0
トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
(https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 関数の不連続点の集合 より)
で、無理数側 ”=0 if x ∈ R \ Q”は、トマエ、ディリクレ、両関数で不変
さらに、ν>2になると、多くの無理数点で微分可能になる。これも、無理数側は不変で、有理数側のみが変化している(詳細は下記)
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
つづく