High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾； また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/ 旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる （スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）
>いっておくけど、系 1.8 の結果は >有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない >まで拡張出来る。
ああ、下記だな”g fails to satisfy・・even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”＆ ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
繰返すが、 ”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” だから（特に後者Dini微分）、どこかの無理数の点で一様連続も破綻するだろうな
（>>40より）http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
（>>41より） REMARK BY RENFRO: The last theorem follows from the following stronger and more general result. Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below. (引用終り) 0246１３２人目の素数さん2018/01/07(日) 20:55:58.03ID:VTzP8LoB>>229 > トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線（１次曲線）も、実はいっぱい存在する > 例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い！ （有理数p,qに対し、常にq≠ap （∵ aは無理数なので、a≠q/p ）（＾＾ ）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
背景 C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。
g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面（英語版）である。 g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。） g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。
一般化 モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。 C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想（英語版）(Mordell?Lang conjecture)[2]を証明することになる。
ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想（英語版）(Bombieri?Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体（英語版）(pseudo-canonical variety)（すなわち、一般型の多様体）であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により提示されている。
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」（>>184） このような”f : R → R は存在しない”という理由は、 無理数側にあって、 無理数側に微分不可のみならず、>>245にあるように ”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” なる集合Eがあって、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”となってしまうこと
だから、微分不可の集合は、「高々可算ではおさまらず、非可算濃度になる」と。それが”系1.8 の関数f : R → Rが存在しない”理由なのだ（決して”開区間(a, b)”が存在するからではない ）
だから、（>>180） 「定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが 結論は、（>>245より）集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな？
だから、証明の大きな方向が間違っている。 「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく 「R−Bfは、非可算集合（co-meager in R (i.e. the complement of a first category set)）を含む」を証明すべきだと
例えば、（>>90より）下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. (抜粋) Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. (引用終り)
だから、定理1.7は、二つに分けて １．R−Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合 ２．R−Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合 とすべき
１．の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は自明。ほとんど、証明の必要もない ２．の場合、「非可算無限の集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなｆは存在しえない」のような方向を目指すべき
系1.8は、定理1.7中の上記ａ）の場合。ｂ）は下記。よって、ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない ＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている
繰返すが、ｃ）ｄ）の２ケースで、有理数Qを想定して、R−Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースｃ）ｄ）のような関数f : R → Rが存在するか否か そこが、まだ不明。
ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R−Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる (>>268) https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. の記載より(抜粋) 2. MODIFIED THOMAE FUNCTION. Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae function with respect to (ai) as follows: T(ai)(x) = 0 if x ∈ R ＼ Q, = an if x = m/n where m and n are coprime, = 1 if x = 0.
Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai) tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals, we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. (引用終り)
この”function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. ”で考えてみると 「0 on the irrationals」の部分は、不変というか動かせない。 動かせるのは、「positive on the rationals」の方のみで、「= an if x = m/n where m and n are coprime,」の部分のみ。
でさらに考えてみると、 「= an if x = m/n where m and n are coprime,」で、an：positive or an=0 の二択問題。(一般性を失わず負数は除外するとして)
繰返すが、Proposition 3.1. のような、「a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. 」という規定では、 an：positive or an=0 の二択で、それぞれ不連続か連続かの二択で、それ以外の選択肢は、あり得ない
ところで、上記で、T(ai)(x) = F(x) if x ∈ R ＼ Q において、ここに、F(x)が解析関数なり、微分可能関数を取ったとしよう そのときは、 =F(x)＋ an if x = m/n where m and n are coprime, =F(x)＋ 1 if x = 0.
と考えれば、いままでの議論がそのまま踏襲できる。（つまり、"F(x)＝0 if x ∈ R ＼ Q "の場合だけで、 微分や連続についての議論は尽くされていることになる） （なお、このような、有理数と無理数とに分けて、それぞれ異なる方式で値を決める関数は、上記、”不連続性の分類（wikipedia）”の「可除不連続点」（除きうる不連続点）しかなりえない）
で、 （>>178より） 定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して, ・ 各Fiは内点を持たない, ・ S ⊆∪i Fi が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書 くことにする. (引用終わり)
で、 ”Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.”
”As a corollary, no matter how quickly the sequence (ai) converges to zero (e.g., ai = 1/i^(i^i) ), there is always an uncountable dense subset on which T(ai ) is not differentiable.”
この論文の証明で論じているのは、Bf（無理数）に関係するB_N,Mではなく（∵つねに”0 on the irrationals”ですから、論じる必要もない） Bf−R(有理数)に関する部分（”positive on the rationals ”）。
もっと言えば、Bf−R(有理数)側で、無理数ａに収束する閉区間 In+1 ｜ ”f (xn+1) >= |xn+1 ? x| ”∈ In+1 ですよ f (xn+1)は、”positive on the rationals”側で、つまり、Bf−R(有理数)側
Bf−R(有理数)側のf (xn+1)が、早く減衰する場合でも、”uncountable dense subset”が、” not differentiable” T（1/n^k）=1/n^k on the rationals, if x = m/n where m and n are coprime, で、k<=2ではどこも微分不可、k > 2で、代数的数の集合で微分可、k=9でπなどほとんどの超越数で微分可。 但し、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
これらの議論中、Bf（無理数）での関数は、常に”0 on the irrationals”で、全く変化しないにも関わらず 指数ｋによって、Bf（無理数）側で、微分不可（各点リプシッツ連続でもない）から、至る所微分可になり、最後、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0< |x-p/q|< 1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246 (引用終り)
