>>178 つづき

証明
仮定により,
lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
を満たす正整数N が取れる.
lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜
に注意して,
inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
ということになるので, あるδ > 0 に対して
sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
である. 以下, δ > 1/M を満たす正整数M を1 つ取っておく. このとき,
∀y ∈ R [ ｜y − x｜ < 1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜] ・・・(1)
が成り立つことを示す. ｜y − x｜ < 1/M を満たすy ∈ R を任意に取る. もしy = x ならば, 明らか
に｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が成り立つ. 以下では, y ≠ x としてよい. よって,
0 < ｜y − x｜ < 1/M < δ
となるので, δの定義から,
｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
となる. 特に, ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ となる. 以上より, (1) が成り立つ. 以上の準備のもとで,
題意を示す. y, z ∈ R であって
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
を満たすものを任意に取る. このとき, (1) により
｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y)
が成り立つ(絶対値が外れてN(z − y) になっているのは, y < x < z から出る). よって, 題意が成
り立つ.

つづく